Theorem resqrexlemgt0 11029

Description: Lemma for resqrex 11035. A limit is nonnegative. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
resqrexlemgt0.rr	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
resqrexlemgt0.lim	⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)))

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemgt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐿)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝑒,𝐹   𝑒,𝐿,𝑖,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗   𝑧,𝑗,𝜑   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑒)   𝐴(𝑒,𝑖,𝑗)   𝐹(𝑦,𝑧,𝑖,𝑗)   𝐿(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5883	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = -𝐿 → (𝐿 + 𝑒) = (𝐿 + -𝐿))
2	1	breq2d 4016	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = -𝐿 → ((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ↔ (𝐹‘𝑖) < (𝐿 + -𝐿)))
3		oveq2 5883	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = -𝐿 → ((𝐹‘𝑖) + 𝑒) = ((𝐹‘𝑖) + -𝐿))
4	3	breq2d 4016	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = -𝐿 → (𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒) ↔ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + -𝐿)))
5	2, 4	anbi12d 473	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 = -𝐿 → (((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)) ↔ ((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + -𝐿))))
6	5	rexralbidv 2503	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = -𝐿 → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + -𝐿))))
7		resqrexlemgt0.lim	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)))
8	7	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)))
9		resqrexlemgt0.rr	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
10	9	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → 𝐿 ∈ ℝ)
11	10	renegcld 8337	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → -𝐿 ∈ ℝ)
12	9	lt0neg1d 8472	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐿 < 0 ↔ 0 < -𝐿))
13	12	biimpa 296	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → 0 < -𝐿)
14	11, 13	elrpd 9693	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → -𝐿 ∈ ℝ+)
15	6, 8, 14	rspcdva 2847	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + -𝐿)))
16		simpl 109	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + -𝐿)) → (𝐹‘𝑖) < (𝐿 + -𝐿))
17	10	recnd 7986	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → 𝐿 ∈ ℂ)
18	17	negidd 8258	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → (𝐿 + -𝐿) = 0)
19	18	breq2d 4016	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → ((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ↔ (𝐹‘𝑖) < 0))
20	16, 19	imbitrid 154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → (((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + -𝐿)) → (𝐹‘𝑖) < 0))
21	20	ralimdv 2545	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → (∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + -𝐿)) → ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑖) < 0))
22	21	reximdv 2578	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + -𝐿)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑖) < 0))
23	15, 22	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑖) < 0)
24		0red 7958	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 0 ∈ ℝ)
25		eluznn 9600	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑖 ∈ ℕ)
26		resqrexlemex.seq	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
27		resqrexlemex.a	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
28		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
29	26, 27, 28	resqrexlemf 11016	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)
30	29	ffvelcdmda 5652	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ+)
31	25, 30	sylan2 286	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ+)
32	31	rpred 9696	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ)
33	31	rpgt0d 9699	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 0 < (𝐹‘𝑖))
34	24, 32, 33	ltnsymd 8077	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ¬ (𝐹‘𝑖) < 0)
35	34	pm2.21d 619	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((𝐹‘𝑖) < 0 → ⊥))
36	35	anassrs 400	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐹‘𝑖) < 0 → ⊥))
37	36	ralimdva 2544	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑖) < 0 → ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)⊥))
38		nnz 9272	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
39		uzid 9542	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
40		elex2 2754	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → ∃𝑧 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
41		r19.3rmv 3514	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑧 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (⊥ ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)⊥))
42	39, 40, 41	3syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → (⊥ ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)⊥))
43	38, 42	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (⊥ ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)⊥))
44	43	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (⊥ ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)⊥))
45	37, 44	sylibrd 169	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑖) < 0 → ⊥))
46	45	rexlimdva 2594	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑖) < 0 → ⊥))
47	46	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑖) < 0 → ⊥))
48	23, 47	mpd 13	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → ⊥)
49	48	inegd 1372	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐿 < 0)
50		0re 7957	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
51		lenlt 8033	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐿 ↔ ¬ 𝐿 < 0))
52	50, 9, 51	sylancr 414	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐿 ↔ ¬ 𝐿 < 0))
53	49, 52	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐿)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353  ⊥wfal 1358  ∃wex 1492   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  ∃wrex 2456  {csn 3593   class class class wbr 4004   × cxp 4625  ‘cfv 5217  (class class class)co 5875   ∈ cmpo 5877  ℝcr 7810  0cc0 7811  1c1 7812   + caddc 7814   < clt 7992   ≤ cle 7993  -cneg 8129   / cdiv 8629  ℕcn 8919  2c2 8970  ℤcz 9253  ℤ_≥cuz 9528  ℝ⁺crp 9653  seqcseq 10445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-rp 9654  df-seqfrec 10446

This theorem is referenced by:  resqrexlemglsq  11031  resqrexlemex  11034