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Theorem caucvgsrlemoffres 7774
Description: Lemma for caucvgsr 7776. Offsetting the values of the sequence so they are greater than one. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgsr.f (𝜑𝐹:NR)
caucvgsr.cau (𝜑 → ∀𝑛N𝑘N (𝑛 <N 𝑘 → ((𝐹𝑛) <R ((𝐹𝑘) +R [⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∧ (𝐹𝑘) <R ((𝐹𝑛) +R [⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ))))
caucvgsrlembnd.bnd (𝜑 → ∀𝑚N 𝐴 <R (𝐹𝑚))
caucvgsrlembnd.offset 𝐺 = (𝑎N ↦ (((𝐹𝑎) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))
Assertion
Ref Expression
caucvgsrlemoffres (𝜑 → ∃𝑦R𝑥R (0R <R 𝑥 → ∃𝑗N𝑘N (𝑗 <N 𝑘 → ((𝐹𝑘) <R (𝑦 +R 𝑥) ∧ 𝑦 <R ((𝐹𝑘) +R 𝑥)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑘   𝑥,𝐴,𝑗,𝑘   𝐴,𝑚,𝑘   𝑦,𝐴,𝑗,𝑘,𝑥   𝐹,𝑎,𝑘   𝑦,𝐹   𝑥,𝐺,𝑗,𝑘   𝐺,𝑙,𝑢,𝑗,𝑘   𝑚,𝐺,𝑛,𝑘   𝑛,𝑙,𝑢   𝑛,𝑎,𝜑,𝑘   𝜑,𝑥,𝑗   𝜑,𝑚,𝑛,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑢,𝑙)   𝐴(𝑢,𝑛,𝑙)   𝐹(𝑥,𝑢,𝑗,𝑚,𝑛,𝑙)   𝐺(𝑦,𝑎)

Proof of Theorem caucvgsrlemoffres
Dummy variables 𝑖 𝑓 𝑔 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caucvgsr.f . . . 4 (𝜑𝐹:NR)
2 caucvgsr.cau . . . 4 (𝜑 → ∀𝑛N𝑘N (𝑛 <N 𝑘 → ((𝐹𝑛) <R ((𝐹𝑘) +R [⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∧ (𝐹𝑘) <R ((𝐹𝑛) +R [⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ))))
3 caucvgsrlembnd.bnd . . . 4 (𝜑 → ∀𝑚N 𝐴 <R (𝐹𝑚))
4 caucvgsrlembnd.offset . . . 4 𝐺 = (𝑎N ↦ (((𝐹𝑎) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))
51, 2, 3, 4caucvgsrlemofff 7771 . . 3 (𝜑𝐺:NR)
61, 2, 3, 4caucvgsrlemoffcau 7772 . . 3 (𝜑 → ∀𝑛N𝑘N (𝑛 <N 𝑘 → ((𝐺𝑛) <R ((𝐺𝑘) +R [⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∧ (𝐺𝑘) <R ((𝐺𝑛) +R [⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ))))
71, 2, 3, 4caucvgsrlemoffgt1 7773 . . 3 (𝜑 → ∀𝑚N 1R <R (𝐺𝑚))
85, 6, 7caucvgsrlemgt1 7769 . 2 (𝜑 → ∃𝑧R𝑥R (0R <R 𝑥 → ∃𝑗N𝑖N (𝑗 <N 𝑖 → ((𝐺𝑖) <R (𝑧 +R 𝑥) ∧ 𝑧 <R ((𝐺𝑖) +R 𝑥)))))
9 simprl 529 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑧R ∧ ∀𝑥R (0R <R 𝑥 → ∃𝑗N𝑖N (𝑗 <N 𝑖 → ((𝐺𝑖) <R (𝑧 +R 𝑥) ∧ 𝑧 <R ((𝐺𝑖) +R 𝑥)))))) → 𝑧R)
103caucvgsrlemasr 7764 . . . . . 6 (𝜑𝐴R)
1110adantr 276 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑧R ∧ ∀𝑥R (0R <R 𝑥 → ∃𝑗N𝑖N (𝑗 <N 𝑖 → ((𝐺𝑖) <R (𝑧 +R 𝑥) ∧ 𝑧 <R ((𝐺𝑖) +R 𝑥)))))) → 𝐴R)
12 addclsr 7727 . . . . 5 ((𝑧R𝐴R) → (𝑧 +R 𝐴) ∈ R)
139, 11, 12syl2anc 411 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑧R ∧ ∀𝑥R (0R <R 𝑥 → ∃𝑗N𝑖N (𝑗 <N 𝑖 → ((𝐺𝑖) <R (𝑧 +R 𝑥) ∧ 𝑧 <R ((𝐺𝑖) +R 𝑥)))))) → (𝑧 +R 𝐴) ∈ R)
14 m1r 7726 . . . 4 -1RR
15 addclsr 7727 . . . 4 (((𝑧 +R 𝐴) ∈ R ∧ -1RR) → ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) ∈ R)
1613, 14, 15sylancl 413 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑧R ∧ ∀𝑥R (0R <R 𝑥 → ∃𝑗N𝑖N (𝑗 <N 𝑖 → ((𝐺𝑖) <R (𝑧 +R 𝑥) ∧ 𝑧 <R ((𝐺𝑖) +R 𝑥)))))) → ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) ∈ R)
17 ltasrg 7744 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓R𝑔RR) → (𝑓 <R 𝑔 ↔ ( +R 𝑓) <R ( +R 𝑔)))
1817adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) ∧ (𝑓R𝑔RR)) → (𝑓 <R 𝑔 ↔ ( +R 𝑓) <R ( +R 𝑔)))
195ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → 𝐺:NR)
20 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → 𝑖N)
