resqrexlemoverl - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem resqrexlemoverl 11770

Description: Lemma for resqrex 11775. Every term in the sequence is an overestimate compared with the limit 𝐿. Although this theorem is stated in terms of a particular sequence the proof could be adapted for any decreasing convergent sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Aug-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
resqrexlemex.seq	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ⁺, 𝑧 ∈ ℝ⁺ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
resqrexlemgt0.rr	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
resqrexlemgt0.lim	⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)))
resqrexlemoverl.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)

**Assertion**
Ref	Expression
resqrexlemoverl	⊢ (𝜑 → 𝐿 ≤ (𝐹‘𝐾))

Distinct variable groups: 𝑦,𝐴,𝑧 𝑒,𝐹,𝑖,𝑗 𝑦,𝐹,𝑧,𝑖,𝑗 𝑒,𝐾,𝑖,𝑗 𝑦,𝐾,𝑧 𝑒,𝐿,𝑖,𝑗 𝑦,𝐿,𝑧 𝜑,𝑦,𝑧 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑒,𝑖,𝑗) 𝐴(𝑒,𝑖,𝑗)

Proof of Theorem resqrexlemoverl Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6087	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = (𝐿 − (𝐹‘𝐾)) → (𝐿 + 𝑒) = (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))))
2	1	breq2d 4140	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = (𝐿 − (𝐹‘𝐾)) → ((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ↔ (𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))
3		oveq2 6087	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = (𝐿 − (𝐹‘𝐾)) → ((𝐹‘𝑖) + 𝑒) = ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))))
4	3	breq2d 4140	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = (𝐿 − (𝐹‘𝐾)) → (𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒) ↔ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))
5	2, 4	anbi12d 477	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 = (𝐿 − (𝐹‘𝐾)) → (((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)) ↔ ((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))))))
6	5	rexralbidv 2576	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = (𝐿 − (𝐹‘𝐾)) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))))))
7		resqrexlemgt0.lim	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)))
8	7	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) → ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)))
9		resqrexlemex.seq	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ⁺, 𝑧 ∈ ℝ⁺ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
10		resqrexlemex.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
11		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
12	9, 10, 11	resqrexlemf 11756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ⁺)
13		resqrexlemoverl.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
14	12, 13	ffvelcdmd 5838	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐾) ∈ ℝ⁺)
15	14	rpred 10080	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐾) ∈ ℝ)
16		resqrexlemgt0.rr	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
17		difrp 10076	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝐾) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝐾) < 𝐿 ↔ (𝐿 − (𝐹‘𝐾)) ∈ ℝ⁺))
18	15, 16, 17	syl2anc 415	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐾) < 𝐿 ↔ (𝐿 − (𝐹‘𝐾)) ∈ ℝ⁺))
19	18	biimpa 296	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) → (𝐿 − (𝐹‘𝐾)) ∈ ℝ⁺)
20	6, 8, 19	rspcdva 2934	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))
21		fveq2 5693	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑏 → (ℤ_≥‘𝑗) = (ℤ_≥‘𝑏))
22	21	raleqdv 2755	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑏 → (∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))) ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))))))
23	22	cbvrexv 2787	. . . . 5 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))
24	20, 23	sylib 122	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) → ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))
25		fveq2 5693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝐾 → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘𝐾))
26	25	breq1d 4138	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝐾 → ((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ↔ (𝐹‘𝐾) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))
27	25	oveq1d 6094	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝐾 → ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) = ((𝐹‘𝐾) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))))
28	27	breq2d 4140	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝐾 → (𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ↔ 𝐿 < ((𝐹‘𝐾) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))
29	26, 28	anbi12d 477	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝐾 → (((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))) ↔ ((𝐹‘𝐾) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝐾) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))))))
30		simprr 537	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))
31	30	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐾) → ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))
32		simprl 535	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → 𝑏 ∈ ℕ)
33	32	nnzd 9750	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → 𝑏 ∈ ℤ)
34	33	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐾) → 𝑏 ∈ ℤ)
35	13	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → 𝐾 ∈ ℕ)
36	35	nnzd 9750	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → 𝐾 ∈ ℤ)
37	36	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
38		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐾) → 𝑏 ≤ 𝐾)
39		eluz2 9910	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ_≥‘𝑏) ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ≤ 𝐾))
40	34, 37, 38, 39	syl3anbrc 1212	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐾) → 𝐾 ∈ (ℤ_≥‘𝑏))
