caucvgsrlemoffres - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem caucvgsrlemoffres 7289

Description: Lemma for caucvgsr 7291. Offsetting the values of the sequence so they are greater than one. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jul-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
caucvgsr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:N⟶R)
caucvgsr.cau	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑛 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) <_R ((𝐹‘𝑘) +_R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (_Q‘[⟨𝑛, 1_𝑜⟩] ~_Q )}, {𝑢 ∣ (_Q‘[⟨𝑛, 1_𝑜⟩] ~_Q ) <_Q 𝑢}⟩ +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ) ∧ (𝐹‘𝑘) <_R ((𝐹‘𝑛) +_R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (_Q‘[⟨𝑛, 1_𝑜⟩] ~_Q )}, {𝑢 ∣ (_Q‘[⟨𝑛, 1_𝑜⟩] ~_Q ) <_Q 𝑢}⟩ +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))))
caucvgsrlembnd.bnd	⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 𝐴 <_R (𝐹‘𝑚))
caucvgsrlembnd.offset	⊢ 𝐺 = (𝑎 ∈ N ↦ (((𝐹‘𝑎) +_R 1_R) +_R (𝐴 ·_R -1_R)))

**Assertion**
Ref	Expression
caucvgsrlemoffres	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ R ∀𝑥 ∈ R (0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_R (𝑦 +_R 𝑥) ∧ 𝑦 <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥)))))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑎,𝑘 𝑥,𝐴,𝑗,𝑘 𝐴,𝑚,𝑘 𝑦,𝐴,𝑗,𝑘,𝑥 𝐹,𝑎,𝑘 𝑦,𝐹 𝑥,𝐺,𝑗,𝑘 𝐺,𝑙,𝑢,𝑗,𝑘 𝑚,𝐺,𝑛,𝑘 𝑛,𝑙,𝑢 𝑛,𝑎,𝜑,𝑘 𝜑,𝑥,𝑗 𝜑,𝑚,𝑛,𝑎 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑦,𝑢,𝑙) 𝐴(𝑢,𝑛,𝑙) 𝐹(𝑥,𝑢,𝑗,𝑚,𝑛,𝑙) 𝐺(𝑦,𝑎)

Proof of Theorem caucvgsrlemoffres Dummy variables 𝑖 𝑓 𝑔 ℎ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgsr.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:N⟶R)
2		caucvgsr.cau	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑛 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) <_R ((𝐹‘𝑘) +_R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (_Q‘[⟨𝑛, 1_𝑜⟩] ~_Q )}, {𝑢 ∣ (_Q‘[⟨𝑛, 1_𝑜⟩] ~_Q ) <_Q 𝑢}⟩ +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ) ∧ (𝐹‘𝑘) <_R ((𝐹‘𝑛) +_R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (_Q‘[⟨𝑛, 1_𝑜⟩] ~_Q )}, {𝑢 ∣ (_Q‘[⟨𝑛, 1_𝑜⟩] ~_Q ) <_Q 𝑢}⟩ +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))))
3		caucvgsrlembnd.bnd	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 𝐴 <_R (𝐹‘𝑚))
4		caucvgsrlembnd.offset	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑎 ∈ N ↦ (((𝐹‘𝑎) +_R 1_R) +_R (𝐴 ·_R -1_R)))
5	1, 2, 3, 4	caucvgsrlemofff 7286	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:N⟶R)
6	1, 2, 3, 4	caucvgsrlemoffcau 7287	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑛 <_N 𝑘 → ((𝐺‘𝑛) <_R ((𝐺‘𝑘) +_R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (_Q‘[⟨𝑛, 1_𝑜⟩] ~_Q )}, {𝑢 ∣ (_Q‘[⟨𝑛, 1_𝑜⟩] ~_Q ) <_Q 𝑢}⟩ +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ) ∧ (𝐺‘𝑘) <_R ((𝐺‘𝑛) +_R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (_Q‘[⟨𝑛, 1_𝑜⟩] ~_Q )}, {𝑢 ∣ (_Q‘[⟨𝑛, 1_𝑜⟩] ~_Q ) <_Q 𝑢}⟩ +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))))
7	1, 2, 3, 4	caucvgsrlemoffgt1 7288	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 1_R <_R (𝐺‘𝑚))
8	5, 6, 7	caucvgsrlemgt1 7284	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ R ∀𝑥 ∈ R (0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑖 ∈ N (𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐺‘𝑖) <_R (𝑧 +_R 𝑥) ∧ 𝑧 <_R ((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥)))))
9		simprl 498	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ R ∧ ∀𝑥 ∈ R (0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑖 ∈ N (𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐺‘𝑖) <_R (𝑧 +_R 𝑥) ∧ 𝑧 <_R ((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥)))))) → 𝑧 ∈ R)
10	3	caucvgsrlemasr 7279	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ R)
11	10	adantr 270	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ R ∧ ∀𝑥 ∈ R (0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑖 ∈ N (𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐺‘𝑖) <_R (𝑧 +_R 𝑥) ∧ 𝑧 <_R ((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥)))))) → 𝐴 ∈ R)
12		addclsr 7243	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (𝑧 +_R 𝐴) ∈ R)