2119, 20ffvelcdmd 5644 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → (𝐺𝑖) ∈ R)
22 simpllr 534 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → 𝑧R)
23 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → 𝑥R)
24 addclsr 7727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧R𝑥R) → (𝑧 +R 𝑥) ∈ R)
2522, 23, 24syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → (𝑧 +R 𝑥) ∈ R)
2610ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → 𝐴R)
27 addcomsrg 7729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓R𝑔R) → (𝑓 +R 𝑔) = (𝑔 +R 𝑓))
2827adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) ∧ (𝑓R𝑔R)) → (𝑓 +R 𝑔) = (𝑔 +R 𝑓))
2918, 21, 25, 26, 28caovord2d 6034 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → ((𝐺𝑖) <R (𝑧 +R 𝑥) ↔ ((𝐺𝑖) +R 𝐴) <R ((𝑧 +R 𝑥) +R 𝐴)))
301, 2, 3, 4caucvgsrlemoffval 7770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖N) → ((𝐺𝑖) +R 𝐴) = ((𝐹𝑖) +R 1R))
3130adantlr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧R) ∧ 𝑖N) → ((𝐺𝑖) +R 𝐴) = ((𝐹𝑖) +R 1R))
3231adantlr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → ((𝐺𝑖) +R 𝐴) = ((𝐹𝑖) +R 1R))
3332breq1d 4008 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → (((𝐺𝑖) +R 𝐴) <R ((𝑧 +R 𝑥) +R 𝐴) ↔ ((𝐹𝑖) +R 1R) <R ((𝑧 +R 𝑥) +R 𝐴)))
3429, 33bitrd 188 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → ((𝐺𝑖) <R (𝑧 +R 𝑥) ↔ ((𝐹𝑖) +R 1R) <R ((𝑧 +R 𝑥) +R 𝐴)))
35 addasssrg 7730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓R𝑔RR) → ((𝑓 +R 𝑔) +R ) = (𝑓 +R (𝑔 +R )))
3635adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) ∧ (𝑓R𝑔RR)) → ((𝑓 +R 𝑔) +R ) = (𝑓 +R (𝑔 +R )))
3722, 23, 26, 28, 36caov32d 6045 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → ((𝑧 +R 𝑥) +R 𝐴) = ((𝑧 +R 𝐴) +R 𝑥))
3837breq2d 4010 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → (((𝐹𝑖) +R 1R) <R ((𝑧 +R 𝑥) +R 𝐴) ↔ ((𝐹𝑖) +R 1R) <R ((𝑧 +R 𝐴) +R 𝑥)))
391ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) → 𝐹:NR)
4039ffvelcdmda 5643 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → (𝐹𝑖) ∈ R)
41 1sr 7725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1RR
42 addclsr 7727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹𝑖) ∈ R ∧ 1RR) → ((𝐹𝑖) +R 1R) ∈ R)
4340, 41, 42sylancl 413 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → ((𝐹𝑖) +R 1R) ∈ R)
4422, 26, 12syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → (𝑧 +R 𝐴) ∈ R)
45 addclsr 7727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑧 +R 𝐴) ∈ R𝑥R) → ((𝑧 +R 𝐴) +R 𝑥) ∈ R)
4644, 23, 45syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → ((𝑧 +R 𝐴) +R 𝑥) ∈ R)
4714a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → -1RR)
4818, 43, 46, 47, 28caovord2d 6034 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → (((𝐹𝑖) +R 1R) <R ((𝑧 +R 𝐴) +R 𝑥) ↔ (((𝐹𝑖) +R 1R) +R -1R) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R 𝑥) +R -1R)))
4941a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → 1RR)
50 addasssrg 7730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹𝑖) ∈ R ∧ 1RR ∧ -1RR) → (((𝐹𝑖) +R 1R) +R -1R) = ((𝐹𝑖) +R (1R +R -1R)))
5140, 49, 47, 50syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → (((𝐹𝑖) +R 1R) +R -1R) = ((𝐹𝑖) +R (1R +R -1R)))
