Theorem caucvgsrlemoffres 7741

Description: Lemma for caucvgsr 7743. Offsetting the values of the sequence so they are greater than one. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgsr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:N⟶R)
caucvgsr.cau	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑛 <N 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) <R ((𝐹‘𝑘) +R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∧ (𝐹‘𝑘) <R ((𝐹‘𝑛) +R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ))))
caucvgsrlembnd.bnd	⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 𝐴 <R (𝐹‘𝑚))
caucvgsrlembnd.offset	⊢ 𝐺 = (𝑎 ∈ N ↦ (((𝐹‘𝑎) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))

Assertion

Ref	Expression
caucvgsrlemoffres	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ R ∀𝑥 ∈ R (0R <R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <R (𝑦 +R 𝑥) ∧ 𝑦 <R ((𝐹‘𝑘) +R 𝑥)))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑘   𝑥,𝐴,𝑗,𝑘   𝐴,𝑚,𝑘   𝑦,𝐴,𝑗,𝑘,𝑥   𝐹,𝑎,𝑘   𝑦,𝐹   𝑥,𝐺,𝑗,𝑘   𝐺,𝑙,𝑢,𝑗,𝑘   𝑚,𝐺,𝑛,𝑘   𝑛,𝑙,𝑢   𝑛,𝑎,𝜑,𝑘   𝜑,𝑥,𝑗   𝜑,𝑚,𝑛,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑢,𝑙)   𝐴(𝑢,𝑛,𝑙)   𝐹(𝑥,𝑢,𝑗,𝑚,𝑛,𝑙)   𝐺(𝑦,𝑎)

Proof of Theorem caucvgsrlemoffres

Dummy variables 𝑖 𝑓 𝑔 ℎ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgsr.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:N⟶R)
2		caucvgsr.cau	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑛 <N 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) <R ((𝐹‘𝑘) +R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∧ (𝐹‘𝑘) <R ((𝐹‘𝑛) +R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ))))
3		caucvgsrlembnd.bnd	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 𝐴 <R (𝐹‘𝑚))
4		caucvgsrlembnd.offset	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑎 ∈ N ↦ (((𝐹‘𝑎) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))
5	1, 2, 3, 4	caucvgsrlemofff 7738	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:N⟶R)
6	1, 2, 3, 4	caucvgsrlemoffcau 7739	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑛 <N 𝑘 → ((𝐺‘𝑛) <R ((𝐺‘𝑘) +R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∧ (𝐺‘𝑘) <R ((𝐺‘𝑛) +R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ))))
7	1, 2, 3, 4	caucvgsrlemoffgt1 7740	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 1R <R (𝐺‘𝑚))
8	5, 6, 7	caucvgsrlemgt1 7736	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ R ∀𝑥 ∈ R (0R <R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑖 ∈ N (𝑗 <N 𝑖 → ((𝐺‘𝑖) <R (𝑧 +R 𝑥) ∧ 𝑧 <R ((𝐺‘𝑖) +R 𝑥)))))
9		simprl 521	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ R ∧ ∀𝑥 ∈ R (0R <R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑖 ∈ N (𝑗 <N 𝑖 → ((𝐺‘𝑖) <R (𝑧 +R 𝑥) ∧ 𝑧 <R ((𝐺‘𝑖) +R 𝑥)))))) → 𝑧 ∈ R)
10	3	caucvgsrlemasr 7731	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ R)
11	10	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ R ∧ ∀𝑥 ∈ R (0R <R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑖 ∈ N (𝑗 <N 𝑖 → ((𝐺‘𝑖) <R (𝑧 +R 𝑥) ∧ 𝑧 <R ((𝐺‘𝑖) +R 𝑥)))))) → 𝐴 ∈ R)
12		addclsr 7694	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (𝑧 +R 𝐴) ∈ R)
13	9, 11, 12	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ R ∧ ∀𝑥 ∈ R (0R <R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑖 ∈ N (𝑗 <N 𝑖 → ((𝐺‘𝑖) <R (𝑧 +R 𝑥) ∧ 𝑧 <R ((𝐺‘𝑖) +R 𝑥)))))) → (𝑧 +R 𝐴) ∈ R)
14		m1r 7693	. . . 4 ⊢ -1R ∈ R
15		addclsr 7694	. . . 4 ⊢ (((𝑧 +R 𝐴) ∈ R ∧ -1R ∈ R) → ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) ∈ R)
