Theorem fzprval 10084

Description: Two ways of defining the first two values of a sequence on ℕ. (Contributed by NM, 5-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
fzprval	⊢ (∀𝑥 ∈ (1...2)(𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵) ↔ ((𝐹‘1) = 𝐴 ∧ (𝐹‘2) = 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹

Proof of Theorem fzprval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9281	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		fzpr 10079	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)})
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)}
4		df-2 8980	. . . . 5 ⊢ 2 = (1 + 1)
5	4	oveq2i 5888	. . . 4 ⊢ (1...2) = (1...(1 + 1))
6	4	preq2i 3675	. . . 4 ⊢ {1, 2} = {1, (1 + 1)}
7	3, 5, 6	3eqtr4i 2208	. . 3 ⊢ (1...2) = {1, 2}
8	7	raleqi 2677	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ (1...2)(𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ {1, 2} (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵))
9		1ex 7954	. . 3 ⊢ 1 ∈ V
10		2ex 8993	. . 3 ⊢ 2 ∈ V
11		fveq2 5517	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘1))
12		iftrue 3541	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
13	11, 12	eqeq12d 2192	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝐹‘1) = 𝐴))
14		fveq2 5517	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 2 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘2))
15		1ne2 9127	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≠ 2
16	15	necomi 2432	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 1
17		pm13.181 2429	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 2 ∧ 2 ≠ 1) → 𝑥 ≠ 1)
18	16, 17	mpan2 425	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 2 → 𝑥 ≠ 1)
19	18	neneqd 2368	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 2 → ¬ 𝑥 = 1)
20	19	iffalsed 3546	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 2 → if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
21	14, 20	eqeq12d 2192	. . 3 ⊢ (𝑥 = 2 → ((𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝐹‘2) = 𝐵))
22	9, 10, 13, 21	ralpr 3649	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ {1, 2} (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵) ↔ ((𝐹‘1) = 𝐴 ∧ (𝐹‘2) = 𝐵))
23	8, 22	bitri 184	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ (1...2)(𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵) ↔ ((𝐹‘1) = 𝐴 ∧ (𝐹‘2) = 𝐵))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ≠ wne 2347  ∀wral 2455  ifcif 3536  {cpr 3595  ‘cfv 5218  (class class class)co 5877  1c1 7814   + caddc 7816  2c2 8972  ℤcz 9255  ...cfz 10010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-2 8980  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-fz 10011

This theorem is referenced by: (None)