Theorem resqrexlemgt0 11808

Description: Lemma for resqrex 11814. A limit is nonnegative. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
resqrexlemgt0.rr	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
resqrexlemgt0.lim	⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)))

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemgt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐿)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝑒,𝐹   𝑒,𝐿,𝑖,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗   𝑧,𝑗,𝜑   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑒)   𝐴(𝑒, 𝑖, 𝑗)   𝐹(𝑦, 𝑧, 𝑖, 𝑗)   𝐿(𝑦, 𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6096	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = -𝐿 → (𝐿 + 𝑒) = (𝐿 + -𝐿))
2	1	breq2d 4143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = -𝐿 → ((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ↔ (𝐹‘𝑖) < (𝐿 + -𝐿)))
3		oveq2 6096	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = -𝐿 → ((𝐹‘𝑖) + 𝑒) = ((𝐹‘𝑖) + -𝐿))
4	3	breq2d 4143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = -𝐿 → (𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒) ↔ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + -𝐿)))
5	2, 4	anbi12d 477	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 = -𝐿 → (((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)) ↔ ((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + -𝐿))))
6	5	rexralbidv 2576	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = -𝐿 → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + -𝐿))))
7		resqrexlemgt0.lim	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)))
8	7	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)))
9		resqrexlemgt0.rr	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
10	9	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → 𝐿 ∈ ℝ)
11	10	renegcld 8714	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → -𝐿 ∈ ℝ)
12	9	lt0neg1d 8850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐿 < 0 ↔ 0 < -𝐿))
13	12	biimpa 296	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → 0 < -𝐿)
14	11, 13	elrpd 10111	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → -𝐿 ∈ ℝ+)
15	6, 8, 14	rspcdva 2934	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + -𝐿)))
16		simpl 109	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + -𝐿)) → (𝐹‘𝑖) < (𝐿 + -𝐿))
17	10	recnd 8360	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → 𝐿 ∈ ℂ)
18	17	negidd 8634	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → (𝐿 + -𝐿) = 0)
19	18	breq2d 4143	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → ((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ↔ (𝐹‘𝑖) < 0))
20	16, 19	imbitrid 154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → (((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + -𝐿)) → (𝐹‘𝑖) < 0))
21	20	ralimdv 2618	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → (∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + -𝐿)) → ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑖) < 0))
22	21	reximdv 2651	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + -𝐿)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑖) < 0))
23	15, 22	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑖) < 0)
24		0red 8333	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 0 ∈ ℝ)
25		eluznn 10016	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑖 ∈ ℕ)
26		resqrexlemex.seq	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
27		resqrexlemex.a	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
28		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
29	26, 27, 28	resqrexlemf 11795	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)
30	29	ffvelcdmda 5846	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ+)
31	25, 30	sylan2 286	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ+)
32	31	rpred 10114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ)
33	31	rpgt0d 10117	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 0 < (𝐹‘𝑖))
34	24, 32, 33	ltnsymd 8453	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ¬ (𝐹‘𝑖) < 0)
35	34	pm2.21d 628	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((𝐹‘𝑖) < 0 → ⊥))
36	35	anassrs 404	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐹‘𝑖) < 0 → ⊥))
37	36	ralimdva 2617	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑖) < 0 → ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)⊥))
38		nnz 9674	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
39		uzid 9952	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
40		elex2 2838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → ∃𝑧 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
41		r19.3rmv 3618	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑧 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (⊥ ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)⊥))
42	39, 40, 41	3syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → (⊥ ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)⊥))
43	38, 42	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (⊥ ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)⊥))
44	43	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (⊥ ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)⊥))
45	37, 44	sylibrd 169	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑖) < 0 → ⊥))
46	45	rexlimdva 2668	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑖) < 0 → ⊥))
47	46	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑖) < 0 → ⊥))
48	23, 47	mpd 13	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 0) → ⊥)
49	48	inegd 1421	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐿 < 0)
50		0re 8332	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
51		lenlt 8407	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐿 ↔ ¬ 𝐿 < 0))
52	50, 9, 51	sylancr 418	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐿 ↔ ¬ 𝐿 < 0))
53	49, 52	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐿)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402  ⊥wfal 1407  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529  {csn 3709   class class class wbr 4131   × cxp 4774  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088   ∈ cmpo 6090  ℝcr 8184  0cc0 8185  1c1 8186   + caddc 8188   < clt 8366   ≤ cle 8367   -cneg 8505   / cdiv 9010  ℕcn 9313  2c2 9364  ℤcz 9655  ℤ_≥cuz 9937  ℝ⁺crp 10071  seqcseq 10905

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-rp 10072  df-seqfrec 10906

This theorem is used by:  resqrexlemglsq  11810  resqrexlemex  11813