resqrexlemoverl - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem resqrexlemoverl 10786

Description: Lemma for resqrex 10791. Every term in the sequence is an overestimate compared with the limit 𝐿. Although this theorem is stated in terms of a particular sequence the proof could be adapted for any decreasing convergent sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Aug-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
resqrexlemex.seq	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ⁺, 𝑧 ∈ ℝ⁺ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
resqrexlemgt0.rr	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
resqrexlemgt0.lim	⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)))
resqrexlemoverl.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)

**Assertion**
Ref	Expression
resqrexlemoverl	⊢ (𝜑 → 𝐿 ≤ (𝐹‘𝐾))

Distinct variable groups: 𝑦,𝐴,𝑧 𝑒,𝐹,𝑖,𝑗 𝑦,𝐹,𝑧,𝑖,𝑗 𝑒,𝐾,𝑖,𝑗 𝑦,𝐾,𝑧 𝑒,𝐿,𝑖,𝑗 𝑦,𝐿,𝑧 𝜑,𝑦,𝑧 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑒,𝑖,𝑗) 𝐴(𝑒,𝑖,𝑗)

Proof of Theorem resqrexlemoverl Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5775	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = (𝐿 − (𝐹‘𝐾)) → (𝐿 + 𝑒) = (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))))
2	1	breq2d 3936	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = (𝐿 − (𝐹‘𝐾)) → ((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ↔ (𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))
3		oveq2 5775	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = (𝐿 − (𝐹‘𝐾)) → ((𝐹‘𝑖) + 𝑒) = ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))))
4	3	breq2d 3936	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = (𝐿 − (𝐹‘𝐾)) → (𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒) ↔ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))
5	2, 4	anbi12d 464	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 = (𝐿 − (𝐹‘𝐾)) → (((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)) ↔ ((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))))))
6	5	rexralbidv 2459	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = (𝐿 − (𝐹‘𝐾)) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))))))
7		resqrexlemgt0.lim	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)))
8	7	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) → ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)))
9		resqrexlemex.seq	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ⁺, 𝑧 ∈ ℝ⁺ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
10		resqrexlemex.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
11		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
12	9, 10, 11	resqrexlemf 10772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ⁺)
13		resqrexlemoverl.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
14	12, 13	ffvelrnd 5549	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐾) ∈ ℝ⁺)
15	14	rpred 9476	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐾) ∈ ℝ)
16		resqrexlemgt0.rr	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
17		difrp 9473	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝐾) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝐾) < 𝐿 ↔ (𝐿 − (𝐹‘𝐾)) ∈ ℝ⁺))
18	15, 16, 17	syl2anc 408	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐾) < 𝐿 ↔ (𝐿 − (𝐹‘𝐾)) ∈ ℝ⁺))
19	18	biimpa 294	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) → (𝐿 − (𝐹‘𝐾)) ∈ ℝ⁺)
20	6, 8, 19	rspcdva 2789	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))
21		fveq2 5414	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑏 → (ℤ_≥‘𝑗) = (ℤ_≥‘𝑏))
22	21	raleqdv 2630	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑏 → (∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))) ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))))))
23	22	cbvrexv 2653	. . . . 5 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))
24	20, 23	sylib 121	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) → ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))
25		fveq2 5414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝐾 → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘𝐾))
26	25	breq1d 3934	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝐾 → ((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ↔ (𝐹‘𝐾) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))
27	25	oveq1d 5782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝐾 → ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) = ((𝐹‘𝐾) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))))
28	27	breq2d 3936	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝐾 → (𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ↔ 𝐿 < ((𝐹‘𝐾) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))
29	26, 28	anbi12d 464	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝐾 → (((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))) ↔ ((𝐹‘𝐾) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝐾) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))))))
30		simprr 521	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))
31	30	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐾) → ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))
32		simprl 520	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → 𝑏 ∈ ℕ)
33	32	nnzd 9165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → 𝑏 ∈ ℤ)
34	33	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐾) → 𝑏 ∈ ℤ)
35	13	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → 𝐾 ∈ ℕ)
36	35	nnzd 9165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → 𝐾 ∈ ℤ)
37	36	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
38		simpr 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐾) → 𝑏 ≤ 𝐾)
39		eluz2 9325	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ_≥‘𝑏) ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ≤ 𝐾))
40	34, 37, 38, 39	syl3anbrc 1165	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐾) → 𝐾 ∈ (ℤ_≥‘𝑏))