16	13, 14, 15	sylancl 410	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ R ∧ ∀𝑥 ∈ R (0R <R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑖 ∈ N (𝑗 <N 𝑖 → ((𝐺‘𝑖) <R (𝑧 +R 𝑥) ∧ 𝑧 <R ((𝐺‘𝑖) +R 𝑥)))))) → ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) ∈ R)
17		ltasrg 7711	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓 ∈ R ∧ 𝑔 ∈ R ∧ ℎ ∈ R) → (𝑓 <R 𝑔 ↔ (ℎ +R 𝑓) <R (ℎ +R 𝑔)))
18	17	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) ∧ (𝑓 ∈ R ∧ 𝑔 ∈ R ∧ ℎ ∈ R)) → (𝑓 <R 𝑔 ↔ (ℎ +R 𝑓) <R (ℎ +R 𝑔)))
19	5	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → 𝐺:N⟶R)
20		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → 𝑖 ∈ N)
21	19, 20	ffvelrnd 5621	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (𝐺‘𝑖) ∈ R)
22		simpllr 524	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → 𝑧 ∈ R)
23		simplr 520	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → 𝑥 ∈ R)
24		addclsr 7694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ R ∧ 𝑥 ∈ R) → (𝑧 +R 𝑥) ∈ R)
25	22, 23, 24	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (𝑧 +R 𝑥) ∈ R)
26	10	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → 𝐴 ∈ R)
27		addcomsrg 7696	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓 ∈ R ∧ 𝑔 ∈ R) → (𝑓 +R 𝑔) = (𝑔 +R 𝑓))
28	27	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) ∧ (𝑓 ∈ R ∧ 𝑔 ∈ R)) → (𝑓 +R 𝑔) = (𝑔 +R 𝑓))
29	18, 21, 25, 26, 28	caovord2d 6011	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((𝐺‘𝑖) <R (𝑧 +R 𝑥) ↔ ((𝐺‘𝑖) +R 𝐴) <R ((𝑧 +R 𝑥) +R 𝐴)))
30	1, 2, 3, 4	caucvgsrlemoffval 7737	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ N) → ((𝐺‘𝑖) +R 𝐴) = ((𝐹‘𝑖) +R 1R))
31	30	adantlr 469	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((𝐺‘𝑖) +R 𝐴) = ((𝐹‘𝑖) +R 1R))
32	31	adantlr 469	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((𝐺‘𝑖) +R 𝐴) = ((𝐹‘𝑖) +R 1R))
33	32	breq1d 3992	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (((𝐺‘𝑖) +R 𝐴) <R ((𝑧 +R 𝑥) +R 𝐴) ↔ ((𝐹‘𝑖) +R 1R) <R ((𝑧 +R 𝑥) +R 𝐴)))
34	29, 33	bitrd 187	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((𝐺‘𝑖) <R (𝑧 +R 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑖) +R 1R) <R ((𝑧 +R 𝑥) +R 𝐴)))
35		addasssrg 7697	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓 ∈ R ∧ 𝑔 ∈ R ∧ ℎ ∈ R) → ((𝑓 +R 𝑔) +R ℎ) = (𝑓 +R (𝑔 +R ℎ)))
36	35	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) ∧ (𝑓 ∈ R ∧ 𝑔 ∈ R ∧ ℎ ∈ R)) → ((𝑓 +R 𝑔) +R ℎ) = (𝑓 +R (𝑔 +R ℎ)))
37	22, 23, 26, 28, 36	caov32d 6022	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((𝑧 +R 𝑥) +R 𝐴) = ((𝑧 +R 𝐴) +R 𝑥))
38	37	breq2d 3994	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (((𝐹‘𝑖) +R 1R) <R ((𝑧 +R 𝑥) +R 𝐴) ↔ ((𝐹‘𝑖) +R 1R) <R ((𝑧 +R 𝐴) +R 𝑥)))
39	1	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) → 𝐹:N⟶R)
40	39	ffvelrnda 5620	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (𝐹‘𝑖) ∈ R)
41		1sr 7692	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1R ∈ R
42		addclsr 7694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘𝑖) ∈ R ∧ 1R ∈ R) → ((𝐹‘𝑖) +R 1R) ∈ R)
43	40, 41, 42	sylancl 410	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((𝐹‘𝑖) +R 1R) ∈ R)
44	22, 26, 12	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (𝑧 +R 𝐴) ∈ R)
45		addclsr 7694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑧 +R 𝐴) ∈ R ∧ 𝑥 ∈ R) → ((𝑧 +R 𝐴) +R 𝑥) ∈ R)
46	44, 23, 45	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((𝑧 +R 𝐴) +R 𝑥) ∈ R)
