Theorem resqrexlemgt0 11730

Description: Lemma for resqrex 11736. A limit is nonnegative. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
resqrexlemgt0.rr	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
resqrexlemgt0.lim	⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)))

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemgt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐿)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝑒,𝐹   𝑒,𝐿,𝑖,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗   𝑧,𝑗,𝜑   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑒)   𝐴(𝑒,𝑖,𝑗)   𝐹(𝑦,𝑧,𝑖,𝑗)   𝐿(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6066	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = -𝐿 → (𝐿 + 𝑒) = (𝐿 + -𝐿))
2	1	breq2d 4126	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = -𝐿 → ((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ↔ (𝐹‘𝑖) < (𝐿 + -𝐿)))
3		oveq2 6066	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = -𝐿 → ((𝐹‘𝑖) + 𝑒) = ((𝐹‘𝑖) + -𝐿))
4	3	breq2d 4126	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = -𝐿 → (𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒) ↔ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + -𝐿)))
5	2, 4	anbi12d 473	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 = -𝐿 → (((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)) ↔ ((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + -𝐿))))
6	5	rexralbidv 2570	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = -𝐿 → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + -𝐿))))
7		resqrexlemgt0.lim	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)))
8	7	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)))
9		resqrexlemgt0.rr	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
10	9	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → 𝐿 ∈ ℝ)
11	10	renegcld 8670	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → -𝐿 ∈ ℝ)
12	9	lt0neg1d 8806	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐿 < 0 ↔ 0 < -𝐿))
13	12	biimpa 296	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → 0 < -𝐿)
14	11, 13	elrpd 10044	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → -𝐿 ∈ ℝ+)
15	6, 8, 14	rspcdva 2928	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + -𝐿)))
16		simpl 109	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + -𝐿)) → (𝐹‘𝑖) < (𝐿 + -𝐿))
17	10	recnd 8318	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → 𝐿 ∈ ℂ)
18	17	negidd 8590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → (𝐿 + -𝐿) = 0)
19	18	breq2d 4126	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → ((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ↔ (𝐹‘𝑖) < 0))
20	16, 19	imbitrid 154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → (((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + -𝐿)) → (𝐹‘𝑖) < 0))
21	20	ralimdv 2612	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → (∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + -𝐿)) → ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑖) < 0))
22	21	reximdv 2645	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + -𝐿)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑖) < 0))
23	15, 22	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑖) < 0)
24		0red 8291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 0 ∈ ℝ)
25		eluznn 9950	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑖 ∈ ℕ)
26		resqrexlemex.seq	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
27		resqrexlemex.a	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
28		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
29	26, 27, 28	resqrexlemf 11717	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)
30	29	ffvelcdmda 5817	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ+)
31	25, 30	sylan2 286	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ+)
32	31	rpred 10047	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ)
33	31	rpgt0d 10050	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 0 < (𝐹‘𝑖))
34	24, 32, 33	ltnsymd 8409	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ¬ (𝐹‘𝑖) < 0)
35	34	pm2.21d 624	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((𝐹‘𝑖) < 0 → ⊥))
36	35	anassrs 400	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐹‘𝑖) < 0 → ⊥))
37	36	ralimdva 2611	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑖) < 0 → ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)⊥))
38		nnz 9613	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
39		uzid 9886	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
40		elex2 2832	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → ∃𝑧 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
41		r19.3rmv 3604	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑧 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (⊥ ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)⊥))
42	39, 40, 41	3syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → (⊥ ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)⊥))
43	38, 42	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (⊥ ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)⊥))
44	43	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (⊥ ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)⊥))
45	37, 44	sylibrd 169	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑖) < 0 → ⊥))
46	45	rexlimdva 2662	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑖) < 0 → ⊥))
47	46	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑖) < 0 → ⊥))
48	23, 47	mpd 13	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → ⊥)
49	48	inegd 1417	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐿 < 0)
50		0re 8290	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
51		lenlt 8365	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐿 ↔ ¬ 𝐿 < 0))
52	50, 9, 51	sylancr 414	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐿 ↔ ¬ 𝐿 < 0))
53	49, 52	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐿)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398  ⊥wfal 1403  ∃wex 1541   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522  ∃wrex 2523  {csn 3694   class class class wbr 4114   × cxp 4752  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058   ∈ cmpo 6060  ℝcr 8142  0cc0 8143  1c1 8144   + caddc 8146   < clt 8324   ≤ cle 8325  -cneg 8461   / cdiv 8963  ℕcn 9254  2c2 9305  ℤcz 9594  ℤ_≥cuz 9871  ℝ⁺crp 10004  seqcseq 10833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-rp 10005  df-seqfrec 10834

This theorem is referenced by:  resqrexlemglsq  11732  resqrexlemex  11735