caucvgsrlemgt1 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem caucvgsrlemgt1 7862

Description: Lemma for caucvgsr 7869. A Cauchy sequence whose terms are greater than one converges. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jun-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
caucvgsr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:N⟶R)
caucvgsr.cau	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑛 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) <_R ((𝐹‘𝑘) +_R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (_Q‘[⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q )}, {𝑢 ∣ (_Q‘[⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ) <_Q 𝑢}⟩ +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ) ∧ (𝐹‘𝑘) <_R ((𝐹‘𝑛) +_R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (_Q‘[⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q )}, {𝑢 ∣ (_Q‘[⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ) <_Q 𝑢}⟩ +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))))
caucvgsrlemgt1.gt1	⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 1_R <_R (𝐹‘𝑚))

**Assertion**
Ref	Expression
caucvgsrlemgt1	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ R ∀𝑥 ∈ R (0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑖 ∈ N (𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐹‘𝑖) <_R (𝑦 +_R 𝑥) ∧ 𝑦 <_R ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥)))))

Distinct variable groups: 𝑗,𝐹,𝑘,𝑙,𝑢 𝑖,𝐹,𝑥,𝑗,𝑘 𝑚,𝐹,𝑛,𝑘 𝑛,𝑙,𝑢 𝑦,𝐹,𝑖,𝑗,𝑥 𝜑,𝑗,𝑘,𝑥 𝜑,𝑛 𝑘,𝑚,𝑛 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑦,𝑢,𝑖,𝑚,𝑙)

Proof of Theorem caucvgsrlemgt1 Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑤 𝑧 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgsr.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:N⟶R)
2		caucvgsr.cau	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑛 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) <_R ((𝐹‘𝑘) +_R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (_Q‘[⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q )}, {𝑢 ∣ (_Q‘[⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ) <_Q 𝑢}⟩ +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ) ∧ (𝐹‘𝑘) <_R ((𝐹‘𝑛) +_R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (_Q‘[⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q )}, {𝑢 ∣ (_Q‘[⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ) <_Q 𝑢}⟩ +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))))
3		caucvgsrlemgt1.gt1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 1_R <_R (𝐹‘𝑚))
4		eqid 2196	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R )) = (𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))
5	1, 2, 3, 4	caucvgsrlemf 7859	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R )):N⟶P)
6	1, 2, 3, 4	caucvgsrlemcau 7860	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑛 <_N 𝑘 → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑛)<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (_Q‘[⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q )}, {𝑢 ∣ (_Q‘[⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ) <_Q 𝑢}⟩) ∧ ((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑛) +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (_Q‘[⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q )}, {𝑢 ∣ (_Q‘[⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ) <_Q 𝑢}⟩))))
7	1, 2, 3, 4	caucvgsrlembound 7861	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 1_P<_P ((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑚))
8	5, 6, 7	caucvgprpr 7779	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ P ∀𝑏 ∈ P ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P 𝑏) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 𝑏))))
9		prsrcl 7851	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ P → [⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ∈ R)
10	9	ad2antrl 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ P ∧ ∀𝑏 ∈ P ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P 𝑏) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 𝑏))))) → [⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ∈ R)
11		oveq2 5930	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = (℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥) → (𝑎 +_P 𝑏) = (𝑎 +_P (℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥)))
12	11	breq2d 4045	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = (℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥) → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P 𝑏) ↔ ((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P (℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥))))
13		oveq2 5930	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = (℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥) → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 𝑏) = (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P (℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥)))
14	13	breq2d 4045	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = (℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥) → (𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 𝑏) ↔ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P (℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥))))
15	12, 14	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = (℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥) → ((((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P 𝑏) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 𝑏)) ↔ (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P (℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥)) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P (℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥)))))
16	15	imbi2d 230	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = (℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥) → ((𝑗 <_N 𝑘 → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P 𝑏) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 𝑏))) ↔ (𝑗 <_N 𝑘 → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P (℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥)) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P (℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥))))))
17	16	rexralbidv 2523	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = (℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥) → (∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P 𝑏) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 𝑏))) ↔ ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P (℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥)) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P (℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥))))))
18		simplrr 536	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ P ∧ ∀𝑏 ∈ P ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P 𝑏) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 𝑏))))) ∧ 𝑥 ∈ R) → ∀𝑏 ∈ P ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P 𝑏) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 𝑏))))
