Theorem resqrexlemex 10829

Description: Lemma for resqrex 10830. Existence of square root given a sequence which converges to the square root. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 27-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemex	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 ≤ 𝑥 ∧ (𝑥↑2) = 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑦,𝐹,𝑧   𝜑,𝑧,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem resqrexlemex

Dummy variables 𝑟 𝑛 𝑒 𝑎 𝑏 𝑐 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemex.seq	. . 3 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
2		resqrexlemex.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		resqrexlemex.agt0	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4	1, 2, 3	resqrexlemcvg 10823	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)))
5		simprl 521	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)))) → 𝑟 ∈ ℝ)
6	2	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
7	3	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)))) → 0 ≤ 𝐴)
8		simprr 522	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)))) → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)))
9		fveq2 5429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑐 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑐))
10	9	breq1d 3947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑐 → ((𝐹‘𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ↔ (𝐹‘𝑐) < (𝑟 + 𝑒)))
11	9	oveq1d 5797	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑐 → ((𝐹‘𝑘) + 𝑒) = ((𝐹‘𝑐) + 𝑒))
12	11	breq2d 3949	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑐 → (𝑟 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒) ↔ 𝑟 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑒)))
13	10, 12	anbi12d 465	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑐 → (((𝐹‘𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)) ↔ ((𝐹‘𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑒))))
14	13	cbvralv 2657	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)) ↔ ∀𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑒)))
15	14	rexbii 2445	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑒)))
16		fveq2 5429	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑏 → (ℤ≥‘𝑛) = (ℤ≥‘𝑏))
17	16	raleqdv 2635	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑏 → (∀𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑒)) ↔ ∀𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝑏)((𝐹‘𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑒))))
18	17	cbvrexv 2658	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑒)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝑏)((𝐹‘𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑒)))
19	15, 18	bitri 183	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝑏)((𝐹‘𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑒)))
20	19	ralbii 2444	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝑏)((𝐹‘𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑒)))
21		oveq2 5790	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = 𝑎 → (𝑟 + 𝑒) = (𝑟 + 𝑎))
22	21	breq2d 3949	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = 𝑎 → ((𝐹‘𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ↔ (𝐹‘𝑐) < (𝑟 + 𝑎)))
23		oveq2 5790	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = 𝑎 → ((𝐹‘𝑐) + 𝑒) = ((𝐹‘𝑐) + 𝑎))
24	23	breq2d 3949	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = 𝑎 → (𝑟 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑒) ↔ 𝑟 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑎)))
25	22, 24	anbi12d 465	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = 𝑎 → (((𝐹‘𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑒)) ↔ ((𝐹‘𝑐) < (𝑟 + 𝑎) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑎))))
26	25	rexralbidv 2464	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 = 𝑎 → (∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝑏)((𝐹‘𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑒)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝑏)((𝐹‘𝑐) < (𝑟 + 𝑎) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑎))))
27	26	cbvralv 2657	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝑏)((𝐹‘𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑒)) ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝑏)((𝐹‘𝑐) < (𝑟 + 𝑎) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑎)))
28	20, 27	bitri 183	. . . . 5 ⊢ (∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)) ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝑏)((𝐹‘𝑐) < (𝑟 + 𝑎) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑎)))
29	8, 28	sylib 121	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)))) → ∀𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝑏)((𝐹‘𝑐) < (𝑟 + 𝑎) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑎)))
30	1, 6, 7, 5, 29	resqrexlemgt0 10824	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)))) → 0 ≤ 𝑟)
31	1, 6, 7, 5, 8	resqrexlemsqa 10828	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)))) → (𝑟↑2) = 𝐴)
32		breq2 3941	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑟))
33		oveq1 5789	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → (𝑥↑2) = (𝑟↑2))
34	33	eqeq1d 2149	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → ((𝑥↑2) = 𝐴 ↔ (𝑟↑2) = 𝐴))
35	32, 34	anbi12d 465	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → ((0 ≤ 𝑥 ∧ (𝑥↑2) = 𝐴) ↔ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟↑2) = 𝐴)))
36	35	rspcev 2793	. . 3 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟↑2) = 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 ≤ 𝑥 ∧ (𝑥↑2) = 𝐴))
37	5, 30, 31, 36	syl12anc 1215	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 ≤ 𝑥 ∧ (𝑥↑2) = 𝐴))
38	4, 37	rexlimddv 2557	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 ≤ 𝑥 ∧ (𝑥↑2) = 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ∀wral 2417  ∃wrex 2418  {csn 3532   class class class wbr 3937   × cxp 4545  ‘cfv 5131  (class class class)co 5782   ∈ cmpo 5784  ℝcr 7643  0cc0 7644  1c1 7645   + caddc 7647   < clt 7824   ≤ cle 7825   / cdiv 8456  ℕcn 8744  2c2 8795  ℤ_≥cuz 9350  ℝ⁺crp 9470  seqcseq 10249  ↑cexp 10323

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763  ax-caucvg 7764

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-frec 6296  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-rp 9471  df-seqfrec 10250  df-exp 10324

This theorem is referenced by:  resqrex  10830