ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrexlemoverl GIF version

Theorem resqrexlemoverl 11023
Description: Lemma for resqrex 11028. Every term in the sequence is an overestimate compared with the limit 𝐿. Although this theorem is stated in terms of a particular sequence the proof could be adapted for any decreasing convergent sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
resqrexlemgt0.rr (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
resqrexlemgt0.lim (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)))
resqrexlemoverl.k (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
resqrexlemoverl (𝜑𝐿 ≤ (𝐹𝐾))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝑒,𝐹,𝑖,𝑗   𝑦,𝐹,𝑧,𝑖,𝑗   𝑒,𝐾,𝑖,𝑗   𝑦,𝐾,𝑧   𝑒,𝐿,𝑖,𝑗   𝑦,𝐿,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑒,𝑖,𝑗)   𝐴(𝑒,𝑖,𝑗)

Proof of Theorem resqrexlemoverl
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5880 . . . . . . . . 9 (𝑒 = (𝐿 − (𝐹𝐾)) → (𝐿 + 𝑒) = (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))))
21breq2d 4014 . . . . . . . 8 (𝑒 = (𝐿 − (𝐹𝐾)) → ((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ↔ (𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))
3 oveq2 5880 . . . . . . . . 9 (𝑒 = (𝐿 − (𝐹𝐾)) → ((𝐹𝑖) + 𝑒) = ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾))))
43breq2d 4014 . . . . . . . 8 (𝑒 = (𝐿 − (𝐹𝐾)) → (𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒) ↔ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))
52, 4anbi12d 473 . . . . . . 7 (𝑒 = (𝐿 − (𝐹𝐾)) → (((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)) ↔ ((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾))))))
65rexralbidv 2503 . . . . . 6 (𝑒 = (𝐿 − (𝐹𝐾)) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾))))))
7 resqrexlemgt0.lim . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)))
87adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)))
9 resqrexlemex.seq . . . . . . . . . . 11 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
10 resqrexlemex.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
11 resqrexlemex.agt0 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
129, 10, 11resqrexlemf 11009 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ+)
13 resqrexlemoverl.k . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
1412, 13ffvelcdmd 5651 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝐾) ∈ ℝ+)
1514rpred 9692 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝐾) ∈ ℝ)
16 resqrexlemgt0.rr . . . . . . . 8 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
17 difrp 9688 . . . . . . . 8 (((𝐹𝐾) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((𝐹𝐾) < 𝐿 ↔ (𝐿 − (𝐹𝐾)) ∈ ℝ+))
1815, 16, 17syl2anc 411 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝐾) < 𝐿 ↔ (𝐿 − (𝐹𝐾)) ∈ ℝ+))
1918biimpa 296 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) → (𝐿 − (𝐹𝐾)) ∈ ℝ+)
206, 8, 19rspcdva 2846 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))
21 fveq2 5514 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑏 → (ℤ𝑗) = (ℤ𝑏))
2221raleqdv 2678 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑏 → (∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))) ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾))))))
2322cbvrexv 2704 . . . . 5 (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))
2420, 23sylib 122 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) → ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))
25 fveq2 5514 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝐾 → (𝐹𝑖) = (𝐹𝐾))
2625breq1d 4012 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝐾 → ((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ↔ (𝐹𝐾) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))
2725oveq1d 5887 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝐾 → ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾))) = ((𝐹𝐾) + (𝐿 − (𝐹𝐾))))
2827breq2d 4014 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝐾 → (𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ↔ 𝐿 < ((𝐹𝐾) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))
2926, 28anbi12d 473 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝐾 → (((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))) ↔ ((𝐹𝐾) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝐾) + (𝐿 − (𝐹𝐾))))))
30 simprr 531 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))
3130adantr 276 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝑏𝐾) → ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))
32 simprl 529 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → 𝑏 ∈ ℕ)
3332nnzd 9370 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → 𝑏 ∈ ℤ)
3433adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝑏𝐾) → 𝑏 ∈ ℤ)
3513ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → 𝐾 ∈ ℕ)
3635nnzd 9370 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → 𝐾 ∈ ℤ)
3736adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝑏𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
38 simpr 110 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝑏𝐾) → 𝑏𝐾)
39 eluz2 9530 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (ℤ𝑏) ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑏𝐾))
4034, 37, 38, 39syl3anbrc 1181 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝑏𝐾) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑏))
4129, 31, 40rspcdva 2846 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝑏𝐾) → ((𝐹𝐾) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝐾) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))
4241simprd 114 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝑏𝐾) → 𝐿 < ((𝐹𝐾) + (𝐿 − (𝐹𝐾))))
4314ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → (𝐹𝐾) ∈ ℝ+)
4443rpcnd 9694 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → (𝐹𝐾) ∈ ℂ)
4544adantr 276 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝑏𝐾) → (𝐹𝐾) ∈ ℂ)
4616ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → 𝐿 ∈ ℝ)
