ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrexlemex GIF version

Theorem resqrexlemex 10354
Description: Lemma for resqrex 10355. Existence of square root given a sequence which converges to the square root. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 27-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}), ℝ+)
resqrexlemex.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
resqrexlemex (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 ≤ 𝑥 ∧ (𝑥↑2) = 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑦,𝐹,𝑧   𝜑,𝑧,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem resqrexlemex
Dummy variables 𝑟 𝑛 𝑒 𝑎 𝑏 𝑐 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resqrexlemex.seq . . 3 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}), ℝ+)
2 resqrexlemex.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 resqrexlemex.agt0 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
41, 2, 3resqrexlemcvg 10348 . 2 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)))
5 simprl 498 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)))) → 𝑟 ∈ ℝ)
62adantr 270 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
73adantr 270 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)))) → 0 ≤ 𝐴)
8 simprr 499 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)))) → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)))
9 fveq2 5268 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑐 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑐))
109breq1d 3830 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑐 → ((𝐹𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ↔ (𝐹𝑐) < (𝑟 + 𝑒)))
119oveq1d 5628 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑐 → ((𝐹𝑘) + 𝑒) = ((𝐹𝑐) + 𝑒))
1211breq2d 3832 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑐 → (𝑟 < ((𝐹𝑘) + 𝑒) ↔ 𝑟 < ((𝐹𝑐) + 𝑒)))
1310, 12anbi12d 457 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑐 → (((𝐹𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)) ↔ ((𝐹𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑐) + 𝑒))))
1413cbvralv 2586 . . . . . . . . 9 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)) ↔ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑐) + 𝑒)))
1514rexbii 2381 . . . . . . . 8 (∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑐) + 𝑒)))
16 fveq2 5268 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑏 → (ℤ𝑛) = (ℤ𝑏))
1716raleqdv 2564 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑏 → (∀𝑐 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑐) + 𝑒)) ↔ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑐) + 𝑒))))
1817cbvrexv 2587 . . . . . . . 8 (∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑐) + 𝑒)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑐) + 𝑒)))
1915, 18bitri 182 . . . . . . 7 (∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑐) + 𝑒)))
2019ralbii 2380 . . . . . 6 (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑐) + 𝑒)))
21 oveq2 5621 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 𝑎 → (𝑟 + 𝑒) = (𝑟 + 𝑎))
2221breq2d 3832 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑎 → ((𝐹𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ↔ (𝐹𝑐) < (𝑟 + 𝑎)))
23 oveq2 5621 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 𝑎 → ((𝐹𝑐) + 𝑒) = ((𝐹𝑐) + 𝑎))
2423breq2d 3832 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑎 → (𝑟 < ((𝐹𝑐) + 𝑒) ↔ 𝑟 < ((𝐹𝑐) + 𝑎)))
2522, 24anbi12d 457 . . . . . . . 8 (𝑒 = 𝑎 → (((𝐹𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑐) + 𝑒)) ↔ ((𝐹𝑐) < (𝑟 + 𝑎) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑐) + 𝑎))))
2625rexralbidv 2400 . . . . . . 7 (𝑒 = 𝑎 → (∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑐) + 𝑒)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑐) < (𝑟 + 𝑎) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑐) + 𝑎))))
2726cbvralv 2586 . . . . . 6 (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑐) + 𝑒)) ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑐) < (𝑟 + 𝑎) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑐) + 𝑎)))
2820, 27bitri 182 . . . . 5 (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)) ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑐) < (𝑟 + 𝑎) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑐) + 𝑎)))
298, 28sylib 120 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)))) → ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑐) < (𝑟 + 𝑎) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑐) + 𝑎)))
301, 6, 7, 5, 29resqrexlemgt0 10349 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)))) → 0 ≤ 𝑟)
311, 6, 7, 5, 8resqrexlemsqa 10353 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)))) → (𝑟↑2) = 𝐴)
32 breq2 3824 . . . . 5 (𝑥 = 𝑟 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑟))
33 oveq1 5620 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑟 → (𝑥↑2) = (𝑟↑2))
3433eqeq1d 2093 . . . . 5 (𝑥 = 𝑟 → ((𝑥↑2) = 𝐴 ↔ (𝑟↑2) = 𝐴))
3532, 34anbi12d 457 . . . 4 (𝑥 = 𝑟 → ((0 ≤ 𝑥 ∧ (𝑥↑2) = 𝐴) ↔ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟↑2) = 𝐴)))
3635rspcev 2715 . . 3 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟↑2) = 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 ≤ 𝑥 ∧ (𝑥↑2) = 𝐴))
375, 30, 31, 36syl12anc 1170 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 ≤ 𝑥 ∧ (𝑥↑2) = 𝐴))
384, 37rexlimddv 2489 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 ≤ 𝑥 ∧ (𝑥↑2) = 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1287  wcel 1436  wral 2355  wrex 2356  {csn 3431   class class class wbr 3820   × cxp 4409  cfv 4981  (class class class)co 5613  cmpt2 5615  cr 7293  0cc0 7294  1c1 7295   + caddc 7297   < clt 7466  cle 7467   / cdiv 8078  cn 8357  2c2 8407  cuz 8951  +crp 9066  seqcseq 9779  cexp 9853
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3929  ax-sep 3932  ax-nul 3940  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234  ax-setind 4326  ax-iinf 4376  ax-cnex 7380  ax-resscn 7381  ax-1cn 7382  ax-1re 7383  ax-icn 7384  ax-addcl 7385  ax-addrcl 7386  ax-mulcl 7387  ax-mulrcl 7388  ax-addcom 7389  ax-mulcom 7390  ax-addass 7391  ax-mulass 7392  ax-distr 7393  ax-i2m1 7394  ax-0lt1 7395  ax-1rid 7396  ax-0id 7397  ax-rnegex 7398  ax-precex 7399  ax-cnre 7400  ax-pre-ltirr 7401  ax-pre-ltwlin 7402  ax-pre-lttrn 7403  ax-pre-apti 7404  ax-pre-ltadd 7405  ax-pre-mulgt0 7406  ax-pre-mulext 7407  ax-arch 7408  ax-caucvg 7409
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-if 3380  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-int 3672  df-iun 3715  df-br 3821  df-opab 3875  df-mpt 3876  df-tr 3912  df-id 4094  df-po 4097  df-iso 4098  df-iord 4167  df-on 4169  df-ilim 4170  df-suc 4172  df-iom 4379  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-rn 4422  df-res 4423  df-ima 4424  df-iota 4946  df-fun 4983  df-fn 4984  df-f 4985  df-f1 4986  df-fo 4987  df-f1o 4988  df-fv 4989  df-riota 5569  df-ov 5616  df-oprab 5617  df-mpt2 5618  df-1st 5868  df-2nd 5869  df-recs 6024  df-frec 6110  df-pnf 7468  df-mnf 7469  df-xr 7470  df-ltxr 7471  df-le 7472  df-sub 7599  df-neg 7600  df-reap 7993  df-ap 8000  df-div 8079  df-inn 8358  df-2 8416  df-3 8417  df-4 8418  df-n0 8607  df-z 8684  df-uz 8952  df-rp 9067  df-iseq 9780  df-iexp 9854
This theorem is referenced by:  resqrex  10355
  Copyright terms: Public domain W3C validator