19	18	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ P ∧ ∀𝑏 ∈ P ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P 𝑏) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 𝑏))))) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 0_R <_R 𝑥) → ∀𝑏 ∈ P ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P 𝑏) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 𝑏))))
20		srpospr 7850	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ R ∧ 0_R <_R 𝑥) → ∃!𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥)
21		riotacl 5892	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃!𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥 → (℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥) ∈ P)
22	20, 21	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ R ∧ 0_R <_R 𝑥) → (℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥) ∈ P)
23	22	adantll 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ P ∧ ∀𝑏 ∈ P ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P 𝑏) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 𝑏))))) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 0_R <_R 𝑥) → (℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥) ∈ P)
24	17, 19, 23	rspcdva 2873	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ P ∧ ∀𝑏 ∈ P ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P 𝑏) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 𝑏))))) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 0_R <_R 𝑥) → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P (℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥)) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P (℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥)))))
25		nfv 1542	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
26		nfv 1542	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑎 ∈ P
27		nfcv 2339	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑗P
28		nfre1 2540	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑗∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P 𝑏) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 𝑏)))
29	27, 28	nfralya 2537	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑗∀𝑏 ∈ P ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P 𝑏) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 𝑏)))
30	26, 29	nfan 1579	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑎 ∈ P ∧ ∀𝑏 ∈ P ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P 𝑏) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 𝑏))))
31	25, 30	nfan 1579	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ (𝑎 ∈ P ∧ ∀𝑏 ∈ P ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P 𝑏) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 𝑏)))))
32		nfv 1542	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑥 ∈ R
33	31, 32	nfan 1579	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ P ∧ ∀𝑏 ∈ P ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P 𝑏) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 𝑏))))) ∧ 𝑥 ∈ R)
34		nfv 1542	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗0_R <_R 𝑥
35	33, 34	nfan 1579	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗(((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ P ∧ ∀𝑏 ∈ P ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P 𝑏) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 𝑏))))) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 0_R <_R 𝑥)
36		nfv 1542	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
37		nfv 1542	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑎 ∈ P
38		nfcv 2339	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘P
39		nfcv 2339	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑘N
40		nfra1 2528	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑘∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P 𝑏) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 𝑏)))
41	39, 40	nfrexya 2538	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P 𝑏) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 𝑏)))
42	38, 41	nfralya 2537	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘∀𝑏 ∈ P ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P 𝑏) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 𝑏)))
43	37, 42	nfan 1579	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑎 ∈ P ∧ ∀𝑏 ∈ P ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P 𝑏) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 𝑏))))
44	36, 43	nfan 1579	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ (𝑎 ∈ P ∧ ∀𝑏 ∈ P ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P 𝑏) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 𝑏)))))
45		nfv 1542	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑥 ∈ R
46	44, 45	nfan 1579	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ P ∧ ∀𝑏 ∈ P ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P 𝑏) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 𝑏))))) ∧ 𝑥 ∈ R)
47		nfv 1542	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘0_R <_R 𝑥
48	46, 47	nfan 1579	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ P ∧ ∀𝑏 ∈ P ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P 𝑏) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 𝑏))))) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 0_R <_R 𝑥)
49	5	ad4antr 494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ P ∧ ∀𝑏 ∈ P ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P 𝑏) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 𝑏))))) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 0_R <_R 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ N) → (𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R )):N⟶P)
50		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ P ∧ ∀𝑏 ∈ P ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P 𝑏) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 𝑏))))) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 0_R <_R 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ N) → 𝑘 ∈ N)
51	49, 50	ffvelcdmd 5698	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ P ∧ ∀𝑏 ∈ P ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P 𝑏) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 𝑏))))) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 0_R <_R 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ N) → ((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) ∈ P)
52		simplrl 535	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ P ∧ ∀𝑏 ∈ P ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P 𝑏) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 𝑏))))) ∧ 𝑥 ∈ R) → 𝑎 ∈ P)
53	52	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ P ∧ ∀𝑏 ∈ P ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P 𝑏) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 𝑏))))) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 0_R <_R 𝑥) → 𝑎 ∈ P)
54		addclpr 7604	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ P ∧ (℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥) ∈ P) → (𝑎 +_P (℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥)) ∈ P)
55	53, 23, 54	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ P ∧ ∀𝑏 ∈ P ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P 𝑏) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 𝑏))))) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 0_R <_R 𝑥) → (𝑎 +_P (℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥)) ∈ P)
