resqrexlemoverl - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem resqrexlemoverl 10921

Description: Lemma for resqrex 10926. Every term in the sequence is an overestimate compared with the limit 𝐿. Although this theorem is stated in terms of a particular sequence the proof could be adapted for any decreasing convergent sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Aug-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
resqrexlemex.seq	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ⁺, 𝑧 ∈ ℝ⁺ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
resqrexlemgt0.rr	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
resqrexlemgt0.lim	⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)))
resqrexlemoverl.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)

**Assertion**
Ref	Expression
resqrexlemoverl	⊢ (𝜑 → 𝐿 ≤ (𝐹‘𝐾))

Distinct variable groups: 𝑦,𝐴,𝑧 𝑒,𝐹,𝑖,𝑗 𝑦,𝐹,𝑧,𝑖,𝑗 𝑒,𝐾,𝑖,𝑗 𝑦,𝐾,𝑧 𝑒,𝐿,𝑖,𝑗 𝑦,𝐿,𝑧 𝜑,𝑦,𝑧 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑒,𝑖,𝑗) 𝐴(𝑒,𝑖,𝑗)

Proof of Theorem resqrexlemoverl Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5832	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = (𝐿 − (𝐹‘𝐾)) → (𝐿 + 𝑒) = (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))))
2	1	breq2d 3977	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = (𝐿 − (𝐹‘𝐾)) → ((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ↔ (𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))
3		oveq2 5832	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = (𝐿 − (𝐹‘𝐾)) → ((𝐹‘𝑖) + 𝑒) = ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))))
4	3	breq2d 3977	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = (𝐿 − (𝐹‘𝐾)) → (𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒) ↔ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))
5	2, 4	anbi12d 465	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 = (𝐿 − (𝐹‘𝐾)) → (((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)) ↔ ((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))))))
6	5	rexralbidv 2483	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = (𝐿 − (𝐹‘𝐾)) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))))))
7		resqrexlemgt0.lim	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)))
8	7	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) → ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)))
9		resqrexlemex.seq	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ⁺, 𝑧 ∈ ℝ⁺ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
10		resqrexlemex.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
11		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
12	9, 10, 11	resqrexlemf 10907	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ⁺)
13		resqrexlemoverl.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
14	12, 13	ffvelrnd 5603	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐾) ∈ ℝ⁺)
15	14	rpred 9603	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐾) ∈ ℝ)
16		resqrexlemgt0.rr	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
17		difrp 9599	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝐾) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝐾) < 𝐿 ↔ (𝐿 − (𝐹‘𝐾)) ∈ ℝ⁺))
18	15, 16, 17	syl2anc 409	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐾) < 𝐿 ↔ (𝐿 − (𝐹‘𝐾)) ∈ ℝ⁺))
19	18	biimpa 294	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) → (𝐿 − (𝐹‘𝐾)) ∈ ℝ⁺)
20	6, 8, 19	rspcdva 2821	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))
21		fveq2 5468	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑏 → (ℤ_≥‘𝑗) = (ℤ_≥‘𝑏))
22	21	raleqdv 2658	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑏 → (∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))) ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))))))
23	22	cbvrexv 2681	. . . . 5 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))
24	20, 23	sylib 121	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) → ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))
25		fveq2 5468	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝐾 → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘𝐾))
26	25	breq1d 3975	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝐾 → ((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ↔ (𝐹‘𝐾) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))
27	25	oveq1d 5839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝐾 → ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) = ((𝐹‘𝐾) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))))
28	27	breq2d 3977	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝐾 → (𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ↔ 𝐿 < ((𝐹‘𝐾) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))
29	26, 28	anbi12d 465	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝐾 → (((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))) ↔ ((𝐹‘𝐾) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝐾) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))))))
30		simprr 522	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))
31	30	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐾) → ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))
32		simprl 521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → 𝑏 ∈ ℕ)
33	32	nnzd 9285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → 𝑏 ∈ ℤ)
34	33	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐾) → 𝑏 ∈ ℤ)
35	13	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → 𝐾 ∈ ℕ)
36	35	nnzd 9285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → 𝐾 ∈ ℤ)
37	36	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
38		simpr 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐾) → 𝑏 ≤ 𝐾)
39		eluz2 9445	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ_≥‘𝑏) ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ≤ 𝐾))
40	34, 37, 38, 39	syl3anbrc 1166	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐾) → 𝐾 ∈ (ℤ_≥‘𝑏))
