Theorem raleq 2728

Description: Equality theorem for restricted universal quantifier. (Contributed by NM, 16-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
raleq	⊢ (𝐴 = 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem raleq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2372	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2		nfcv 2372	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
3	1, 2	raleqf 2724	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1395  ∀wral 2508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513

This theorem is referenced by:  raleqi  2732  raleqdv  2734  raleqbi1dv  2740  sbralie  2783  inteq  3929  iineq1  3982  bnd2  4261  frforeq2  4440  weeq2  4452  ordeq  4467  reg2exmid  4632  reg3exmid  4676  omsinds  4718  fncnv  5393  funimaexglem  5410  isoeq4  5940  acexmidlemv  6011  tfrlem1  6469  tfr0dm  6483  tfrlemisucaccv  6486  tfrlemi1  6493  tfrlemi14d  6494  tfrexlem  6495  tfr1onlemsucaccv  6502  tfr1onlemaccex  6509  tfr1onlemres  6510  tfrcllemsucaccv  6515  tfrcllembxssdm  6517  tfrcllemaccex  6522  tfrcllemres  6523  tfrcldm  6524  ixpeq1  6873  ac6sfi  7080  fimax2gtri  7084  dcfi  7171  supeq1  7176  supeq2  7179  nnnninfeq2  7319  isomni  7326  ismkv  7343  iswomni  7355  acneq  7407  tapeq2  7462  sup3exmid  9127  rexanuz  11539  rexfiuz  11540  fimaxre2  11778  modfsummod  12009  mhmpropd  13539  isghm  13820  iscmn  13870  srgideu  13975  dfrhm2  14158  cnprcl2k  14920  ispsmet  15037  ismet  15058  isxmet  15059  cncfval  15286  dvcn  15414  setindis  16498  bdsetindis  16500  strcoll2  16514  strcollnfALT  16517