ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrexlemoverl GIF version

Theorem resqrexlemoverl 11032
Description: Lemma for resqrex 11037. Every term in the sequence is an overestimate compared with the limit 𝐿. Although this theorem is stated in terms of a particular sequence the proof could be adapted for any decreasing convergent sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (β„• Γ— {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐴)
resqrexlemgt0.rr (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ℝ)
resqrexlemgt0.lim (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + 𝑒)))
resqrexlemoverl.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„•)
Assertion
Ref Expression
resqrexlemoverl (πœ‘ β†’ 𝐿 ≀ (πΉβ€˜πΎ))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝑒,𝐹,𝑖,𝑗   𝑦,𝐹,𝑧,𝑖,𝑗   𝑒,𝐾,𝑖,𝑗   𝑦,𝐾,𝑧   𝑒,𝐿,𝑖,𝑗   𝑦,𝐿,𝑧   πœ‘,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑒,𝑖,𝑗)   𝐴(𝑒,𝑖,𝑗)

Proof of Theorem resqrexlemoverl
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5885 . . . . . . . . 9 (𝑒 = (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)) β†’ (𝐿 + 𝑒) = (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))))
21breq2d 4017 . . . . . . . 8 (𝑒 = (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + 𝑒) ↔ (πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))))
3 oveq2 5885 . . . . . . . . 9 (𝑒 = (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘–) + 𝑒) = ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))))
43breq2d 4017 . . . . . . . 8 (𝑒 = (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)) β†’ (𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + 𝑒) ↔ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))))
52, 4anbi12d 473 . . . . . . 7 (𝑒 = (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)) β†’ (((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + 𝑒)) ↔ ((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))))))
65rexralbidv 2503 . . . . . 6 (𝑒 = (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + 𝑒)) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))))))
7 resqrexlemgt0.lim . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + 𝑒)))
87adantr 276 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜πΎ) < 𝐿) β†’ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + 𝑒)))
9 resqrexlemex.seq . . . . . . . . . . 11 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (β„• Γ— {(1 + 𝐴)}))
10 resqrexlemex.a . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
11 resqrexlemex.agt0 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐴)
129, 10, 11resqrexlemf 11018 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„+)
13 resqrexlemoverl.k . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„•)
1412, 13ffvelcdmd 5654 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜πΎ) ∈ ℝ+)
1514rpred 9698 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜πΎ) ∈ ℝ)
16 resqrexlemgt0.rr . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ℝ)
17 difrp 9694 . . . . . . . 8 (((πΉβ€˜πΎ) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜πΎ) < 𝐿 ↔ (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)) ∈ ℝ+))
1815, 16, 17syl2anc 411 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜πΎ) < 𝐿 ↔ (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)) ∈ ℝ+))
1918biimpa 296 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜πΎ) < 𝐿) β†’ (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)) ∈ ℝ+)
206, 8, 19rspcdva 2848 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜πΎ) < 𝐿) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))))
21 fveq2 5517 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑏 β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘—) = (β„€β‰₯β€˜π‘))
2221raleqdv 2679 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑏 β†’ (βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))) ↔ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))))))
2322cbvrexv 2706 . . . . 5 (βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))) ↔ βˆƒπ‘ ∈ β„• βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))))
2420, 23sylib 122 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜πΎ) < 𝐿) β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„• βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))))
25 fveq2 5517 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝐾 β†’ (πΉβ€˜π‘–) = (πΉβ€˜πΎ))
2625breq1d 4015 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝐾 β†’ ((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ↔ (πΉβ€˜πΎ) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))))
2725oveq1d 5892 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝐾 β†’ ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) = ((πΉβ€˜πΎ) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))))
2827breq2d 4017 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝐾 β†’ (𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ↔ 𝐿 < ((πΉβ€˜πΎ) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))))
2926, 28anbi12d 473 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝐾 β†’ (((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))) ↔ ((πΉβ€˜πΎ) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜πΎ) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))))))
30 simprr 531 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜πΎ) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))))) β†’ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))))
