ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzprval GIF version

Theorem fzprval 10079
Description: Two ways of defining the first two values of a sequence on . (Contributed by NM, 5-Sep-2011.)
Assertion
Ref Expression
fzprval (∀𝑥 ∈ (1...2)(𝐹𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵) ↔ ((𝐹‘1) = 𝐴 ∧ (𝐹‘2) = 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹

Proof of Theorem fzprval
StepHypRef Expression
1 1z 9277 . . . . 5 1 ∈ ℤ
2 fzpr 10074 . . . . 5 (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)})
31, 2ax-mp 5 . . . 4 (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)}
4 df-2 8976 . . . . 5 2 = (1 + 1)
54oveq2i 5885 . . . 4 (1...2) = (1...(1 + 1))
64preq2i 3673 . . . 4 {1, 2} = {1, (1 + 1)}
73, 5, 63eqtr4i 2208 . . 3 (1...2) = {1, 2}
87raleqi 2676 . 2 (∀𝑥 ∈ (1...2)(𝐹𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ {1, 2} (𝐹𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵))
9 1ex 7951 . . 3 1 ∈ V
10 2ex 8989 . . 3 2 ∈ V
11 fveq2 5515 . . . 4 (𝑥 = 1 → (𝐹𝑥) = (𝐹‘1))
12 iftrue 3539 . . . 4 (𝑥 = 1 → if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
1311, 12eqeq12d 2192 . . 3 (𝑥 = 1 → ((𝐹𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝐹‘1) = 𝐴))
14 fveq2 5515 . . . 4 (𝑥 = 2 → (𝐹𝑥) = (𝐹‘2))
15 1ne2 9123 . . . . . . . 8 1 ≠ 2
1615necomi 2432 . . . . . . 7 2 ≠ 1
17 pm13.181 2429 . . . . . . 7 ((𝑥 = 2 ∧ 2 ≠ 1) → 𝑥 ≠ 1)
1816, 17mpan2 425 . . . . . 6 (𝑥 = 2 → 𝑥 ≠ 1)
1918neneqd 2368 . . . . 5 (𝑥 = 2 → ¬ 𝑥 = 1)
2019iffalsed 3544 . . . 4 (𝑥 = 2 → if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
2114, 20eqeq12d 2192 . . 3 (𝑥 = 2 → ((𝐹𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝐹‘2) = 𝐵))
229, 10, 13, 21ralpr 3647 . 2 (∀𝑥 ∈ {1, 2} (𝐹𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵) ↔ ((𝐹‘1) = 𝐴 ∧ (𝐹‘2) = 𝐵))
238, 22bitri 184 1 (∀𝑥 ∈ (1...2)(𝐹𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵) ↔ ((𝐹‘1) = 𝐴 ∧ (𝐹‘2) = 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  wne 2347  wral 2455  ifcif 3534  {cpr 3593  cfv 5216  (class class class)co 5874  1c1 7811   + caddc 7813  2c2 8968  cz 9251  ...cfz 10006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-inn 8918  df-2 8976  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527  df-fz 10007
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator