Theorem raleq 2731

Description: Equality theorem for restricted universal quantifier. (Contributed by NM, 16-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
raleq	⊢ (𝐴 = 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem raleq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2375	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2		nfcv 2375	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
3	1, 2	raleqf 2727	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1398  ∀wral 2511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516

This theorem is referenced by:  raleqi  2735  raleqdv  2737  raleqbi1dv  2743  sbralie  2786  inteq  3936  iineq1  3989  bnd2  4269  frforeq2  4448  weeq2  4460  ordeq  4475  reg2exmid  4640  reg3exmid  4684  omsinds  4726  fncnv  5403  funimaexglem  5420  isoeq4  5955  acexmidlemv  6026  tfrlem1  6517  tfr0dm  6531  tfrlemisucaccv  6534  tfrlemi1  6541  tfrlemi14d  6542  tfrexlem  6543  tfr1onlemsucaccv  6550  tfr1onlemaccex  6557  tfr1onlemres  6558  tfrcllemsucaccv  6563  tfrcllembxssdm  6565  tfrcllemaccex  6570  tfrcllemres  6571  tfrcldm  6572  ixpeq1  6921  ac6sfi  7130  fimax2gtri  7134  dcfi  7223  supeq1  7228  supeq2  7231  nnnninfeq2  7371  isomni  7378  ismkv  7395  iswomni  7407  acneq  7460  tapeq2  7515  sup3exmid  9179  rexanuz  11611  rexfiuz  11612  fimaxre2  11850  modfsummod  12082  mhmpropd  13612  isghm  13893  iscmn  13943  srgideu  14049  dfrhm2  14232  cnprcl2k  15000  ispsmet  15117  ismet  15138  isxmet  15139  cncfval  15366  dvcn  15494  setindis  16666  bdsetindis  16668  strcoll2  16682  strcollnfALT  16685