caucvgsrlemoffres - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem caucvgsrlemoffres 7884

Description: Lemma for caucvgsr 7886. Offsetting the values of the sequence so they are greater than one. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jul-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
caucvgsr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:N⟶R)
caucvgsr.cau	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑛 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) <_R ((𝐹‘𝑘) +_R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (_Q‘[⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q )}, {𝑢 ∣ (_Q‘[⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ) <_Q 𝑢}⟩ +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ) ∧ (𝐹‘𝑘) <_R ((𝐹‘𝑛) +_R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (_Q‘[⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q )}, {𝑢 ∣ (_Q‘[⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ) <_Q 𝑢}⟩ +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))))
caucvgsrlembnd.bnd	⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 𝐴 <_R (𝐹‘𝑚))
caucvgsrlembnd.offset	⊢ 𝐺 = (𝑎 ∈ N ↦ (((𝐹‘𝑎) +_R 1_R) +_R (𝐴 ·_R -1_R)))

**Assertion**
Ref	Expression
caucvgsrlemoffres	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ R ∀𝑥 ∈ R (0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_R (𝑦 +_R 𝑥) ∧ 𝑦 <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥)))))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑎,𝑘 𝑥,𝐴,𝑗,𝑘 𝐴,𝑚,𝑘 𝑦,𝐴,𝑗,𝑘,𝑥 𝐹,𝑎,𝑘 𝑦,𝐹 𝑥,𝐺,𝑗,𝑘 𝐺,𝑙,𝑢,𝑗,𝑘 𝑚,𝐺,𝑛,𝑘 𝑛,𝑙,𝑢 𝑛,𝑎,𝜑,𝑘 𝜑,𝑥,𝑗 𝜑,𝑚,𝑛,𝑎 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑦,𝑢,𝑙) 𝐴(𝑢,𝑛,𝑙) 𝐹(𝑥,𝑢,𝑗,𝑚,𝑛,𝑙) 𝐺(𝑦,𝑎)

Proof of Theorem caucvgsrlemoffres Dummy variables 𝑖 𝑓 𝑔 ℎ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgsr.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:N⟶R)
2		caucvgsr.cau	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑛 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) <_R ((𝐹‘𝑘) +_R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (_Q‘[⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q )}, {𝑢 ∣ (_Q‘[⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ) <_Q 𝑢}⟩ +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ) ∧ (𝐹‘𝑘) <_R ((𝐹‘𝑛) +_R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (_Q‘[⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q )}, {𝑢 ∣ (_Q‘[⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ) <_Q 𝑢}⟩ +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))))
3		caucvgsrlembnd.bnd	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 𝐴 <_R (𝐹‘𝑚))
4		caucvgsrlembnd.offset	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑎 ∈ N ↦ (((𝐹‘𝑎) +_R 1_R) +_R (𝐴 ·_R -1_R)))
5	1, 2, 3, 4	caucvgsrlemofff 7881	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:N⟶R)
6	1, 2, 3, 4	caucvgsrlemoffcau 7882	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑛 <_N 𝑘 → ((𝐺‘𝑛) <_R ((𝐺‘𝑘) +_R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (_Q‘[⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q )}, {𝑢 ∣ (_Q‘[⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ) <_Q 𝑢}⟩ +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ) ∧ (𝐺‘𝑘) <_R ((𝐺‘𝑛) +_R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (_Q‘[⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q )}, {𝑢 ∣ (_Q‘[⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ) <_Q 𝑢}⟩ +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))))
7	1, 2, 3, 4	caucvgsrlemoffgt1 7883	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 1_R <_R (𝐺‘𝑚))
8	5, 6, 7	caucvgsrlemgt1 7879	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ R ∀𝑥 ∈ R (0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑖 ∈ N (𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐺‘𝑖) <_R (𝑧 +_R 𝑥) ∧ 𝑧 <_R ((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥)))))
9		simprl 529	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ R ∧ ∀𝑥 ∈ R (0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑖 ∈ N (𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐺‘𝑖) <_R (𝑧 +_R 𝑥) ∧ 𝑧 <_R ((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥)))))) → 𝑧 ∈ R)
10	3	caucvgsrlemasr 7874	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ R)
