ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrexlemex GIF version

Theorem resqrexlemex 11036
Description: Lemma for resqrex 11037. Existence of square root given a sequence which converges to the square root. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 27-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
resqrexlemex (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 ≤ 𝑥 ∧ (𝑥↑2) = 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑦,𝐹,𝑧   𝜑,𝑧,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem resqrexlemex
Dummy variables 𝑟 𝑛 𝑒 𝑎 𝑏 𝑐 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resqrexlemex.seq . . 3 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
2 resqrexlemex.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 resqrexlemex.agt0 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
41, 2, 3resqrexlemcvg 11030 . 2 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)))
5 simprl 529 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)))) → 𝑟 ∈ ℝ)
62adantr 276 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
73adantr 276 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)))) → 0 ≤ 𝐴)
8 simprr 531 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)))) → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)))
9 fveq2 5517 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑐 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑐))
109breq1d 4015 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑐 → ((𝐹𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ↔ (𝐹𝑐) < (𝑟 + 𝑒)))
119oveq1d 5892 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑐 → ((𝐹𝑘) + 𝑒) = ((𝐹𝑐) + 𝑒))
1211breq2d 4017 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑐 → (𝑟 < ((𝐹𝑘) + 𝑒) ↔ 𝑟 < ((𝐹𝑐) + 𝑒)))
1310, 12anbi12d 473 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑐 → (((𝐹𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)) ↔ ((𝐹𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑐) + 𝑒))))
1413cbvralv 2705 . . . . . . . . 9 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)) ↔ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑐) + 𝑒)))
1514rexbii 2484 . . . . . . . 8 (∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑐) + 𝑒)))
16 fveq2 5517 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑏 → (ℤ𝑛) = (ℤ𝑏))
1716raleqdv 2679 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑏 → (∀𝑐 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑐) + 𝑒)) ↔ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑐) + 𝑒))))
1817cbvrexv 2706 . . . . . . . 8 (∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑐) + 𝑒)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑐) + 𝑒)))
1915, 18bitri 184 . . . . . . 7 (∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑐) + 𝑒)))
2019ralbii 2483 . . . . . 6 (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑐) + 𝑒)))
21 oveq2 5885 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 𝑎 → (𝑟 + 𝑒) = (𝑟 + 𝑎))
2221breq2d 4017 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑎 → ((𝐹𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ↔ (𝐹𝑐) < (𝑟 + 𝑎)))
23 oveq2 5885 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 𝑎 → ((𝐹𝑐) + 𝑒) = ((𝐹𝑐) + 𝑎))
2423breq2d 4017 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑎 → (𝑟 < ((𝐹𝑐) + 𝑒) ↔ 𝑟 < ((𝐹𝑐) + 𝑎)))
2522, 24anbi12d 473 . . . . . . . 8 (𝑒 = 𝑎 → (((𝐹𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑐) + 𝑒)) ↔ ((𝐹𝑐) < (𝑟 + 𝑎) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑐) + 𝑎))))
2625rexralbidv 2503 . . . . . . 7 (𝑒 = 𝑎 → (∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑐) + 𝑒)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑐) < (𝑟 + 𝑎) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑐) + 𝑎))))
2726cbvralv 2705 . . . . . 6 (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑐) + 𝑒)) ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑐) < (𝑟 + 𝑎) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑐) + 𝑎)))
2820, 27bitri 184 . . . . 5 (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)) ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑐) < (𝑟 + 𝑎) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑐) + 𝑎)))
298, 28sylib 122 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)))) → ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑐) < (𝑟 + 𝑎) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑐) + 𝑎)))
301, 6, 7, 5, 29resqrexlemgt0 11031 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)))) → 0 ≤ 𝑟)
311, 6, 7, 5, 8resqrexlemsqa 11035 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)))) → (𝑟↑2) = 𝐴)
32 breq2 4009 . . . . 5 (𝑥 = 𝑟 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑟))
33 oveq1 5884 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑟 → (𝑥↑2) = (𝑟↑2))
3433eqeq1d 2186 . . . . 5 (𝑥 = 𝑟 → ((𝑥↑2) = 𝐴 ↔ (𝑟↑2) = 𝐴))
3532, 34anbi12d 473 . . . 4 (𝑥 = 𝑟 → ((0 ≤ 𝑥 ∧ (𝑥↑2) = 𝐴) ↔ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟↑2) = 𝐴)))
3635rspcev 2843 . . 3 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟↑2) = 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 ≤ 𝑥 ∧ (𝑥↑2) = 𝐴))
375, 30, 31, 36syl12anc 1236 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 ≤ 𝑥 ∧ (𝑥↑2) = 𝐴))
384, 37rexlimddv 2599 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 ≤ 𝑥 ∧ (𝑥↑2) = 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  {csn 3594   class class class wbr 4005   × cxp 4626  cfv 5218  (class class class)co 5877  cmpo 5879  cr 7812  0cc0 7813  1c1 7814   + caddc 7816   < clt 7994  cle 7995   / cdiv 8631  cn 8921  2c2 8972  cuz 9530  +crp 9655  seqcseq 10447  cexp 10521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-rp 9656  df-seqfrec 10448  df-exp 10522
This theorem is referenced by:  resqrex  11037
  Copyright terms: Public domain W3C validator