Theorem resqrexlemgt0 11526

Description: Lemma for resqrex 11532. A limit is nonnegative. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
resqrexlemgt0.rr	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
resqrexlemgt0.lim	⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)))

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemgt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐿)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝑒,𝐹   𝑒,𝐿,𝑖,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗   𝑧,𝑗,𝜑   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑒)   𝐴(𝑒,𝑖,𝑗)   𝐹(𝑦,𝑧,𝑖,𝑗)   𝐿(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6008	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = -𝐿 → (𝐿 + 𝑒) = (𝐿 + -𝐿))
2	1	breq2d 4094	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = -𝐿 → ((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ↔ (𝐹‘𝑖) < (𝐿 + -𝐿)))
3		oveq2 6008	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = -𝐿 → ((𝐹‘𝑖) + 𝑒) = ((𝐹‘𝑖) + -𝐿))
4	3	breq2d 4094	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = -𝐿 → (𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒) ↔ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + -𝐿)))
5	2, 4	anbi12d 473	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 = -𝐿 → (((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)) ↔ ((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + -𝐿))))
6	5	rexralbidv 2556	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = -𝐿 → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + -𝐿))))
7		resqrexlemgt0.lim	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)))
8	7	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)))
9		resqrexlemgt0.rr	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
10	9	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → 𝐿 ∈ ℝ)
11	10	renegcld 8522	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → -𝐿 ∈ ℝ)
12	9	lt0neg1d 8658	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐿 < 0 ↔ 0 < -𝐿))
13	12	biimpa 296	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → 0 < -𝐿)
14	11, 13	elrpd 9885	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → -𝐿 ∈ ℝ+)
15	6, 8, 14	rspcdva 2912	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + -𝐿)))
16		simpl 109	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + -𝐿)) → (𝐹‘𝑖) < (𝐿 + -𝐿))
17	10	recnd 8171	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → 𝐿 ∈ ℂ)
18	17	negidd 8443	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → (𝐿 + -𝐿) = 0)
19	18	breq2d 4094	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → ((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ↔ (𝐹‘𝑖) < 0))
20	16, 19	imbitrid 154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → (((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + -𝐿)) → (𝐹‘𝑖) < 0))
21	20	ralimdv 2598	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → (∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + -𝐿)) → ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑖) < 0))
22	21	reximdv 2631	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + -𝐿)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑖) < 0))
23	15, 22	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑖) < 0)
24		0red 8143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 0 ∈ ℝ)
25		eluznn 9791	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑖 ∈ ℕ)
26		resqrexlemex.seq	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
27		resqrexlemex.a	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
28		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
29	26, 27, 28	resqrexlemf 11513	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)
30	29	ffvelcdmda 5769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ+)
31	25, 30	sylan2 286	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ+)
32	31	rpred 9888	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ)
33	31	rpgt0d 9891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 0 < (𝐹‘𝑖))
34	24, 32, 33	ltnsymd 8262	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ¬ (𝐹‘𝑖) < 0)
35	34	pm2.21d 622	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((𝐹‘𝑖) < 0 → ⊥))
36	35	anassrs 400	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐹‘𝑖) < 0 → ⊥))
37	36	ralimdva 2597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑖) < 0 → ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)⊥))
38		nnz 9461	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
39		uzid 9732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
40		elex2 2816	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → ∃𝑧 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
41		r19.3rmv 3582	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑧 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (⊥ ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)⊥))
42	39, 40, 41	3syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → (⊥ ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)⊥))
43	38, 42	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (⊥ ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)⊥))
44	43	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (⊥ ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)⊥))
45	37, 44	sylibrd 169	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑖) < 0 → ⊥))
46	45	rexlimdva 2648	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑖) < 0 → ⊥))
47	46	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑖) < 0 → ⊥))
48	23, 47	mpd 13	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → ⊥)
49	48	inegd 1414	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐿 < 0)
50		0re 8142	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
51		lenlt 8218	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐿 ↔ ¬ 𝐿 < 0))
52	50, 9, 51	sylancr 414	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐿 ↔ ¬ 𝐿 < 0))
53	49, 52	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐿)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395  ⊥wfal 1400  ∃wex 1538   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ∃wrex 2509  {csn 3666   class class class wbr 4082   × cxp 4716  ‘cfv 5317  (class class class)co 6000   ∈ cmpo 6002  ℝcr 7994  0cc0 7995  1c1 7996   + caddc 7998   < clt 8177   ≤ cle 8178  -cneg 8314   / cdiv 8815  ℕcn 9106  2c2 9157  ℤcz 9442  ℤ_≥cuz 9718  ℝ⁺crp 9845  seqcseq 10664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-frec 6535  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-inn 9107  df-2 9165  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-rp 9846  df-seqfrec 10665

This theorem is referenced by:  resqrexlemglsq  11528  resqrexlemex  11531