Theorem resqrexlemex 11769

Description: Lemma for resqrex 11770. Existence of square root given a sequence which converges to the square root. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 27-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemex	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 ≤ 𝑥 ∧ (𝑥↑2) = 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑦,𝐹,𝑧   𝜑,𝑧,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem resqrexlemex

Dummy variables 𝑟 𝑛 𝑒 𝑎 𝑏 𝑐 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemex.seq	. . 3 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
2		resqrexlemex.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		resqrexlemex.agt0	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4	1, 2, 3	resqrexlemcvg 11763	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)))
5		simprl 535	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)))) → 𝑟 ∈ ℝ)
6	2	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
7	3	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)))) → 0 ≤ 𝐴)
8		simprr 537	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)))) → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)))
9		fveq2 5690	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑐 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑐))
10	9	breq1d 4135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑐 → ((𝐹‘𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ↔ (𝐹‘𝑐) < (𝑟 + 𝑒)))
11	9	oveq1d 6090	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑐 → ((𝐹‘𝑘) + 𝑒) = ((𝐹‘𝑐) + 𝑒))
12	11	breq2d 4137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑐 → (𝑟 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒) ↔ 𝑟 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑒)))
13	10, 12	anbi12d 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑐 → (((𝐹‘𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)) ↔ ((𝐹‘𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑒))))
14	13	cbvralv 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)) ↔ ∀𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑒)))
15	14	rexbii 2557	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑒)))
16		fveq2 5690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑏 → (ℤ≥‘𝑛) = (ℤ≥‘𝑏))
17	16	raleqdv 2755	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑏 → (∀𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑒)) ↔ ∀𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝑏)((𝐹‘𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑒))))
18	17	cbvrexv 2787	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑒)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝑏)((𝐹‘𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑒)))
19	15, 18	bitri 184	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝑏)((𝐹‘𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑒)))
20	19	ralbii 2556	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝑏)((𝐹‘𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑒)))
21		oveq2 6083	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = 𝑎 → (𝑟 + 𝑒) = (𝑟 + 𝑎))
22	21	breq2d 4137	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = 𝑎 → ((𝐹‘𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ↔ (𝐹‘𝑐) < (𝑟 + 𝑎)))
23		oveq2 6083	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = 𝑎 → ((𝐹‘𝑐) + 𝑒) = ((𝐹‘𝑐) + 𝑎))
24	23	breq2d 4137	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = 𝑎 → (𝑟 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑒) ↔ 𝑟 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑎)))
25	22, 24	anbi12d 477	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = 𝑎 → (((𝐹‘𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑒)) ↔ ((𝐹‘𝑐) < (𝑟 + 𝑎) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑎))))
26	25	rexralbidv 2576	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 = 𝑎 → (∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝑏)((𝐹‘𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑒)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝑏)((𝐹‘𝑐) < (𝑟 + 𝑎) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑎))))
27	26	cbvralv 2786	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝑏)((𝐹‘𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑒)) ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝑏)((𝐹‘𝑐) < (𝑟 + 𝑎) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑎)))
28	20, 27	bitri 184	. . . . 5 ⊢ (∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)) ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝑏)((𝐹‘𝑐) < (𝑟 + 𝑎) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑎)))
29	8, 28	sylib 122	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)))) → ∀𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝑏)((𝐹‘𝑐) < (𝑟 + 𝑎) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑎)))
30	1, 6, 7, 5, 29	resqrexlemgt0 11764	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)))) → 0 ≤ 𝑟)
31	1, 6, 7, 5, 8	resqrexlemsqa 11768	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)))) → (𝑟↑2) = 𝐴)
32		breq2 4129	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑟))
33		oveq1 6082	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → (𝑥↑2) = (𝑟↑2))
34	33	eqeq1d 2247	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → ((𝑥↑2) = 𝐴 ↔ (𝑟↑2) = 𝐴))
35	32, 34	anbi12d 477	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → ((0 ≤ 𝑥 ∧ (𝑥↑2) = 𝐴) ↔ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟↑2) = 𝐴)))
36	35	rspcev 2929	. . 3 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟↑2) = 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 ≤ 𝑥 ∧ (𝑥↑2) = 𝐴))
37	5, 30, 31, 36	syl12anc 1276	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 ≤ 𝑥 ∧ (𝑥↑2) = 𝐴))
38	4, 37	rexlimddv 2673	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 ≤ 𝑥 ∧ (𝑥↑2) = 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529  {csn 3705   class class class wbr 4125   × cxp 4767  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075   ∈ cmpo 6077  ℝcr 8168  0cc0 8169  1c1 8170   + caddc 8172   < clt 8350   ≤ cle 8351   / cdiv 8992  ℕcn 9283  2c2 9334  ℤ_≥cuz 9900  ℝ⁺crp 10033  seqcseq 10862  ↑cexp 10953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-rp 10034  df-seqfrec 10863  df-exp 10954

This theorem is referenced by:  resqrex  11770