Theorem cnplimclemr 15083

Description: Lemma for cnplimccntop 15084. The reverse direction. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 17-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnplimccntop.k	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
cnplimc.j	⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝐴)
cnplimclemr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
cnplimclemr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
cnplimclemr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
cnplimclemr.l	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
cnplimclemr	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵))

Proof of Theorem cnplimclemr

Dummy variables 𝑑 𝑒 𝑠 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnplimclemr.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
2		breq2 4047	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = (𝑒 / 2) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < 𝑠 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2)))
3	2	imbi2d 230	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = (𝑒 / 2) → (((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < 𝑠) ↔ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))))
4	3	rexralbidv 2531	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = (𝑒 / 2) → (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < 𝑠) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))))
5		cnplimclemr.l	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
6		cnplimclemr.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
7		cnplimclemr.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
8	6, 7	sseldd 3193	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
9	1, 6, 8	ellimc3ap 15075	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ ((𝐹‘𝐵) ∈ ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < 𝑠))))
10	5, 9	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) ∈ ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < 𝑠)))
11	10	simprd 114	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < 𝑠))
12	11	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < 𝑠))
13		rphalfcl 9802	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 ∈ ℝ+ → (𝑒 / 2) ∈ ℝ+)
14	13	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 / 2) ∈ ℝ+)
15	4, 12, 14	rspcdva 2881	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2)))
16	1	ad5antr 496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
17		simpllr 534	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → 𝑧 ∈ 𝐴)
18	16, 17	ffvelcdmd 5715	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
19	7	ad5antr 496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → 𝐵 ∈ 𝐴)
20	16, 19	ffvelcdmd 5715	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → (𝐹‘𝐵) ∈ ℂ)
21		eqid 2204	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
22	21	cnmetdval 14943	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹‘𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐹‘𝑧)(abs ∘ − )(𝐹‘𝐵)) = (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))))
23	18, 20, 22	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → ((𝐹‘𝑧)(abs ∘ − )(𝐹‘𝐵)) = (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))))
24		cnplimccntop.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
25		cnplimc.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝐴)
26	6	ad5antr 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → 𝐴 ⊆ ℂ)
27	5	ad5antr 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
28		simp-5r 544	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → 𝑒 ∈ ℝ+)
29		simp-4r 542	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → 𝑑 ∈ ℝ+)
30		3simpc 998	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) ∧ 𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑))
31		simp1lr 1063	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) ∧ 𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2)))
32	30, 31	mpd 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) ∧ 𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))
33	17, 19	ovresd 6086	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) = (𝑧(abs ∘ − )𝐵))
34	26, 17	sseldd 3193	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → 𝑧 ∈ ℂ)
35	8	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → 𝐵 ∈ ℂ)
36	21	cnmetdval 14943	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑧(abs ∘ − )𝐵) = (abs‘(𝑧 − 𝐵)))
37	34, 35, 36	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → (𝑧(abs ∘ − )𝐵) = (abs‘(𝑧 − 𝐵)))
38	33, 37	eqtrd 2237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) = (abs‘(𝑧 − 𝐵)))
39		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑)
40	38, 39	eqbrtrrd 4067	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑)
41	24, 25, 26, 16, 19, 27, 28, 29, 17, 32, 40	cnplimclemle 15082	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < 𝑒)
42	23, 41	eqbrtrd 4065	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2))) ∧ (𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑) → ((𝐹‘𝑧)(abs ∘ − )(𝐹‘𝐵)) < 𝑒)
43	42	exp31 364	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2)) → ((𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑 → ((𝐹‘𝑧)(abs ∘ − )(𝐹‘𝐵)) < 𝑒)))
44	43	ralimdva 2572	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2)) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑 → ((𝐹‘𝑧)(abs ∘ − )(𝐹‘𝐵)) < 𝑒)))
45	44	reximdva 2607	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < (𝑒 / 2)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑 → ((𝐹‘𝑧)(abs ∘ − )(𝐹‘𝐵)) < 𝑒)))
46	15, 45	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑 → ((𝐹‘𝑧)(abs ∘ − )(𝐹‘𝐵)) < 𝑒))
47	46	ralrimiva 2578	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑 → ((𝐹‘𝑧)(abs ∘ − )(𝐹‘𝐵)) < 𝑒))
48		cnxmet 14945	. . . . 5 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
49		xmetres2 14793	. . . . 5 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (∞Met‘𝐴))
50	48, 6, 49	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (∞Met‘𝐴))
51	48	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
52		eqid 2204	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
53	52, 24	metcnp2 14927	. . . 4 ⊢ ((((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (∞Met‘𝐴) ∧ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐹 ∈ (((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑 → ((𝐹‘𝑧)(abs ∘ − )(𝐹‘𝐵)) < 𝑒))))
54	50, 51, 7, 53	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝐵) < 𝑑 → ((𝐹‘𝑧)(abs ∘ − )(𝐹‘𝐵)) < 𝑒))))
55	1, 47, 54	mpbir2and 946	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) CnP 𝐾)‘𝐵))
56		eqid 2204	. . . . . . 7 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))
57	56, 24, 52	metrest 14920	. . . . . 6 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → (𝐾 ↾t 𝐴) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
58	48, 6, 57	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t 𝐴) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
59	25, 58	eqtrid 2249	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
60	59	oveq1d 5958	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽 CnP 𝐾) = ((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) CnP 𝐾))
61	60	fveq1d 5577	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) = (((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) CnP 𝐾)‘𝐵))
62	55, 61	eleqtrrd 2284	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  ∀wral 2483  ∃wrex 2484   ⊆ wss 3165   class class class wbr 4043   × cxp 4672   ↾ cres 4676   ∘ ccom 4678  ⟶wf 5266  ‘cfv 5270  (class class class)co 5943  ℂcc 7922   < clt 8106   − cmin 8242   # cap 8653   / cdiv 8744  2c2 9086  ℝ⁺crp 9774  abscabs 11250   ↾_t crest 13013  ∞Metcxmet 14240  MetOpencmopn 14245   CnP ccnp 14600   lim_ℂ climc 15068

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-mulrcl 8023  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-precex 8034  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040  ax-pre-mulgt0 8041  ax-pre-mulext 8042  ax-arch 8043  ax-caucvg 8044

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4339  df-po 4342  df-iso 4343  df-iord 4412  df-on 4414  df-ilim 4415  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-isom 5279  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-recs 6390  df-frec 6476  df-map 6736  df-pm 6737  df-sup 7085  df-inf 7086  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-reap 8647  df-ap 8654  df-div 8745  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-4 9096  df-n0 9295  df-z 9372  df-uz 9648  df-q 9740  df-rp 9775  df-xneg 9893  df-xadd 9894  df-seqfrec 10591  df-exp 10682  df-cj 11095  df-re 11096  df-im 11097  df-rsqrt 11251  df-abs 11252  df-rest 13015  df-topgen 13034  df-psmet 14247  df-xmet 14248  df-met 14249  df-bl 14250  df-mopn 14251  df-top 14412  df-topon 14425  df-bases 14457  df-cnp 14603  df-limced 15070

This theorem is referenced by:  cnplimccntop  15084  dvcnp2cntop  15113