11	10	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ R ∧ ∀𝑥 ∈ R (0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑖 ∈ N (𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐺‘𝑖) <_R (𝑧 +_R 𝑥) ∧ 𝑧 <_R ((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥)))))) → 𝐴 ∈ R)
12		addclsr 7837	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (𝑧 +_R 𝐴) ∈ R)
13	9, 11, 12	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ R ∧ ∀𝑥 ∈ R (0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑖 ∈ N (𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐺‘𝑖) <_R (𝑧 +_R 𝑥) ∧ 𝑧 <_R ((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥)))))) → (𝑧 +_R 𝐴) ∈ R)
14		m1r 7836	. . . 4 ⊢ -1_R ∈ R
15		addclsr 7837	. . . 4 ⊢ (((𝑧 +_R 𝐴) ∈ R ∧ -1_R ∈ R) → ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) ∈ R)
16	13, 14, 15	sylancl 413	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ R ∧ ∀𝑥 ∈ R (0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑖 ∈ N (𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐺‘𝑖) <_R (𝑧 +_R 𝑥) ∧ 𝑧 <_R ((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥)))))) → ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) ∈ R)
17		ltasrg 7854	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓 ∈ R ∧ 𝑔 ∈ R ∧ ℎ ∈ R) → (𝑓 <_R 𝑔 ↔ (ℎ +_R 𝑓) <_R (ℎ +_R 𝑔)))
18	17	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) ∧ (𝑓 ∈ R ∧ 𝑔 ∈ R ∧ ℎ ∈ R)) → (𝑓 <_R 𝑔 ↔ (ℎ +_R 𝑓) <_R (ℎ +_R 𝑔)))
19	5	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → 𝐺:N⟶R)
20		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → 𝑖 ∈ N)
21	19, 20	ffvelcdmd 5701	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (𝐺‘𝑖) ∈ R)
22		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → 𝑧 ∈ R)
23		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → 𝑥 ∈ R)
24		addclsr 7837	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ R ∧ 𝑥 ∈ R) → (𝑧 +_R 𝑥) ∈ R)
25	22, 23, 24	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (𝑧 +_R 𝑥) ∈ R)
26	10	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → 𝐴 ∈ R)
27		addcomsrg 7839	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓 ∈ R ∧ 𝑔 ∈ R) → (𝑓 +_R 𝑔) = (𝑔 +_R 𝑓))
28	27	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) ∧ (𝑓 ∈ R ∧ 𝑔 ∈ R)) → (𝑓 +_R 𝑔) = (𝑔 +_R 𝑓))
29	18, 21, 25, 26, 28	caovord2d 6097	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((𝐺‘𝑖) <_R (𝑧 +_R 𝑥) ↔ ((𝐺‘𝑖) +_R 𝐴) <_R ((𝑧 +_R 𝑥) +_R 𝐴)))
30	1, 2, 3, 4	caucvgsrlemoffval 7880	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ N) → ((𝐺‘𝑖) +_R 𝐴) = ((𝐹‘𝑖) +_R 1_R))
31	30	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((𝐺‘𝑖) +_R 𝐴) = ((𝐹‘𝑖) +_R 1_R))
32	31	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((𝐺‘𝑖) +_R 𝐴) = ((𝐹‘𝑖) +_R 1_R))
33	32	breq1d 4044	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (((𝐺‘𝑖) +_R 𝐴) <_R ((𝑧 +_R 𝑥) +_R 𝐴) ↔ ((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) <_R ((𝑧 +_R 𝑥) +_R 𝐴)))
34	29, 33	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((𝐺‘𝑖) <_R (𝑧 +_R 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) <_R ((𝑧 +_R 𝑥) +_R 𝐴)))
35		addasssrg 7840	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓 ∈ R ∧ 𝑔 ∈ R ∧ ℎ ∈ R) → ((𝑓 +_R 𝑔) +_R ℎ) = (𝑓 +_R (𝑔 +_R ℎ)))
36	35	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) ∧ (𝑓 ∈ R ∧ 𝑔 ∈ R ∧ ℎ ∈ R)) → ((𝑓 +_R 𝑔) +_R ℎ) = (𝑓 +_R (𝑔 +_R ℎ)))
37	22, 23, 26, 28, 36	caov32d 6108	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((𝑧 +_R 𝑥) +_R 𝐴) = ((𝑧 +_R 𝐴) +_R 𝑥))
38	37	breq2d 4046	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) <_R ((𝑧 +_R 𝑥) +_R 𝐴) ↔ ((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) <_R ((𝑧 +_R 𝐴) +_R 𝑥)))
39	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) → 𝐹:N⟶R)
40	39	ffvelcdmda 5700	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (𝐹‘𝑖) ∈ R)
41		1sr 7835	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1_R ∈ R
42		addclsr 7837	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘𝑖) ∈ R ∧ 1_R ∈ R) → ((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) ∈ R)
43	40, 41, 42	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) ∈ R)
44	22, 26, 12	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (𝑧 +_R 𝐴) ∈ R)
