Theorem raleq 2728

Description: Equality theorem for restricted universal quantifier. (Contributed by NM, 16-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
raleq	⊢ (𝐴 = 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem raleq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2372	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2		nfcv 2372	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
3	1, 2	raleqf 2724	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1395  ∀wral 2508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513

This theorem is referenced by:  raleqi  2732  raleqdv  2734  raleqbi1dv  2740  sbralie  2783  inteq  3926  iineq1  3979  bnd2  4257  frforeq2  4436  weeq2  4448  ordeq  4463  reg2exmid  4628  reg3exmid  4672  omsinds  4714  fncnv  5387  funimaexglem  5404  isoeq4  5934  acexmidlemv  6005  tfrlem1  6460  tfr0dm  6474  tfrlemisucaccv  6477  tfrlemi1  6484  tfrlemi14d  6485  tfrexlem  6486  tfr1onlemsucaccv  6493  tfr1onlemaccex  6500  tfr1onlemres  6501  tfrcllemsucaccv  6506  tfrcllembxssdm  6508  tfrcllemaccex  6513  tfrcllemres  6514  tfrcldm  6515  ixpeq1  6864  ac6sfi  7068  fimax2gtri  7072  dcfi  7159  supeq1  7164  supeq2  7167  nnnninfeq2  7307  isomni  7314  ismkv  7331  iswomni  7343  acneq  7395  tapeq2  7450  sup3exmid  9115  rexanuz  11514  rexfiuz  11515  fimaxre2  11753  modfsummod  11984  mhmpropd  13514  isghm  13795  iscmn  13845  srgideu  13950  dfrhm2  14133  cnprcl2k  14895  ispsmet  15012  ismet  15033  isxmet  15034  cncfval  15261  dvcn  15389  setindis  16385  bdsetindis  16387  strcoll2  16401  strcollnfALT  16404