ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrexlemgt0 GIF version

Theorem resqrexlemgt0 11000
Description: Lemma for resqrex 11006. A limit is nonnegative. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
resqrexlemgt0.rr (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
resqrexlemgt0.lim (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)))
Assertion
Ref Expression
resqrexlemgt0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐿)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝑒,𝐹   𝑒,𝐿,𝑖,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗   𝑧,𝑗,𝜑   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑒)   𝐴(𝑒,𝑖,𝑗)   𝐹(𝑦,𝑧,𝑖,𝑗)   𝐿(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemgt0
StepHypRef Expression
1 oveq2 5876 . . . . . . . . 9 (𝑒 = -𝐿 → (𝐿 + 𝑒) = (𝐿 + -𝐿))
21breq2d 4012 . . . . . . . 8 (𝑒 = -𝐿 → ((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ↔ (𝐹𝑖) < (𝐿 + -𝐿)))
3 oveq2 5876 . . . . . . . . 9 (𝑒 = -𝐿 → ((𝐹𝑖) + 𝑒) = ((𝐹𝑖) + -𝐿))
43breq2d 4012 . . . . . . . 8 (𝑒 = -𝐿 → (𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒) ↔ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + -𝐿)))
52, 4anbi12d 473 . . . . . . 7 (𝑒 = -𝐿 → (((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)) ↔ ((𝐹𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + -𝐿))))
65rexralbidv 2503 . . . . . 6 (𝑒 = -𝐿 → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + -𝐿))))
7 resqrexlemgt0.lim . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)))
87adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑𝐿 < 0) → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)))
9 resqrexlemgt0.rr . . . . . . . . 9 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
109adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐿 < 0) → 𝐿 ∈ ℝ)
1110renegcld 8314 . . . . . . 7 ((𝜑𝐿 < 0) → -𝐿 ∈ ℝ)
129lt0neg1d 8449 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐿 < 0 ↔ 0 < -𝐿))
1312biimpa 296 . . . . . . 7 ((𝜑𝐿 < 0) → 0 < -𝐿)
1411, 13elrpd 9667 . . . . . 6 ((𝜑𝐿 < 0) → -𝐿 ∈ ℝ+)
156, 8, 14rspcdva 2846 . . . . 5 ((𝜑𝐿 < 0) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + -𝐿)))
16 simpl 109 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + -𝐿)) → (𝐹𝑖) < (𝐿 + -𝐿))
1710recnd 7963 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐿 < 0) → 𝐿 ∈ ℂ)
1817negidd 8235 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐿 < 0) → (𝐿 + -𝐿) = 0)
1918breq2d 4012 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐿 < 0) → ((𝐹𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ↔ (𝐹𝑖) < 0))
2016, 19syl5ib 154 . . . . . . 7 ((𝜑𝐿 < 0) → (((𝐹𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + -𝐿)) → (𝐹𝑖) < 0))
2120ralimdv 2545 . . . . . 6 ((𝜑𝐿 < 0) → (∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + -𝐿)) → ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑖) < 0))
2221reximdv 2578 . . . . 5 ((𝜑𝐿 < 0) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + -𝐿)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑖) < 0))
2315, 22mpd 13 . . . 4 ((𝜑𝐿 < 0) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑖) < 0)
24 0red 7936 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → 0 ∈ ℝ)
25 eluznn 9576 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑖 ∈ ℕ)
26 resqrexlemex.seq . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
27 resqrexlemex.a . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
28 resqrexlemex.agt0 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
2926, 27, 28resqrexlemf 10987 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ+)
3029ffvelcdmda 5646 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (𝐹𝑖) ∈ ℝ+)
3125, 30sylan2 286 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐹𝑖) ∈ ℝ+)
3231rpred 9670 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐹𝑖) ∈ ℝ)
3331rpgt0d 9673 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → 0 < (𝐹𝑖))
3424, 32, 33ltnsymd 8054 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → ¬ (𝐹𝑖) < 0)
3534pm2.21d 619 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝐹𝑖) < 0 → ⊥))
3635anassrs 400 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑖) < 0 → ⊥))
3736ralimdva 2544 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑖) < 0 → ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)⊥))
38 nnz 9248 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
39 uzid 9518 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
40 elex2 2753 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (ℤ𝑗) → ∃𝑧 𝑧 ∈ (ℤ𝑗))
41 r19.3rmv 3513 . . . . . . . . . 10 (∃𝑧 𝑧 ∈ (ℤ𝑗) → (⊥ ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)⊥))
4239, 40, 413syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℤ → (⊥ ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)⊥))
4338, 42syl 14 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ → (⊥ ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)⊥))
4443adantl 277 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (⊥ ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)⊥))
4537, 44sylibrd 169 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑖) < 0 → ⊥))
4645rexlimdva 2594 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑖) < 0 → ⊥))
4746adantr 276 . . . 4 ((𝜑𝐿 < 0) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑖) < 0 → ⊥))
4823, 47mpd 13 . . 3 ((𝜑𝐿 < 0) → ⊥)
4948inegd 1372 . 2 (𝜑 → ¬ 𝐿 < 0)
50 0re 7935 . . 3 0 ∈ ℝ
51 lenlt 8010 . . 3 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐿 ↔ ¬ 𝐿 < 0))
5250, 9, 51sylancr 414 . 2 (𝜑 → (0 ≤ 𝐿 ↔ ¬ 𝐿 < 0))
5349, 52mpbird 167 1 (𝜑 → 0 ≤ 𝐿)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wfal 1358  wex 1492  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  {csn 3591   class class class wbr 4000   × cxp 4620  cfv 5211  (class class class)co 5868  cmpo 5870  cr 7788  0cc0 7789  1c1 7790   + caddc 7792   < clt 7969  cle 7970  -cneg 8106   / cdiv 8605  cn 8895  2c2 8946  cz 9229  cuz 9504  +crp 9627  seqcseq 10418
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-iinf 4583  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-mulrcl 7888  ax-addcom 7889  ax-mulcom 7890  ax-addass 7891  ax-mulass 7892  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-1rid 7896  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-precex 7899  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-apti 7904  ax-pre-ltadd 7905  ax-pre-mulgt0 7906  ax-pre-mulext 7907
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4289  df-po 4292  df-iso 4293  df-iord 4362  df-on 4364  df-ilim 4365  df-suc 4367  df-iom 4586  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-recs 6299  df-frec 6385  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-reap 8509  df-ap 8516  df-div 8606  df-inn 8896  df-2 8954  df-n0 9153  df-z 9230  df-uz 9505  df-rp 9628  df-seqfrec 10419
This theorem is referenced by:  resqrexlemglsq  11002  resqrexlemex  11005
  Copyright terms: Public domain W3C validator