45		addclsr 7837	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑧 +_R 𝐴) ∈ R ∧ 𝑥 ∈ R) → ((𝑧 +_R 𝐴) +_R 𝑥) ∈ R)
46	44, 23, 45	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((𝑧 +_R 𝐴) +_R 𝑥) ∈ R)
47	14	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → -1_R ∈ R)
48	18, 43, 46, 47, 28	caovord2d 6097	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) <_R ((𝑧 +_R 𝐴) +_R 𝑥) ↔ (((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) +_R -1_R) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R 𝑥) +_R -1_R)))
49	41	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → 1_R ∈ R)
50		addasssrg 7840	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐹‘𝑖) ∈ R ∧ 1_R ∈ R ∧ -1_R ∈ R) → (((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) +_R -1_R) = ((𝐹‘𝑖) +_R (1_R +_R -1_R)))
51	40, 49, 47, 50	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) +_R -1_R) = ((𝐹‘𝑖) +_R (1_R +_R -1_R)))
52		addcomsrg 7839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((1_R ∈ R ∧ -1_R ∈ R) → (1_R +_R -1_R) = (-1_R +_R 1_R))
53	41, 14, 52	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1_R +_R -1_R) = (-1_R +_R 1_R)
54		m1p1sr 7844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (-1_R +_R 1_R) = 0_R
55	53, 54	eqtri 2217	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1_R +_R -1_R) = 0_R
56	55	oveq2i 5936	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹‘𝑖) +_R (1_R +_R -1_R)) = ((𝐹‘𝑖) +_R 0_R)
57		0idsr 7851	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹‘𝑖) ∈ R → ((𝐹‘𝑖) +_R 0_R) = (𝐹‘𝑖))
58	40, 57	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((𝐹‘𝑖) +_R 0_R) = (𝐹‘𝑖))
59	56, 58	eqtrid 2241	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((𝐹‘𝑖) +_R (1_R +_R -1_R)) = (𝐹‘𝑖))
60	51, 59	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) +_R -1_R) = (𝐹‘𝑖))
61	44, 23, 47, 28, 36	caov32d 6108	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (((𝑧 +_R 𝐴) +_R 𝑥) +_R -1_R) = (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥))
62	60, 61	breq12d 4047	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) +_R -1_R) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R 𝑥) +_R -1_R) ↔ (𝐹‘𝑖) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥)))
63	48, 62	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) <_R ((𝑧 +_R 𝐴) +_R 𝑥) ↔ (𝐹‘𝑖) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥)))
64	34, 38, 63	3bitrd 214	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((𝐺‘𝑖) <_R (𝑧 +_R 𝑥) ↔ (𝐹‘𝑖) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥)))
65	64	biimpd 144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((𝐺‘𝑖) <_R (𝑧 +_R 𝑥) → (𝐹‘𝑖) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥)))
66		addclsr 7837	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐺‘𝑖) ∈ R ∧ 𝑥 ∈ R) → ((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥) ∈ R)
67	21, 23, 66	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥) ∈ R)
68	18, 22, 67, 26, 28	caovord2d 6097	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (𝑧 <_R ((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥) ↔ (𝑧 +_R 𝐴) <_R (((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥) +_R 𝐴)))
69	21, 23, 26, 28, 36	caov32d 6108	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥) +_R 𝐴) = (((𝐺‘𝑖) +_R 𝐴) +_R 𝑥))
70	32	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (((𝐺‘𝑖) +_R 𝐴) +_R 𝑥) = (((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) +_R 𝑥))
71	69, 70	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥) +_R 𝐴) = (((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) +_R 𝑥))
72	71	breq2d 4046	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((𝑧 +_R 𝐴) <_R (((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥) +_R 𝐴) ↔ (𝑧 +_R 𝐴) <_R (((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) +_R 𝑥)))
73	68, 72	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (𝑧 <_R ((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥) ↔ (𝑧 +_R 𝐴) <_R (((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) +_R 𝑥)))
74		addclsr 7837	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) ∈ R ∧ 𝑥 ∈ R) → (((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) +_R 𝑥) ∈ R)
75	43, 23, 74	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) +_R 𝑥) ∈ R)