47	14	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → -1R ∈ R)
48	18, 43, 46, 47, 28	caovord2d 6011	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (((𝐹‘𝑖) +R 1R) <R ((𝑧 +R 𝐴) +R 𝑥) ↔ (((𝐹‘𝑖) +R 1R) +R -1R) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R 𝑥) +R -1R)))
49	41	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → 1R ∈ R)
50		addasssrg 7697	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐹‘𝑖) ∈ R ∧ 1R ∈ R ∧ -1R ∈ R) → (((𝐹‘𝑖) +R 1R) +R -1R) = ((𝐹‘𝑖) +R (1R +R -1R)))
51	40, 49, 47, 50	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (((𝐹‘𝑖) +R 1R) +R -1R) = ((𝐹‘𝑖) +R (1R +R -1R)))
52		addcomsrg 7696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((1R ∈ R ∧ -1R ∈ R) → (1R +R -1R) = (-1R +R 1R))
53	41, 14, 52	mp2an 423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1R +R -1R) = (-1R +R 1R)
54		m1p1sr 7701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (-1R +R 1R) = 0R
55	53, 54	eqtri 2186	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1R +R -1R) = 0R
56	55	oveq2i 5853	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹‘𝑖) +R (1R +R -1R)) = ((𝐹‘𝑖) +R 0R)
57		0idsr 7708	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹‘𝑖) ∈ R → ((𝐹‘𝑖) +R 0R) = (𝐹‘𝑖))
58	40, 57	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((𝐹‘𝑖) +R 0R) = (𝐹‘𝑖))
59	56, 58	syl5eq 2211	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((𝐹‘𝑖) +R (1R +R -1R)) = (𝐹‘𝑖))
60	51, 59	eqtrd 2198	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (((𝐹‘𝑖) +R 1R) +R -1R) = (𝐹‘𝑖))
61	44, 23, 47, 28, 36	caov32d 6022	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (((𝑧 +R 𝐴) +R 𝑥) +R -1R) = (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥))
62	60, 61	breq12d 3995	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((((𝐹‘𝑖) +R 1R) +R -1R) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R 𝑥) +R -1R) ↔ (𝐹‘𝑖) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥)))
63	48, 62	bitrd 187	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (((𝐹‘𝑖) +R 1R) <R ((𝑧 +R 𝐴) +R 𝑥) ↔ (𝐹‘𝑖) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥)))
64	34, 38, 63	3bitrd 213	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((𝐺‘𝑖) <R (𝑧 +R 𝑥) ↔ (𝐹‘𝑖) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥)))
65	64	biimpd 143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((𝐺‘𝑖) <R (𝑧 +R 𝑥) → (𝐹‘𝑖) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥)))
66		addclsr 7694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐺‘𝑖) ∈ R ∧ 𝑥 ∈ R) → ((𝐺‘𝑖) +R 𝑥) ∈ R)
67	21, 23, 66	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((𝐺‘𝑖) +R 𝑥) ∈ R)
68	18, 22, 67, 26, 28	caovord2d 6011	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (𝑧 <R ((𝐺‘𝑖) +R 𝑥) ↔ (𝑧 +R 𝐴) <R (((𝐺‘𝑖) +R 𝑥) +R 𝐴)))
69	21, 23, 26, 28, 36	caov32d 6022	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (((𝐺‘𝑖) +R 𝑥) +R 𝐴) = (((𝐺‘𝑖) +R 𝐴) +R 𝑥))
70	32	oveq1d 5857	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (((𝐺‘𝑖) +R 𝐴) +R 𝑥) = (((𝐹‘𝑖) +R 1R) +R 𝑥))
71	69, 70	eqtrd 2198	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (((𝐺‘𝑖) +R 𝑥) +R 𝐴) = (((𝐹‘𝑖) +R 1R) +R 𝑥))
72	71	breq2d 3994	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((𝑧 +R 𝐴) <R (((𝐺‘𝑖) +R 𝑥) +R 𝐴) ↔ (𝑧 +R 𝐴) <R (((𝐹‘𝑖) +R 1R) +R 𝑥)))
73	68, 72	bitrd 187	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (𝑧 <R ((𝐺‘𝑖) +R 𝑥) ↔ (𝑧 +R 𝐴) <R (((𝐹‘𝑖) +R 1R) +R 𝑥)))
