Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrexlemgt0 GIF version

Theorem resqrexlemgt0 10844
 Description: Lemma for resqrex 10850. A limit is nonnegative. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
resqrexlemgt0.rr (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
resqrexlemgt0.lim (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)))
Assertion
Ref Expression
resqrexlemgt0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐿)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝑒,𝐹   𝑒,𝐿,𝑖,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗   𝑧,𝑗,𝜑   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑒)   𝐴(𝑒,𝑖,𝑗)   𝐹(𝑦,𝑧,𝑖,𝑗)   𝐿(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemgt0
StepHypRef Expression
1 oveq2 5791 . . . . . . . . 9 (𝑒 = -𝐿 → (𝐿 + 𝑒) = (𝐿 + -𝐿))
21breq2d 3950 . . . . . . . 8 (𝑒 = -𝐿 → ((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ↔ (𝐹𝑖) < (𝐿 + -𝐿)))
3 oveq2 5791 . . . . . . . . 9 (𝑒 = -𝐿 → ((𝐹𝑖) + 𝑒) = ((𝐹𝑖) + -𝐿))
43breq2d 3950 . . . . . . . 8 (𝑒 = -𝐿 → (𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒) ↔ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + -𝐿)))
52, 4anbi12d 465 . . . . . . 7 (𝑒 = -𝐿 → (((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)) ↔ ((𝐹𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + -𝐿))))
65rexralbidv 2465 . . . . . 6 (𝑒 = -𝐿 → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + -𝐿))))
7 resqrexlemgt0.lim . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)))
87adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑𝐿 < 0) → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)))
9 resqrexlemgt0.rr . . . . . . . . 9 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
109adantr 274 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐿 < 0) → 𝐿 ∈ ℝ)
1110renegcld 8186 . . . . . . 7 ((𝜑𝐿 < 0) → -𝐿 ∈ ℝ)
129lt0neg1d 8321 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐿 < 0 ↔ 0 < -𝐿))
1312biimpa 294 . . . . . . 7 ((𝜑𝐿 < 0) → 0 < -𝐿)
1411, 13elrpd 9530 . . . . . 6 ((𝜑𝐿 < 0) → -𝐿 ∈ ℝ+)
156, 8, 14rspcdva 2799 . . . . 5 ((𝜑𝐿 < 0) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + -𝐿)))
16 simpl 108 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + -𝐿)) → (𝐹𝑖) < (𝐿 + -𝐿))
1710recnd 7838 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐿 < 0) → 𝐿 ∈ ℂ)
1817negidd 8107 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐿 < 0) → (𝐿 + -𝐿) = 0)
1918breq2d 3950 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐿 < 0) → ((𝐹𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ↔ (𝐹𝑖) < 0))
2016, 19syl5ib 153 . . . . . . 7 ((𝜑𝐿 < 0) → (((𝐹𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + -𝐿)) → (𝐹𝑖) < 0))
2120ralimdv 2504 . . . . . 6 ((𝜑𝐿 < 0) → (∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + -𝐿)) → ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑖) < 0))
2221reximdv 2537 . . . . 5 ((𝜑𝐿 < 0) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + -𝐿)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑖) < 0))
2315, 22mpd 13 . . . 4 ((𝜑𝐿 < 0) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑖) < 0)
24 0red 7811 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → 0 ∈ ℝ)
25 eluznn 9441 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑖 ∈ ℕ)
26 resqrexlemex.seq . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
27 resqrexlemex.a . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
28 resqrexlemex.agt0 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
2926, 27, 28resqrexlemf 10831 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ+)
3029ffvelrnda 5564 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (𝐹𝑖) ∈ ℝ+)
3125, 30sylan2 284 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐹𝑖) ∈ ℝ+)
3231rpred 9533 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐹𝑖) ∈ ℝ)
