Theorem xpsfrnel 13490

Description: Elementhood in the target space of the function 𝐹 appearing in xpsval 13498. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpsfrnel	⊢ (𝐺 ∈ X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝐺 Fn 2o ∧ (𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1o) ∈ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐺

Proof of Theorem xpsfrnel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elixp2 6914	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝐺 ∈ V ∧ 𝐺 Fn 2o ∧ ∀𝑘 ∈ 2o (𝐺‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)))
2		3ancoma 1012	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐺 Fn 2o ∧ ∀𝑘 ∈ 2o (𝐺‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)) ↔ (𝐺 Fn 2o ∧ 𝐺 ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ 2o (𝐺‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)))
3		2onn 6732	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2o ∈ ω
4		nnfi 7102	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ 2o ∈ Fin
6		fnfi 7178	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 Fn 2o ∧ 2o ∈ Fin) → 𝐺 ∈ Fin)
7	5, 6	mpan2 425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 Fn 2o → 𝐺 ∈ Fin)
8	7	elexd 2817	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 Fn 2o → 𝐺 ∈ V)
9	8	biantrurd 305	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 Fn 2o → (∀𝑘 ∈ 2o (𝐺‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝐺 ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ 2o (𝐺‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵))))
10		df2o3 6640	. . . . . . . 8 ⊢ 2o = {∅, 1o}
11	10	raleqi 2735	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ 2o (𝐺‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ ∀𝑘 ∈ {∅, 1o} (𝐺‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵))
12		0ex 4221	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
13		1oex 6633	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ V
14		fveq2 5648	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = ∅ → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘∅))
15		iftrue 3614	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = ∅ → if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
16	14, 15	eleq12d 2302	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = ∅ → ((𝐺‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝐺‘∅) ∈ 𝐴))
17		fveq2 5648	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 1o → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘1o))
18		1n0 6643	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o ≠ ∅
19		neeq1 2416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 1o → (𝑘 ≠ ∅ ↔ 1o ≠ ∅))
20	18, 19	mpbiri 168	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 1o → 𝑘 ≠ ∅)
21		ifnefalse 3620	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ≠ ∅ → if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
22	20, 21	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 1o → if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
23	17, 22	eleq12d 2302	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 1o → ((𝐺‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝐺‘1o) ∈ 𝐵))
24	12, 13, 16, 23	ralpr 3728	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ {∅, 1o} (𝐺‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ ((𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1o) ∈ 𝐵))
25	11, 24	bitri 184	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ 2o (𝐺‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ ((𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1o) ∈ 𝐵))
26	9, 25	bitr3di 195	. . . . 5 ⊢ (𝐺 Fn 2o → ((𝐺 ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ 2o (𝐺‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)) ↔ ((𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1o) ∈ 𝐵)))
27	26	pm5.32i 454	. . . 4 ⊢ ((𝐺 Fn 2o ∧ (𝐺 ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ 2o (𝐺‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵))) ↔ (𝐺 Fn 2o ∧ ((𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1o) ∈ 𝐵)))
28		3anass 1009	. . . 4 ⊢ ((𝐺 Fn 2o ∧ 𝐺 ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ 2o (𝐺‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)) ↔ (𝐺 Fn 2o ∧ (𝐺 ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ 2o (𝐺‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵))))
29		3anass 1009	. . . 4 ⊢ ((𝐺 Fn 2o ∧ (𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1o) ∈ 𝐵) ↔ (𝐺 Fn 2o ∧ ((𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1o) ∈ 𝐵)))
30	27, 28, 29	3bitr4i 212	. . 3 ⊢ ((𝐺 Fn 2o ∧ 𝐺 ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ 2o (𝐺‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)) ↔ (𝐺 Fn 2o ∧ (𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1o) ∈ 𝐵))
31	2, 30	bitri 184	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐺 Fn 2o ∧ ∀𝑘 ∈ 2o (𝐺‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)) ↔ (𝐺 Fn 2o ∧ (𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1o) ∈ 𝐵))
32	1, 31	bitri 184	1 ⊢ (𝐺 ∈ X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝐺 Fn 2o ∧ (𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1o) ∈ 𝐵))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2403  ∀wral 2511  Vcvv 2803  ∅c0 3496  ifcif 3607  {cpr 3674  ωcom 4694   Fn wfn 5328  ‘cfv 5333  1_oc1o 6618  2_oc2o 6619  Xcixp 6910  Fincfn 6952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-1o 6625  df-2o 6626  df-er 6745  df-ixp 6911  df-en 6953  df-fin 6955

This theorem is referenced by:  xpsfrnel2  13492  xpsff1o  13495