74		addclsr 7694	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐹‘𝑖) +R 1R) ∈ R ∧ 𝑥 ∈ R) → (((𝐹‘𝑖) +R 1R) +R 𝑥) ∈ R)
75	43, 23, 74	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (((𝐹‘𝑖) +R 1R) +R 𝑥) ∈ R)
76	18, 44, 75, 47, 28	caovord2d 6011	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((𝑧 +R 𝐴) <R (((𝐹‘𝑖) +R 1R) +R 𝑥) ↔ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((((𝐹‘𝑖) +R 1R) +R 𝑥) +R -1R)))
77	40, 49, 23, 28, 36	caov32d 6022	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (((𝐹‘𝑖) +R 1R) +R 𝑥) = (((𝐹‘𝑖) +R 𝑥) +R 1R))
78	77	oveq1d 5857	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((((𝐹‘𝑖) +R 1R) +R 𝑥) +R -1R) = ((((𝐹‘𝑖) +R 𝑥) +R 1R) +R -1R))
79		addclsr 7694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐹‘𝑖) ∈ R ∧ 𝑥 ∈ R) → ((𝐹‘𝑖) +R 𝑥) ∈ R)
80	40, 23, 79	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((𝐹‘𝑖) +R 𝑥) ∈ R)
81		addasssrg 7697	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐹‘𝑖) +R 𝑥) ∈ R ∧ 1R ∈ R ∧ -1R ∈ R) → ((((𝐹‘𝑖) +R 𝑥) +R 1R) +R -1R) = (((𝐹‘𝑖) +R 𝑥) +R (1R +R -1R)))
82	80, 49, 47, 81	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((((𝐹‘𝑖) +R 𝑥) +R 1R) +R -1R) = (((𝐹‘𝑖) +R 𝑥) +R (1R +R -1R)))
83	78, 82	eqtrd 2198	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((((𝐹‘𝑖) +R 1R) +R 𝑥) +R -1R) = (((𝐹‘𝑖) +R 𝑥) +R (1R +R -1R)))
84	55	oveq2i 5853	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘𝑖) +R 𝑥) +R (1R +R -1R)) = (((𝐹‘𝑖) +R 𝑥) +R 0R)
85	83, 84	eqtrdi 2215	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((((𝐹‘𝑖) +R 1R) +R 𝑥) +R -1R) = (((𝐹‘𝑖) +R 𝑥) +R 0R))
86		0idsr 7708	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘𝑖) +R 𝑥) ∈ R → (((𝐹‘𝑖) +R 𝑥) +R 0R) = ((𝐹‘𝑖) +R 𝑥))
87	80, 86	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (((𝐹‘𝑖) +R 𝑥) +R 0R) = ((𝐹‘𝑖) +R 𝑥))
88	85, 87	eqtrd 2198	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((((𝐹‘𝑖) +R 1R) +R 𝑥) +R -1R) = ((𝐹‘𝑖) +R 𝑥))
89	88	breq2d 3994	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((((𝐹‘𝑖) +R 1R) +R 𝑥) +R -1R) ↔ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹‘𝑖) +R 𝑥)))
90	73, 76, 89	3bitrd 213	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (𝑧 <R ((𝐺‘𝑖) +R 𝑥) ↔ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹‘𝑖) +R 𝑥)))
91	90	biimpd 143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (𝑧 <R ((𝐺‘𝑖) +R 𝑥) → ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹‘𝑖) +R 𝑥)))
92	65, 91	anim12d 333	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (((𝐺‘𝑖) <R (𝑧 +R 𝑥) ∧ 𝑧 <R ((𝐺‘𝑖) +R 𝑥)) → ((𝐹‘𝑖) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥) ∧ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹‘𝑖) +R 𝑥))))
93	92	imim2d 54	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((𝑗 <N 𝑖 → ((𝐺‘𝑖) <R (𝑧 +R 𝑥) ∧ 𝑧 <R ((𝐺‘𝑖) +R 𝑥))) → (𝑗 <N 𝑖 → ((𝐹‘𝑖) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥) ∧ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹‘𝑖) +R 𝑥)))))
94	93	ralimdva 2533	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) → (∀𝑖 ∈ N (𝑗 <N 𝑖 → ((𝐺‘𝑖) <R (𝑧 +R 𝑥) ∧ 𝑧 <R ((𝐺‘𝑖) +R 𝑥))) → ∀𝑖 ∈ N (𝑗 <N 𝑖 → ((𝐹‘𝑖) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥) ∧ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹‘𝑖) +R 𝑥)))))
95		breq2 3986	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑗 <N 𝑖 ↔ 𝑗 <N 𝑘))
96		fveq2 5486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘𝑘))
97	96	breq1d 3992	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑖) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥) ↔ (𝐹‘𝑘) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥)))