76	18, 44, 75, 47, 28	caovord2d 6097	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((𝑧 +_R 𝐴) <_R (((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) +_R 𝑥) ↔ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) +_R 𝑥) +_R -1_R)))
77	40, 49, 23, 28, 36	caov32d 6108	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) +_R 𝑥) = (((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥) +_R 1_R))
78	77	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) +_R 𝑥) +_R -1_R) = ((((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥) +_R 1_R) +_R -1_R))
79		addclsr 7837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐹‘𝑖) ∈ R ∧ 𝑥 ∈ R) → ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥) ∈ R)
80	40, 23, 79	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥) ∈ R)
81		addasssrg 7840	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥) ∈ R ∧ 1_R ∈ R ∧ -1_R ∈ R) → ((((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥) +_R 1_R) +_R -1_R) = (((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥) +_R (1_R +_R -1_R)))
82	80, 49, 47, 81	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥) +_R 1_R) +_R -1_R) = (((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥) +_R (1_R +_R -1_R)))
83	78, 82	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) +_R 𝑥) +_R -1_R) = (((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥) +_R (1_R +_R -1_R)))
84	55	oveq2i 5936	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥) +_R (1_R +_R -1_R)) = (((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥) +_R 0_R)
85	83, 84	eqtrdi 2245	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) +_R 𝑥) +_R -1_R) = (((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥) +_R 0_R))
86		0idsr 7851	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥) ∈ R → (((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥) +_R 0_R) = ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥))
87	80, 86	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥) +_R 0_R) = ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥))
88	85, 87	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) +_R 𝑥) +_R -1_R) = ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥))
89	88	breq2d 4046	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) +_R 𝑥) +_R -1_R) ↔ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥)))
90	73, 76, 89	3bitrd 214	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (𝑧 <_R ((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥) ↔ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥)))
91	90	biimpd 144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (𝑧 <_R ((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥) → ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥)))
92	65, 91	anim12d 335	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (((𝐺‘𝑖) <_R (𝑧 +_R 𝑥) ∧ 𝑧 <_R ((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥)) → ((𝐹‘𝑖) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥) ∧ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥))))
93	92	imim2d 54	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐺‘𝑖) <_R (𝑧 +_R 𝑥) ∧ 𝑧 <_R ((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥))) → (𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐹‘𝑖) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥) ∧ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥)))))
94	93	ralimdva 2564	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) → (∀𝑖 ∈ N (𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐺‘𝑖) <_R (𝑧 +_R 𝑥) ∧ 𝑧 <_R ((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥))) → ∀𝑖 ∈ N (𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐹‘𝑖) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥) ∧ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥)))))
95		breq2 4038	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑗 <_N 𝑖 ↔ 𝑗 <_N 𝑘))
96		fveq2 5561	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘𝑘))
97	96	breq1d 4044	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑖) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥) ↔ (𝐹‘𝑘) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥)))
