ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrexlemoverl GIF version

Theorem resqrexlemoverl 11014
Description: Lemma for resqrex 11019. Every term in the sequence is an overestimate compared with the limit 𝐿. Although this theorem is stated in terms of a particular sequence the proof could be adapted for any decreasing convergent sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
resqrexlemgt0.rr (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
resqrexlemgt0.lim (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)))
resqrexlemoverl.k (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
resqrexlemoverl (𝜑𝐿 ≤ (𝐹𝐾))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝑒,𝐹,𝑖,𝑗   𝑦,𝐹,𝑧,𝑖,𝑗   𝑒,𝐾,𝑖,𝑗   𝑦,𝐾,𝑧   𝑒,𝐿,𝑖,𝑗   𝑦,𝐿,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑒,𝑖,𝑗)   𝐴(𝑒,𝑖,𝑗)

Proof of Theorem resqrexlemoverl
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5877 . . . . . . . . 9 (𝑒 = (𝐿 − (𝐹𝐾)) → (𝐿 + 𝑒) = (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))))
21breq2d 4012 . . . . . . . 8 (𝑒 = (𝐿 − (𝐹𝐾)) → ((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ↔ (𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))
3 oveq2 5877 . . . . . . . . 9 (𝑒 = (𝐿 − (𝐹𝐾)) → ((𝐹𝑖) + 𝑒) = ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾))))
43breq2d 4012 . . . . . . . 8 (𝑒 = (𝐿 − (𝐹𝐾)) → (𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒) ↔ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))
52, 4anbi12d 473 . . . . . . 7 (𝑒 = (𝐿 − (𝐹𝐾)) → (((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)) ↔ ((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾))))))
65rexralbidv 2503 . . . . . 6 (𝑒 = (𝐿 − (𝐹𝐾)) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾))))))
7 resqrexlemgt0.lim . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)))
87adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)))
9 resqrexlemex.seq . . . . . . . . . . 11 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
10 resqrexlemex.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
11 resqrexlemex.agt0 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
129, 10, 11resqrexlemf 11000 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ+)
13 resqrexlemoverl.k . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
1412, 13ffvelcdmd 5648 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝐾) ∈ ℝ+)
1514rpred 9683 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝐾) ∈ ℝ)
16 resqrexlemgt0.rr . . . . . . . 8 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
17 difrp 9679 . . . . . . . 8 (((𝐹𝐾) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((𝐹𝐾) < 𝐿 ↔ (𝐿 − (𝐹𝐾)) ∈ ℝ+))
1815, 16, 17syl2anc 411 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝐾) < 𝐿 ↔ (𝐿 − (𝐹𝐾)) ∈ ℝ+))
1918biimpa 296 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) → (𝐿 − (𝐹𝐾)) ∈ ℝ+)
206, 8, 19rspcdva 2846 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))
21 fveq2 5511 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑏 → (ℤ𝑗) = (ℤ𝑏))
2221raleqdv 2678 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑏 → (∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))) ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾))))))
2322cbvrexv 2704 . . . . 5 (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))
2420, 23sylib 122 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) → ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))
25 fveq2 5511 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝐾 → (𝐹𝑖) = (𝐹𝐾))
2625breq1d 4010 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝐾 → ((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ↔ (𝐹𝐾) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))
2725oveq1d 5884 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝐾 → ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾))) = ((𝐹𝐾) + (𝐿 − (𝐹𝐾))))
2827breq2d 4012 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝐾 → (𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ↔ 𝐿 < ((𝐹𝐾) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))
2926, 28anbi12d 473 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝐾 → (((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))) ↔ ((𝐹𝐾) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝐾) + (𝐿 − (𝐹𝐾))))))
30 simprr 531 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))
3130adantr 276 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝑏𝐾) → ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))
32 simprl 529 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → 𝑏 ∈ ℕ)
3332nnzd 9363 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → 𝑏 ∈ ℤ)
3433adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝑏𝐾) → 𝑏 ∈ ℤ)
3513ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → 𝐾 ∈ ℕ)
3635nnzd 9363 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → 𝐾 ∈ ℤ)
3736adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝑏𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
38 simpr 110 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝑏𝐾) → 𝑏𝐾)
39 eluz2 9523 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (ℤ𝑏) ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑏𝐾))
4034, 37, 38, 39syl3anbrc 1181 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝑏𝐾) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑏))
4129, 31, 40rspcdva 2846 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝑏𝐾) → ((𝐹𝐾) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝐾) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))