98	96	oveq1d 5857	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑖) +R 𝑥) = ((𝐹‘𝑘) +R 𝑥))
99	98	breq2d 3994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹‘𝑖) +R 𝑥) ↔ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹‘𝑘) +R 𝑥)))
100	97, 99	anbi12d 465	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (((𝐹‘𝑖) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥) ∧ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹‘𝑖) +R 𝑥)) ↔ ((𝐹‘𝑘) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥) ∧ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹‘𝑘) +R 𝑥))))
101	95, 100	imbi12d 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝑗 <N 𝑖 → ((𝐹‘𝑖) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥) ∧ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹‘𝑖) +R 𝑥))) ↔ (𝑗 <N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥) ∧ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹‘𝑘) +R 𝑥)))))
102	101	cbvralv 2692	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑖 ∈ N (𝑗 <N 𝑖 → ((𝐹‘𝑖) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥) ∧ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹‘𝑖) +R 𝑥))) ↔ ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥) ∧ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹‘𝑘) +R 𝑥))))
103	94, 102	syl6ib 160	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) → (∀𝑖 ∈ N (𝑗 <N 𝑖 → ((𝐺‘𝑖) <R (𝑧 +R 𝑥) ∧ 𝑧 <R ((𝐺‘𝑖) +R 𝑥))) → ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥) ∧ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹‘𝑘) +R 𝑥)))))
104	103	reximdv 2567	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) → (∃𝑗 ∈ N ∀𝑖 ∈ N (𝑗 <N 𝑖 → ((𝐺‘𝑖) <R (𝑧 +R 𝑥) ∧ 𝑧 <R ((𝐺‘𝑖) +R 𝑥))) → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥) ∧ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹‘𝑘) +R 𝑥)))))
105	104	imim2d 54	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) → ((0R <R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑖 ∈ N (𝑗 <N 𝑖 → ((𝐺‘𝑖) <R (𝑧 +R 𝑥) ∧ 𝑧 <R ((𝐺‘𝑖) +R 𝑥)))) → (0R <R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥) ∧ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹‘𝑘) +R 𝑥))))))
106	105	ralimdva 2533	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) → (∀𝑥 ∈ R (0R <R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑖 ∈ N (𝑗 <N 𝑖 → ((𝐺‘𝑖) <R (𝑧 +R 𝑥) ∧ 𝑧 <R ((𝐺‘𝑖) +R 𝑥)))) → ∀𝑥 ∈ R (0R <R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥) ∧ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹‘𝑘) +R 𝑥))))))
107	106	impr 377	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ R ∧ ∀𝑥 ∈ R (0R <R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑖 ∈ N (𝑗 <N 𝑖 → ((𝐺‘𝑖) <R (𝑧 +R 𝑥) ∧ 𝑧 <R ((𝐺‘𝑖) +R 𝑥)))))) → ∀𝑥 ∈ R (0R <R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥) ∧ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹‘𝑘) +R 𝑥)))))
108		oveq1 5849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) → (𝑦 +R 𝑥) = (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥))
109	108	breq2d 3994	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) → ((𝐹‘𝑘) <R (𝑦 +R 𝑥) ↔ (𝐹‘𝑘) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥)))
110		breq1 3985	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) → (𝑦 <R ((𝐹‘𝑘) +R 𝑥) ↔ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹‘𝑘) +R 𝑥)))