52 addcomsrg 7729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1RR ∧ -1RR) → (1R +R -1R) = (-1R +R 1R))
5341, 14, 52mp2an 426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1R +R -1R) = (-1R +R 1R)
54 m1p1sr 7734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (-1R +R 1R) = 0R
5553, 54eqtri 2196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1R +R -1R) = 0R
5655oveq2i 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹𝑖) +R (1R +R -1R)) = ((𝐹𝑖) +R 0R)
57 0idsr 7741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑖) ∈ R → ((𝐹𝑖) +R 0R) = (𝐹𝑖))
5840, 57syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → ((𝐹𝑖) +R 0R) = (𝐹𝑖))
5956, 58eqtrid 2220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → ((𝐹𝑖) +R (1R +R -1R)) = (𝐹𝑖))
6051, 59eqtrd 2208 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → (((𝐹𝑖) +R 1R) +R -1R) = (𝐹𝑖))
6144, 23, 47, 28, 36caov32d 6045 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → (((𝑧 +R 𝐴) +R 𝑥) +R -1R) = (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥))
6260, 61breq12d 4011 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → ((((𝐹𝑖) +R 1R) +R -1R) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R 𝑥) +R -1R) ↔ (𝐹𝑖) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥)))
6348, 62bitrd 188 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → (((𝐹𝑖) +R 1R) <R ((𝑧 +R 𝐴) +R 𝑥) ↔ (𝐹𝑖) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥)))
6434, 38, 633bitrd 214 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → ((𝐺𝑖) <R (𝑧 +R 𝑥) ↔ (𝐹𝑖) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥)))
6564biimpd 144 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → ((𝐺𝑖) <R (𝑧 +R 𝑥) → (𝐹𝑖) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥)))
66 addclsr 7727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐺𝑖) ∈ R𝑥R) → ((𝐺𝑖) +R 𝑥) ∈ R)
6721, 23, 66syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → ((𝐺𝑖) +R 𝑥) ∈ R)
6818, 22, 67, 26, 28caovord2d 6034 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → (𝑧 <R ((𝐺𝑖) +R 𝑥) ↔ (𝑧 +R 𝐴) <R (((𝐺𝑖) +R 𝑥) +R 𝐴)))
6921, 23, 26, 28, 36caov32d 6045 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → (((𝐺𝑖) +R 𝑥) +R 𝐴) = (((𝐺𝑖) +R 𝐴) +R 𝑥))
7032oveq1d 5880 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → (((𝐺𝑖) +R 𝐴) +R 𝑥) = (((𝐹𝑖) +R 1R) +R 𝑥))
7169, 70eqtrd 2208 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → (((𝐺𝑖) +R 𝑥) +R 𝐴) = (((𝐹𝑖) +R 1R) +R 𝑥))
7271breq2d 4010 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → ((𝑧 +R 𝐴) <R (((𝐺𝑖) +R 𝑥) +R 𝐴) ↔ (𝑧 +R 𝐴) <R (((𝐹𝑖) +R 1R) +R 𝑥)))
7368, 72bitrd 188 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → (𝑧 <R ((𝐺𝑖) +R 𝑥) ↔ (𝑧 +R 𝐴) <R (((𝐹𝑖) +R 1R) +R 𝑥)))
74 addclsr 7727 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹𝑖) +R 1R) ∈ R𝑥R) → (((𝐹𝑖) +R 1R) +R 𝑥) ∈ R)
7543, 23, 74syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → (((𝐹𝑖) +R 1R) +R 𝑥) ∈ R)
7618, 44, 75, 47, 28caovord2d 6034 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → ((𝑧 +R 𝐴) <R (((𝐹𝑖) +R 1R) +R 𝑥) ↔ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((((𝐹𝑖) +R 1R) +R 𝑥) +R -1R)))
7740, 49, 23, 28, 36caov32d 6045 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → (((𝐹𝑖) +R 1R) +R 𝑥) = (((𝐹𝑖) +R 𝑥) +R 1R))