13	9, 11, 12	syl2anc 403	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ R ∧ ∀𝑥 ∈ R (0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑖 ∈ N (𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐺‘𝑖) <_R (𝑧 +_R 𝑥) ∧ 𝑧 <_R ((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥)))))) → (𝑧 +_R 𝐴) ∈ R)
14		m1r 7242	. . . 4 ⊢ -1_R ∈ R
15		addclsr 7243	. . . 4 ⊢ (((𝑧 +_R 𝐴) ∈ R ∧ -1_R ∈ R) → ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) ∈ R)
16	13, 14, 15	sylancl 404	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ R ∧ ∀𝑥 ∈ R (0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑖 ∈ N (𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐺‘𝑖) <_R (𝑧 +_R 𝑥) ∧ 𝑧 <_R ((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥)))))) → ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) ∈ R)
17		ltasrg 7260	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓 ∈ R ∧ 𝑔 ∈ R ∧ ℎ ∈ R) → (𝑓 <_R 𝑔 ↔ (ℎ +_R 𝑓) <_R (ℎ +_R 𝑔)))
18	17	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) ∧ (𝑓 ∈ R ∧ 𝑔 ∈ R ∧ ℎ ∈ R)) → (𝑓 <_R 𝑔 ↔ (ℎ +_R 𝑓) <_R (ℎ +_R 𝑔)))
19	5	ad3antrrr 476	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → 𝐺:N⟶R)
20		simpr 108	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → 𝑖 ∈ N)
21	19, 20	ffvelrnd 5398	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (𝐺‘𝑖) ∈ R)
22		simpllr 501	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → 𝑧 ∈ R)
23		simplr 497	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → 𝑥 ∈ R)
24		addclsr 7243	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ R ∧ 𝑥 ∈ R) → (𝑧 +_R 𝑥) ∈ R)
25	22, 23, 24	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (𝑧 +_R 𝑥) ∈ R)
26	10	ad3antrrr 476	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → 𝐴 ∈ R)
27		addcomsrg 7245	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓 ∈ R ∧ 𝑔 ∈ R) → (𝑓 +_R 𝑔) = (𝑔 +_R 𝑓))
28	27	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) ∧ (𝑓 ∈ R ∧ 𝑔 ∈ R)) → (𝑓 +_R 𝑔) = (𝑔 +_R 𝑓))
29	18, 21, 25, 26, 28	caovord2d 5771	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((𝐺‘𝑖) <_R (𝑧 +_R 𝑥) ↔ ((𝐺‘𝑖) +_R 𝐴) <_R ((𝑧 +_R 𝑥) +_R 𝐴)))
30	1, 2, 3, 4	caucvgsrlemoffval 7285	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ N) → ((𝐺‘𝑖) +_R 𝐴) = ((𝐹‘𝑖) +_R 1_R))
31	30	adantlr 461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((𝐺‘𝑖) +_R 𝐴) = ((𝐹‘𝑖) +_R 1_R))
32	31	adantlr 461	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((𝐺‘𝑖) +_R 𝐴) = ((𝐹‘𝑖) +_R 1_R))
33	32	breq1d 3830	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (((𝐺‘𝑖) +_R 𝐴) <_R ((𝑧 +_R 𝑥) +_R 𝐴) ↔ ((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) <_R ((𝑧 +_R 𝑥) +_R 𝐴)))
34	29, 33	bitrd 186	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((𝐺‘𝑖) <_R (𝑧 +_R 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) <_R ((𝑧 +_R 𝑥) +_R 𝐴)))
35		addasssrg 7246	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓 ∈ R ∧ 𝑔 ∈ R ∧ ℎ ∈ R) → ((𝑓 +_R 𝑔) +_R ℎ) = (𝑓 +_R (𝑔 +_R ℎ)))
36	35	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) ∧ (𝑓 ∈ R ∧ 𝑔 ∈ R ∧ ℎ ∈ R)) → ((𝑓 +_R 𝑔) +_R ℎ) = (𝑓 +_R (𝑔 +_R ℎ)))
37	22, 23, 26, 28, 36	caov32d 5782	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((𝑧 +_R 𝑥) +_R 𝐴) = ((𝑧 +_R 𝐴) +_R 𝑥))
38	37	breq2d 3832	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) <_R ((𝑧 +_R 𝑥) +_R 𝐴) ↔ ((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) <_R ((𝑧 +_R 𝐴) +_R 𝑥)))
39	1	ad2antrr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) → 𝐹:N⟶R)
40	39	ffvelrnda 5397	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (𝐹‘𝑖) ∈ R)
41		1sr 7241	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1_R ∈ R
42		addclsr 7243	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘𝑖) ∈ R ∧ 1_R ∈ R) → ((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) ∈ R)
43	40, 41, 42	sylancl 404	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) ∈ R)
44	22, 26, 12	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (𝑧 +_R 𝐴) ∈ R)
45		addclsr 7243	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑧 +_R 𝐴) ∈ R ∧ 𝑥 ∈ R) → ((𝑧 +_R 𝐴) +_R 𝑥) ∈ R)
46	44, 23, 45	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((𝑧 +_R 𝐴) +_R 𝑥) ∈ R)
47	14	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → -1_R ∈ R)