41	29, 31, 40	rspcdva 2934	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐾) → ((𝐹‘𝐾) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝐾) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))
42	41	simprd 114	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐾) → 𝐿 < ((𝐹‘𝐾) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))))
43	14	ad2antrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → (𝐹‘𝐾) ∈ ℝ⁺)
44	43	rpcnd 10082	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → (𝐹‘𝐾) ∈ ℂ)
45	44	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐾) → (𝐹‘𝐾) ∈ ℂ)
46	16	ad2antrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → 𝐿 ∈ ℝ)
47	46	recnd 8348	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → 𝐿 ∈ ℂ)
48	47	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐾) → 𝐿 ∈ ℂ)
49	45, 48	pncan3d 8634	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐾) → ((𝐹‘𝐾) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) = 𝐿)
50	42, 49	breqtrd 4154	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐾) → 𝐿 < 𝐿)
51	16	ad3antrrr 496	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐾) → 𝐿 ∈ ℝ)
52	51	ltnrd 8431	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐾) → ¬ 𝐿 < 𝐿)
53	50, 52	pm2.21fal 1422	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐾) → ⊥)
54	10	ad3antrrr 496	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → 𝐴 ∈ ℝ)
55	11	ad3antrrr 496	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → 0 ≤ 𝐴)
56	13	ad3antrrr 496	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → 𝐾 ∈ ℕ)
57	32	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → 𝑏 ∈ ℕ)
58		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → 𝐾 < 𝑏)
59	9, 54, 55, 56, 57, 58	resqrexlemdecn 11761	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → (𝐹‘𝑏) < (𝐹‘𝐾))
60	15	ad3antrrr 496	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → (𝐹‘𝐾) ∈ ℝ)
61	12	ad2antrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → 𝐹:ℕ⟶ℝ⁺)
62	61, 32	ffvelcdmd 5838	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℝ⁺)
63	62	rpred 10080	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℝ)
64	63	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℝ)
65		fveq2 5693	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 𝑏 → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘𝑏))
66	65	breq1d 4138	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑏 → ((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ↔ (𝐹‘𝑏) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))
67	65	oveq1d 6094	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 𝑏 → ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) = ((𝐹‘𝑏) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))))
68	67	breq2d 4140	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑏 → (𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ↔ 𝐿 < ((𝐹‘𝑏) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))
69	66, 68	anbi12d 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑏 → (((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))) ↔ ((𝐹‘𝑏) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑏) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))))))
70		uzid 9919	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑏))
71	33, 70	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → 𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑏))
72	69, 30, 71	rspcdva 2934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → ((𝐹‘𝑏) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑏) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))
73	72	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → 𝐿 < ((𝐹‘𝑏) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))))
74	62	rpcnd 10082	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℂ)
75	74, 47, 44	addsubassd 8651	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → (((𝐹‘𝑏) + 𝐿) − (𝐹‘𝐾)) = ((𝐹‘𝑏) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))))
76	73, 75	breqtrrd 4156	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → 𝐿 < (((𝐹‘𝑏) + 𝐿) − (𝐹‘𝐾)))
77	15	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → (𝐹‘𝐾) ∈ ℝ)
78	63, 46	readdcld 8349	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → ((𝐹‘𝑏) + 𝐿) ∈ ℝ)
79	77, 46, 78	ltaddsub2d 8868	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → (((𝐹‘𝐾) + 𝐿) < ((𝐹‘𝑏) + 𝐿) ↔ 𝐿 < (((𝐹‘𝑏) + 𝐿) − (𝐹‘𝐾))))
80	76, 79	mpbird 167	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → ((𝐹‘𝐾) + 𝐿) < ((𝐹‘𝑏) + 𝐿))
81	77, 63, 46	ltadd1d 8860	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → ((𝐹‘𝐾) < (𝐹‘𝑏) ↔ ((𝐹‘𝐾) + 𝐿) < ((𝐹‘𝑏) + 𝐿)))
82	80, 81	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → (𝐹‘𝐾) < (𝐹‘𝑏))
83	82	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → (𝐹‘𝐾) < (𝐹‘𝑏))
84	60, 64, 83	ltnsymd 8440	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → ¬ (𝐹‘𝑏) < (𝐹‘𝐾))
85	59, 84	pm2.21fal 1422	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → ⊥)
86		zlelttric 9672	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑏 ≤ 𝐾 ∨ 𝐾 < 𝑏))
87	33, 36, 86	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → (𝑏 ≤ 𝐾 ∨ 𝐾 < 𝑏))
88	53, 85, 87	mpjaodan 810	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → ⊥)
89	24, 88	rexlimddv 2673	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) → ⊥)
90	89	inegd 1421	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐹‘𝐾) < 𝐿)
91	16, 15	lenltd 8438	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ≤ (𝐹‘𝐾) ↔ ¬ (𝐹‘𝐾) < 𝐿))
92	90, 91	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ≤ (𝐹‘𝐾))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 ∨ wo 720 = wceq 1402 ⊥wfal 1407 ∈ wcel 2209 ∀wral 2528 ∃wrex 2529 {csn 3708 class class class wbr 4128 × cxp 4770 ⟶wf 5371 ‘cfv 5375 (class class class)co 6079 ∈ cmpo 6081 ℂcc 8171 ℝcr 8172 0cc0 8173 1c1 8174 + caddc 8176 < clt 8354 ≤ cle 8355 − cmin 8491 / cdiv 8996 ℕcn 9287 2c2 9338 ℤcz 9627 ℤ_≥cuz 9904 ℝ⁺crp 10037 seqcseq 10867

