Theorem rexralbidv 2576

Description: Formula-building rule for restricted quantifiers (deduction form). (Contributed by NM, 28-Jan-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
2ralbidv.1	⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))

Assertion

Ref	Expression
rexralbidv	⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜓 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜒))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥,𝑦)   𝜒(𝑥,𝑦)   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem rexralbidv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2ralbidv.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
2	1	ralbidv 2550	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜓 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜒))
3	2	rexbidv 2551	1 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜓 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜒))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105  ∀wral 2528  ∃wrex 2529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-ial 1587

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-ral 2533  df-rex 2534

This theorem is referenced by:  caucvgpr  8039  caucvgprpr  8069  caucvgsrlemgt1  8152  caucvgsrlemoffres  8157  axcaucvglemres  8256  cvg1nlemres  11729  rexfiuz  11733  resqrexlemgt0  11764  resqrexlemoverl  11765  resqrexlemglsq  11766  resqrexlemsqa  11768  resqrexlemex  11769  cau3lem  11858  caubnd2  11861  climi  12031  2clim  12045  ennnfonelemim  13293  mplelbascoe  15006  lmcvg  15241  lmss  15270  txlm  15303  metcnpi  15539  metcnpi2  15540  elcncf  15597  cncfi  15602  limcimo  15689  cnplimclemr  15693  limccoap  15702