Theorem raleq 2626

Description: Equality theorem for restricted universal quantifier. (Contributed by NM, 16-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
raleq	⊢ (𝐴 = 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem raleq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2281	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2		nfcv 2281	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
3	1, 2	raleqf 2622	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   = wceq 1331  ∀wral 2416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421

This theorem is referenced by:  raleqi  2630  raleqdv  2632  raleqbi1dv  2634  sbralie  2670  inteq  3774  iineq1  3827  bnd2  4097  frforeq2  4267  weeq2  4279  ordeq  4294  reg2exmid  4451  reg3exmid  4494  omsinds  4535  fncnv  5189  funimaexglem  5206  isoeq4  5705  acexmidlemv  5772  tfrlem1  6205  tfr0dm  6219  tfrlemisucaccv  6222  tfrlemi1  6229  tfrlemi14d  6230  tfrexlem  6231  tfr1onlemsucaccv  6238  tfr1onlemaccex  6245  tfr1onlemres  6246  tfrcllemsucaccv  6251  tfrcllembxssdm  6253  tfrcllemaccex  6258  tfrcllemres  6259  tfrcldm  6260  ixpeq1  6603  ac6sfi  6792  fimax2gtri  6795  supeq1  6873  supeq2  6876  isomni  7008  ismkv  7027  sup3exmid  8715  rexanuz  10760  rexfiuz  10761  fimaxre2  10998  modfsummod  11227  cnprcl2k  12375  ispsmet  12492  ismet  12513  isxmet  12514  cncfval  12728  dvcn  12833  setindis  13165  bdsetindis  13167  strcoll2  13181