ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrexlemgt0 GIF version

Theorem resqrexlemgt0 11028
Description: Lemma for resqrex 11034. A limit is nonnegative. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (β„• Γ— {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐴)
resqrexlemgt0.rr (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ℝ)
resqrexlemgt0.lim (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + 𝑒)))
Assertion
Ref Expression
resqrexlemgt0 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐿)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝑒,𝐹   𝑒,𝐿,𝑖,𝑗   πœ‘,𝑖,𝑗   𝑧,𝑗,πœ‘   πœ‘,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑒)   𝐴(𝑒,𝑖,𝑗)   𝐹(𝑦,𝑧,𝑖,𝑗)   𝐿(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemgt0
StepHypRef Expression
1 oveq2 5882 . . . . . . . . 9 (𝑒 = -𝐿 β†’ (𝐿 + 𝑒) = (𝐿 + -𝐿))
21breq2d 4015 . . . . . . . 8 (𝑒 = -𝐿 β†’ ((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + 𝑒) ↔ (πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + -𝐿)))
3 oveq2 5882 . . . . . . . . 9 (𝑒 = -𝐿 β†’ ((πΉβ€˜π‘–) + 𝑒) = ((πΉβ€˜π‘–) + -𝐿))
43breq2d 4015 . . . . . . . 8 (𝑒 = -𝐿 β†’ (𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + 𝑒) ↔ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + -𝐿)))
52, 4anbi12d 473 . . . . . . 7 (𝑒 = -𝐿 β†’ (((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + 𝑒)) ↔ ((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + -𝐿))))
65rexralbidv 2503 . . . . . 6 (𝑒 = -𝐿 β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + 𝑒)) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + -𝐿))))
7 resqrexlemgt0.lim . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + 𝑒)))
87adantr 276 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐿 < 0) β†’ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + 𝑒)))
9 resqrexlemgt0.rr . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ℝ)
109adantr 276 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐿 < 0) β†’ 𝐿 ∈ ℝ)
1110renegcld 8336 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐿 < 0) β†’ -𝐿 ∈ ℝ)
129lt0neg1d 8471 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐿 < 0 ↔ 0 < -𝐿))
1312biimpa 296 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐿 < 0) β†’ 0 < -𝐿)
1411, 13elrpd 9692 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐿 < 0) β†’ -𝐿 ∈ ℝ+)
156, 8, 14rspcdva 2846 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐿 < 0) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + -𝐿)))
16 simpl 109 . . . . . . . 8 (((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + -𝐿)) β†’ (πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + -𝐿))
1710recnd 7985 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐿 < 0) β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
1817negidd 8257 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐿 < 0) β†’ (𝐿 + -𝐿) = 0)
1918breq2d 4015 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐿 < 0) β†’ ((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + -𝐿) ↔ (πΉβ€˜π‘–) < 0))
2016, 19imbitrid 154 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐿 < 0) β†’ (((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + -𝐿)) β†’ (πΉβ€˜π‘–) < 0))
2120ralimdv 2545 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐿 < 0) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + -𝐿)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘–) < 0))
2221reximdv 2578 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐿 < 0) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + -𝐿)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘–) < 0))
2315, 22mpd 13 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐿 < 0) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘–) < 0)
24 0red 7957 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ 0 ∈ ℝ)
25 eluznn 9599 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 𝑖 ∈ β„•)
26 resqrexlemex.seq . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (β„• Γ— {(1 + 𝐴)}))
27 resqrexlemex.a . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
28 resqrexlemex.agt0 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐴)
2926, 27, 28resqrexlemf 11015 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„+)
3029ffvelcdmda 5651 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘–) ∈ ℝ+)
3125, 30sylan2 286 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (πΉβ€˜π‘–) ∈ ℝ+)
3231rpred 9695 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (πΉβ€˜π‘–) ∈ ℝ)
3331rpgt0d 9698 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ 0 < (πΉβ€˜π‘–))
3424, 32, 33ltnsymd 8076 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ Β¬ (πΉβ€˜π‘–) < 0)
3534pm2.21d 619 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ ((πΉβ€˜π‘–) < 0 β†’ βŠ₯))
3635anassrs 400 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((πΉβ€˜π‘–) < 0 β†’ βŠ₯))
3736ralimdva 2544 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘–) < 0 β†’ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βŠ₯))
38 nnz 9271 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ β„• β†’ 𝑗 ∈ β„€)
39 uzid 9541 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ β„€ β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))
40 elex2 2753 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ βˆƒπ‘§ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))
41 r19.3rmv 3513 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘§ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (βŠ₯ ↔ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βŠ₯))
4239, 40, 413syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ β„€ β†’ (βŠ₯ ↔ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βŠ₯))
4338, 42syl 14 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ β„• β†’ (βŠ₯ ↔ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βŠ₯))
4443adantl 277 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (βŠ₯ ↔ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βŠ₯))
4537, 44sylibrd 169 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘–) < 0 β†’ βŠ₯))
4645rexlimdva 2594 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘–) < 0 β†’ βŠ₯))
4746adantr 276 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐿 < 0) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘–) < 0 β†’ βŠ₯))
4823, 47mpd 13 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐿 < 0) β†’ βŠ₯)
4948inegd 1372 . 2 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐿 < 0)
50 0re 7956 . . 3 0 ∈ ℝ
51 lenlt 8032 . . 3 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ 𝐿 ↔ Β¬ 𝐿 < 0))
5250, 9, 51sylancr 414 . 2 (πœ‘ β†’ (0 ≀ 𝐿 ↔ Β¬ 𝐿 < 0))
5349, 52mpbird 167 1 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐿)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353  βŠ₯wfal 1358  βˆƒwex 1492   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455  βˆƒwrex 2456  {csn 3592   class class class wbr 4003   Γ— cxp 4624  β€˜cfv 5216  (class class class)co 5874   ∈ cmpo 5876  β„cr 7809  0cc0 7810  1c1 7811   + caddc 7813   < clt 7991   ≀ cle 7992  -cneg 8128   / cdiv 8628  β„•cn 8918  2c2 8969  β„€cz 9252  β„€β‰₯cuz 9527  β„+crp 9652  seqcseq 10444
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-rp 9653  df-seqfrec 10445
This theorem is referenced by:  resqrexlemglsq  11030  resqrexlemex  11033
  Copyright terms: Public domain W3C validator