56	55	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ P ∧ ∀𝑏 ∈ P ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P 𝑏) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 𝑏))))) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 0_R <_R 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ N) → (𝑎 +_P (℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥)) ∈ P)
57		prsrlt 7854	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) ∈ P ∧ (𝑎 +_P (℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥)) ∈ P) → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P (℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥)) ↔ [⟨(((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R <_R [⟨((𝑎 +_P (℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥)) +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))
58	51, 56, 57	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ P ∧ ∀𝑏 ∈ P ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P 𝑏) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 𝑏))))) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 0_R <_R 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ N) → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P (℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥)) ↔ [⟨(((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R <_R [⟨((𝑎 +_P (℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥)) +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))
59	1, 2, 3, 4	caucvgsrlemfv 7858	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ N) → [⟨(((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = (𝐹‘𝑘))
60	59	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ P ∧ ∀𝑏 ∈ P ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P 𝑏) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 𝑏))))) ∧ 𝑘 ∈ N) → [⟨(((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = (𝐹‘𝑘))
61	60	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ P ∧ ∀𝑏 ∈ P ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P 𝑏) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 𝑏))))) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑘 ∈ N) → [⟨(((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = (𝐹‘𝑘))
62	61	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ P ∧ ∀𝑏 ∈ P ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P 𝑏) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 𝑏))))) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 0_R <_R 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ N) → [⟨(((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = (𝐹‘𝑘))
63		prsradd 7853	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 ∈ P ∧ (℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥) ∈ P) → [⟨((𝑎 +_P (℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥)) +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = ([⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R +_R [⟨((℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥) +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))
64	53, 23, 63	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ P ∧ ∀𝑏 ∈ P ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P 𝑏) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 𝑏))))) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 0_R <_R 𝑥) → [⟨((𝑎 +_P (℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥)) +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = ([⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R +_R [⟨((℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥) +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))
65		prsrriota 7855	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ R ∧ 0_R <_R 𝑥) → [⟨((℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥) +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥)
66	65	oveq2d 5938	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ R ∧ 0_R <_R 𝑥) → ([⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R +_R [⟨((℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥) +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ) = ([⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R +_R 𝑥))
67	66	adantll 476	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ P ∧ ∀𝑏 ∈ P ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P 𝑏) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 𝑏))))) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 0_R <_R 𝑥) → ([⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R +_R [⟨((℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥) +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ) = ([⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R +_R 𝑥))
68	64, 67	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ P ∧ ∀𝑏 ∈ P ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P 𝑏) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 𝑏))))) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 0_R <_R 𝑥) → [⟨((𝑎 +_P (℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥)) +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = ([⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R +_R 𝑥))
69	68	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ P ∧ ∀𝑏 ∈ P ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P 𝑏) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 𝑏))))) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 0_R <_R 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ N) → [⟨((𝑎 +_P (℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥)) +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = ([⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R +_R 𝑥))
70	62, 69	breq12d 4046	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ P ∧ ∀𝑏 ∈ P ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P 𝑏) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 𝑏))))) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 0_R <_R 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ N) → ([⟨(((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R <_R [⟨((𝑎 +_P (℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥)) +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ↔ (𝐹‘𝑘) <_R ([⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R +_R 𝑥)))
71	58, 70	bitrd 188	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ P ∧ ∀𝑏 ∈ P ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P 𝑏) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 𝑏))))) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 0_R <_R 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ N) → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P (℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥)) ↔ (𝐹‘𝑘) <_R ([⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R +_R 𝑥)))
72	53	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ P ∧ ∀𝑏 ∈ P ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P 𝑏) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 𝑏))))) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 0_R <_R 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ N) → 𝑎 ∈ P)
