ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrexlemoverl GIF version

Theorem resqrexlemoverl 10921
Description: Lemma for resqrex 10926. Every term in the sequence is an overestimate compared with the limit 𝐿. Although this theorem is stated in terms of a particular sequence the proof could be adapted for any decreasing convergent sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
resqrexlemgt0.rr (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
resqrexlemgt0.lim (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)))
resqrexlemoverl.k (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
resqrexlemoverl (𝜑𝐿 ≤ (𝐹𝐾))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝑒,𝐹,𝑖,𝑗   𝑦,𝐹,𝑧,𝑖,𝑗   𝑒,𝐾,𝑖,𝑗   𝑦,𝐾,𝑧   𝑒,𝐿,𝑖,𝑗   𝑦,𝐿,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑒,𝑖,𝑗)   𝐴(𝑒,𝑖,𝑗)

Proof of Theorem resqrexlemoverl
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5832 . . . . . . . . 9 (𝑒 = (𝐿 − (𝐹𝐾)) → (𝐿 + 𝑒) = (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))))
21breq2d 3977 . . . . . . . 8 (𝑒 = (𝐿 − (𝐹𝐾)) → ((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ↔ (𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))
3 oveq2 5832 . . . . . . . . 9 (𝑒 = (𝐿 − (𝐹𝐾)) → ((𝐹𝑖) + 𝑒) = ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾))))
43breq2d 3977 . . . . . . . 8 (𝑒 = (𝐿 − (𝐹𝐾)) → (𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒) ↔ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))
52, 4anbi12d 465 . . . . . . 7 (𝑒 = (𝐿 − (𝐹𝐾)) → (((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)) ↔ ((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾))))))
65rexralbidv 2483 . . . . . 6 (𝑒 = (𝐿 − (𝐹𝐾)) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾))))))
7 resqrexlemgt0.lim . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)))
87adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)))
9 resqrexlemex.seq . . . . . . . . . . 11 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
10 resqrexlemex.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
11 resqrexlemex.agt0 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
129, 10, 11resqrexlemf 10907 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ+)
13 resqrexlemoverl.k . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
1412, 13ffvelrnd 5603 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝐾) ∈ ℝ+)
1514rpred 9603 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝐾) ∈ ℝ)
16 resqrexlemgt0.rr . . . . . . . 8 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
17 difrp 9599 . . . . . . . 8 (((𝐹𝐾) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((𝐹𝐾) < 𝐿 ↔ (𝐿 − (𝐹𝐾)) ∈ ℝ+))
1815, 16, 17syl2anc 409 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝐾) < 𝐿 ↔ (𝐿 − (𝐹𝐾)) ∈ ℝ+))
1918biimpa 294 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) → (𝐿 − (𝐹𝐾)) ∈ ℝ+)
206, 8, 19rspcdva 2821 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))
21 fveq2 5468 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑏 → (ℤ𝑗) = (ℤ𝑏))
2221raleqdv 2658 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑏 → (∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))) ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾))))))
2322cbvrexv 2681 . . . . 5 (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))
2420, 23sylib 121 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) → ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))
25 fveq2 5468 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝐾 → (𝐹𝑖) = (𝐹𝐾))
2625breq1d 3975 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝐾 → ((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ↔ (𝐹𝐾) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))
2725oveq1d 5839 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝐾 → ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾))) = ((𝐹𝐾) + (𝐿 − (𝐹𝐾))))
2827breq2d 3977 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝐾 → (𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ↔ 𝐿 < ((𝐹𝐾) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))
2926, 28anbi12d 465 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝐾 → (((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))) ↔ ((𝐹𝐾) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝐾) + (𝐿 − (𝐹𝐾))))))
30 simprr 522 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))
3130adantr 274 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝑏𝐾) → ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))
32 simprl 521 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → 𝑏 ∈ ℕ)
3332nnzd 9285 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → 𝑏 ∈ ℤ)
3433adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝑏𝐾) → 𝑏 ∈ ℤ)
3513ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → 𝐾 ∈ ℕ)
3635nnzd 9285 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → 𝐾 ∈ ℤ)
3736adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝑏𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
38 simpr 109 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝑏𝐾) → 𝑏𝐾)
39 eluz2 9445 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (ℤ𝑏) ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑏𝐾))
4034, 37, 38, 39syl3anbrc 1166 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝑏𝐾) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑏))
4129, 31, 40rspcdva 2821 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝑏𝐾) → ((𝐹𝐾) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝐾) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))
4241simprd 113 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝑏𝐾) → 𝐿 < ((𝐹𝐾) + (𝐿 − (𝐹𝐾))))
4314ad2antrr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → (𝐹𝐾) ∈ ℝ+)
4443rpcnd 9605 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → (𝐹𝐾) ∈ ℂ)
