Theorem cnplimclemr 13805

Description: Lemma for cnplimccntop 13806. The reverse direction. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 17-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnplimccntop.k	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
cnplimc.j	⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝐴)
cnplimclemr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
cnplimclemr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
cnplimclemr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
cnplimclemr.l	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
cnplimclemr	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵))

Proof of Theorem cnplimclemr

Dummy variables 𝑑 𝑒 𝑠 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnplimclemr.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
2		breq2 4004	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = (𝑒 / 2) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < 𝑠 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2)))
3	2	imbi2d 230	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = (𝑒 / 2) → (((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < 𝑠) ↔ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))))
4	3	rexralbidv 2503	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = (𝑒 / 2) → (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < 𝑠) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))))
5		cnplimclemr.l	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
6		cnplimclemr.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
7		cnplimclemr.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
8	6, 7	sseldd 3156	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
9	1, 6, 8	ellimc3ap 13797	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ ((𝐹‘𝐵) ∈ ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < 𝑠))))
10	5, 9	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) ∈ ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < 𝑠)))
11	10	simprd 114	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < 𝑠))
12	11	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < 𝑠))
13		rphalfcl 9668	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 ∈ ℝ+ → (𝑒 / 2) ∈ ℝ+)
14	13	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 / 2) ∈ ℝ+)
15	4, 12, 14	rspcdva 2846	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2)))
16	1	ad5antr 496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
17		simpllr 534	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → 𝑧 ∈ 𝐴)
18	16, 17	ffvelcdmd 5648	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
19	7	ad5antr 496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → 𝐵 ∈ 𝐴)
20	16, 19	ffvelcdmd 5648	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → (𝐹‘𝐵) ∈ ℂ)
21		eqid 2177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
22	21	cnmetdval 13696	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹‘𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐹‘𝑧)(abs ∘ − )(𝐹‘𝐵)) = (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))))
23	18, 20, 22	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → ((𝐹‘𝑧)(abs ∘ − )(𝐹‘𝐵)) = (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))))
24		cnplimccntop.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
25		cnplimc.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝐴)
26	6	ad5antr 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → 𝐴 ⊆ ℂ)
27	5	ad5antr 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
28		simp-5r 544	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → 𝑒 ∈ ℝ+)
29		simp-4r 542	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → 𝑑 ∈ ℝ+)
30		3simpc 996	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) ∧ 𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑))
31		simp1lr 1061	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) ∧ 𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2)))
32	30, 31	mpd 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) ∧ 𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))
33	17, 19	ovresd 6009	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) = (𝑧(abs ∘ − )𝐵))
34	26, 17	sseldd 3156	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → 𝑧 ∈ ℂ)
35	8	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → 𝐵 ∈ ℂ)
36	21	cnmetdval 13696	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑧(abs ∘ − )𝐵) = (abs‘(𝑧 − 𝐵)))
37	34, 35, 36	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → (𝑧(abs ∘ − )𝐵) = (abs‘(𝑧 − 𝐵)))
38	33, 37	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) = (abs‘(𝑧 − 𝐵)))
39		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑)
40	38, 39	eqbrtrrd 4024	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑)
41	24, 25, 26, 16, 19, 27, 28, 29, 17, 32, 40	cnplimclemle 13804	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < 𝑒)
42	23, 41	eqbrtrd 4022	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → ((𝐹‘𝑧)(abs ∘ − )(𝐹‘𝐵)) < 𝑒)
43	42	exp31 364	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2)) → ((𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑 → ((𝐹‘𝑧)(abs ∘ − )(𝐹‘𝐵)) < 𝑒)))
44	43	ralimdva 2544	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2)) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑 → ((𝐹‘𝑧)(abs ∘ − )(𝐹‘𝐵)) < 𝑒)))
45	44	reximdva 2579	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑 → ((𝐹‘𝑧)(abs ∘ − )(𝐹‘𝐵)) < 𝑒)))
46	15, 45	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑 → ((𝐹‘𝑧)(abs ∘ − )(𝐹‘𝐵)) < 𝑒))
47	46	ralrimiva 2550	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑 → ((𝐹‘𝑧)(abs ∘ − )(𝐹‘𝐵)) < 𝑒))
48		cnxmet 13698	. . . . 5 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
49		xmetres2 13546	. . . . 5 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (∞Met‘𝐴))
50	48, 6, 49	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (∞Met‘𝐴))
51	48	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
52		eqid 2177	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
53	52, 24	metcnp2 13680	. . . 4 ⊢ ((((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (∞Met‘𝐴) ∧ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐹 ∈ (((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑 → ((𝐹‘𝑧)(abs ∘ − )(𝐹‘𝐵)) < 𝑒))))
54	50, 51, 7, 53	syl3anc 1238	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑 → ((𝐹‘𝑧)(abs ∘ − )(𝐹‘𝐵)) < 𝑒))))
55	1, 47, 54	mpbir2and 944	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) CnP 𝐾)‘𝐵))
56		eqid 2177	. . . . . . 7 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))
57	56, 24, 52	metrest 13673	. . . . . 6 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → (𝐾 ↾t 𝐴) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
58	48, 6, 57	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t 𝐴) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
59	25, 58	eqtrid 2222	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
60	59	oveq1d 5884	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽 CnP 𝐾) = ((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) CnP 𝐾))
61	60	fveq1d 5513	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) = (((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) CnP 𝐾)‘𝐵))
62	55, 61	eleqtrrd 2257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  ∃wrex 2456   ⊆ wss 3129   class class class wbr 4000   × cxp 4621   ↾ cres 4625   ∘ ccom 4627  ⟶wf 5208  ‘cfv 5212  (class class class)co 5869  ℂcc 7800   < clt 7982   − cmin 8118   # cap 8528   / cdiv 8618  2c2 8959  ℝ⁺crp 9640  abscabs 10990   ↾_t crest 12636  ∞Metcxmet 13147  MetOpencmopn 13152   CnP ccnp 13353   lim_ℂ climc 13790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-map 6644  df-pm 6645  df-sup 6977  df-inf 6978  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-xneg 9759  df-xadd 9760  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-rest 12638  df-topgen 12657  df-psmet 13154  df-xmet 13155  df-met 13156  df-bl 13157  df-mopn 13158  df-top 13163  df-topon 13176  df-bases 13208  df-cnp 13356  df-limced 13792

This theorem is referenced by:  cnplimccntop  13806  dvcnp2cntop  13830