73	23	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ P ∧ ∀𝑏 ∈ P ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P 𝑏) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 𝑏))))) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 0_R <_R 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ N) → (℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥) ∈ P)
74		addclpr 7604	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) ∈ P ∧ (℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥) ∈ P) → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P (℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥)) ∈ P)
75	51, 73, 74	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ P ∧ ∀𝑏 ∈ P ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P 𝑏) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 𝑏))))) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 0_R <_R 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ N) → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P (℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥)) ∈ P)
76		prsrlt 7854	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ P ∧ (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P (℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥)) ∈ P) → (𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P (℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥)) ↔ [⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R <_R [⟨((((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P (℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥)) +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))
77	72, 75, 76	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ P ∧ ∀𝑏 ∈ P ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P 𝑏) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 𝑏))))) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 0_R <_R 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ N) → (𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P (℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥)) ↔ [⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R <_R [⟨((((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P (℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥)) +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))
78		prsradd 7853	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) ∈ P ∧ (℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥) ∈ P) → [⟨((((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P (℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥)) +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = ([⟨(((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R +_R [⟨((℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥) +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))
79	51, 73, 78	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ P ∧ ∀𝑏 ∈ P ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P 𝑏) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 𝑏))))) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 0_R <_R 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ N) → [⟨((((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P (℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥)) +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = ([⟨(((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R +_R [⟨((℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥) +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))
80	79	breq2d 4045	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ P ∧ ∀𝑏 ∈ P ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P 𝑏) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 𝑏))))) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 0_R <_R 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ N) → ([⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R <_R [⟨((((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P (℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥)) +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ↔ [⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R <_R ([⟨(((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R +_R [⟨((℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥) +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R )))
81	65	adantll 476	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ P ∧ ∀𝑏 ∈ P ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P 𝑏) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 𝑏))))) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 0_R <_R 𝑥) → [⟨((℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥) +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥)
82	81	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ P ∧ ∀𝑏 ∈ P ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P 𝑏) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 𝑏))))) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 0_R <_R 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ N) → [⟨((℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥) +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥)
83	62, 82	oveq12d 5940	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ P ∧ ∀𝑏 ∈ P ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P 𝑏) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 𝑏))))) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 0_R <_R 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ N) → ([⟨(((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R +_R [⟨((℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥) +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ) = ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥))
84	83	breq2d 4045	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ P ∧ ∀𝑏 ∈ P ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P 𝑏) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 𝑏))))) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 0_R <_R 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ N) → ([⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R <_R ([⟨(((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R +_R [⟨((℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥) +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ) ↔ [⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥)))
85	77, 80, 84	3bitrd 214	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ P ∧ ∀𝑏 ∈ P ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P 𝑏) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 𝑏))))) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 0_R <_R 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ N) → (𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P (℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥)) ↔ [⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥)))
