Theorem fzprval 9749

Description: Two ways of defining the first two values of a sequence on ℕ. (Contributed by NM, 5-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
fzprval	⊢ (∀𝑥 ∈ (1...2)(𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵) ↔ ((𝐹‘1) = 𝐴 ∧ (𝐹‘2) = 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹

Proof of Theorem fzprval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 8978	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		fzpr 9744	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)})
3	1, 2	ax-mp 7	. . . 4 ⊢ (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)}
4		df-2 8683	. . . . 5 ⊢ 2 = (1 + 1)
5	4	oveq2i 5737	. . . 4 ⊢ (1...2) = (1...(1 + 1))
6	4	preq2i 3568	. . . 4 ⊢ {1, 2} = {1, (1 + 1)}
7	3, 5, 6	3eqtr4i 2143	. . 3 ⊢ (1...2) = {1, 2}
8	7	raleqi 2602	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ (1...2)(𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ {1, 2} (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵))
9		1ex 7679	. . 3 ⊢ 1 ∈ V
10		2ex 8696	. . 3 ⊢ 2 ∈ V
11		fveq2 5373	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘1))
12		iftrue 3443	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
13	11, 12	eqeq12d 2127	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝐹‘1) = 𝐴))
14		fveq2 5373	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 2 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘2))
15		1ne2 8824	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≠ 2
16	15	necomi 2365	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 1
17		pm13.181 2362	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 2 ∧ 2 ≠ 1) → 𝑥 ≠ 1)
18	16, 17	mpan2 419	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 2 → 𝑥 ≠ 1)
19	18	neneqd 2301	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 2 → ¬ 𝑥 = 1)
20	19	iffalsed 3448	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 2 → if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
21	14, 20	eqeq12d 2127	. . 3 ⊢ (𝑥 = 2 → ((𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝐹‘2) = 𝐵))
22	9, 10, 13, 21	ralpr 3542	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ {1, 2} (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵) ↔ ((𝐹‘1) = 𝐴 ∧ (𝐹‘2) = 𝐵))
23	8, 22	bitri 183	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ (1...2)(𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵) ↔ ((𝐹‘1) = 𝐴 ∧ (𝐹‘2) = 𝐵))

Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1312   ∈ wcel 1461   ≠ wne 2280  ∀wral 2388  ifcif 3438  {cpr 3492  ‘cfv 5079  (class class class)co 5726  1c1 7542   + caddc 7544  2c2 8675  ℤcz 8952  ...cfz 9677

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-1cn 7632  ax-1re 7633  ax-icn 7634  ax-addcl 7635  ax-addrcl 7636  ax-mulcl 7637  ax-addcom 7639  ax-addass 7641  ax-distr 7643  ax-i2m1 7644  ax-0lt1 7645  ax-0id 7647  ax-rnegex 7648  ax-cnre 7650  ax-pre-ltirr 7651  ax-pre-ltwlin 7652  ax-pre-lttrn 7653  ax-pre-apti 7654  ax-pre-ltadd 7655

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-if 3439  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-id 4173  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-xr 7722  df-ltxr 7723  df-le 7724  df-sub 7852  df-neg 7853  df-inn 8625  df-2 8683  df-n0 8876  df-z 8953  df-uz 9223  df-fz 9678

This theorem is referenced by: (None)