111	109, 110	anbi12d 465	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) → (((𝐹‘𝑘) <R (𝑦 +R 𝑥) ∧ 𝑦 <R ((𝐹‘𝑘) +R 𝑥)) ↔ ((𝐹‘𝑘) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥) ∧ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹‘𝑘) +R 𝑥))))
112	111	imbi2d 229	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) → ((𝑗 <N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <R (𝑦 +R 𝑥) ∧ 𝑦 <R ((𝐹‘𝑘) +R 𝑥))) ↔ (𝑗 <N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥) ∧ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹‘𝑘) +R 𝑥)))))
113	112	rexralbidv 2492	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) → (∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <R (𝑦 +R 𝑥) ∧ 𝑦 <R ((𝐹‘𝑘) +R 𝑥))) ↔ ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥) ∧ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹‘𝑘) +R 𝑥)))))
114	113	imbi2d 229	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) → ((0R <R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <R (𝑦 +R 𝑥) ∧ 𝑦 <R ((𝐹‘𝑘) +R 𝑥)))) ↔ (0R <R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥) ∧ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹‘𝑘) +R 𝑥))))))
115	114	ralbidv 2466	. . . 4 ⊢ (𝑦 = ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) → (∀𝑥 ∈ R (0R <R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <R (𝑦 +R 𝑥) ∧ 𝑦 <R ((𝐹‘𝑘) +R 𝑥)))) ↔ ∀𝑥 ∈ R (0R <R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥) ∧ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹‘𝑘) +R 𝑥))))))
116	115	rspcev 2830	. . 3 ⊢ ((((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) ∈ R ∧ ∀𝑥 ∈ R (0R <R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥) ∧ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹‘𝑘) +R 𝑥))))) → ∃𝑦 ∈ R ∀𝑥 ∈ R (0R <R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <R (𝑦 +R 𝑥) ∧ 𝑦 <R ((𝐹‘𝑘) +R 𝑥)))))
117	16, 107, 116	syl2anc 409	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ R ∧ ∀𝑥 ∈ R (0R <R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑖 ∈ N (𝑗 <N 𝑖 → ((𝐺‘𝑖) <R (𝑧 +R 𝑥) ∧ 𝑧 <R ((𝐺‘𝑖) +R 𝑥)))))) → ∃𝑦 ∈ R ∀𝑥 ∈ R (0R <R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <R (𝑦 +R 𝑥) ∧ 𝑦 <R ((𝐹‘𝑘) +R 𝑥)))))
118	8, 117	rexlimddv 2588	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ R ∀𝑥 ∈ R (0R <R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <R (𝑦 +R 𝑥) ∧ 𝑦 <R ((𝐹‘𝑘) +R 𝑥)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 968   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  {cab 2151  ∀wral 2444  ∃wrex 2445  ⟨cop 3579   class class class wbr 3982   ↦ cmpt 4043  ⟶wf 5184  ‘cfv 5188  (class class class)co 5842  1_oc1o 6377  [cec 6499  Ncnpi 7213   <_N clti 7216   ~_Q ceq 7220  *_Qcrq 7225   <_Q cltq 7226  1_Pc1p 7233   +_P cpp 7234   ~_R cer 7237  Rcnr 7238  0_Rc0r 7239  1_Rc1r 7240  -1_Rcm1r 7241   +_R cplr 7242   ·_R cmr 7243   <_R cltr 7244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-eprel 4267  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-1o 6384  df-2o 6385  df-oadd 6388  df-omul 6389  df-er 6501  df-ec 6503  df-qs 6507  df-ni 7245  df-pli 7246  df-mi 7247  df-lti 7248  df-plpq 7285  df-mpq 7286  df-enq 7288  df-nqqs 7289  df-plqqs 7290  df-mqqs 7291  df-1nqqs 7292  df-rq 7293  df-ltnqqs 7294  df-enq0 7365  df-nq0 7366  df-0nq0 7367  df-plq0 7368  df-mq0 7369  df-inp 7407  df-i1p 7408  df-iplp 7409  df-imp 7410  df-iltp 7411  df-enr 7667  df-nr 7668  df-plr 7669  df-mr 7670  df-ltr 7671  df-0r 7672  df-1r 7673  df-m1r 7674

This theorem is referenced by:  caucvgsrlembnd  7742