86	71, 85	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ P ∧ ∀𝑏 ∈ P ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P 𝑏) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 𝑏))))) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 0_R <_R 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ N) → ((((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P (℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥)) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P (℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥))) ↔ ((𝐹‘𝑘) <_R ([⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R +_R 𝑥) ∧ [⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥))))
87	86	imbi2d 230	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ P ∧ ∀𝑏 ∈ P ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P 𝑏) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 𝑏))))) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 0_R <_R 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ N) → ((𝑗 <_N 𝑘 → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P (℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥)) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P (℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥)))) ↔ (𝑗 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_R ([⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R +_R 𝑥) ∧ [⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥)))))
88	48, 87	ralbida 2491	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ P ∧ ∀𝑏 ∈ P ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P 𝑏) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 𝑏))))) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 0_R <_R 𝑥) → (∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P (℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥)) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P (℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥)))) ↔ ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_R ([⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R +_R 𝑥) ∧ [⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥)))))
89	35, 88	rexbid 2496	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ P ∧ ∀𝑏 ∈ P ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P 𝑏) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 𝑏))))) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 0_R <_R 𝑥) → (∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P (℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥)) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P (℩𝑐 ∈ P [⟨(𝑐 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R = 𝑥)))) ↔ ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_R ([⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R +_R 𝑥) ∧ [⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥)))))
90	24, 89	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ P ∧ ∀𝑏 ∈ P ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P 𝑏) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 𝑏))))) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 0_R <_R 𝑥) → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_R ([⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R +_R 𝑥) ∧ [⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥))))
91		breq2 4037	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑗 <_N 𝑘 ↔ 𝑗 <_N 𝑖))
92		fveq2 5558	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑖))
93	92	breq1d 4043	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹‘𝑘) <_R ([⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R +_R 𝑥) ↔ (𝐹‘𝑖) <_R ([⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R +_R 𝑥)))
94	92	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥) = ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥))
95	94	breq2d 4045	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ([⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥) ↔ [⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R <_R ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥)))
96	93, 95	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (((𝐹‘𝑘) <_R ([⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R +_R 𝑥) ∧ [⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥)) ↔ ((𝐹‘𝑖) <_R ([⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R +_R 𝑥) ∧ [⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R <_R ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥))))
97	91, 96	imbi12d 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝑗 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_R ([⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R +_R 𝑥) ∧ [⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥))) ↔ (𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐹‘𝑖) <_R ([⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R +_R 𝑥) ∧ [⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R <_R ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥)))))
98	97	cbvralv 2729	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_R ([⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R +_R 𝑥) ∧ [⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥))) ↔ ∀𝑖 ∈ N (𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐹‘𝑖) <_R ([⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R +_R 𝑥) ∧ [⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R <_R ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥))))
99	98	rexbii 2504	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_R ([⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R +_R 𝑥) ∧ [⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥))) ↔ ∃𝑗 ∈ N ∀𝑖 ∈ N (𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐹‘𝑖) <_R ([⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R +_R 𝑥) ∧ [⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R <_R ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥))))
100	90, 99	sylib 122	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ P ∧ ∀𝑏 ∈ P ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P 𝑏) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 𝑏))))) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 0_R <_R 𝑥) → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑖 ∈ N (𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐹‘𝑖) <_R ([⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R +_R 𝑥) ∧ [⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R <_R ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥))))
101	100	ex 115	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ P ∧ ∀𝑏 ∈ P ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P 𝑏) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 𝑏))))) ∧ 𝑥 ∈ R) → (0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑖 ∈ N (𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐹‘𝑖) <_R ([⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R +_R 𝑥) ∧ [⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R <_R ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥)))))
102	101	ralrimiva 2570	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ P ∧ ∀𝑏 ∈ P ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P 𝑏) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 𝑏))))) → ∀𝑥 ∈ R (0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑖 ∈ N (𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐹‘𝑖) <_R ([⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R +_R 𝑥) ∧ [⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R <_R ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥)))))