48	18, 43, 46, 47, 28	caovord2d 5771	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) <_R ((𝑧 +_R 𝐴) +_R 𝑥) ↔ (((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) +_R -1_R) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R 𝑥) +_R -1_R)))
49	41	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → 1_R ∈ R)
50		addasssrg 7246	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐹‘𝑖) ∈ R ∧ 1_R ∈ R ∧ -1_R ∈ R) → (((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) +_R -1_R) = ((𝐹‘𝑖) +_R (1_R +_R -1_R)))
51	40, 49, 47, 50	syl3anc 1172	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) +_R -1_R) = ((𝐹‘𝑖) +_R (1_R +_R -1_R)))
52		addcomsrg 7245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((1_R ∈ R ∧ -1_R ∈ R) → (1_R +_R -1_R) = (-1_R +_R 1_R))
53	41, 14, 52	mp2an 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1_R +_R -1_R) = (-1_R +_R 1_R)
54		m1p1sr 7250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (-1_R +_R 1_R) = 0_R
55	53, 54	eqtri 2105	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1_R +_R -1_R) = 0_R
56	55	oveq2i 5624	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹‘𝑖) +_R (1_R +_R -1_R)) = ((𝐹‘𝑖) +_R 0_R)
57		0idsr 7257	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹‘𝑖) ∈ R → ((𝐹‘𝑖) +_R 0_R) = (𝐹‘𝑖))
58	40, 57	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((𝐹‘𝑖) +_R 0_R) = (𝐹‘𝑖))
59	56, 58	syl5eq 2129	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((𝐹‘𝑖) +_R (1_R +_R -1_R)) = (𝐹‘𝑖))
60	51, 59	eqtrd 2117	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) +_R -1_R) = (𝐹‘𝑖))
61	44, 23, 47, 28, 36	caov32d 5782	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (((𝑧 +_R 𝐴) +_R 𝑥) +_R -1_R) = (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥))
62	60, 61	breq12d 3833	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) +_R -1_R) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R 𝑥) +_R -1_R) ↔ (𝐹‘𝑖) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥)))
63	48, 62	bitrd 186	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) <_R ((𝑧 +_R 𝐴) +_R 𝑥) ↔ (𝐹‘𝑖) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥)))
64	34, 38, 63	3bitrd 212	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((𝐺‘𝑖) <_R (𝑧 +_R 𝑥) ↔ (𝐹‘𝑖) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥)))
65	64	biimpd 142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((𝐺‘𝑖) <_R (𝑧 +_R 𝑥) → (𝐹‘𝑖) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥)))
66		addclsr 7243	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐺‘𝑖) ∈ R ∧ 𝑥 ∈ R) → ((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥) ∈ R)
67	21, 23, 66	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥) ∈ R)
68	18, 22, 67, 26, 28	caovord2d 5771	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (𝑧 <_R ((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥) ↔ (𝑧 +_R 𝐴) <_R (((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥) +_R 𝐴)))
69	21, 23, 26, 28, 36	caov32d 5782	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥) +_R 𝐴) = (((𝐺‘𝑖) +_R 𝐴) +_R 𝑥))
70	32	oveq1d 5628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (((𝐺‘𝑖) +_R 𝐴) +_R 𝑥) = (((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) +_R 𝑥))
71	69, 70	eqtrd 2117	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥) +_R 𝐴) = (((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) +_R 𝑥))
72	71	breq2d 3832	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((𝑧 +_R 𝐴) <_R (((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥) +_R 𝐴) ↔ (𝑧 +_R 𝐴) <_R (((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) +_R 𝑥)))
73	68, 72	bitrd 186	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (𝑧 <_R ((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥) ↔ (𝑧 +_R 𝐴) <_R (((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) +_R 𝑥)))
74		addclsr 7243	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) ∈ R ∧ 𝑥 ∈ R) → (((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) +_R 𝑥) ∈ R)
75	43, 23, 74	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) +_R 𝑥) ∈ R)
76	18, 44, 75, 47, 28	caovord2d 5771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((𝑧 +_R 𝐴) <_R (((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) +_R 𝑥) ↔ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) +_R 𝑥) +_R -1_R)))
