Theorem rexralbidv 2559

Description: Formula-building rule for restricted quantifiers (deduction form). (Contributed by NM, 28-Jan-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
2ralbidv.1	⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))

Assertion

Ref	Expression
rexralbidv	⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜓 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜒))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥,𝑦)   𝜒(𝑥,𝑦)   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem rexralbidv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2ralbidv.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
2	1	ralbidv 2533	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜓 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜒))
3	2	rexbidv 2534	1 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜓 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜒))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105  ∀wral 2511  ∃wrex 2512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1496  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-ial 1583

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1510  df-ral 2516  df-rex 2517

This theorem is referenced by:  caucvgpr  7945  caucvgprpr  7975  caucvgsrlemgt1  8058  caucvgsrlemoffres  8063  axcaucvglemres  8162  cvg1nlemres  11608  rexfiuz  11612  resqrexlemgt0  11643  resqrexlemoverl  11644  resqrexlemglsq  11645  resqrexlemsqa  11647  resqrexlemex  11648  cau3lem  11737  caubnd2  11740  climi  11910  2clim  11924  ennnfonelemim  13108  mplelbascoe  14776  lmcvg  15011  lmss  15040  txlm  15073  metcnpi  15309  metcnpi2  15310  elcncf  15367  cncfi  15372  limcimo  15459  cnplimclemr  15463  limccoap  15472