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 623 ax-in2 624 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-coll 4244 ax-sep 4247 ax-nul 4257 ax-pow 4309 ax-pr 4344 ax-un 4576 ax-setind 4682 ax-iinf 4733 ax-cnex 8264 ax-resscn 8265 ax-1cn 8266 ax-1re 8267 ax-icn 8268 ax-addcl 8269 ax-addrcl 8270 ax-mulcl 8271 ax-mulrcl 8272 ax-addcom 8273 ax-mulcom 8274 ax-addass 8275 ax-mulass 8276 ax-distr 8277 ax-i2m1 8278 ax-0lt1 8279 ax-1rid 8280 ax-0id 8281 ax-rnegex 8282 ax-precex 8283 ax-cnre 8284 ax-pre-ltirr 8285 ax-pre-ltwlin 8286 ax-pre-lttrn 8287 ax-pre-apti 8288 ax-pre-ltadd 8289 ax-pre-mulgt0 8290 ax-pre-mulext 8291

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 847 df-3or 1010 df-3an 1011 df-tru 1405 df-fal 1408 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ne 2421 df-nel 2516 df-ral 2533 df-rex 2534 df-reu 2535 df-rmo 2536 df-rab 2537 df-v 2823 df-sbc 3052 df-csb 3148 df-dif 3222 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-nul 3521 df-if 3639 df-pw 3690 df-sn 3714 df-pr 3715 df-op 3717 df-uni 3934 df-int 3969 df-iun 4012 df-br 4129 df-opab 4191 df-mpt 4192 df-tr 4228 df-id 4436 df-po 4439 df-iso 4440 df-iord 4509 df-on 4511 df-ilim 4512 df-suc 4514 df-iom 4736 df-xp 4778 df-rel 4779 df-cnv 4780 df-co 4781 df-dm 4782 df-rn 4783 df-res 4784 df-ima 4785 df-iota 5335 df-fun 5377 df-fn 5378 df-f 5379 df-f1 5380 df-fo 5381 df-f1o 5382 df-fv 5383 df-riota 6032 df-ov 6082 df-oprab 6083 df-mpo 6084 df-1st 6368 df-2nd 6369 df-recs 6570 df-frec 6656 df-pnf 8356 df-mnf 8357 df-xr 8358 df-ltxr 8359 df-le 8360 df-sub 8493 df-neg 8494 df-reap 8897 df-ap 8904 df-div 8997 df-inn 9288 df-2 9346 df-3 9347 df-4 9348 df-n0 9547 df-z 9628 df-uz 9905 df-rp 10038 df-seqfrec 10868 df-exp 10959

This theorem is referenced by: resqrexlemglsq 11771

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