4746recnd 7982 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → 𝐿 ∈ ℂ)
4847adantr 276 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝑏𝐾) → 𝐿 ∈ ℂ)
4945, 48pncan3d 8267 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝑏𝐾) → ((𝐹𝐾) + (𝐿 − (𝐹𝐾))) = 𝐿)
5042, 49breqtrd 4028 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝑏𝐾) → 𝐿 < 𝐿)
5116ad3antrrr 492 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝑏𝐾) → 𝐿 ∈ ℝ)
5251ltnrd 8065 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝑏𝐾) → ¬ 𝐿 < 𝐿)
5350, 52pm2.21fal 1373 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝑏𝐾) → ⊥)
5410ad3antrrr 492 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → 𝐴 ∈ ℝ)
5511ad3antrrr 492 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → 0 ≤ 𝐴)
5613ad3antrrr 492 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → 𝐾 ∈ ℕ)
5732adantr 276 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → 𝑏 ∈ ℕ)
58 simpr 110 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → 𝐾 < 𝑏)
599, 54, 55, 56, 57, 58resqrexlemdecn 11014 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → (𝐹𝑏) < (𝐹𝐾))
6015ad3antrrr 492 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → (𝐹𝐾) ∈ ℝ)
6112ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)
6261, 32ffvelcdmd 5651 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → (𝐹𝑏) ∈ ℝ+)
6362rpred 9692 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → (𝐹𝑏) ∈ ℝ)
6463adantr 276 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → (𝐹𝑏) ∈ ℝ)
65 fveq2 5514 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑏 → (𝐹𝑖) = (𝐹𝑏))
6665breq1d 4012 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑏 → ((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ↔ (𝐹𝑏) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))
6765oveq1d 5887 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑏 → ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾))) = ((𝐹𝑏) + (𝐿 − (𝐹𝐾))))
6867breq2d 4014 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑏 → (𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ↔ 𝐿 < ((𝐹𝑏) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))
6966, 68anbi12d 473 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑏 → (((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))) ↔ ((𝐹𝑏) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑏) + (𝐿 − (𝐹𝐾))))))
70 uzid 9538 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ (ℤ𝑏))
7133, 70syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → 𝑏 ∈ (ℤ𝑏))
7269, 30, 71rspcdva 2846 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → ((𝐹𝑏) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑏) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))
7372simprd 114 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → 𝐿 < ((𝐹𝑏) + (𝐿 − (𝐹𝐾))))
7462rpcnd 9694 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → (𝐹𝑏) ∈ ℂ)
7574, 47, 44addsubassd 8284 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → (((𝐹𝑏) + 𝐿) − (𝐹𝐾)) = ((𝐹𝑏) + (𝐿 − (𝐹𝐾))))
7673, 75breqtrrd 4030 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → 𝐿 < (((𝐹𝑏) + 𝐿) − (𝐹𝐾)))
7715ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → (𝐹𝐾) ∈ ℝ)
7863, 46readdcld 7983 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → ((𝐹𝑏) + 𝐿) ∈ ℝ)
7977, 46, 78ltaddsub2d 8499 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → (((𝐹𝐾) + 𝐿) < ((𝐹𝑏) + 𝐿) ↔ 𝐿 < (((𝐹𝑏) + 𝐿) − (𝐹𝐾))))
8076, 79mpbird 167 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → ((𝐹𝐾) + 𝐿) < ((𝐹𝑏) + 𝐿))
8177, 63, 46ltadd1d 8491 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → ((𝐹𝐾) < (𝐹𝑏) ↔ ((𝐹𝐾) + 𝐿) < ((𝐹𝑏) + 𝐿)))
8280, 81mpbird 167 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → (𝐹𝐾) < (𝐹𝑏))
8382adantr 276 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → (𝐹𝐾) < (𝐹𝑏))
8460, 64, 83ltnsymd 8073 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → ¬ (𝐹𝑏) < (𝐹𝐾))
8559, 84pm2.21fal 1373 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → ⊥)
86 zlelttric 9294 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑏𝐾𝐾 < 𝑏))
8733, 36, 86syl2anc 411 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → (𝑏𝐾𝐾 < 𝑏))
8853, 85, 87mpjaodan 798 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → ⊥)
8924, 88rexlimddv 2599 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) → ⊥)
9089inegd 1372 . 2 (𝜑 → ¬ (𝐹𝐾) < 𝐿)
9116, 15lenltd 8071 . 2 (𝜑 → (𝐿 ≤ (𝐹𝐾) ↔ ¬ (𝐹𝐾) < 𝐿))
9290, 91mpbird 167 1 (𝜑𝐿 ≤ (𝐹𝐾))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708   = wceq 1353  wfal 1358  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  {csn 3592   class class class wbr 4002   × cxp 4623  wf 5211  cfv 5215  (class class class)co 5872  cmpo 5874  cc 7806  cr 7807  0cc0 7808  1c1 7809   + caddc 7811   < clt 7988  cle 7989  cmin 8124   / cdiv 8625  cn 8915  2c2 8966  cz 9249  cuz 9524  +crp 9649  seqcseq 10440
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-iinf 4586  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-mulrcl 7907  ax-addcom 7908  ax-mulcom 7909  ax-addass 7910  ax-mulass 7911  ax-distr 7912  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-1rid 7915  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-precex 7918  ax-cnre 7919  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-ltwlin 7921  ax-pre-lttrn 7922  ax-pre-apti 7923  ax-pre-ltadd 7924  ax-pre-mulgt0 7925  ax-pre-mulext 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-tr 4101  df-id 4292  df-po 4295  df-iso 4296  df-iord 4365  df-on 4367  df-ilim 4368  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6303  df-frec 6389  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-xr 7992  df-ltxr 7993  df-le 7994  df-sub 8126  df-neg 8127  df-reap 8528  df-ap 8535  df-div 8626  df-inn 8916  df-2 8974  df-3 8975  df-4 8976  df-n0 9173  df-z 9250  df-uz 9525  df-rp 9650  df-seqfrec 10441  df-exp 10515
This theorem is referenced by:  resqrexlemglsq  11024
  Copyright terms: Public domain W3C validator