Theorem xpsfrnel 13046

Description: Elementhood in the target space of the function 𝐹 appearing in xpsval 13054. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpsfrnel	⊢ (𝐺 ∈ X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝐺 Fn 2o ∧ (𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1o) ∈ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐺

Proof of Theorem xpsfrnel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elixp2 6770	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝐺 ∈ V ∧ 𝐺 Fn 2o ∧ ∀𝑘 ∈ 2o (𝐺‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)))
2		3ancoma 987	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐺 Fn 2o ∧ ∀𝑘 ∈ 2o (𝐺‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)) ↔ (𝐺 Fn 2o ∧ 𝐺 ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ 2o (𝐺‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)))
3		2onn 6588	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2o ∈ ω
4		nnfi 6942	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ 2o ∈ Fin
6		fnfi 7011	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 Fn 2o ∧ 2o ∈ Fin) → 𝐺 ∈ Fin)
7	5, 6	mpan2 425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 Fn 2o → 𝐺 ∈ Fin)
8	7	elexd 2776	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 Fn 2o → 𝐺 ∈ V)
9	8	biantrurd 305	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 Fn 2o → (∀𝑘 ∈ 2o (𝐺‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝐺 ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ 2o (𝐺‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵))))
10		df2o3 6497	. . . . . . . 8 ⊢ 2o = {∅, 1o}
11	10	raleqi 2697	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ 2o (𝐺‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ ∀𝑘 ∈ {∅, 1o} (𝐺‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵))
12		0ex 4161	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
13		1oex 6491	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ V
14		fveq2 5561	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = ∅ → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘∅))
15		iftrue 3567	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = ∅ → if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
16	14, 15	eleq12d 2267	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = ∅ → ((𝐺‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝐺‘∅) ∈ 𝐴))
17		fveq2 5561	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 1o → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘1o))
18		1n0 6499	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o ≠ ∅
19		neeq1 2380	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 1o → (𝑘 ≠ ∅ ↔ 1o ≠ ∅))
20	18, 19	mpbiri 168	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 1o → 𝑘 ≠ ∅)
21		ifnefalse 3573	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ≠ ∅ → if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
22	20, 21	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 1o → if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
23	17, 22	eleq12d 2267	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 1o → ((𝐺‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝐺‘1o) ∈ 𝐵))
24	12, 13, 16, 23	ralpr 3678	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ {∅, 1o} (𝐺‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ ((𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1o) ∈ 𝐵))
25	11, 24	bitri 184	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ 2o (𝐺‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ ((𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1o) ∈ 𝐵))
26	9, 25	bitr3di 195	. . . . 5 ⊢ (𝐺 Fn 2o → ((𝐺 ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ 2o (𝐺‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)) ↔ ((𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1o) ∈ 𝐵)))
27	26	pm5.32i 454	. . . 4 ⊢ ((𝐺 Fn 2o ∧ (𝐺 ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ 2o (𝐺‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵))) ↔ (𝐺 Fn 2o ∧ ((𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1o) ∈ 𝐵)))
28		3anass 984	. . . 4 ⊢ ((𝐺 Fn 2o ∧ 𝐺 ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ 2o (𝐺‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)) ↔ (𝐺 Fn 2o ∧ (𝐺 ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ 2o (𝐺‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵))))
29		3anass 984	. . . 4 ⊢ ((𝐺 Fn 2o ∧ (𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1o) ∈ 𝐵) ↔ (𝐺 Fn 2o ∧ ((𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1o) ∈ 𝐵)))
30	27, 28, 29	3bitr4i 212	. . 3 ⊢ ((𝐺 Fn 2o ∧ 𝐺 ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ 2o (𝐺‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)) ↔ (𝐺 Fn 2o ∧ (𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1o) ∈ 𝐵))
31	2, 30	bitri 184	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐺 Fn 2o ∧ ∀𝑘 ∈ 2o (𝐺‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)) ↔ (𝐺 Fn 2o ∧ (𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1o) ∈ 𝐵))
32	1, 31	bitri 184	1 ⊢ (𝐺 ∈ X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝐺 Fn 2o ∧ (𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1o) ∈ 𝐵))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367  ∀wral 2475  Vcvv 2763  ∅c0 3451  ifcif 3562  {cpr 3624  ωcom 4627   Fn wfn 5254  ‘cfv 5259  1_oc1o 6476  2_oc2o 6477  Xcixp 6766  Fincfn 6808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-1o 6483  df-2o 6484  df-er 6601  df-ixp 6767  df-en 6809  df-fin 6811

This theorem is referenced by:  xpsfrnel2  13048  xpsff1o  13051