Theorem fzprval 10157

Description: Two ways of defining the first two values of a sequence on ℕ. (Contributed by NM, 5-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
fzprval	⊢ (∀𝑥 ∈ (1...2)(𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵) ↔ ((𝐹‘1) = 𝐴 ∧ (𝐹‘2) = 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹

Proof of Theorem fzprval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9352	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		fzpr 10152	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)})
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)}
4		df-2 9049	. . . . 5 ⊢ 2 = (1 + 1)
5	4	oveq2i 5933	. . . 4 ⊢ (1...2) = (1...(1 + 1))
6	4	preq2i 3703	. . . 4 ⊢ {1, 2} = {1, (1 + 1)}
7	3, 5, 6	3eqtr4i 2227	. . 3 ⊢ (1...2) = {1, 2}
8	7	raleqi 2697	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ (1...2)(𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ {1, 2} (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵))
9		1ex 8021	. . 3 ⊢ 1 ∈ V
10		2ex 9062	. . 3 ⊢ 2 ∈ V
11		fveq2 5558	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘1))
12		iftrue 3566	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
13	11, 12	eqeq12d 2211	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝐹‘1) = 𝐴))
14		fveq2 5558	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 2 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘2))
15		1ne2 9197	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≠ 2
16	15	necomi 2452	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 1
17		pm13.181 2449	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 2 ∧ 2 ≠ 1) → 𝑥 ≠ 1)
18	16, 17	mpan2 425	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 2 → 𝑥 ≠ 1)
19	18	neneqd 2388	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 2 → ¬ 𝑥 = 1)
20	19	iffalsed 3571	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 2 → if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
21	14, 20	eqeq12d 2211	. . 3 ⊢ (𝑥 = 2 → ((𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝐹‘2) = 𝐵))
22	9, 10, 13, 21	ralpr 3677	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ {1, 2} (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵) ↔ ((𝐹‘1) = 𝐴 ∧ (𝐹‘2) = 𝐵))
23	8, 22	bitri 184	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ (1...2)(𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵) ↔ ((𝐹‘1) = 𝐴 ∧ (𝐹‘2) = 𝐵))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367  ∀wral 2475  ifcif 3561  {cpr 3623  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  1c1 7880   + caddc 7882  2c2 9041  ℤcz 9326  ...cfz 10083

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-2 9049  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-fz 10084

This theorem is referenced by: (None)