Theorem raleq 2690

Description: Equality theorem for restricted universal quantifier. (Contributed by NM, 16-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
raleq	⊢ (𝐴 = 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem raleq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2336	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2		nfcv 2336	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
3	1, 2	raleqf 2686	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1364  ∀wral 2472

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477

This theorem is referenced by:  raleqi  2694  raleqdv  2696  raleqbi1dv  2702  sbralie  2744  inteq  3874  iineq1  3927  bnd2  4203  frforeq2  4377  weeq2  4389  ordeq  4404  reg2exmid  4569  reg3exmid  4613  omsinds  4655  fncnv  5321  funimaexglem  5338  isoeq4  5848  acexmidlemv  5917  tfrlem1  6363  tfr0dm  6377  tfrlemisucaccv  6380  tfrlemi1  6387  tfrlemi14d  6388  tfrexlem  6389  tfr1onlemsucaccv  6396  tfr1onlemaccex  6403  tfr1onlemres  6404  tfrcllemsucaccv  6409  tfrcllembxssdm  6411  tfrcllemaccex  6416  tfrcllemres  6417  tfrcldm  6418  ixpeq1  6765  ac6sfi  6956  fimax2gtri  6959  dcfi  7042  supeq1  7047  supeq2  7050  nnnninfeq2  7190  isomni  7197  ismkv  7214  iswomni  7226  tapeq2  7315  sup3exmid  8978  rexanuz  11135  rexfiuz  11136  fimaxre2  11373  modfsummod  11604  mhmpropd  13041  isghm  13316  iscmn  13366  srgideu  13471  dfrhm2  13653  cnprcl2k  14385  ispsmet  14502  ismet  14523  isxmet  14524  cncfval  14751  dvcn  14879  setindis  15529  bdsetindis  15531  strcoll2  15545  strcollnfALT  15548