98	96	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥) = ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥))
99	98	breq2d 4046	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥) ↔ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥)))
100	97, 99	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (((𝐹‘𝑖) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥) ∧ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥)) ↔ ((𝐹‘𝑘) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥) ∧ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥))))
101	95, 100	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐹‘𝑖) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥) ∧ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥))) ↔ (𝑗 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥) ∧ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥)))))
102	101	cbvralv 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑖 ∈ N (𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐹‘𝑖) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥) ∧ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥))) ↔ ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥) ∧ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥))))
103	94, 102	imbitrdi 161	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) → (∀𝑖 ∈ N (𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐺‘𝑖) <_R (𝑧 +_R 𝑥) ∧ 𝑧 <_R ((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥))) → ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥) ∧ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥)))))
104	103	reximdv 2598	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) → (∃𝑗 ∈ N ∀𝑖 ∈ N (𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐺‘𝑖) <_R (𝑧 +_R 𝑥) ∧ 𝑧 <_R ((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥))) → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥) ∧ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥)))))
105	104	imim2d 54	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) → ((0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑖 ∈ N (𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐺‘𝑖) <_R (𝑧 +_R 𝑥) ∧ 𝑧 <_R ((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥)))) → (0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥) ∧ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥))))))
106	105	ralimdva 2564	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) → (∀𝑥 ∈ R (0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑖 ∈ N (𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐺‘𝑖) <_R (𝑧 +_R 𝑥) ∧ 𝑧 <_R ((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥)))) → ∀𝑥 ∈ R (0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥) ∧ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥))))))
107	106	impr 379	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ R ∧ ∀𝑥 ∈ R (0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑖 ∈ N (𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐺‘𝑖) <_R (𝑧 +_R 𝑥) ∧ 𝑧 <_R ((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥)))))) → ∀𝑥 ∈ R (0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥) ∧ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥)))))
108		oveq1 5932	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) → (𝑦 +_R 𝑥) = (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥))
109	108	breq2d 4046	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) → ((𝐹‘𝑘) <_R (𝑦 +_R 𝑥) ↔ (𝐹‘𝑘) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥)))
110		breq1 4037	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) → (𝑦 <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥) ↔ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥)))
111	109, 110	anbi12d 473	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) → (((𝐹‘𝑘) <_R (𝑦 +_R 𝑥) ∧ 𝑦 <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥)) ↔ ((𝐹‘𝑘) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥) ∧ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥))))
112	111	imbi2d 230	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) → ((𝑗 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_R (𝑦 +_R 𝑥) ∧ 𝑦 <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥))) ↔ (𝑗 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥) ∧ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥)))))
