Theorem resqrexlemex 11207

Description: Lemma for resqrex 11208. Existence of square root given a sequence which converges to the square root. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 27-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemex	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 ≤ 𝑥 ∧ (𝑥↑2) = 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑦,𝐹,𝑧   𝜑,𝑧,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem resqrexlemex

Dummy variables 𝑟 𝑛 𝑒 𝑎 𝑏 𝑐 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemex.seq	. . 3 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
2		resqrexlemex.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		resqrexlemex.agt0	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4	1, 2, 3	resqrexlemcvg 11201	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)))
5		simprl 529	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)))) → 𝑟 ∈ ℝ)
6	2	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
7	3	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)))) → 0 ≤ 𝐴)
8		simprr 531	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)))) → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)))
9		fveq2 5561	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑐 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑐))
10	9	breq1d 4044	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑐 → ((𝐹‘𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ↔ (𝐹‘𝑐) < (𝑟 + 𝑒)))
11	9	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑐 → ((𝐹‘𝑘) + 𝑒) = ((𝐹‘𝑐) + 𝑒))
12	11	breq2d 4046	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑐 → (𝑟 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒) ↔ 𝑟 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑒)))
13	10, 12	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑐 → (((𝐹‘𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)) ↔ ((𝐹‘𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑒))))
14	13	cbvralv 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)) ↔ ∀𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑒)))
15	14	rexbii 2504	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑒)))
16		fveq2 5561	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑏 → (ℤ≥‘𝑛) = (ℤ≥‘𝑏))
17	16	raleqdv 2699	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑏 → (∀𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑒)) ↔ ∀𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝑏)((𝐹‘𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑒))))
18	17	cbvrexv 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑒)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝑏)((𝐹‘𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑒)))
19	15, 18	bitri 184	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝑏)((𝐹‘𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑒)))
20	19	ralbii 2503	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝑏)((𝐹‘𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑒)))
21		oveq2 5933	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = 𝑎 → (𝑟 + 𝑒) = (𝑟 + 𝑎))
22	21	breq2d 4046	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = 𝑎 → ((𝐹‘𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ↔ (𝐹‘𝑐) < (𝑟 + 𝑎)))
23		oveq2 5933	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = 𝑎 → ((𝐹‘𝑐) + 𝑒) = ((𝐹‘𝑐) + 𝑎))
24	23	breq2d 4046	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = 𝑎 → (𝑟 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑒) ↔ 𝑟 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑎)))
25	22, 24	anbi12d 473	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = 𝑎 → (((𝐹‘𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑒)) ↔ ((𝐹‘𝑐) < (𝑟 + 𝑎) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑎))))
26	25	rexralbidv 2523	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 = 𝑎 → (∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝑏)((𝐹‘𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑒)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝑏)((𝐹‘𝑐) < (𝑟 + 𝑎) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑎))))
27	26	cbvralv 2729	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝑏)((𝐹‘𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑒)) ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝑏)((𝐹‘𝑐) < (𝑟 + 𝑎) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑎)))
28	20, 27	bitri 184	. . . . 5 ⊢ (∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)) ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝑏)((𝐹‘𝑐) < (𝑟 + 𝑎) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑎)))
29	8, 28	sylib 122	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)))) → ∀𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝑏)((𝐹‘𝑐) < (𝑟 + 𝑎) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑎)))
30	1, 6, 7, 5, 29	resqrexlemgt0 11202	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)))) → 0 ≤ 𝑟)
31	1, 6, 7, 5, 8	resqrexlemsqa 11206	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)))) → (𝑟↑2) = 𝐴)
32		breq2 4038	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑟))
33		oveq1 5932	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → (𝑥↑2) = (𝑟↑2))
34	33	eqeq1d 2205	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → ((𝑥↑2) = 𝐴 ↔ (𝑟↑2) = 𝐴))
35	32, 34	anbi12d 473	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → ((0 ≤ 𝑥 ∧ (𝑥↑2) = 𝐴) ↔ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟↑2) = 𝐴)))
36	35	rspcev 2868	. . 3 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟↑2) = 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 ≤ 𝑥 ∧ (𝑥↑2) = 𝐴))
37	5, 30, 31, 36	syl12anc 1247	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 ≤ 𝑥 ∧ (𝑥↑2) = 𝐴))
38	4, 37	rexlimddv 2619	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 ≤ 𝑥 ∧ (𝑥↑2) = 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  ∃wrex 2476  {csn 3623   class class class wbr 4034   × cxp 4662  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925   ∈ cmpo 5927  ℝcr 7895  0cc0 7896  1c1 7897   + caddc 7899   < clt 8078   ≤ cle 8079   / cdiv 8716  ℕcn 9007  2c2 9058  ℤ_≥cuz 9618  ℝ⁺crp 9745  seqcseq 10556  ↑cexp 10647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-rp 9746  df-seqfrec 10557  df-exp 10648

This theorem is referenced by:  resqrex  11208