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Theorem cvg1nlemres 10313
Description: Lemma for cvg1n 10314. The original sequence 𝐹 has a limit (turns out it is the same as the limit of the modified sequence 𝐺). (Contributed by Jim Kingdon, 1-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
cvg1n.f (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
cvg1n.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
cvg1n.cau (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛))))
cvg1nlem.g 𝐺 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘(𝑗 · 𝑍)))
cvg1nlem.z (𝜑𝑍 ∈ ℕ)
cvg1nlem.start (𝜑𝐶 < 𝑍)
Assertion
Ref Expression
cvg1nlemres (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑖,𝑘   𝐶,𝑛,𝑘   𝑗,𝐹,𝑘,𝑛   𝑖,𝐺,𝑦,𝑘   𝑛,𝐺   𝑥,𝐺,𝑖,𝑦   𝑖,𝑍,𝑗,𝑘   𝑛,𝑍   𝜑,𝑖,𝑥,𝑦,𝑗   𝜑,𝑘,𝑛   𝑥,𝑗,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦,𝑗)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑖)   𝐺(𝑗)   𝑍(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cvg1nlemres
Dummy variables 𝑒 𝑎 𝑏 𝑐 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvg1n.f . . . 4 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
2 cvg1n.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
3 cvg1n.cau . . . 4 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛))))
4 cvg1nlem.g . . . 4 𝐺 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘(𝑗 · 𝑍)))
5 cvg1nlem.z . . . 4 (𝜑𝑍 ∈ ℕ)
6 cvg1nlem.start . . . 4 (𝜑𝐶 < 𝑍)
71, 2, 3, 4, 5, 6cvg1nlemf 10311 . . 3 (𝜑𝐺:ℕ⟶ℝ)
81, 2, 3, 4, 5, 6cvg1nlemcau 10312 . . 3 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐺𝑛) < ((𝐺𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐺𝑘) < ((𝐺𝑛) + (1 / 𝑛))))
97, 8caucvgre 10309 . 2 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐)))
10 fveq2 5268 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑤 → (ℤ𝑎) = (ℤ𝑤))
1110raleqdv 2564 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑤 → (∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐)) ↔ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))))
1211cbvrexv 2587 . . . . . . . . 9 (∃𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐)) ↔ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐)))
1312ralbii 2380 . . . . . . . 8 (∀𝑐 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐)) ↔ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐)))
1413anbi2i 445 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ↔ ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))))
1514anbi1i 446 . . . . . 6 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ↔ (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+))
16 oveq2 5621 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = (𝑥 / 2) → (𝑦 + 𝑐) = (𝑦 + (𝑥 / 2)))
1716breq2d 3832 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = (𝑥 / 2) → ((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ↔ (𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2))))
18 oveq2 5621 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = (𝑥 / 2) → ((𝐺𝑏) + 𝑐) = ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2)))
1918breq2d 3832 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = (𝑥 / 2) → (𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐) ↔ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))
2017, 19anbi12d 457 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = (𝑥 / 2) → (((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐)) ↔ ((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2)))))
2120rexralbidv 2400 . . . . . . . . 9 (𝑐 = (𝑥 / 2) → (∃𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐)) ↔ ∃𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2)))))
22 simplr 497 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐)))
23 simpr 108 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
2423rphalfcld 9118 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
2521, 22, 24rspcdva 2720 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))
2615, 25sylbir 133 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))
272rpred 9105 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
2827ad4antr 478 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) → 𝐶 ∈ ℝ)
29 2re 8427 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ
3029a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) → 2 ∈ ℝ)
3128, 30remulcld 7462 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) → (𝐶 · 2) ∈ ℝ)
32 simplr 497 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) → 𝑥 ∈ ℝ+)
3331, 32rerpdivcld 9137 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) → ((𝐶 · 2) / 𝑥) ∈ ℝ)
345ad4antr 478 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) → 𝑍 ∈ ℕ)
3533, 34nndivred 8406 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) → (((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) ∈ ℝ)
36 simprl 498 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) → 𝑎 ∈ ℕ)
3736nnred 8370 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) → 𝑎 ∈ ℝ)
3835, 37readdcld 7461 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) → ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) ∈ ℝ)
39 arch 8603 . . . . . . . . 9 (((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) ∈ ℝ → ∃𝑒 ∈ ℕ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)
4038, 39syl 14 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) → ∃𝑒 ∈ ℕ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)
41 simprl 498 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) → 𝑒 ∈ ℕ)
4234adantr 270 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) → 𝑍 ∈ ℕ)
4341, 42nnmulcld 8405 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) → (𝑒 · 𝑍) ∈ ℕ)
441ad6antr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
45 simplrl 502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑒 ∈ ℕ)
465ad6antr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑍 ∈ ℕ)
4745, 46nnmulcld 8405 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝑒 · 𝑍) ∈ ℕ)
48 eluznn 9019 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑒 · 𝑍) ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑖 ∈ ℕ)
4947, 48sylancom 411 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑖 ∈ ℕ)