7877oveq1d 5880 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → ((((𝐹𝑖) +R 1R) +R 𝑥) +R -1R) = ((((𝐹𝑖) +R 𝑥) +R 1R) +R -1R))
79 addclsr 7727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹𝑖) ∈ R𝑥R) → ((𝐹𝑖) +R 𝑥) ∈ R)
8040, 23, 79syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → ((𝐹𝑖) +R 𝑥) ∈ R)
81 addasssrg 7730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹𝑖) +R 𝑥) ∈ R ∧ 1RR ∧ -1RR) → ((((𝐹𝑖) +R 𝑥) +R 1R) +R -1R) = (((𝐹𝑖) +R 𝑥) +R (1R +R -1R)))
8280, 49, 47, 81syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → ((((𝐹𝑖) +R 𝑥) +R 1R) +R -1R) = (((𝐹𝑖) +R 𝑥) +R (1R +R -1R)))
8378, 82eqtrd 2208 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → ((((𝐹𝑖) +R 1R) +R 𝑥) +R -1R) = (((𝐹𝑖) +R 𝑥) +R (1R +R -1R)))
8455oveq2i 5876 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹𝑖) +R 𝑥) +R (1R +R -1R)) = (((𝐹𝑖) +R 𝑥) +R 0R)
8583, 84eqtrdi 2224 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → ((((𝐹𝑖) +R 1R) +R 𝑥) +R -1R) = (((𝐹𝑖) +R 𝑥) +R 0R))
86 0idsr 7741 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹𝑖) +R 𝑥) ∈ R → (((𝐹𝑖) +R 𝑥) +R 0R) = ((𝐹𝑖) +R 𝑥))
8780, 86syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → (((𝐹𝑖) +R 𝑥) +R 0R) = ((𝐹𝑖) +R 𝑥))
8885, 87eqtrd 2208 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → ((((𝐹𝑖) +R 1R) +R 𝑥) +R -1R) = ((𝐹𝑖) +R 𝑥))
8988breq2d 4010 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((((𝐹𝑖) +R 1R) +R 𝑥) +R -1R) ↔ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹𝑖) +R 𝑥)))
9073, 76, 893bitrd 214 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → (𝑧 <R ((𝐺𝑖) +R 𝑥) ↔ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹𝑖) +R 𝑥)))
9190biimpd 144 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → (𝑧 <R ((𝐺𝑖) +R 𝑥) → ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹𝑖) +R 𝑥)))
9265, 91anim12d 335 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → (((𝐺𝑖) <R (𝑧 +R 𝑥) ∧ 𝑧 <R ((𝐺𝑖) +R 𝑥)) → ((𝐹𝑖) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥) ∧ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹𝑖) +R 𝑥))))
9392imim2d 54 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) ∧ 𝑖N) → ((𝑗 <N 𝑖 → ((𝐺𝑖) <R (𝑧 +R 𝑥) ∧ 𝑧 <R ((𝐺𝑖) +R 𝑥))) → (𝑗 <N 𝑖 → ((𝐹𝑖) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥) ∧ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹𝑖) +R 𝑥)))))
9493ralimdva 2542 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) → (∀𝑖N (𝑗 <N 𝑖 → ((𝐺𝑖) <R (𝑧 +R 𝑥) ∧ 𝑧 <R ((𝐺𝑖) +R 𝑥))) → ∀𝑖N (𝑗 <N 𝑖 → ((𝐹𝑖) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥) ∧ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹𝑖) +R 𝑥)))))
95 breq2 4002 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑘 → (𝑗 <N 𝑖𝑗 <N 𝑘))
96 fveq2 5507 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑘 → (𝐹𝑖) = (𝐹𝑘))
9796breq1d 4008 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑘 → ((𝐹𝑖) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥) ↔ (𝐹𝑘) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥)))
9896oveq1d 5880 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑘 → ((𝐹𝑖) +R 𝑥) = ((𝐹𝑘) +R 𝑥))