113	112	rexralbidv 2523	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) → (∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_R (𝑦 +_R 𝑥) ∧ 𝑦 <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥))) ↔ ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥) ∧ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥)))))
114	113	imbi2d 230	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) → ((0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_R (𝑦 +_R 𝑥) ∧ 𝑦 <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥)))) ↔ (0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥) ∧ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥))))))
115	114	ralbidv 2497	. . . 4 ⊢ (𝑦 = ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) → (∀𝑥 ∈ R (0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_R (𝑦 +_R 𝑥) ∧ 𝑦 <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥)))) ↔ ∀𝑥 ∈ R (0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥) ∧ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥))))))
116	115	rspcev 2868	. . 3 ⊢ ((((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) ∈ R ∧ ∀𝑥 ∈ R (0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥) ∧ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥))))) → ∃𝑦 ∈ R ∀𝑥 ∈ R (0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_R (𝑦 +_R 𝑥) ∧ 𝑦 <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥)))))
117	16, 107, 116	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ R ∧ ∀𝑥 ∈ R (0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑖 ∈ N (𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐺‘𝑖) <_R (𝑧 +_R 𝑥) ∧ 𝑧 <_R ((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥)))))) → ∃𝑦 ∈ R ∀𝑥 ∈ R (0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_R (𝑦 +_R 𝑥) ∧ 𝑦 <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥)))))
118	8, 117	rexlimddv 2619	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ R ∀𝑥 ∈ R (0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_R (𝑦 +_R 𝑥) ∧ 𝑦 <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥)))))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 ∧ w3a 980 = wceq 1364 ∈ wcel 2167 {cab 2182 ∀wral 2475 ∃wrex 2476 ⟨cop 3626 class class class wbr 4034 ↦ cmpt 4095 ⟶wf 5255 ‘cfv 5259 (class class class)co 5925 1_oc1o 6476 [cec 6599 Ncnpi 7356 <_N clti 7359 ~_Q ceq 7363 *_Qcrq 7368 <_Q cltq 7369 1_Pc1p 7376 +_P cpp 7377 ~_R cer 7380 Rcnr 7381 0_Rc0r 7382 1_Rc1r 7383 -1_Rcm1r 7384 +_R cplr 7385 ·_R cmr 7386 <_R cltr 7387

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1461 ax-7 1462 ax-gen 1463 ax-ie1 1507 ax-ie2 1508 ax-8 1518 ax-10 1519 ax-11 1520 ax-i12 1521 ax-bndl 1523 ax-4 1524 ax-17 1540 ax-i9 1544 ax-ial 1548 ax-i5r 1549 ax-13 2169 ax-14 2170 ax-ext 2178 ax-coll 4149 ax-sep 4152 ax-nul 4160 ax-pow 4208 ax-pr 4243 ax-un 4469 ax-setind 4574 ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1475 df-sb 1777 df-eu 2048 df-mo 2049 df-clab 2183 df-cleq 2189 df-clel 2192 df-nfc 2328 df-ne 2368 df-ral 2480 df-rex 2481 df-reu 2482 df-rmo 2483 df-rab 2484 df-v 2765 df-sbc 2990 df-csb 3085 df-dif 3159 df-un 3161 df-in 3163 df-ss 3170 df-nul 3452 df-pw 3608 df-sn 3629 df-pr 3630 df-op 3632 df-uni 3841 df-int 3876 df-iun 3919 df-br 4035 df-opab 4096 df-mpt 4097 df-tr 4133 df-eprel 4325 df-id 4329 df-po 4332 df-iso 4333 df-iord 4402 df-on 4404 df-suc 4407 df-iom 4628 df-xp 4670 df-rel 4671 df-cnv 4672 df-co 4673 df-dm 4674 df-rn 4675 df-res 4676 df-ima 4677 df-iota 5220 df-fun 5261 df-fn 5262 df-f 5263 df-f1 5264 df-fo 5265 df-f1o 5266 df-fv 5267 df-riota 5880 df-ov 5928 df-oprab 5929 df-mpo 5930 df-1st 6207 df-2nd 6208 df-recs 6372 df-irdg 6437 df-1o 6483 df-2o 6484 df-oadd 6487 df-omul 6488 df-er 6601 df-ec 6603 df-qs 6607 df-ni 7388 df-pli 7389 df-mi 7390 df-lti 7391 df-plpq 7428 df-mpq 7429 df-enq 7431 df-nqqs 7432 df-plqqs 7433 df-mqqs 7434 df-1nqqs 7435 df-rq 7436 df-ltnqqs 7437 df-enq0 7508 df-nq0 7509 df-0nq0 7510 df-plq0 7511 df-mq0 7512 df-inp 7550 df-i1p 7551 df-iplp 7552 df-imp 7553 df-iltp 7554 df-enr 7810 df-nr 7811 df-plr 7812 df-mr 7813 df-ltr 7814 df-0r 7815 df-1r 7816 df-m1r 7817

This theorem is referenced by: caucvgsrlembnd 7885

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