77	40, 49, 23, 28, 36	caov32d 5782	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) +_R 𝑥) = (((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥) +_R 1_R))
78	77	oveq1d 5628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) +_R 𝑥) +_R -1_R) = ((((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥) +_R 1_R) +_R -1_R))
79		addclsr 7243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐹‘𝑖) ∈ R ∧ 𝑥 ∈ R) → ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥) ∈ R)
80	40, 23, 79	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥) ∈ R)
81		addasssrg 7246	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥) ∈ R ∧ 1_R ∈ R ∧ -1_R ∈ R) → ((((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥) +_R 1_R) +_R -1_R) = (((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥) +_R (1_R +_R -1_R)))
82	80, 49, 47, 81	syl3anc 1172	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥) +_R 1_R) +_R -1_R) = (((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥) +_R (1_R +_R -1_R)))
83	78, 82	eqtrd 2117	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) +_R 𝑥) +_R -1_R) = (((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥) +_R (1_R +_R -1_R)))
84	55	oveq2i 5624	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥) +_R (1_R +_R -1_R)) = (((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥) +_R 0_R)
85	83, 84	syl6eq 2133	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) +_R 𝑥) +_R -1_R) = (((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥) +_R 0_R))
86		0idsr 7257	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥) ∈ R → (((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥) +_R 0_R) = ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥))
87	80, 86	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥) +_R 0_R) = ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥))
88	85, 87	eqtrd 2117	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) +_R 𝑥) +_R -1_R) = ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥))
89	88	breq2d 3832	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) +_R 𝑥) +_R -1_R) ↔ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥)))
90	73, 76, 89	3bitrd 212	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (𝑧 <_R ((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥) ↔ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥)))
91	90	biimpd 142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (𝑧 <_R ((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥) → ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥)))
92	65, 91	anim12d 328	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (((𝐺‘𝑖) <_R (𝑧 +_R 𝑥) ∧ 𝑧 <_R ((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥)) → ((𝐹‘𝑖) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥) ∧ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥))))
93	92	imim2d 53	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐺‘𝑖) <_R (𝑧 +_R 𝑥) ∧ 𝑧 <_R ((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥))) → (𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐹‘𝑖) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥) ∧ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥)))))
94	93	ralimdva 2437	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) → (∀𝑖 ∈ N (𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐺‘𝑖) <_R (𝑧 +_R 𝑥) ∧ 𝑧 <_R ((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥))) → ∀𝑖 ∈ N (𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐹‘𝑖) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥) ∧ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥)))))
95		breq2 3824	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑗 <_N 𝑖 ↔ 𝑗 <_N 𝑘))
96		fveq2 5268	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘𝑘))
97	96	breq1d 3830	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑖) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥) ↔ (𝐹‘𝑘) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥)))
98	96	oveq1d 5628	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥) = ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥))
99	98	breq2d 3832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥) ↔ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥)))
