Theorem raleq 2741

Description: Equality theorem for restricted universal quantifier. (Contributed by NM, 16-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
raleq	⊢ (𝐴 = 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem raleq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2384	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2		nfcv 2384	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
3	1, 2	raleqf 2737	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1398  ∀wral 2520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525

This theorem is referenced by:  raleqi  2745  raleqdv  2747  raleqbi1dv  2753  sbralie  2796  inteq  3952  iineq1  4005  bnd2  4286  frforeq2  4466  weeq2  4478  ordeq  4493  reg2exmid  4658  reg3exmid  4702  omsinds  4744  fncnv  5422  funimaexglem  5439  isoeq4  5977  acexmidlemv  6048  tfrlem1  6539  tfr0dm  6553  tfrlemisucaccv  6556  tfrlemi1  6563  tfrlemi14d  6564  tfrexlem  6565  tfr1onlemsucaccv  6572  tfr1onlemaccex  6579  tfr1onlemres  6580  tfrcllemsucaccv  6585  tfrcllembxssdm  6587  tfrcllemaccex  6592  tfrcllemres  6593  tfrcldm  6594  ixpeq1  6944  ac6sfi  7155  fimax2gtri  7159  dcfi  7268  supeq1  7277  supeq2  7280  nnnninfeq2  7420  isomni  7427  ismkv  7444  iswomni  7456  acneq  7509  tapeq2  7567  sup3exmid  9231  rexanuz  11673  rexfiuz  11674  fimaxre2  11912  modfsummod  12144  mhmpropd  13679  isghm  13960  iscmn  14010  srgideu  14116  dfrhm2  14299  cnprcl2k  15071  ispsmet  15188  ismet  15209  isxmet  15210  cncfval  15437  dvcn  15565  setindis  16737  bdsetindis  16739  strcoll2  16753  strcollnfALT  16756