ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrexlemgt0 GIF version

Theorem resqrexlemgt0 10962
Description: Lemma for resqrex 10968. A limit is nonnegative. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
resqrexlemgt0.rr (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
resqrexlemgt0.lim (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)))
Assertion
Ref Expression
resqrexlemgt0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐿)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝑒,𝐹   𝑒,𝐿,𝑖,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗   𝑧,𝑗,𝜑   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑒)   𝐴(𝑒,𝑖,𝑗)   𝐹(𝑦,𝑧,𝑖,𝑗)   𝐿(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemgt0
StepHypRef Expression
1 oveq2 5850 . . . . . . . . 9 (𝑒 = -𝐿 → (𝐿 + 𝑒) = (𝐿 + -𝐿))
21breq2d 3994 . . . . . . . 8 (𝑒 = -𝐿 → ((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ↔ (𝐹𝑖) < (𝐿 + -𝐿)))
3 oveq2 5850 . . . . . . . . 9 (𝑒 = -𝐿 → ((𝐹𝑖) + 𝑒) = ((𝐹𝑖) + -𝐿))
43breq2d 3994 . . . . . . . 8 (𝑒 = -𝐿 → (𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒) ↔ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + -𝐿)))
52, 4anbi12d 465 . . . . . . 7 (𝑒 = -𝐿 → (((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)) ↔ ((𝐹𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + -𝐿))))
65rexralbidv 2492 . . . . . 6 (𝑒 = -𝐿 → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + -𝐿))))
7 resqrexlemgt0.lim . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)))
87adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑𝐿 < 0) → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)))
9 resqrexlemgt0.rr . . . . . . . . 9 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
109adantr 274 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐿 < 0) → 𝐿 ∈ ℝ)
1110renegcld 8278 . . . . . . 7 ((𝜑𝐿 < 0) → -𝐿 ∈ ℝ)
129lt0neg1d 8413 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐿 < 0 ↔ 0 < -𝐿))
1312biimpa 294 . . . . . . 7 ((𝜑𝐿 < 0) → 0 < -𝐿)
1411, 13elrpd 9629 . . . . . 6 ((𝜑𝐿 < 0) → -𝐿 ∈ ℝ+)
156, 8, 14rspcdva 2835 . . . . 5 ((𝜑𝐿 < 0) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + -𝐿)))
16 simpl 108 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + -𝐿)) → (𝐹𝑖) < (𝐿 + -𝐿))
1710recnd 7927 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐿 < 0) → 𝐿 ∈ ℂ)
1817negidd 8199 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐿 < 0) → (𝐿 + -𝐿) = 0)
1918breq2d 3994 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐿 < 0) → ((𝐹𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ↔ (𝐹𝑖) < 0))
2016, 19syl5ib 153 . . . . . . 7 ((𝜑𝐿 < 0) → (((𝐹𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + -𝐿)) → (𝐹𝑖) < 0))
2120ralimdv 2534 . . . . . 6 ((𝜑𝐿 < 0) → (∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + -𝐿)) → ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑖) < 0))
2221reximdv 2567 . . . . 5 ((𝜑𝐿 < 0) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + -𝐿)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑖) < 0))
2315, 22mpd 13 . . . 4 ((𝜑𝐿 < 0) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑖) < 0)
24 0red 7900 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → 0 ∈ ℝ)
25 eluznn 9538 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑖 ∈ ℕ)
26 resqrexlemex.seq . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
27 resqrexlemex.a . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
28 resqrexlemex.agt0 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
2926, 27, 28resqrexlemf 10949 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ+)
3029ffvelrnda 5620 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (𝐹𝑖) ∈ ℝ+)
3125, 30sylan2 284 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐹𝑖) ∈ ℝ+)
3231rpred 9632 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐹𝑖) ∈ ℝ)
3331rpgt0d 9635 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → 0 < (𝐹𝑖))
3424, 32, 33ltnsymd 8018 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → ¬ (𝐹𝑖) < 0)
3534pm2.21d 609 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝐹𝑖) < 0 → ⊥))
3635anassrs 398 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑖) < 0 → ⊥))
3736ralimdva 2533 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑖) < 0 → ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)⊥))
38 nnz 9210 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
39 uzid 9480 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
40 elex2 2742 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (ℤ𝑗) → ∃𝑧 𝑧 ∈ (ℤ𝑗))
41 r19.3rmv 3499 . . . . . . . . . 10 (∃𝑧 𝑧 ∈ (ℤ𝑗) → (⊥ ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)⊥))
4239, 40, 413syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℤ → (⊥ ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)⊥))
4338, 42syl 14 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ → (⊥ ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)⊥))
4443adantl 275 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (⊥ ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)⊥))
4537, 44sylibrd 168 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑖) < 0 → ⊥))
4645rexlimdva 2583 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑖) < 0 → ⊥))
4746adantr 274 . . . 4 ((𝜑𝐿 < 0) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑖) < 0 → ⊥))
4823, 47mpd 13 . . 3 ((𝜑𝐿 < 0) → ⊥)
4948inegd 1362 . 2 (𝜑 → ¬ 𝐿 < 0)
50 0re 7899 . . 3 0 ∈ ℝ
51 lenlt 7974 . . 3 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐿 ↔ ¬ 𝐿 < 0))
5250, 9, 51sylancr 411 . 2 (𝜑 → (0 ≤ 𝐿 ↔ ¬ 𝐿 < 0))
5349, 52mpbird 166 1 (𝜑 → 0 ≤ 𝐿)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1343  wfal 1348  wex 1480  wcel 2136  wral 2444  wrex 2445  {csn 3576   class class class wbr 3982   × cxp 4602  cfv 5188  (class class class)co 5842  cmpo 5844  cr 7752  0cc0 7753  1c1 7754   + caddc 7756   < clt 7933  cle 7934  -cneg 8070   / cdiv 8568  cn 8857  2c2 8908  cz 9191  cuz 9466  +crp 9589  seqcseq 10380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-rp 9590  df-seqfrec 10381
This theorem is referenced by:  resqrexlemglsq  10964  resqrexlemex  10967
  Copyright terms: Public domain W3C validator