ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnplimclemr GIF version

Theorem cnplimclemr 13805
Description: Lemma for cnplimccntop 13806. The reverse direction. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 17-Nov-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cnplimccntop.k 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
cnplimc.j 𝐽 = (𝐾t 𝐴)
cnplimclemr.a (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
cnplimclemr.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
cnplimclemr.b (𝜑𝐵𝐴)
cnplimclemr.l (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵))
Assertion
Ref Expression
cnplimclemr (𝜑𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵))

Proof of Theorem cnplimclemr
Dummy variables 𝑑 𝑒 𝑠 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnplimclemr.f . . 3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
2 breq2 4004 . . . . . . . 8 (𝑠 = (𝑒 / 2) → ((abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < 𝑠 ↔ (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < (𝑒 / 2)))
32imbi2d 230 . . . . . . 7 (𝑠 = (𝑒 / 2) → (((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < 𝑠) ↔ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < (𝑒 / 2))))
43rexralbidv 2503 . . . . . 6 (𝑠 = (𝑒 / 2) → (∃𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < 𝑠) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < (𝑒 / 2))))
5 cnplimclemr.l . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵))
6 cnplimclemr.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
7 cnplimclemr.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵𝐴)
86, 7sseldd 3156 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
91, 6, 8ellimc3ap 13797 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < 𝑠))))
105, 9mpbid 147 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹𝐵) ∈ ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < 𝑠)))
1110simprd 114 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < 𝑠))
1211adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑠 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < 𝑠))
13 rphalfcl 9668 . . . . . . 7 (𝑒 ∈ ℝ+ → (𝑒 / 2) ∈ ℝ+)
1413adantl 277 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 / 2) ∈ ℝ+)
154, 12, 14rspcdva 2846 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < (𝑒 / 2)))
161ad5antr 496 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
17 simpllr 534 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → 𝑧𝐴)
1816, 17ffvelcdmd 5648 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
197ad5antr 496 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → 𝐵𝐴)
2016, 19ffvelcdmd 5648 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → (𝐹𝐵) ∈ ℂ)
21 eqid 2177 . . . . . . . . . . 11 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
2221cnmetdval 13696 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐹𝑧)(abs ∘ − )(𝐹𝐵)) = (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))))
2318, 20, 22syl2anc 411 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → ((𝐹𝑧)(abs ∘ − )(𝐹𝐵)) = (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))))
24 cnplimccntop.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
25 cnplimc.j . . . . . . . . . 10 𝐽 = (𝐾t 𝐴)
266ad5antr 496 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → 𝐴 ⊆ ℂ)
275ad5antr 496 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵))
28 simp-5r 544 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → 𝑒 ∈ ℝ+)
29 simp-4r 542 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → 𝑑 ∈ ℝ+)
30 3simpc 996 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) ∧ 𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑))
31 simp1lr 1061 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) ∧ 𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < (𝑒 / 2)))
3230, 31mpd 13 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) ∧ 𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < (𝑒 / 2))
3317, 19ovresd 6009 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) = (𝑧(abs ∘ − )𝐵))
3426, 17sseldd 3156 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → 𝑧 ∈ ℂ)
358ad5antr 496 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → 𝐵 ∈ ℂ)
3621cnmetdval 13696 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑧(abs ∘ − )𝐵) = (abs‘(𝑧𝐵)))
3734, 35, 36syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → (𝑧(abs ∘ − )𝐵) = (abs‘(𝑧𝐵)))
3833, 37eqtrd 2210 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) = (abs‘(𝑧𝐵)))
39 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑)
4038, 39eqbrtrrd 4024 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑)
4124, 25, 26, 16, 19, 27, 28, 29, 17, 32, 40cnplimclemle 13804 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < 𝑒)
4223, 41eqbrtrd 4022 . . . . . . . 8 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → ((𝐹𝑧)(abs ∘ − )(𝐹𝐵)) < 𝑒)
4342exp31 364 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < (𝑒 / 2)) → ((𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑 → ((𝐹𝑧)(abs ∘ − )(𝐹𝐵)) < 𝑒)))
4443ralimdva 2544 . . . . . 6 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (∀𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < (𝑒 / 2)) → ∀𝑧𝐴 ((𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑 → ((𝐹𝑧)(abs ∘ − )(𝐹𝐵)) < 𝑒)))
4544reximdva 2579 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < (𝑒 / 2)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑 → ((𝐹𝑧)(abs ∘ − )(𝐹𝐵)) < 𝑒)))
4615, 45mpd 13 . . . 4 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑 → ((𝐹𝑧)(abs ∘ − )(𝐹𝐵)) < 𝑒))
4746ralrimiva 2550 . . 3 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑 → ((𝐹𝑧)(abs ∘ − )(𝐹𝐵)) < 𝑒))
48 cnxmet 13698 . . . . 5 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
49 xmetres2 13546 . . . . 5 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (∞Met‘𝐴))
5048, 6, 49sylancr 414 . . . 4 (𝜑 → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (∞Met‘𝐴))
5148a1i 9 . . . 4 (𝜑 → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
52 eqid 2177 . . . . 5 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
5352, 24metcnp2 13680 . . . 4 ((((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (∞Met‘𝐴) ∧ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐵𝐴) → (𝐹 ∈ (((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑 → ((𝐹𝑧)(abs ∘ − )(𝐹𝐵)) < 𝑒))))
5450, 51, 7, 53syl3anc 1238 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ∈ (((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑 → ((𝐹𝑧)(abs ∘ − )(𝐹𝐵)) < 𝑒))))
551, 47, 54mpbir2and 944 . 2 (𝜑𝐹 ∈ (((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) CnP 𝐾)‘𝐵))
56 eqid 2177 . . . . . . 7 ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))
5756, 24, 52metrest 13673 . . . . . 6 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → (𝐾t 𝐴) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
5848, 6, 57sylancr 414 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾t 𝐴) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
5925, 58eqtrid 2222 . . . 4 (𝜑𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
6059oveq1d 5884 . . 3 (𝜑 → (𝐽 CnP 𝐾) = ((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) CnP 𝐾))
6160fveq1d 5513 . 2 (𝜑 → ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) = (((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) CnP 𝐾)‘𝐵))
6255, 61eleqtrrd 2257 1 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  wss 3129   class class class wbr 4000   × cxp 4621  cres 4625  ccom 4627  wf 5208  cfv 5212  (class class class)co 5869  cc 7800   < clt 7982  cmin 8118   # cap 8528   / cdiv 8618  2c2 8959  +crp 9640  abscabs 10990  t crest 12636  ∞Metcxmet 13147  MetOpencmopn 13152   CnP ccnp 13353   lim climc 13790
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-map 6644  df-pm 6645  df-sup 6977  df-inf 6978  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-xneg 9759  df-xadd 9760  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-rest 12638  df-topgen 12657  df-psmet 13154  df-xmet 13155  df-met 13156  df-bl 13157  df-mopn 13158  df-top 13163  df-topon 13176  df-bases 13208  df-cnp 13356  df-limced 13792
This theorem is referenced by:  cnplimccntop  13806  dvcnp2cntop  13830
  Copyright terms: Public domain W3C validator