4241simprd 114 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝑏𝐾) → 𝐿 < ((𝐹𝐾) + (𝐿 − (𝐹𝐾))))
4314ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → (𝐹𝐾) ∈ ℝ+)
4443rpcnd 9685 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → (𝐹𝐾) ∈ ℂ)
4544adantr 276 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝑏𝐾) → (𝐹𝐾) ∈ ℂ)
4616ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → 𝐿 ∈ ℝ)
4746recnd 7976 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → 𝐿 ∈ ℂ)
4847adantr 276 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝑏𝐾) → 𝐿 ∈ ℂ)
4945, 48pncan3d 8261 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝑏𝐾) → ((𝐹𝐾) + (𝐿 − (𝐹𝐾))) = 𝐿)
5042, 49breqtrd 4026 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝑏𝐾) → 𝐿 < 𝐿)
5116ad3antrrr 492 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝑏𝐾) → 𝐿 ∈ ℝ)
5251ltnrd 8059 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝑏𝐾) → ¬ 𝐿 < 𝐿)
5350, 52pm2.21fal 1373 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝑏𝐾) → ⊥)
5410ad3antrrr 492 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → 𝐴 ∈ ℝ)
5511ad3antrrr 492 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → 0 ≤ 𝐴)
5613ad3antrrr 492 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → 𝐾 ∈ ℕ)
5732adantr 276 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → 𝑏 ∈ ℕ)
58 simpr 110 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → 𝐾 < 𝑏)
599, 54, 55, 56, 57, 58resqrexlemdecn 11005 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → (𝐹𝑏) < (𝐹𝐾))
6015ad3antrrr 492 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → (𝐹𝐾) ∈ ℝ)
6112ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)
6261, 32ffvelcdmd 5648 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → (𝐹𝑏) ∈ ℝ+)
6362rpred 9683 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → (𝐹𝑏) ∈ ℝ)
6463adantr 276 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → (𝐹𝑏) ∈ ℝ)
65 fveq2 5511 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑏 → (𝐹𝑖) = (𝐹𝑏))
6665breq1d 4010 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑏 → ((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ↔ (𝐹𝑏) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))
6765oveq1d 5884 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑏 → ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾))) = ((𝐹𝑏) + (𝐿 − (𝐹𝐾))))
6867breq2d 4012 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑏 → (𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ↔ 𝐿 < ((𝐹𝑏) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))
6966, 68anbi12d 473 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑏 → (((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))) ↔ ((𝐹𝑏) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑏) + (𝐿 − (𝐹𝐾))))))
70 uzid 9531 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ (ℤ𝑏))
7133, 70syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → 𝑏 ∈ (ℤ𝑏))
7269, 30, 71rspcdva 2846 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → ((𝐹𝑏) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑏) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))
7372simprd 114 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → 𝐿 < ((𝐹𝑏) + (𝐿 − (𝐹𝐾))))
7462rpcnd 9685 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → (𝐹𝑏) ∈ ℂ)
7574, 47, 44addsubassd 8278 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → (((𝐹𝑏) + 𝐿) − (𝐹𝐾)) = ((𝐹𝑏) + (𝐿 − (𝐹𝐾))))
7673, 75breqtrrd 4028 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → 𝐿 < (((𝐹𝑏) + 𝐿) − (𝐹𝐾)))
7715ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → (𝐹𝐾) ∈ ℝ)
7863, 46readdcld 7977 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → ((𝐹𝑏) + 𝐿) ∈ ℝ)
7977, 46, 78ltaddsub2d 8493 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → (((𝐹𝐾) + 𝐿) < ((𝐹𝑏) + 𝐿) ↔ 𝐿 < (((𝐹𝑏) + 𝐿) − (𝐹𝐾))))
8076, 79mpbird 167 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → ((𝐹𝐾) + 𝐿) < ((𝐹𝑏) + 𝐿))
8177, 63, 46ltadd1d 8485 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → ((𝐹𝐾) < (𝐹𝑏) ↔ ((𝐹𝐾) + 𝐿) < ((𝐹𝑏) + 𝐿)))
8280, 81mpbird 167 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → (𝐹𝐾) < (𝐹𝑏))
8382adantr 276 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → (𝐹𝐾) < (𝐹𝑏))
8460, 64, 83ltnsymd 8067 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → ¬ (𝐹𝑏) < (𝐹𝐾))
8559, 84pm2.21fal 1373 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → ⊥)
86 zlelttric 9287 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑏𝐾𝐾 < 𝑏))
8733, 36, 86syl2anc 411 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → (𝑏𝐾𝐾 < 𝑏))
8853, 85, 87mpjaodan 798 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → ⊥)
8924, 88rexlimddv 2599 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) → ⊥)
9089inegd 1372 . 2 (𝜑 → ¬ (𝐹𝐾) < 𝐿)
9116, 15lenltd 8065 . 2 (𝜑 → (𝐿 ≤ (𝐹𝐾) ↔ ¬ (𝐹𝐾) < 𝐿))
9290, 91mpbird 167 1 (𝜑𝐿 ≤ (𝐹𝐾))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708   = wceq 1353  wfal 1358  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  {csn 3591   class class class wbr 4000   × cxp 4621  wf 5208  cfv 5212  (class class class)co 5869  cmpo 5871  cc 7800  cr 7801  0cc0 7802  1c1 7803   + caddc 7805   < clt 7982  cle 7983  cmin 8118   / cdiv 8618  cn 8908  2c2 8959  cz 9242  cuz 9517  +crp 9640  seqcseq 10431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-rp 9641  df-seqfrec 10432  df-exp 10506
This theorem is referenced by:  resqrexlemglsq  11015
  Copyright terms: Public domain W3C validator