9998breq2d 4010 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑘 → (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹𝑖) +R 𝑥) ↔ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹𝑘) +R 𝑥)))
10097, 99anbi12d 473 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑘 → (((𝐹𝑖) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥) ∧ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹𝑖) +R 𝑥)) ↔ ((𝐹𝑘) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥) ∧ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹𝑘) +R 𝑥))))
10195, 100imbi12d 234 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑘 → ((𝑗 <N 𝑖 → ((𝐹𝑖) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥) ∧ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹𝑖) +R 𝑥))) ↔ (𝑗 <N 𝑘 → ((𝐹𝑘) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥) ∧ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹𝑘) +R 𝑥)))))
102101cbvralv 2701 . . . . . . . 8 (∀𝑖N (𝑗 <N 𝑖 → ((𝐹𝑖) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥) ∧ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹𝑖) +R 𝑥))) ↔ ∀𝑘N (𝑗 <N 𝑘 → ((𝐹𝑘) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥) ∧ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹𝑘) +R 𝑥))))
10394, 102syl6ib 161 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) → (∀𝑖N (𝑗 <N 𝑖 → ((𝐺𝑖) <R (𝑧 +R 𝑥) ∧ 𝑧 <R ((𝐺𝑖) +R 𝑥))) → ∀𝑘N (𝑗 <N 𝑘 → ((𝐹𝑘) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥) ∧ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹𝑘) +R 𝑥)))))
104103reximdv 2576 . . . . . 6 (((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) → (∃𝑗N𝑖N (𝑗 <N 𝑖 → ((𝐺𝑖) <R (𝑧 +R 𝑥) ∧ 𝑧 <R ((𝐺𝑖) +R 𝑥))) → ∃𝑗N𝑘N (𝑗 <N 𝑘 → ((𝐹𝑘) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥) ∧ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹𝑘) +R 𝑥)))))
105104imim2d 54 . . . . 5 (((𝜑𝑧R) ∧ 𝑥R) → ((0R <R 𝑥 → ∃𝑗N𝑖N (𝑗 <N 𝑖 → ((𝐺𝑖) <R (𝑧 +R 𝑥) ∧ 𝑧 <R ((𝐺𝑖) +R 𝑥)))) → (0R <R 𝑥 → ∃𝑗N𝑘N (𝑗 <N 𝑘 → ((𝐹𝑘) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥) ∧ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹𝑘) +R 𝑥))))))
106105ralimdva 2542 . . . 4 ((𝜑𝑧R) → (∀𝑥R (0R <R 𝑥 → ∃𝑗N𝑖N (𝑗 <N 𝑖 → ((𝐺𝑖) <R (𝑧 +R 𝑥) ∧ 𝑧 <R ((𝐺𝑖) +R 𝑥)))) → ∀𝑥R (0R <R 𝑥 → ∃𝑗N𝑘N (𝑗 <N 𝑘 → ((𝐹𝑘) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥) ∧ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹𝑘) +R 𝑥))))))
107106impr 379 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑧R ∧ ∀𝑥R (0R <R 𝑥 → ∃𝑗N𝑖N (𝑗 <N 𝑖 → ((𝐺𝑖) <R (𝑧 +R 𝑥) ∧ 𝑧 <R ((𝐺𝑖) +R 𝑥)))))) → ∀𝑥R (0R <R 𝑥 → ∃𝑗N𝑘N (𝑗 <N 𝑘 → ((𝐹𝑘) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥) ∧ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹𝑘) +R 𝑥)))))
108 oveq1 5872 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) → (𝑦 +R 𝑥) = (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥))
109108breq2d 4010 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) → ((𝐹𝑘) <R (𝑦 +R 𝑥) ↔ (𝐹𝑘) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥)))
110 breq1 4001 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) → (𝑦 <R ((𝐹𝑘) +R 𝑥) ↔ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹𝑘) +R 𝑥)))
