Theorem raleq 2661

Description: Equality theorem for restricted universal quantifier. (Contributed by NM, 16-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
raleq	⊢ (𝐴 = 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem raleq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2308	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2		nfcv 2308	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
3	1, 2	raleqf 2657	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   = wceq 1343  ∀wral 2444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449

This theorem is referenced by:  raleqi  2665  raleqdv  2667  raleqbi1dv  2669  sbralie  2710  inteq  3827  iineq1  3880  bnd2  4152  frforeq2  4323  weeq2  4335  ordeq  4350  reg2exmid  4513  reg3exmid  4557  omsinds  4599  fncnv  5254  funimaexglem  5271  isoeq4  5772  acexmidlemv  5840  tfrlem1  6276  tfr0dm  6290  tfrlemisucaccv  6293  tfrlemi1  6300  tfrlemi14d  6301  tfrexlem  6302  tfr1onlemsucaccv  6309  tfr1onlemaccex  6316  tfr1onlemres  6317  tfrcllemsucaccv  6322  tfrcllembxssdm  6324  tfrcllemaccex  6329  tfrcllemres  6330  tfrcldm  6331  ixpeq1  6675  ac6sfi  6864  fimax2gtri  6867  dcfi  6946  supeq1  6951  supeq2  6954  nnnninfeq2  7093  isomni  7100  ismkv  7117  iswomni  7129  sup3exmid  8852  rexanuz  10930  rexfiuz  10931  fimaxre2  11168  modfsummod  11399  cnprcl2k  12846  ispsmet  12963  ismet  12984  isxmet  12985  cncfval  13199  dvcn  13304  setindis  13849  bdsetindis  13851  strcoll2  13865  strcollnfALT  13868