41	29, 31, 40	rspcdva 2789	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐾) → ((𝐹‘𝐾) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝐾) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))
42	41	simprd 113	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐾) → 𝐿 < ((𝐹‘𝐾) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))))
43	14	ad2antrr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → (𝐹‘𝐾) ∈ ℝ⁺)
44	43	rpcnd 9478	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → (𝐹‘𝐾) ∈ ℂ)
45	44	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐾) → (𝐹‘𝐾) ∈ ℂ)
46	16	ad2antrr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → 𝐿 ∈ ℝ)
47	46	recnd 7787	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → 𝐿 ∈ ℂ)
48	47	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐾) → 𝐿 ∈ ℂ)
49	45, 48	pncan3d 8069	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐾) → ((𝐹‘𝐾) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) = 𝐿)
50	42, 49	breqtrd 3949	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐾) → 𝐿 < 𝐿)
51	16	ad3antrrr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐾) → 𝐿 ∈ ℝ)
52	51	ltnrd 7868	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐾) → ¬ 𝐿 < 𝐿)
53	50, 52	pm2.21fal 1351	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐾) → ⊥)
54	10	ad3antrrr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → 𝐴 ∈ ℝ)
55	11	ad3antrrr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → 0 ≤ 𝐴)
56	13	ad3antrrr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → 𝐾 ∈ ℕ)
57	32	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → 𝑏 ∈ ℕ)
58		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → 𝐾 < 𝑏)
59	9, 54, 55, 56, 57, 58	resqrexlemdecn 10777	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → (𝐹‘𝑏) < (𝐹‘𝐾))
60	15	ad3antrrr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → (𝐹‘𝐾) ∈ ℝ)
61	12	ad2antrr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → 𝐹:ℕ⟶ℝ⁺)
62	61, 32	ffvelrnd 5549	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℝ⁺)
63	62	rpred 9476	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℝ)
64	63	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℝ)
65		fveq2 5414	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 𝑏 → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘𝑏))
66	65	breq1d 3934	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑏 → ((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ↔ (𝐹‘𝑏) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))
67	65	oveq1d 5782	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 𝑏 → ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) = ((𝐹‘𝑏) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))))
68	67	breq2d 3936	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑏 → (𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ↔ 𝐿 < ((𝐹‘𝑏) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))
69	66, 68	anbi12d 464	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑏 → (((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))) ↔ ((𝐹‘𝑏) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑏) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))))))
70		uzid 9333	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑏))
71	33, 70	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → 𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑏))
72	69, 30, 71	rspcdva 2789	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → ((𝐹‘𝑏) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑏) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))
73	72	simprd 113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → 𝐿 < ((𝐹‘𝑏) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))))
74	62	rpcnd 9478	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℂ)
75	74, 47, 44	addsubassd 8086	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → (((𝐹‘𝑏) + 𝐿) − (𝐹‘𝐾)) = ((𝐹‘𝑏) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))))
76	73, 75	breqtrrd 3951	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → 𝐿 < (((𝐹‘𝑏) + 𝐿) − (𝐹‘𝐾)))
77	15	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → (𝐹‘𝐾) ∈ ℝ)
78	63, 46	readdcld 7788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → ((𝐹‘𝑏) + 𝐿) ∈ ℝ)
79	77, 46, 78	ltaddsub2d 8301	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → (((𝐹‘𝐾) + 𝐿) < ((𝐹‘𝑏) + 𝐿) ↔ 𝐿 < (((𝐹‘𝑏) + 𝐿) − (𝐹‘𝐾))))
80	76, 79	mpbird 166	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → ((𝐹‘𝐾) + 𝐿) < ((𝐹‘𝑏) + 𝐿))
81	77, 63, 46	ltadd1d 8293	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → ((𝐹‘𝐾) < (𝐹‘𝑏) ↔ ((𝐹‘𝐾) + 𝐿) < ((𝐹‘𝑏) + 𝐿)))
82	80, 81	mpbird 166	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → (𝐹‘𝐾) < (𝐹‘𝑏))
83	82	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → (𝐹‘𝐾) < (𝐹‘𝑏))
84	60, 64, 83	ltnsymd 7875	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → ¬ (𝐹‘𝑏) < (𝐹‘𝐾))
85	59, 84	pm2.21fal 1351	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → ⊥)
86		zlelttric 9092	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑏 ≤ 𝐾 ∨ 𝐾 < 𝑏))
87	33, 36, 86	syl2anc 408	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → (𝑏 ≤ 𝐾 ∨ 𝐾 < 𝑏))
88	53, 85, 87	mpjaodan 787	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹‘𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + (𝐿 − (𝐹‘𝐾)))))) → ⊥)
89	24, 88	rexlimddv 2552	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐾) < 𝐿) → ⊥)
90	89	inegd 1350	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐹‘𝐾) < 𝐿)
91	16, 15	lenltd 7873	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ≤ (𝐹‘𝐾) ↔ ¬ (𝐹‘𝐾) < 𝐿))
92	90, 91	mpbird 166	1 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ≤ (𝐹‘𝐾))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 103 ↔ wb 104 ∨ wo 697 = wceq 1331 ⊥wfal 1336 ∈ wcel 1480 ∀wral 2414 ∃wrex 2415 {csn 3522 class class class wbr 3924 × cxp 4532 ⟶wf 5114 ‘cfv 5118 (class class class)co 5767 ∈ cmpo 5769 ℂcc 7611 ℝcr 7612 0cc0 7613 1c1 7614 + caddc 7616 < clt 7793 ≤ cle 7794 − cmin 7926 / cdiv 8425 ℕcn 8713 2c2 8764 ℤcz 9047 ℤ_≥cuz 9319 ℝ⁺crp 9434 seqcseq 10211