41	29, 31, 40	rspcdva 2821	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐾) → ((𝐹‘𝐾) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝐾) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))
42	41	simprd 113	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐾) → 𝐿 < ((𝐹‘𝐾) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))))
43	14	ad2antrr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → (𝐹‘𝐾) ∈ ℝ⁺)
44	43	rpcnd 9605	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → (𝐹‘𝐾) ∈ ℂ)
45	44	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐾) → (𝐹‘𝐾) ∈ ℂ)
46	16	ad2antrr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → 𝐿 ∈ ℝ)
47	46	recnd 7906	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → 𝐿 ∈ ℂ)
48	47	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐾) → 𝐿 ∈ ℂ)
49	45, 48	pncan3d 8189	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐾) → ((𝐹‘𝐾) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) = 𝐿)
50	42, 49	breqtrd 3990	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐾) → 𝐿 < 𝐿)
51	16	ad3antrrr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐾) → 𝐿 ∈ ℝ)
52	51	ltnrd 7988	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐾) → ¬ 𝐿 < 𝐿)
53	50, 52	pm2.21fal 1355	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐾) → ⊥)
54	10	ad3antrrr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → 𝐴 ∈ ℝ)
55	11	ad3antrrr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → 0 ≤ 𝐴)
56	13	ad3antrrr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → 𝐾 ∈ ℕ)
57	32	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → 𝑏 ∈ ℕ)
58		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → 𝐾 < 𝑏)
59	9, 54, 55, 56, 57, 58	resqrexlemdecn 10912	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → (𝐹‘𝑏) < (𝐹‘𝐾))
60	15	ad3antrrr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → (𝐹‘𝐾) ∈ ℝ)
61	12	ad2antrr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → 𝐹:ℕ⟶ℝ⁺)
62	61, 32	ffvelrnd 5603	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℝ⁺)
63	62	rpred 9603	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℝ)
64	63	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℝ)
65		fveq2 5468	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 𝑏 → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘𝑏))
66	65	breq1d 3975	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑏 → ((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ↔ (𝐹‘𝑏) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))
67	65	oveq1d 5839	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 𝑏 → ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) = ((𝐹‘𝑏) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))))
68	67	breq2d 3977	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑏 → (𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ↔ 𝐿 < ((𝐹‘𝑏) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))
69	66, 68	anbi12d 465	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑏 → (((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))) ↔ ((𝐹‘𝑏) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑏) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))))))
70		uzid 9453	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑏))
71	33, 70	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → 𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑏))
72	69, 30, 71	rspcdva 2821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → ((𝐹‘𝑏) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑏) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))
73	72	simprd 113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → 𝐿 < ((𝐹‘𝑏) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))))
74	62	rpcnd 9605	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℂ)
75	74, 47, 44	addsubassd 8206	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → (((𝐹‘𝑏) + 𝐿) − (𝐹‘𝐾)) = ((𝐹‘𝑏) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))))
76	73, 75	breqtrrd 3992	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → 𝐿 < (((𝐹‘𝑏) + 𝐿) − (𝐹‘𝐾)))
77	15	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → (𝐹‘𝐾) ∈ ℝ)
78	63, 46	readdcld 7907	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → ((𝐹‘𝑏) + 𝐿) ∈ ℝ)
79	77, 46, 78	ltaddsub2d 8421	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → (((𝐹‘𝐾) + 𝐿) < ((𝐹‘𝑏) + 𝐿) ↔ 𝐿 < (((𝐹‘𝑏) + 𝐿) − (𝐹‘𝐾))))
80	76, 79	mpbird 166	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → ((𝐹‘𝐾) + 𝐿) < ((𝐹‘𝑏) + 𝐿))
81	77, 63, 46	ltadd1d 8413	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → ((𝐹‘𝐾) < (𝐹‘𝑏) ↔ ((𝐹‘𝐾) + 𝐿) < ((𝐹‘𝑏) + 𝐿)))
82	80, 81	mpbird 166	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → (𝐹‘𝐾) < (𝐹‘𝑏))
83	82	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → (𝐹‘𝐾) < (𝐹‘𝑏))
84	60, 64, 83	ltnsymd 7995	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → ¬ (𝐹‘𝑏) < (𝐹‘𝐾))
85	59, 84	pm2.21fal 1355	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → ⊥)
86		zlelttric 9212	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑏 ≤ 𝐾 ∨ 𝐾 < 𝑏))
87	33, 36, 86	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → (𝑏 ≤ 𝐾 ∨ 𝐾 < 𝑏))
88	53, 85, 87	mpjaodan 788	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → ⊥)
89	24, 88	rexlimddv 2579	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) → ⊥)
90	89	inegd 1354	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐹‘𝐾) < 𝐿)
91	16, 15	lenltd 7993	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ≤ (𝐹‘𝐾) ↔ ¬ (𝐹‘𝐾) < 𝐿))
92	90, 91	mpbird 166	1 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ≤ (𝐹‘𝐾))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 103 ↔ wb 104 ∨ wo 698 = wceq 1335 ⊥wfal 1340 ∈ wcel 2128 ∀wral 2435 ∃wrex 2436 {csn 3560 class class class wbr 3965 × cxp 4584 ⟶wf 5166 ‘cfv 5170 (class class class)co 5824 ∈ cmpo 5826 ℂcc 7730 ℝcr 7731 0cc0 7732 1c1 7733 + caddc 7735 < clt 7912 ≤ cle 7913 − cmin 8046 / cdiv 8545 ℕcn 8833 2c2 8884 ℤcz 9167 ℤ_≥cuz 9439 ℝ⁺crp 9560 seqcseq 10344

