Theorem raleq 2703

Description: Equality theorem for restricted universal quantifier. (Contributed by NM, 16-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
raleq	⊢ (𝐴 = 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem raleq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2349	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2		nfcv 2349	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
3	1, 2	raleqf 2699	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1373  ∀wral 2485

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2188

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490

This theorem is referenced by:  raleqi  2707  raleqdv  2709  raleqbi1dv  2715  sbralie  2757  inteq  3894  iineq1  3947  bnd2  4225  frforeq2  4400  weeq2  4412  ordeq  4427  reg2exmid  4592  reg3exmid  4636  omsinds  4678  fncnv  5349  funimaexglem  5366  isoeq4  5886  acexmidlemv  5955  tfrlem1  6407  tfr0dm  6421  tfrlemisucaccv  6424  tfrlemi1  6431  tfrlemi14d  6432  tfrexlem  6433  tfr1onlemsucaccv  6440  tfr1onlemaccex  6447  tfr1onlemres  6448  tfrcllemsucaccv  6453  tfrcllembxssdm  6455  tfrcllemaccex  6460  tfrcllemres  6461  tfrcldm  6462  ixpeq1  6809  ac6sfi  7010  fimax2gtri  7013  dcfi  7098  supeq1  7103  supeq2  7106  nnnninfeq2  7246  isomni  7253  ismkv  7270  iswomni  7282  acneq  7330  tapeq2  7385  sup3exmid  9050  rexanuz  11374  rexfiuz  11375  fimaxre2  11613  modfsummod  11844  mhmpropd  13373  isghm  13654  iscmn  13704  srgideu  13809  dfrhm2  13991  cnprcl2k  14753  ispsmet  14870  ismet  14891  isxmet  14892  cncfval  15119  dvcn  15247  setindis  16041  bdsetindis  16043  strcoll2  16057  strcollnfALT  16060