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 603 ax-in2 604 ax-io 698 ax-5 1423 ax-7 1424 ax-gen 1425 ax-ie1 1469 ax-ie2 1470 ax-8 1482 ax-10 1483 ax-11 1484 ax-i12 1485 ax-bndl 1486 ax-4 1487 ax-13 1491 ax-14 1492 ax-17 1506 ax-i9 1510 ax-ial 1514 ax-i5r 1515 ax-ext 2119 ax-coll 4038 ax-sep 4041 ax-nul 4049 ax-pow 4093 ax-pr 4126 ax-un 4350 ax-setind 4447 ax-iinf 4497 ax-cnex 7704 ax-resscn 7705 ax-1cn 7706 ax-1re 7707 ax-icn 7708 ax-addcl 7709 ax-addrcl 7710 ax-mulcl 7711 ax-mulrcl 7712 ax-addcom 7713 ax-mulcom 7714 ax-addass 7715 ax-mulass 7716 ax-distr 7717 ax-i2m1 7718 ax-0lt1 7719 ax-1rid 7720 ax-0id 7721 ax-rnegex 7722 ax-precex 7723 ax-cnre 7724 ax-pre-ltirr 7725 ax-pre-ltwlin 7726 ax-pre-lttrn 7727 ax-pre-apti 7728 ax-pre-ltadd 7729 ax-pre-mulgt0 7730 ax-pre-mulext 7731

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 820 df-3or 963 df-3an 964 df-tru 1334 df-fal 1337 df-nf 1437 df-sb 1736 df-eu 2000 df-mo 2001 df-clab 2124 df-cleq 2130 df-clel 2133 df-nfc 2268 df-ne 2307 df-nel 2402 df-ral 2419 df-rex 2420 df-reu 2421 df-rmo 2422 df-rab 2423 df-v 2683 df-sbc 2905 df-csb 2999 df-dif 3068 df-un 3070 df-in 3072 df-ss 3079 df-nul 3359 df-if 3470 df-pw 3507 df-sn 3528 df-pr 3529 df-op 3531 df-uni 3732 df-int 3767 df-iun 3810 df-br 3925 df-opab 3985 df-mpt 3986 df-tr 4022 df-id 4210 df-po 4213 df-iso 4214 df-iord 4283 df-on 4285 df-ilim 4286 df-suc 4288 df-iom 4500 df-xp 4540 df-rel 4541 df-cnv 4542 df-co 4543 df-dm 4544 df-rn 4545 df-res 4546 df-ima 4547 df-iota 5083 df-fun 5120 df-fn 5121 df-f 5122 df-f1 5123 df-fo 5124 df-f1o 5125 df-fv 5126 df-riota 5723 df-ov 5770 df-oprab 5771 df-mpo 5772 df-1st 6031 df-2nd 6032 df-recs 6195 df-frec 6281 df-pnf 7795 df-mnf 7796 df-xr 7797 df-ltxr 7798 df-le 7799 df-sub 7928 df-neg 7929 df-reap 8330 df-ap 8337 df-div 8426 df-inn 8714 df-2 8772 df-3 8773 df-4 8774 df-n0 8971 df-z 9048 df-uz 9320 df-rp 9435 df-seqfrec 10212 df-exp 10286

This theorem is referenced by: resqrexlemglsq 10787

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