Theorem lmcvg 15099

Description: Convergence property of a converging sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmcvg.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
lmcvg.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑈)
lmcvg.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
lmcvg.5	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
lmcvg.6	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
lmcvg	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑈)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐹   𝑗,𝐽,𝑘   𝑃,𝑗,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘   𝑈,𝑗,𝑘   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍,𝑘

Allowed substitution hint:   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem lmcvg

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmcvg.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑈)
2		eleq2 2298	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (𝑃 ∈ 𝑢 ↔ 𝑃 ∈ 𝑈))
3		eleq2 2298	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢 ↔ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑈))
4	3	rexralbidv 2570	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑈))
5	2, 4	imbi12d 234	. . 3 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ (𝑃 ∈ 𝑈 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑈)))
6		lmcvg.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
7		lmrcl 15074	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 → 𝐽 ∈ Top)
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
9		eqid 2234	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
10	9	toptopon 14900	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
11	8, 10	sylib 122	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
12		lmcvg.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
13		lmcvg.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
14	11, 12, 13	lmbr2 15096	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (∪ 𝐽 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ∪ 𝐽 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))))
15	6, 14	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (∪ 𝐽 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ∪ 𝐽 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))))
16	15	simp3d 1038	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
17		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)
18	17	ralimi 2607	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)
19	18	reximi 2641	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)
20	19	imim2i 12	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)) → (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))
21	20	ralimi 2607	. . . 4 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)) → ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))
22	16, 21	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))
23		lmcvg.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
24	5, 22, 23	rspcdva 2928	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ 𝑈 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑈))
25	1, 24	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522  ∃wrex 2523  ∪ cuni 3916   class class class wbr 4111  dom cdm 4751  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052   ↑_pm cpm 6885  ℂcc 8127  ℤcz 9579  ℤ_≥cuz 9856  Topctop 14879  TopOnctopon 14892  ⇝_𝑡clm 15069

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-addass 8231  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-pm 6887  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-inn 9240  df-n0 9499  df-z 9580  df-uz 9857  df-top 14880  df-topon 14893  df-lm 15072

This theorem is referenced by: (None)