3130adantr 276 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜πΎ) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))))) ∧ 𝑏 ≀ 𝐾) β†’ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))))
32 simprl 529 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜πΎ) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))))) β†’ 𝑏 ∈ β„•)
3332nnzd 9376 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜πΎ) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))))) β†’ 𝑏 ∈ β„€)
3433adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜πΎ) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))))) ∧ 𝑏 ≀ 𝐾) β†’ 𝑏 ∈ β„€)
3513ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜πΎ) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))))) β†’ 𝐾 ∈ β„•)
3635nnzd 9376 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜πΎ) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))))) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
3736adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜πΎ) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))))) ∧ 𝑏 ≀ 𝐾) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
38 simpr 110 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜πΎ) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))))) ∧ 𝑏 ≀ 𝐾) β†’ 𝑏 ≀ 𝐾)
39 eluz2 9536 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ↔ (𝑏 ∈ β„€ ∧ 𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑏 ≀ 𝐾))
4034, 37, 38, 39syl3anbrc 1181 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜πΎ) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))))) ∧ 𝑏 ≀ 𝐾) β†’ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
4129, 31, 40rspcdva 2848 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜πΎ) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))))) ∧ 𝑏 ≀ 𝐾) β†’ ((πΉβ€˜πΎ) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜πΎ) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))))
4241simprd 114 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜πΎ) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))))) ∧ 𝑏 ≀ 𝐾) β†’ 𝐿 < ((πΉβ€˜πΎ) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))))
4314ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜πΎ) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))))) β†’ (πΉβ€˜πΎ) ∈ ℝ+)
4443rpcnd 9700 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜πΎ) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))))) β†’ (πΉβ€˜πΎ) ∈ β„‚)
4544adantr 276 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜πΎ) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))))) ∧ 𝑏 ≀ 𝐾) β†’ (πΉβ€˜πΎ) ∈ β„‚)
4616ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜πΎ) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))))) β†’ 𝐿 ∈ ℝ)
4746recnd 7988 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜πΎ) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))))) β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
4847adantr 276 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜πΎ) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))))) ∧ 𝑏 ≀ 𝐾) β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
4945, 48pncan3d 8273 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜πΎ) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))))) ∧ 𝑏 ≀ 𝐾) β†’ ((πΉβ€˜πΎ) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) = 𝐿)
5042, 49breqtrd 4031 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜πΎ) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))))) ∧ 𝑏 ≀ 𝐾) β†’ 𝐿 < 𝐿)
5116ad3antrrr 492 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜πΎ) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))))) ∧ 𝑏 ≀ 𝐾) β†’ 𝐿 ∈ ℝ)
5251ltnrd 8071 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜πΎ) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))))) ∧ 𝑏 ≀ 𝐾) β†’ Β¬ 𝐿 < 𝐿)
5350, 52pm2.21fal 1373 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜πΎ) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))))) ∧ 𝑏 ≀ 𝐾) β†’ βŠ₯)
5410ad3antrrr 492 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜πΎ) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
5511ad3antrrr 492 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜πΎ) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) β†’ 0 ≀ 𝐴)
5613ad3antrrr 492 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜πΎ) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) β†’ 𝐾 ∈ β„•)
5732adantr 276 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜πΎ) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) β†’ 𝑏 ∈ β„•)
58 simpr 110 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜πΎ) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) β†’ 𝐾 < 𝑏)
599, 54, 55, 56, 57, 58resqrexlemdecn 11023 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜πΎ) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) β†’ (πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜πΎ))
6015ad3antrrr 492 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜πΎ) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) β†’ (πΉβ€˜πΎ) ∈ ℝ)
6112ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜πΎ) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))))) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„+)
6261, 32ffvelcdmd 5654 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜πΎ) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))))) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ+)
6362rpred 9698 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜πΎ) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))))) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ)
