Theorem resqrexlemgt0 11643

Description: Lemma for resqrex 11649. A limit is nonnegative. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
resqrexlemgt0.rr	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
resqrexlemgt0.lim	⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)))

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemgt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐿)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝑒,𝐹   𝑒,𝐿,𝑖,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗   𝑧,𝑗,𝜑   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑒)   𝐴(𝑒,𝑖,𝑗)   𝐹(𝑦,𝑧,𝑖,𝑗)   𝐿(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6036	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = -𝐿 → (𝐿 + 𝑒) = (𝐿 + -𝐿))
2	1	breq2d 4105	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = -𝐿 → ((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ↔ (𝐹‘𝑖) < (𝐿 + -𝐿)))
3		oveq2 6036	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = -𝐿 → ((𝐹‘𝑖) + 𝑒) = ((𝐹‘𝑖) + -𝐿))
4	3	breq2d 4105	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = -𝐿 → (𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒) ↔ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + -𝐿)))
5	2, 4	anbi12d 473	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 = -𝐿 → (((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)) ↔ ((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + -𝐿))))
6	5	rexralbidv 2559	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = -𝐿 → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + -𝐿))))
7		resqrexlemgt0.lim	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)))
8	7	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)))
9		resqrexlemgt0.rr	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
10	9	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → 𝐿 ∈ ℝ)
11	10	renegcld 8601	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → -𝐿 ∈ ℝ)
12	9	lt0neg1d 8737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐿 < 0 ↔ 0 < -𝐿))
13	12	biimpa 296	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → 0 < -𝐿)
14	11, 13	elrpd 9972	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → -𝐿 ∈ ℝ+)
15	6, 8, 14	rspcdva 2916	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + -𝐿)))
16		simpl 109	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + -𝐿)) → (𝐹‘𝑖) < (𝐿 + -𝐿))
17	10	recnd 8250	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → 𝐿 ∈ ℂ)
18	17	negidd 8522	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → (𝐿 + -𝐿) = 0)
19	18	breq2d 4105	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → ((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ↔ (𝐹‘𝑖) < 0))
20	16, 19	imbitrid 154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → (((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + -𝐿)) → (𝐹‘𝑖) < 0))
21	20	ralimdv 2601	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → (∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + -𝐿)) → ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑖) < 0))
22	21	reximdv 2634	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + -𝐿)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑖) < 0))
23	15, 22	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑖) < 0)
24		0red 8223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 0 ∈ ℝ)
25		eluznn 9878	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑖 ∈ ℕ)
26		resqrexlemex.seq	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
27		resqrexlemex.a	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
28		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
29	26, 27, 28	resqrexlemf 11630	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)
30	29	ffvelcdmda 5790	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ+)
31	25, 30	sylan2 286	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ+)
32	31	rpred 9975	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ)
33	31	rpgt0d 9978	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 0 < (𝐹‘𝑖))
34	24, 32, 33	ltnsymd 8341	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ¬ (𝐹‘𝑖) < 0)
35	34	pm2.21d 624	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((𝐹‘𝑖) < 0 → ⊥))
36	35	anassrs 400	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐹‘𝑖) < 0 → ⊥))
37	36	ralimdva 2600	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑖) < 0 → ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)⊥))
38		nnz 9542	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
39		uzid 9814	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
40		elex2 2820	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → ∃𝑧 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
41		r19.3rmv 3587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑧 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (⊥ ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)⊥))
42	39, 40, 41	3syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → (⊥ ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)⊥))
43	38, 42	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (⊥ ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)⊥))
44	43	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (⊥ ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)⊥))
45	37, 44	sylibrd 169	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑖) < 0 → ⊥))
46	45	rexlimdva 2651	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑖) < 0 → ⊥))
47	46	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑖) < 0 → ⊥))
48	23, 47	mpd 13	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → ⊥)
49	48	inegd 1417	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐿 < 0)
50		0re 8222	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
51		lenlt 8297	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐿 ↔ ¬ 𝐿 < 0))
52	50, 9, 51	sylancr 414	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐿 ↔ ¬ 𝐿 < 0))
53	49, 52	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐿)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398  ⊥wfal 1403  ∃wex 1541   ∈ wcel 2202  ∀wral 2511  ∃wrex 2512  {csn 3673   class class class wbr 4093   × cxp 4729  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028   ∈ cmpo 6030  ℝcr 8074  0cc0 8075  1c1 8076   + caddc 8078   < clt 8256   ≤ cle 8257  -cneg 8393   / cdiv 8894  ℕcn 9185  2c2 9236  ℤcz 9523  ℤ_≥cuz 9799  ℝ⁺crp 9932  seqcseq 10755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-ap 8804  df-div 8895  df-inn 9186  df-2 9244  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-rp 9933  df-seqfrec 10756

This theorem is referenced by:  resqrexlemglsq  11645  resqrexlemex  11648