100	97, 99	anbi12d 457	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (((𝐹‘𝑖) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥) ∧ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥)) ↔ ((𝐹‘𝑘) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥) ∧ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥))))
101	95, 100	imbi12d 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐹‘𝑖) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥) ∧ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥))) ↔ (𝑗 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥) ∧ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥)))))
102	101	cbvralv 2586	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑖 ∈ N (𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐹‘𝑖) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥) ∧ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥))) ↔ ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥) ∧ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥))))
103	94, 102	syl6ib 159	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) → (∀𝑖 ∈ N (𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐺‘𝑖) <_R (𝑧 +_R 𝑥) ∧ 𝑧 <_R ((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥))) → ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥) ∧ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥)))))
104	103	reximdv 2470	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) → (∃𝑗 ∈ N ∀𝑖 ∈ N (𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐺‘𝑖) <_R (𝑧 +_R 𝑥) ∧ 𝑧 <_R ((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥))) → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥) ∧ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥)))))
105	104	imim2d 53	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) → ((0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑖 ∈ N (𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐺‘𝑖) <_R (𝑧 +_R 𝑥) ∧ 𝑧 <_R ((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥)))) → (0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥) ∧ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥))))))
106	105	ralimdva 2437	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) → (∀𝑥 ∈ R (0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑖 ∈ N (𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐺‘𝑖) <_R (𝑧 +_R 𝑥) ∧ 𝑧 <_R ((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥)))) → ∀𝑥 ∈ R (0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥) ∧ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥))))))
107	106	impr 371	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ R ∧ ∀𝑥 ∈ R (0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑖 ∈ N (𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐺‘𝑖) <_R (𝑧 +_R 𝑥) ∧ 𝑧 <_R ((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥)))))) → ∀𝑥 ∈ R (0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥) ∧ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥)))))
108		oveq1 5620	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) → (𝑦 +_R 𝑥) = (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥))
109	108	breq2d 3832	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) → ((𝐹‘𝑘) <_R (𝑦 +_R 𝑥) ↔ (𝐹‘𝑘) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥)))
110		breq1 3823	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) → (𝑦 <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥) ↔ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥)))
111	109, 110	anbi12d 457	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) → (((𝐹‘𝑘) <_R (𝑦 +_R 𝑥) ∧ 𝑦 <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥)) ↔ ((𝐹‘𝑘) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥) ∧ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥))))
112	111	imbi2d 228	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) → ((𝑗 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_R (𝑦 +_R 𝑥) ∧ 𝑦 <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥))) ↔ (𝑗 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥) ∧ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥)))))
