Theorem fzprval 10290

Description: Two ways of defining the first two values of a sequence on ℕ. (Contributed by NM, 5-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
fzprval	⊢ (∀𝑥 ∈ (1...2)(𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵) ↔ ((𝐹‘1) = 𝐴 ∧ (𝐹‘2) = 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹

Proof of Theorem fzprval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9483	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		fzpr 10285	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)})
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)}
4		df-2 9180	. . . . 5 ⊢ 2 = (1 + 1)
5	4	oveq2i 6018	. . . 4 ⊢ (1...2) = (1...(1 + 1))
6	4	preq2i 3747	. . . 4 ⊢ {1, 2} = {1, (1 + 1)}
7	3, 5, 6	3eqtr4i 2260	. . 3 ⊢ (1...2) = {1, 2}
8	7	raleqi 2732	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ (1...2)(𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ {1, 2} (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵))
9		1ex 8152	. . 3 ⊢ 1 ∈ V
10		2ex 9193	. . 3 ⊢ 2 ∈ V
11		fveq2 5629	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘1))
12		iftrue 3607	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
13	11, 12	eqeq12d 2244	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝐹‘1) = 𝐴))
14		fveq2 5629	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 2 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘2))
15		1ne2 9328	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≠ 2
16	15	necomi 2485	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 1
17		pm13.181 2482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 2 ∧ 2 ≠ 1) → 𝑥 ≠ 1)
18	16, 17	mpan2 425	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 2 → 𝑥 ≠ 1)
19	18	neneqd 2421	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 2 → ¬ 𝑥 = 1)
20	19	iffalsed 3612	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 2 → if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
21	14, 20	eqeq12d 2244	. . 3 ⊢ (𝑥 = 2 → ((𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝐹‘2) = 𝐵))
22	9, 10, 13, 21	ralpr 3721	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ {1, 2} (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵) ↔ ((𝐹‘1) = 𝐴 ∧ (𝐹‘2) = 𝐵))
23	8, 22	bitri 184	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ (1...2)(𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵) ↔ ((𝐹‘1) = 𝐴 ∧ (𝐹‘2) = 𝐵))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400  ∀wral 2508  ifcif 3602  {cpr 3667  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  1c1 8011   + caddc 8013  2c2 9172  ℤcz 9457  ...cfz 10216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-inn 9122  df-2 9180  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-fz 10217

This theorem is referenced by: (None)