Theorem cnplimclemr 15770

Description: Lemma for cnplimccntop 15771. The reverse direction. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 17-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnplimccntop.k	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
cnplimc.j	⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝐴)
cnplimclemr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
cnplimclemr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
cnplimclemr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
cnplimclemr.l	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
cnplimclemr	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵))

Proof of Theorem cnplimclemr

Dummy variables 𝑑 𝑒 𝑠 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnplimclemr.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
2		breq2 4134	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = (𝑒 / 2) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < 𝑠 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2)))
3	2	imbi2d 230	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = (𝑒 / 2) → (((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < 𝑠) ↔ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))))
4	3	rexralbidv 2576	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = (𝑒 / 2) → (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < 𝑠) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))))
5		cnplimclemr.l	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
6		cnplimclemr.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
7		cnplimclemr.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
8	6, 7	sseldd 3249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
9	1, 6, 8	ellimc3ap 15762	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ ((𝐹‘𝐵) ∈ ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < 𝑠))))
10	5, 9	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) ∈ ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < 𝑠)))
11	10	simprd 114	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < 𝑠))
12	11	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < 𝑠))
13		rphalfcl 10082	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 ∈ ℝ+ → (𝑒 / 2) ∈ ℝ+)
14	13	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 / 2) ∈ ℝ+)
15	4, 12, 14	rspcdva 2934	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2)))
16	1	ad5antr 500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
17		simpllr 540	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → 𝑧 ∈ 𝐴)
18	16, 17	ffvelcdmd 5844	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
19	7	ad5antr 500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → 𝐵 ∈ 𝐴)
20	16, 19	ffvelcdmd 5844	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → (𝐹‘𝐵) ∈ ℂ)
21		eqid 2238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
22	21	cnmetdval 15630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹‘𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐹‘𝑧)(abs ∘ − )(𝐹‘𝐵)) = (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))))
23	18, 20, 22	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → ((𝐹‘𝑧)(abs ∘ − )(𝐹‘𝐵)) = (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))))
24		cnplimccntop.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
25		cnplimc.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝐴)
26	6	ad5antr 500	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → 𝐴 ⊆ ℂ)
27	5	ad5antr 500	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
28		simp-5r 550	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → 𝑒 ∈ ℝ+)
29		simp-4r 548	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → 𝑑 ∈ ℝ+)
30		3simpc 1027	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) ∧ 𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑))
31		simp1lr 1092	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) ∧ 𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2)))
32	30, 31	mpd 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) ∧ 𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))
33	17, 19	ovresd 6230	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) = (𝑧(abs ∘ − )𝐵))
34	26, 17	sseldd 3249	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → 𝑧 ∈ ℂ)
35	8	ad5antr 500	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → 𝐵 ∈ ℂ)
36	21	cnmetdval 15630	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑧(abs ∘ − )𝐵) = (abs‘(𝑧 − 𝐵)))
37	34, 35, 36	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → (𝑧(abs ∘ − )𝐵) = (abs‘(𝑧 − 𝐵)))
38	33, 37	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) = (abs‘(𝑧 − 𝐵)))
39		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑)
40	38, 39	eqbrtrrd 4154	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑)
41	24, 25, 26, 16, 19, 27, 28, 29, 17, 32, 40	cnplimclemle 15769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < 𝑒)
42	23, 41	eqbrtrd 4152	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → ((𝐹‘𝑧)(abs ∘ − )(𝐹‘𝐵)) < 𝑒)
43	42	exp31 364	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2)) → ((𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑 → ((𝐹‘𝑧)(abs ∘ − )(𝐹‘𝐵)) < 𝑒)))
44	43	ralimdva 2617	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2)) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑 → ((𝐹‘𝑧)(abs ∘ − )(𝐹‘𝐵)) < 𝑒)))
45	44	reximdva 2652	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑 → ((𝐹‘𝑧)(abs ∘ − )(𝐹‘𝐵)) < 𝑒)))
46	15, 45	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑 → ((𝐹‘𝑧)(abs ∘ − )(𝐹‘𝐵)) < 𝑒))
47	46	ralrimiva 2623	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑 → ((𝐹‘𝑧)(abs ∘ − )(𝐹‘𝐵)) < 𝑒))
48		cnxmet 15632	. . . . 5 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
49		xmetres2 15480	. . . . 5 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (∞Met‘𝐴))
50	48, 6, 49	sylancr 418	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (∞Met‘𝐴))
51	48	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
52		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
53	52, 24	metcnp2 15614	. . . 4 ⊢ ((((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (∞Met‘𝐴) ∧ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐹 ∈ (((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑 → ((𝐹‘𝑧)(abs ∘ − )(𝐹‘𝐵)) < 𝑒))))
54	50, 51, 7, 53	syl3anc 1278	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑 → ((𝐹‘𝑧)(abs ∘ − )(𝐹‘𝐵)) < 𝑒))))
55	1, 47, 54	mpbir2and 957	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) CnP 𝐾)‘𝐵))
56		eqid 2238	. . . . . . 7 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))
57	56, 24, 52	metrest 15607	. . . . . 6 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → (𝐾 ↾t 𝐴) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
58	48, 6, 57	sylancr 418	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t 𝐴) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
59	25, 58	eqtrid 2283	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
60	59	oveq1d 6100	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽 CnP 𝐾) = ((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) CnP 𝐾))
61	60	fveq1d 5697	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) = (((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) CnP 𝐾)‘𝐵))
62	55, 61	eleqtrrd 2318	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529   ⊆ wss 3220   class class class wbr 4130   × cxp 4772   ↾ cres 4776   ∘ ccom 4778  ⟶wf 5373  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℂcc 8177   < clt 8360   − cmin 8497   # cap 8909   / cdiv 9002  2c2 9355  ℝ⁺crp 10054  abscabs 11763   ↾_t crest 13593  ∞Metcxmet 14873  MetOpencmopn 14878   CnP ccnp 15287   lim_ℂ climc 15755

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-map 6924  df-pm 6925  df-sup 7324  df-inf 7325  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-q 10020  df-rp 10055  df-xneg 10174  df-xadd 10175  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609  df-rsqrt 11764  df-abs 11765  df-rest 13595  df-topgen 13614  df-psmet 14880  df-xmet 14881  df-met 14882  df-bl 14883  df-mopn 14884  df-top 15099  df-topon 15112  df-bases 15144  df-cnp 15290  df-limced 15757

This theorem is used by:  cnplimccntop  15771  dvcnp2cntop  15800