113	112	rexralbidv 2400	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) → (∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_R (𝑦 +_R 𝑥) ∧ 𝑦 <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥))) ↔ ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥) ∧ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥)))))
114	113	imbi2d 228	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) → ((0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_R (𝑦 +_R 𝑥) ∧ 𝑦 <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥)))) ↔ (0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥) ∧ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥))))))
115	114	ralbidv 2376	. . . 4 ⊢ (𝑦 = ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) → (∀𝑥 ∈ R (0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_R (𝑦 +_R 𝑥) ∧ 𝑦 <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥)))) ↔ ∀𝑥 ∈ R (0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥) ∧ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥))))))
116	115	rspcev 2715	. . 3 ⊢ ((((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) ∈ R ∧ ∀𝑥 ∈ R (0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥) ∧ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥))))) → ∃𝑦 ∈ R ∀𝑥 ∈ R (0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_R (𝑦 +_R 𝑥) ∧ 𝑦 <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥)))))
117	16, 107, 116	syl2anc 403	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ R ∧ ∀𝑥 ∈ R (0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑖 ∈ N (𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐺‘𝑖) <_R (𝑧 +_R 𝑥) ∧ 𝑧 <_R ((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥)))))) → ∃𝑦 ∈ R ∀𝑥 ∈ R (0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_R (𝑦 +_R 𝑥) ∧ 𝑦 <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥)))))
118	8, 117	rexlimddv 2489	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ R ∀𝑥 ∈ R (0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_R (𝑦 +_R 𝑥) ∧ 𝑦 <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥)))))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 102 ↔ wb 103 ∧ w3a 922 = wceq 1287 ∈ wcel 1436 {cab 2071 ∀wral 2355 ∃wrex 2356 ⟨cop 3434 class class class wbr 3820 ↦ cmpt 3874 ⟶wf 4977 ‘cfv 4981 (class class class)co 5613 1_𝑜c1o 6128 [cec 6242 Ncnpi 6775 <_N clti 6778 ~_Q ceq 6782 *_Qcrq 6787 <_Q cltq 6788 1_Pc1p 6795 +_P cpp 6796 ~_R cer 6799 Rcnr 6800 0_Rc0r 6801 1_Rc1r 6802 -1_Rcm1r 6803 +_R cplr 6804 ·_R cmr 6805 <_R cltr 6806

This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 104 ax-ia2 105 ax-ia3 106 ax-in1 577 ax-in2 578 ax-io 663 ax-5 1379 ax-7 1380 ax-gen 1381 ax-ie1 1425 ax-ie2 1426 ax-8 1438 ax-10 1439 ax-11 1440 ax-i12 1441 ax-bndl 1442 ax-4 1443 ax-13 1447 ax-14 1448 ax-17 1462 ax-i9 1466 ax-ial 1470 ax-i5r 1471 ax-ext 2067 ax-coll 3929 ax-sep 3932 ax-nul 3940 ax-pow 3984 ax-pr 4010 ax-un 4234 ax-setind 4326 ax-iinf 4376

This theorem depends on definitions: df-bi 115 df-dc 779 df-3or 923 df-3an 924 df-tru 1290 df-fal 1293 df-nf 1393 df-sb 1690 df-eu 1948 df-mo 1949 df-clab 2072 df-cleq 2078 df-clel 2081 df-nfc 2214 df-ne 2252 df-ral 2360 df-rex 2361 df-reu 2362 df-rmo 2363 df-rab 2364 df-v 2617 df-sbc 2830 df-csb 2923 df-dif 2990 df-un 2992 df-in 2994 df-ss 3001 df-nul 3276 df-pw 3417 df-sn 3437 df-pr 3438 df-op 3440 df-uni 3637 df-int 3672 df-iun 3715 df-br 3821 df-opab 3875 df-mpt 3876 df-tr 3912 df-eprel 4090 df-id 4094 df-po 4097 df-iso 4098 df-iord 4167 df-on 4169 df-suc 4172 df-iom 4379 df-xp 4417 df-rel 4418 df-cnv 4419 df-co 4420 df-dm 4421 df-rn 4422 df-res 4423 df-ima 4424 df-iota 4946 df-fun 4983 df-fn 4984 df-f 4985 df-f1 4986 df-fo 4987 df-f1o 4988 df-fv 4989 df-riota 5569 df-ov 5616 df-oprab 5617 df-mpt2 5618 df-1st 5868 df-2nd 5869 df-recs 6024 df-irdg 6089 df-1o 6135 df-2o 6136 df-oadd 6139 df-omul 6140 df-er 6244 df-ec 6246 df-qs 6250 df-ni 6807 df-pli 6808 df-mi 6809 df-lti 6810 df-plpq 6847 df-mpq 6848 df-enq 6850 df-nqqs 6851 df-plqqs 6852 df-mqqs 6853 df-1nqqs 6854 df-rq 6855 df-ltnqqs 6856 df-enq0 6927 df-nq0 6928 df-0nq0 6929 df-plq0 6930 df-mq0 6931 df-inp 6969 df-i1p 6970 df-iplp 6971 df-imp 6972 df-iltp 6973 df-enr 7216 df-nr 7217 df-plr 7218 df-mr 7219 df-ltr 7220 df-0r 7221 df-1r 7222 df-m1r 7223

This theorem is referenced by: caucvgsrlembnd 7290

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