111109, 110anbi12d 473 . . . . . . . 8 (𝑦 = ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) → (((𝐹𝑘) <R (𝑦 +R 𝑥) ∧ 𝑦 <R ((𝐹𝑘) +R 𝑥)) ↔ ((𝐹𝑘) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥) ∧ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹𝑘) +R 𝑥))))
112111imbi2d 230 . . . . . . 7 (𝑦 = ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) → ((𝑗 <N 𝑘 → ((𝐹𝑘) <R (𝑦 +R 𝑥) ∧ 𝑦 <R ((𝐹𝑘) +R 𝑥))) ↔ (𝑗 <N 𝑘 → ((𝐹𝑘) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥) ∧ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹𝑘) +R 𝑥)))))
113112rexralbidv 2501 . . . . . 6 (𝑦 = ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) → (∃𝑗N𝑘N (𝑗 <N 𝑘 → ((𝐹𝑘) <R (𝑦 +R 𝑥) ∧ 𝑦 <R ((𝐹𝑘) +R 𝑥))) ↔ ∃𝑗N𝑘N (𝑗 <N 𝑘 → ((𝐹𝑘) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥) ∧ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹𝑘) +R 𝑥)))))
114113imbi2d 230 . . . . 5 (𝑦 = ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) → ((0R <R 𝑥 → ∃𝑗N𝑘N (𝑗 <N 𝑘 → ((𝐹𝑘) <R (𝑦 +R 𝑥) ∧ 𝑦 <R ((𝐹𝑘) +R 𝑥)))) ↔ (0R <R 𝑥 → ∃𝑗N𝑘N (𝑗 <N 𝑘 → ((𝐹𝑘) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥) ∧ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹𝑘) +R 𝑥))))))
115114ralbidv 2475 . . . 4 (𝑦 = ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) → (∀𝑥R (0R <R 𝑥 → ∃𝑗N𝑘N (𝑗 <N 𝑘 → ((𝐹𝑘) <R (𝑦 +R 𝑥) ∧ 𝑦 <R ((𝐹𝑘) +R 𝑥)))) ↔ ∀𝑥R (0R <R 𝑥 → ∃𝑗N𝑘N (𝑗 <N 𝑘 → ((𝐹𝑘) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥) ∧ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹𝑘) +R 𝑥))))))
116115rspcev 2839 . . 3 ((((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) ∈ R ∧ ∀𝑥R (0R <R 𝑥 → ∃𝑗N𝑘N (𝑗 <N 𝑘 → ((𝐹𝑘) <R (((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) +R 𝑥) ∧ ((𝑧 +R 𝐴) +R -1R) <R ((𝐹𝑘) +R 𝑥))))) → ∃𝑦R𝑥R (0R <R 𝑥 → ∃𝑗N𝑘N (𝑗 <N 𝑘 → ((𝐹𝑘) <R (𝑦 +R 𝑥) ∧ 𝑦 <R ((𝐹𝑘) +R 𝑥)))))
11716, 107, 116syl2anc 411 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑧R ∧ ∀𝑥R (0R <R 𝑥 → ∃𝑗N𝑖N (𝑗 <N 𝑖 → ((𝐺𝑖) <R (𝑧 +R 𝑥) ∧ 𝑧 <R ((𝐺𝑖) +R 𝑥)))))) → ∃𝑦R𝑥R (0R <R 𝑥 → ∃𝑗N𝑘N (𝑗 <N 𝑘 → ((𝐹𝑘) <R (𝑦 +R 𝑥) ∧ 𝑦 <R ((𝐹𝑘) +R 𝑥)))))
1188, 117rexlimddv 2597 1 (𝜑 → ∃𝑦R𝑥R (0R <R 𝑥 → ∃𝑗N𝑘N (𝑗 <N 𝑘 → ((𝐹𝑘) <R (𝑦 +R 𝑥) ∧ 𝑦 <R ((𝐹𝑘) +R 𝑥)))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2146  {cab 2161  wral 2453  wrex 2454  cop 3592   class class class wbr 3998  cmpt 4059  wf 5204  cfv 5208  (class class class)co 5865  1oc1o 6400  [cec 6523  Ncnpi 7246   <N clti 7249   ~Q ceq 7253  *Qcrq 7258   <Q cltq 7259  1Pc1p 7266   +P cpp 7267   ~R cer 7270  Rcnr 7271  0Rc0r 7272  1Rc1r 7273  -1Rcm1r 7274   +R cplr 7275   ·R cmr 7276   <R cltr 7277
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-eprel 4283  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-irdg 6361  df-1o 6407  df-2o 6408  df-oadd 6411  df-omul 6412  df-er 6525  df-ec 6527  df-qs 6531  df-ni 7278  df-pli 7279  df-mi 7280  df-lti 7281  df-plpq 7318  df-mpq 7319  df-enq 7321  df-nqqs 7322  df-plqqs 7323  df-mqqs 7324  df-1nqqs 7325  df-rq 7326  df-ltnqqs 7327  df-enq0 7398  df-nq0 7399  df-0nq0 7400  df-plq0 7401  df-mq0 7402  df-inp 7440  df-i1p 7441  df-iplp 7442  df-imp 7443  df-iltp 7444  df-enr 7700  df-nr 7701  df-plr 7702  df-mr 7703  df-ltr 7704  df-0r 7705  df-1r 7706  df-m1r 7707
This theorem is referenced by:  caucvgsrlembnd  7775
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