4544adantr 274 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝑏𝐾) → (𝐹𝐾) ∈ ℂ)
4616ad2antrr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → 𝐿 ∈ ℝ)
4746recnd 7906 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → 𝐿 ∈ ℂ)
4847adantr 274 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝑏𝐾) → 𝐿 ∈ ℂ)
4945, 48pncan3d 8189 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝑏𝐾) → ((𝐹𝐾) + (𝐿 − (𝐹𝐾))) = 𝐿)
5042, 49breqtrd 3990 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝑏𝐾) → 𝐿 < 𝐿)
5116ad3antrrr 484 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝑏𝐾) → 𝐿 ∈ ℝ)
5251ltnrd 7988 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝑏𝐾) → ¬ 𝐿 < 𝐿)
5350, 52pm2.21fal 1355 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝑏𝐾) → ⊥)
5410ad3antrrr 484 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → 𝐴 ∈ ℝ)
5511ad3antrrr 484 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → 0 ≤ 𝐴)
5613ad3antrrr 484 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → 𝐾 ∈ ℕ)
5732adantr 274 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → 𝑏 ∈ ℕ)
58 simpr 109 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → 𝐾 < 𝑏)
599, 54, 55, 56, 57, 58resqrexlemdecn 10912 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → (𝐹𝑏) < (𝐹𝐾))
6015ad3antrrr 484 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → (𝐹𝐾) ∈ ℝ)
6112ad2antrr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)
6261, 32ffvelrnd 5603 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → (𝐹𝑏) ∈ ℝ+)
6362rpred 9603 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → (𝐹𝑏) ∈ ℝ)
6463adantr 274 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → (𝐹𝑏) ∈ ℝ)
65 fveq2 5468 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑏 → (𝐹𝑖) = (𝐹𝑏))
6665breq1d 3975 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑏 → ((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ↔ (𝐹𝑏) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))
6765oveq1d 5839 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑏 → ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾))) = ((𝐹𝑏) + (𝐿 − (𝐹𝐾))))
6867breq2d 3977 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑏 → (𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ↔ 𝐿 < ((𝐹𝑏) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))
6966, 68anbi12d 465 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑏 → (((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))) ↔ ((𝐹𝑏) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑏) + (𝐿 − (𝐹𝐾))))))
70 uzid 9453 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ (ℤ𝑏))
7133, 70syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → 𝑏 ∈ (ℤ𝑏))
7269, 30, 71rspcdva 2821 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → ((𝐹𝑏) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑏) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))
7372simprd 113 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → 𝐿 < ((𝐹𝑏) + (𝐿 − (𝐹𝐾))))
7462rpcnd 9605 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → (𝐹𝑏) ∈ ℂ)
7574, 47, 44addsubassd 8206 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → (((𝐹𝑏) + 𝐿) − (𝐹𝐾)) = ((𝐹𝑏) + (𝐿 − (𝐹𝐾))))
7673, 75breqtrrd 3992 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → 𝐿 < (((𝐹𝑏) + 𝐿) − (𝐹𝐾)))
7715ad2antrr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → (𝐹𝐾) ∈ ℝ)
7863, 46readdcld 7907 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → ((𝐹𝑏) + 𝐿) ∈ ℝ)
7977, 46, 78ltaddsub2d 8421 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → (((𝐹𝐾) + 𝐿) < ((𝐹𝑏) + 𝐿) ↔ 𝐿 < (((𝐹𝑏) + 𝐿) − (𝐹𝐾))))
8076, 79mpbird 166 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → ((𝐹𝐾) + 𝐿) < ((𝐹𝑏) + 𝐿))
8177, 63, 46ltadd1d 8413 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → ((𝐹𝐾) < (𝐹𝑏) ↔ ((𝐹𝐾) + 𝐿) < ((𝐹𝑏) + 𝐿)))
8280, 81mpbird 166 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → (𝐹𝐾) < (𝐹𝑏))
8382adantr 274 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → (𝐹𝐾) < (𝐹𝑏))
8460, 64, 83ltnsymd 7995 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → ¬ (𝐹𝑏) < (𝐹𝐾))
8559, 84pm2.21fal 1355 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → ⊥)
86 zlelttric 9212 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑏𝐾𝐾 < 𝑏))
8733, 36, 86syl2anc 409 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → (𝑏𝐾𝐾 < 𝑏))
8853, 85, 87mpjaodan 788 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → ⊥)
8924, 88rexlimddv 2579 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) → ⊥)
9089inegd 1354 . 2 (𝜑 → ¬ (𝐹𝐾) < 𝐿)
9116, 15lenltd 7993 . 2 (𝜑 → (𝐿 ≤ (𝐹𝐾) ↔ ¬ (𝐹𝐾) < 𝐿))
9290, 91mpbird 166 1 (𝜑𝐿 ≤ (𝐹𝐾))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 698   = wceq 1335  wfal 1340  wcel 2128  wral 2435  wrex 2436  {csn 3560   class class class wbr 3965   × cxp 4584  wf 5166  cfv 5170  (class class class)co 5824  cmpo 5826  cc 7730  cr 7731  0cc0 7732  1c1 7733   + caddc 7735   < clt 7912  cle 7913  cmin 8046   / cdiv 8545  cn 8833  2c2 8884  cz 9167  cuz 9439  +crp 9560  seqcseq 10344
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-mulrcl 7831  ax-addcom 7832  ax-mulcom 7833  ax-addass 7834  ax-mulass 7835  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-1rid 7839  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-precex 7842  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-apti 7847  ax-pre-ltadd 7848  ax-pre-mulgt0 7849  ax-pre-mulext 7850
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-recs 6252  df-frec 6338  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-reap 8450  df-ap 8457  df-div 8546  df-inn 8834  df-2 8892  df-3 8893  df-4 8894  df-n0 9091  df-z 9168  df-uz 9440  df-rp 9561  df-seqfrec 10345  df-exp 10419
This theorem is referenced by:  resqrexlemglsq  10922
  Copyright terms: Public domain W3C validator