3331rpgt0d 9536 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → 0 < (𝐹𝑖))
3424, 32, 33ltnsymd 7926 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → ¬ (𝐹𝑖) < 0)
3534pm2.21d 609 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝐹𝑖) < 0 → ⊥))
3635anassrs 398 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑖) < 0 → ⊥))
3736ralimdva 2503 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑖) < 0 → ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)⊥))
38 nnz 9117 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
39 uzid 9384 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
40 elex2 2706 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (ℤ𝑗) → ∃𝑧 𝑧 ∈ (ℤ𝑗))
41 r19.3rmv 3459 . . . . . . . . . 10 (∃𝑧 𝑧 ∈ (ℤ𝑗) → (⊥ ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)⊥))
4239, 40, 413syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℤ → (⊥ ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)⊥))
4338, 42syl 14 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ → (⊥ ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)⊥))
4443adantl 275 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (⊥ ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)⊥))
4537, 44sylibrd 168 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑖) < 0 → ⊥))
4645rexlimdva 2553 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑖) < 0 → ⊥))
4746adantr 274 . . . 4 ((𝜑𝐿 < 0) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑖) < 0 → ⊥))
4823, 47mpd 13 . . 3 ((𝜑𝐿 < 0) → ⊥)
4948inegd 1351 . 2 (𝜑 → ¬ 𝐿 < 0)
50 0re 7810 . . 3 0 ∈ ℝ
51 lenlt 7884 . . 3 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐿 ↔ ¬ 𝐿 < 0))
5250, 9, 51sylancr 411 . 2 (𝜑 → (0 ≤ 𝐿 ↔ ¬ 𝐿 < 0))
5349, 52mpbird 166 1 (𝜑 → 0 ≤ 𝐿)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332  ⊥wfal 1337  ∃wex 1469   ∈ wcel 1481  ∀wral 2417  ∃wrex 2418  {csn 3533   class class class wbr 3938   × cxp 4546  ‘cfv 5132  (class class class)co 5783   ∈ cmpo 5785  ℝcr 7663  0cc0 7664  1c1 7665   + caddc 7667   < clt 7844   ≤ cle 7845  -cneg 7978   / cdiv 8476  ℕcn 8764  2c2 8815  ℤcz 9098  ℤ≥cuz 9370  ℝ+crp 9490  seqcseq 10269 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4052  ax-sep 4055  ax-nul 4063  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364  ax-setind 4461  ax-iinf 4511  ax-cnex 7755  ax-resscn 7756  ax-1cn 7757  ax-1re 7758  ax-icn 7759  ax-addcl 7760  ax-addrcl 7761  ax-mulcl 7762  ax-mulrcl 7763  ax-addcom 7764  ax-mulcom 7765  ax-addass 7766  ax-mulass 7767  ax-distr 7768  ax-i2m1 7769  ax-0lt1 7770  ax-1rid 7771  ax-0id 7772  ax-rnegex 7773  ax-precex 7774  ax-cnre 7775  ax-pre-ltirr 7776  ax-pre-ltwlin 7777  ax-pre-lttrn 7778  ax-pre-apti 7779  ax-pre-ltadd 7780  ax-pre-mulgt0 7781  ax-pre-mulext 7782 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-csb 3009  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-nul 3370  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-int 3781  df-iun 3824  df-br 3939  df-opab 3999  df-mpt 4000  df-tr 4036  df-id 4224  df-po 4227  df-iso 4228  df-iord 4297  df-on 4299  df-ilim 4300  df-suc 4302  df-iom 4514  df-xp 4554  df-rel 4555  df-cnv 4556  df-co 4557  df-dm 4558  df-rn 4559  df-res 4560  df-ima 4561  df-iota 5097  df-fun 5134  df-fn 5135  df-f 5136  df-f1 5137  df-fo 5138  df-f1o 5139  df-fv 5140  df-riota 5739  df-ov 5786  df-oprab 5787  df-mpo 5788  df-1st 6047  df-2nd 6048  df-recs 6211  df-frec 6297  df-pnf 7846  df-mnf 7847  df-xr 7848  df-ltxr 7849  df-le 7850  df-sub 7979  df-neg 7980  df-reap 8381  df-ap 8388  df-div 8477  df-inn 8765  df-2 8823  df-n0 9022  df-z 9099  df-uz 9371  df-rp 9491  df-seqfrec 10270 This theorem is referenced by:  resqrexlemglsq  10846  resqrexlemex  10849
 Copyright terms: Public domain W3C validator