5044, 49ffvelrnd 5398 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝐹𝑖) ∈ ℝ)
5144, 47ffvelrnd 5398 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) ∈ ℝ)
5232ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑥 ∈ ℝ+)
5352rpred 9105 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑥 ∈ ℝ)
5453rehalfcld 8595 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ)
5551, 54readdcld 7461 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝑥 / 2)) ∈ ℝ)
56 simpllr 501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ)
5756ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑦 ∈ ℝ)
5857, 54readdcld 7461 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∈ ℝ)
5958, 54readdcld 7461 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝑦 + (𝑥 / 2)) + (𝑥 / 2)) ∈ ℝ)
6027ad6antr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝐶 ∈ ℝ)
6160, 47nndivred 8406 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝐶 / (𝑒 · 𝑍)) ∈ ℝ)
6251, 61readdcld 7461 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))) ∈ ℝ)
63 fveq2 5268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝑖 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑖))
6463oveq1d 5628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹𝑘) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))) = ((𝐹𝑖) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))))
6564breq2d 3832 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) < ((𝐹𝑘) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))) ↔ (𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) < ((𝐹𝑖) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍)))))
6663breq1d 3830 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹𝑘) < ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))) ↔ (𝐹𝑖) < ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍)))))
6765, 66anbi12d 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑖 → (((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) < ((𝐹𝑘) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍)))) ↔ ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) < ((𝐹𝑖) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))) ∧ (𝐹𝑖) < ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))))))
68 fveq2 5268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = (𝑒 · 𝑍) → (ℤ𝑛) = (ℤ‘(𝑒 · 𝑍)))
69 fveq2 5268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = (𝑒 · 𝑍) → (𝐹𝑛) = (𝐹‘(𝑒 · 𝑍)))
70 oveq2 5621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 = (𝑒 · 𝑍) → (𝐶 / 𝑛) = (𝐶 / (𝑒 · 𝑍)))
7170oveq2d 5629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = (𝑒 · 𝑍) → ((𝐹𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) = ((𝐹𝑘) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))))
7269, 71breq12d 3833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = (𝑒 · 𝑍) → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ↔ (𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) < ((𝐹𝑘) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍)))))
7369, 70oveq12d 5631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = (𝑒 · 𝑍) → ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛)) = ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))))
7473breq2d 3832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = (𝑒 · 𝑍) → ((𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛)) ↔ (𝐹𝑘) < ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍)))))
7572, 74anbi12d 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = (𝑒 · 𝑍) → (((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛))) ↔ ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) < ((𝐹𝑘) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))))))
7668, 75raleqbidv 2570 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = (𝑒 · 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛))) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) < ((𝐹𝑘) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))))))
773ad6antr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛))))
7876, 77, 47rspcdva 2720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) < ((𝐹𝑘) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍)))))
79 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍)))
8067, 78, 79rspcdva 2720 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) < ((𝐹𝑖) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))) ∧ (𝐹𝑖) < ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍)))))
8180simprd 112 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝐹𝑖) < ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))))
82 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
8382ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑥 ∈ ℝ+)
8483rpred 9105 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑥 ∈ ℝ)
8584rehalfcld 8595 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ)
862ad6antr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝐶 ∈ ℝ+)
8736ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑎 ∈ ℕ)
88 simplrr 503 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)
8986, 83, 46, 45, 87, 88cvg1nlemcxze 10310 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝐶 / (𝑒 · 𝑍)) < (𝑥 / 2))
9061, 85, 89ltled 7546 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝐶 / (𝑒 · 𝑍)) ≤ (𝑥 / 2))
9161, 54, 51, 90leadd2dd 7978 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))) ≤ ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝑥 / 2)))
9250, 62, 55, 81, 91ltletrd 7845 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝐹𝑖) < ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝑥 / 2)))
93 fveq2 5268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 = 𝑒 → (𝐺𝑏) = (𝐺𝑒))
9493breq1d 3830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 = 𝑒 → ((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ↔ (𝐺𝑒) < (𝑦 + (𝑥 / 2))))
9593oveq1d 5628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 = 𝑒 → ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2)) = ((𝐺𝑒) + (𝑥 / 2)))
9695breq2d 3832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 = 𝑒 → (𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2)) ↔ 𝑦 < ((𝐺𝑒) + (𝑥 / 2))))