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1427 ax-7 1428 ax-gen 1429 ax-ie1 1473 ax-ie2 1474 ax-8 1484 ax-10 1485 ax-11 1486 ax-i12 1487 ax-bndl 1489 ax-4 1490 ax-17 1506 ax-i9 1510 ax-ial 1514 ax-i5r 1515 ax-13 2130 ax-14 2131 ax-ext 2139 ax-coll 4079 ax-sep 4082 ax-nul 4090 ax-pow 4135 ax-pr 4169 ax-un 4393 ax-setind 4496 ax-iinf 4547 ax-cnex 7823 ax-resscn 7824 ax-1cn 7825 ax-1re 7826 ax-icn 7827 ax-addcl 7828 ax-addrcl 7829 ax-mulcl 7830 ax-mulrcl 7831 ax-addcom 7832 ax-mulcom 7833 ax-addass 7834 ax-mulass 7835 ax-distr 7836 ax-i2m1 7837 ax-0lt1 7838 ax-1rid 7839 ax-0id 7840 ax-rnegex 7841 ax-precex 7842 ax-cnre 7843 ax-pre-ltirr 7844 ax-pre-ltwlin 7845 ax-pre-lttrn 7846 ax-pre-apti 7847 ax-pre-ltadd 7848 ax-pre-mulgt0 7849 ax-pre-mulext 7850

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 821 df-3or 964 df-3an 965 df-tru 1338 df-fal 1341 df-nf 1441 df-sb 1743 df-eu 2009 df-mo 2010 df-clab 2144 df-cleq 2150 df-clel 2153 df-nfc 2288 df-ne 2328 df-nel 2423 df-ral 2440 df-rex 2441 df-reu 2442 df-rmo 2443 df-rab 2444 df-v 2714 df-sbc 2938 df-csb 3032 df-dif 3104 df-un 3106 df-in 3108 df-ss 3115 df-nul 3395 df-if 3506 df-pw 3545 df-sn 3566 df-pr 3567 df-op 3569 df-uni 3773 df-int 3808 df-iun 3851 df-br 3966 df-opab 4026 df-mpt 4027 df-tr 4063 df-id 4253 df-po 4256 df-iso 4257 df-iord 4326 df-on 4328 df-ilim 4329 df-suc 4331 df-iom 4550 df-xp 4592 df-rel 4593 df-cnv 4594 df-co 4595 df-dm 4596 df-rn 4597 df-res 4598 df-ima 4599 df-iota 5135 df-fun 5172 df-fn 5173 df-f 5174 df-f1 5175 df-fo 5176 df-f1o 5177 df-fv 5178 df-riota 5780 df-ov 5827 df-oprab 5828 df-mpo 5829 df-1st 6088 df-2nd 6089 df-recs 6252 df-frec 6338 df-pnf 7914 df-mnf 7915 df-xr 7916 df-ltxr 7917 df-le 7918 df-sub 8048 df-neg 8049 df-reap 8450 df-ap 8457 df-div 8546 df-inn 8834 df-2 8892 df-3 8893 df-4 8894 df-n0 9091 df-z 9168 df-uz 9440 df-rp 9561 df-seqfrec 10345 df-exp 10419

This theorem is referenced by: resqrexlemglsq 10922

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