103		oveq1 5929	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = [⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R → (𝑦 +_R 𝑥) = ([⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R +_R 𝑥))
104	103	breq2d 4045	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = [⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R → ((𝐹‘𝑖) <_R (𝑦 +_R 𝑥) ↔ (𝐹‘𝑖) <_R ([⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R +_R 𝑥)))
105		breq1 4036	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = [⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R → (𝑦 <_R ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥) ↔ [⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R <_R ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥)))
106	104, 105	anbi12d 473	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = [⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R → (((𝐹‘𝑖) <_R (𝑦 +_R 𝑥) ∧ 𝑦 <_R ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥)) ↔ ((𝐹‘𝑖) <_R ([⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R +_R 𝑥) ∧ [⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R <_R ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥))))
107	106	imbi2d 230	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = [⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R → ((𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐹‘𝑖) <_R (𝑦 +_R 𝑥) ∧ 𝑦 <_R ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥))) ↔ (𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐹‘𝑖) <_R ([⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R +_R 𝑥) ∧ [⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R <_R ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥)))))
108	107	rexralbidv 2523	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = [⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R → (∃𝑗 ∈ N ∀𝑖 ∈ N (𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐹‘𝑖) <_R (𝑦 +_R 𝑥) ∧ 𝑦 <_R ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥))) ↔ ∃𝑗 ∈ N ∀𝑖 ∈ N (𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐹‘𝑖) <_R ([⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R +_R 𝑥) ∧ [⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R <_R ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥)))))
109	108	imbi2d 230	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = [⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R → ((0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑖 ∈ N (𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐹‘𝑖) <_R (𝑦 +_R 𝑥) ∧ 𝑦 <_R ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥)))) ↔ (0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑖 ∈ N (𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐹‘𝑖) <_R ([⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R +_R 𝑥) ∧ [⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R <_R ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥))))))
110	109	ralbidv 2497	. . . 4 ⊢ (𝑦 = [⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R → (∀𝑥 ∈ R (0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑖 ∈ N (𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐹‘𝑖) <_R (𝑦 +_R 𝑥) ∧ 𝑦 <_R ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥)))) ↔ ∀𝑥 ∈ R (0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑖 ∈ N (𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐹‘𝑖) <_R ([⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R +_R 𝑥) ∧ [⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R <_R ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥))))))
111	110	rspcev 2868	. . 3 ⊢ (([⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ∈ R ∧ ∀𝑥 ∈ R (0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑖 ∈ N (𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐹‘𝑖) <_R ([⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R +_R 𝑥) ∧ [⟨(𝑎 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R <_R ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥))))) → ∃𝑦 ∈ R ∀𝑥 ∈ R (0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑖 ∈ N (𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐹‘𝑖) <_R (𝑦 +_R 𝑥) ∧ 𝑦 <_R ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥)))))
112	10, 102, 111	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ P ∧ ∀𝑏 ∈ P ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘)<_P (𝑎 +_P 𝑏) ∧ 𝑎<_P (((𝑧 ∈ N ↦ (℩𝑤 ∈ P (𝐹‘𝑧) = [⟨(𝑤 +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))‘𝑘) +_P 𝑏))))) → ∃𝑦 ∈ R ∀𝑥 ∈ R (0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑖 ∈ N (𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐹‘𝑖) <_R (𝑦 +_R 𝑥) ∧ 𝑦 <_R ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥)))))
113	8, 112	rexlimddv 2619	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ R ∀𝑥 ∈ R (0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑖 ∈ N (𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐹‘𝑖) <_R (𝑦 +_R 𝑥) ∧ 𝑦 <_R ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥)))))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 = wceq 1364 ∈ wcel 2167 {cab 2182 ∀wral 2475 ∃wrex 2476 ∃!wreu 2477 ⟨cop 3625 class class class wbr 4033 ↦ cmpt 4094 ⟶wf 5254 ‘cfv 5258 ℩crio 5876 (class class class)co 5922 1_oc1o 6467 [cec 6590 Ncnpi 7339 <_N clti 7342 ~_Q ceq 7346 *_Qcrq 7351 <_Q cltq 7352 Pcnp 7358 1_Pc1p 7359 +_P cpp 7360 <_P cltp 7362 ~_R cer 7363 Rcnr 7364 0_Rc0r 7365 1_Rc1r 7366 +_R cplr 7368 <_R cltr 7370

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1461 ax-7 1462 ax-gen 1463 ax-ie1 1507 ax-ie2 1508 ax-8 1518 ax-10 1519 ax-11 1520 ax-i12 1521 ax-bndl 1523 ax-4 1524 ax-17 1540 ax-i9 1544 ax-ial 1548 ax-i5r 1549 ax-13 2169 ax-14 2170 ax-ext 2178 ax-coll 4148 ax-sep 4151 ax-nul 4159 ax-pow 4207 ax-pr 4242 ax-un 4468 ax-setind 4573 ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1475 df-sb 1777 df-eu 2048 df-mo 2049 df-clab 2183 df-cleq 2189 df-clel 2192 df-nfc 2328 df-ne 2368 df-ral 2480 df-rex 2481 df-reu 2482 df-rmo 2483 df-rab 2484 df-v 2765 df-sbc 2990 df-csb 3085 df-dif 3159 df-un 3161 df-in 3163 df-ss 3170 df-nul 3451 df-pw 3607 df-sn 3628 df-pr 3629 df-op 3631 df-uni 3840 df-int 3875 df-iun 3918 df-br 4034 df-opab 4095 df-mpt 4096 df-tr 4132 df-eprel 4324 df-id 4328 df-po 4331 df-iso 4332 df-iord 4401 df-on 4403 df-suc 4406 df-iom 4627 df-xp 4669 df-rel 4670 df-cnv 4671 df-co 4672 df-dm 4673 df-rn 4674 df-res 4675 df-ima 4676 df-iota 5219 df-fun 5260 df-fn 5261 df-f 5262 df-f1 5263 df-fo 5264 df-f1o 5265 df-fv 5266 df-riota 5877 df-ov 5925 df-oprab 5926 df-mpo 5927 df-1st 6198 df-2nd 6199 df-recs 6363 df-irdg 6428 df-1o 6474 df-2o 6475 df-oadd 6478 df-omul 6479 df-er 6592 df-ec 6594 df-qs 6598 df-ni 7371 df-pli 7372 df-mi 7373 df-lti 7374 df-plpq 7411 df-mpq 7412 df-enq 7414 df-nqqs 7415 df-plqqs 7416 df-mqqs 7417 df-1nqqs 7418 df-rq 7419 df-ltnqqs 7420 df-enq0 7491 df-nq0 7492 df-0nq0 7493 df-plq0 7494 df-mq0 7495 df-inp 7533 df-i1p 7534 df-iplp 7535 df-iltp 7537 df-enr 7793 df-nr 7794 df-plr 7795 df-ltr 7797 df-0r 7798 df-1r 7799

This theorem is referenced by: caucvgsrlemoffres 7867

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