Theorem raleq 2749

Description: Equality theorem for restricted universal quantifier. (Contributed by NM, 16-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
raleq	⊢ (𝐴 = 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem raleq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2392	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2		nfcv 2392	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
3	1, 2	raleqf 2745	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1402  ∀wral 2528

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533

This theorem is used by:  raleqi  2753  raleqdv  2755  raleqbi1dv  2761  sbralie  2804  inteq  3973  iineq1  4026  bnd2  4312  frforeq2  4492  weeq2  4504  ordeq  4519  reg2exmid  4685  reg3exmid  4729  omsinds  4771  fncnv  5450  funimaexglem  5467  isoeq4  6013  acexmidlemv  6086  tfrlem1  6584  tfr0dm  6598  tfrlemisucaccv  6601  tfrlemi1  6608  tfrlemi14d  6609  tfrexlem  6610  tfr1onlemsucaccv  6617  tfr1onlemaccex  6624  tfr1onlemres  6625  tfrcllemsucaccv  6630  tfrcllembxssdm  6632  tfrcllemaccex  6637  tfrcllemres  6638  tfrcldm  6639  ixpeq1  6997  ac6sfi  7208  fimax2gtri  7212  dcfi  7320  supeq1  7332  supeq2  7335  nnnninfeq2  7475  isomni  7482  ismkv  7499  iswomni  7511  acneq  7564  papeq2  7616  tapeq2  7625  sup3exmid  9295  rexanuz  11775  rexfiuz  11776  fimaxre2  12015  fiidxsupcl  12017  modfsummod  12249  mhmpropd  13831  isghm  14104  cntzval  14152  iscmn  14185  srgideu  14382  dfrhm2  14569  psrbagmaxlem1  15178  cnprcl2k  15449  ispsmet  15566  ismet  15587  isxmet  15588  cncfval  15815  dvcn  15943  setindis  17215  bdsetindis  17217  strcoll2  17231  strcollnfALT  17234