Theorem rexralbidv 2576

Description: Formula-building rule for restricted quantifiers (deduction form). (Contributed by NM, 28-Jan-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
2ralbidv.1	⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))

Assertion

Ref	Expression
rexralbidv	⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜓 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜒))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥, 𝑦)   𝜒(𝑥, 𝑦)   𝐴(𝑥, 𝑦)   𝐵(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem rexralbidv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2ralbidv.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
2	1	ralbidv 2550	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜓 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜒))
3	2	rexbidv 2551	1 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜓 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜒))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105  ∀wral 2528  ∃wrex 2529

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-ial 1587

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-ral 2533  df-rex 2534

This theorem is used by:  caucvgpr  8050  caucvgprpr  8080  caucvgsrlemgt1  8163  caucvgsrlemoffres  8168  axcaucvglemres  8267  cvg1nlemres  11767  rexfiuz  11771  resqrexlemgt0  11802  resqrexlemoverl  11803  resqrexlemglsq  11804  resqrexlemsqa  11806  resqrexlemex  11807  cau3lem  11897  caubnd2  11900  climi  12072  2clim  12086  ennnfonelemim  13367  mplelbascoe  15174  lmcvg  15409  lmss  15438  txlm  15471  metcnpi  15707  metcnpi2  15708  elcncf  15765  cncfi  15770  limcimo  15857  cnplimclemr  15861  limccoap  15870