Theorem raleq 2693

Description: Equality theorem for restricted universal quantifier. (Contributed by NM, 16-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
raleq	⊢ (𝐴 = 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem raleq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2339	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2		nfcv 2339	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
3	1, 2	raleqf 2689	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1364  ∀wral 2475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480

This theorem is referenced by:  raleqi  2697  raleqdv  2699  raleqbi1dv  2705  sbralie  2747  inteq  3878  iineq1  3931  bnd2  4207  frforeq2  4381  weeq2  4393  ordeq  4408  reg2exmid  4573  reg3exmid  4617  omsinds  4659  fncnv  5325  funimaexglem  5342  isoeq4  5854  acexmidlemv  5923  tfrlem1  6375  tfr0dm  6389  tfrlemisucaccv  6392  tfrlemi1  6399  tfrlemi14d  6400  tfrexlem  6401  tfr1onlemsucaccv  6408  tfr1onlemaccex  6415  tfr1onlemres  6416  tfrcllemsucaccv  6421  tfrcllembxssdm  6423  tfrcllemaccex  6428  tfrcllemres  6429  tfrcldm  6430  ixpeq1  6777  ac6sfi  6968  fimax2gtri  6971  dcfi  7056  supeq1  7061  supeq2  7064  nnnninfeq2  7204  isomni  7211  ismkv  7228  iswomni  7240  acneq  7285  tapeq2  7336  sup3exmid  9001  rexanuz  11170  rexfiuz  11171  fimaxre2  11409  modfsummod  11640  mhmpropd  13168  isghm  13449  iscmn  13499  srgideu  13604  dfrhm2  13786  cnprcl2k  14526  ispsmet  14643  ismet  14664  isxmet  14665  cncfval  14892  dvcn  15020  setindis  15697  bdsetindis  15699  strcoll2  15713  strcollnfALT  15716