6463adantr 276 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜πΎ) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ)
65 fveq2 5517 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑏 β†’ (πΉβ€˜π‘–) = (πΉβ€˜π‘))
6665breq1d 4015 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑏 β†’ ((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ↔ (πΉβ€˜π‘) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))))
6765oveq1d 5892 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑏 β†’ ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) = ((πΉβ€˜π‘) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))))
6867breq2d 4017 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑏 β†’ (𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ↔ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))))
6966, 68anbi12d 473 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑏 β†’ (((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))) ↔ ((πΉβ€˜π‘) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))))))
70 uzid 9544 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ β„€ β†’ 𝑏 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
7133, 70syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜πΎ) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))))) β†’ 𝑏 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
7269, 30, 71rspcdva 2848 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜πΎ) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))))) β†’ ((πΉβ€˜π‘) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))))
7372simprd 114 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜πΎ) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))))) β†’ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))))
7462rpcnd 9700 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜πΎ) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))))) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„‚)
7574, 47, 44addsubassd 8290 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜πΎ) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))))) β†’ (((πΉβ€˜π‘) + 𝐿) βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)) = ((πΉβ€˜π‘) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))))
7673, 75breqtrrd 4033 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜πΎ) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))))) β†’ 𝐿 < (((πΉβ€˜π‘) + 𝐿) βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))
7715ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜πΎ) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))))) β†’ (πΉβ€˜πΎ) ∈ ℝ)
7863, 46readdcld 7989 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜πΎ) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))))) β†’ ((πΉβ€˜π‘) + 𝐿) ∈ ℝ)
7977, 46, 78ltaddsub2d 8505 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜πΎ) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))))) β†’ (((πΉβ€˜πΎ) + 𝐿) < ((πΉβ€˜π‘) + 𝐿) ↔ 𝐿 < (((πΉβ€˜π‘) + 𝐿) βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))))
8076, 79mpbird 167 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜πΎ) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))))) β†’ ((πΉβ€˜πΎ) + 𝐿) < ((πΉβ€˜π‘) + 𝐿))
8177, 63, 46ltadd1d 8497 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜πΎ) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))))) β†’ ((πΉβ€˜πΎ) < (πΉβ€˜π‘) ↔ ((πΉβ€˜πΎ) + 𝐿) < ((πΉβ€˜π‘) + 𝐿)))
8280, 81mpbird 167 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜πΎ) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))))) β†’ (πΉβ€˜πΎ) < (πΉβ€˜π‘))
8382adantr 276 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜πΎ) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) β†’ (πΉβ€˜πΎ) < (πΉβ€˜π‘))
8460, 64, 83ltnsymd 8079 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜πΎ) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) β†’ Β¬ (πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜πΎ))
8559, 84pm2.21fal 1373 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜πΎ) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) β†’ βŠ₯)
86 zlelttric 9300 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (𝑏 ≀ 𝐾 ∨ 𝐾 < 𝑏))
8733, 36, 86syl2anc 411 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜πΎ) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))))) β†’ (𝑏 ≀ 𝐾 ∨ 𝐾 < 𝑏))
8853, 85, 87mpjaodan 798 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜πΎ) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ))) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐿 βˆ’ (πΉβ€˜πΎ)))))) β†’ βŠ₯)
8924, 88rexlimddv 2599 . . 3 ((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜πΎ) < 𝐿) β†’ βŠ₯)
9089inegd 1372 . 2 (πœ‘ β†’ Β¬ (πΉβ€˜πΎ) < 𝐿)
9116, 15lenltd 8077 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐿 ≀ (πΉβ€˜πΎ) ↔ Β¬ (πΉβ€˜πΎ) < 𝐿))
9290, 91mpbird 167 1 (πœ‘ β†’ 𝐿 ≀ (πΉβ€˜πΎ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708   = wceq 1353  βŠ₯wfal 1358   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455  βˆƒwrex 2456  {csn 3594   class class class wbr 4005   Γ— cxp 4626  βŸΆwf 5214  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5877   ∈ cmpo 5879  β„‚cc 7811  β„cr 7812  0cc0 7813  1c1 7814   + caddc 7816   < clt 7994   ≀ cle 7995   βˆ’ cmin 8130   / cdiv 8631  β„•cn 8921  2c2 8972  β„€cz 9255  β„€β‰₯cuz 9530  β„+crp 9655  seqcseq 10447
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-rp 9656  df-seqfrec 10448  df-exp 10522
This theorem is referenced by:  resqrexlemglsq  11033
  Copyright terms: Public domain W3C validator