9794, 96anbi12d 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = 𝑒 → (((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))) ↔ ((𝐺𝑒) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑒) + (𝑥 / 2)))))
98 simprr 499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) → ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))
9998ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))
10087nnred 8370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑎 ∈ ℝ)
10145nnred 8370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑒 ∈ ℝ)
102 2rp 9071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 ∈ ℝ+
103102a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → 2 ∈ ℝ+)
10486, 103rpmulcld 9122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝐶 · 2) ∈ ℝ+)
105104, 83rpdivcld 9123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝐶 · 2) / 𝑥) ∈ ℝ+)
10646nnrpd 9104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑍 ∈ ℝ+)
107105, 106rpdivcld 9123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → (((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) ∈ ℝ+)
108107rpred 9105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → (((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) ∈ ℝ)
109108, 100readdcld 7461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) ∈ ℝ)
110100, 107ltaddrp2d 9140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑎 < ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎))
111100, 109, 101, 110, 88lttrd 7553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑎 < 𝑒)
112100, 101, 111ltled 7546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑎𝑒)
11387nnzd 8800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑎 ∈ ℤ)
11445nnzd 8800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑒 ∈ ℤ)
115 eluz 8964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑒 ∈ ℤ) → (𝑒 ∈ (ℤ𝑎) ↔ 𝑎𝑒))
116113, 114, 115syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝑒 ∈ (ℤ𝑎) ↔ 𝑎𝑒))
117112, 116mpbird 165 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑒 ∈ (ℤ𝑎))
11897, 99, 117rspcdva 2720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝐺𝑒) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑒) + (𝑥 / 2))))
119 oveq1 5620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 = 𝑒 → (𝑗 · 𝑍) = (𝑒 · 𝑍))
120119fveq2d 5272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = 𝑒 → (𝐹‘(𝑗 · 𝑍)) = (𝐹‘(𝑒 · 𝑍)))
121120, 4fvmptg 5343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑒 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) ∈ ℝ) → (𝐺𝑒) = (𝐹‘(𝑒 · 𝑍)))
12245, 51, 121syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝐺𝑒) = (𝐹‘(𝑒 · 𝑍)))
123122breq1d 3830 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝐺𝑒) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ↔ (𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) < (𝑦 + (𝑥 / 2))))
124122oveq1d 5628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝐺𝑒) + (𝑥 / 2)) = ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝑥 / 2)))
125124breq2d 3832 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝑦 < ((𝐺𝑒) + (𝑥 / 2)) ↔ 𝑦 < ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝑥 / 2))))
126123, 125anbi12d 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → (((𝐺𝑒) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑒) + (𝑥 / 2))) ↔ ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝑥 / 2)))))
127118, 126mpbid 145 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝑥 / 2))))
128127simpld 110 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) < (𝑦 + (𝑥 / 2)))
12951, 58, 54, 128ltadd1dd 7974 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝑥 / 2)) < ((𝑦 + (𝑥 / 2)) + (𝑥 / 2)))
13050, 55, 59, 92, 129lttrd 7553 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝐹𝑖) < ((𝑦 + (𝑥 / 2)) + (𝑥 / 2)))
13157recnd 7460 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑦 ∈ ℂ)
13254recnd 7460 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝑥 / 2) ∈ ℂ)
133131, 132, 132addassd 7454 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝑦 + (𝑥 / 2)) + (𝑥 / 2)) = (𝑦 + ((𝑥 / 2) + (𝑥 / 2))))
134130, 133breqtrd 3844 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝐹𝑖) < (𝑦 + ((𝑥 / 2) + (𝑥 / 2))))
13552rpcnd 9107 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑥 ∈ ℂ)
1361352halvesd 8594 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝑥 / 2) + (𝑥 / 2)) = 𝑥)
137136oveq2d 5629 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝑦 + ((𝑥 / 2) + (𝑥 / 2))) = (𝑦 + 𝑥))
138134, 137breqtrd 3844 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥))
13950, 54readdcld 7461 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝐹𝑖) + (𝑥 / 2)) ∈ ℝ)
140139, 54readdcld 7461 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → (((𝐹𝑖) + (𝑥 / 2)) + (𝑥 / 2)) ∈ ℝ)
141127simprd 112 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑦 < ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝑥 / 2)))
14250, 61readdcld 7461 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝐹𝑖) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))) ∈ ℝ)
14380simpld 110 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) < ((𝐹𝑖) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))))
14461, 54, 50, 90leadd2dd 7978 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝐹𝑖) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))) ≤ ((𝐹𝑖) + (𝑥 / 2)))
14551, 142, 139, 143, 144ltletrd 7845 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) < ((𝐹𝑖) + (𝑥 / 2)))
14651, 139, 54, 145ltadd1dd 7974 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝑥 / 2)) < (((𝐹𝑖) + (𝑥 / 2)) + (𝑥 / 2)))
14757, 55, 140, 141, 146lttrd 7553 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑦 < (((𝐹𝑖) + (𝑥 / 2)) + (𝑥 / 2)))
14850recnd 7460 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝐹𝑖) ∈ ℂ)
149148, 132, 132addassd 7454 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → (((𝐹𝑖) + (𝑥 / 2)) + (𝑥 / 2)) = ((𝐹𝑖) + ((𝑥 / 2) + (𝑥 / 2))))
150147, 149breqtrd 3844 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑦 < ((𝐹𝑖) + ((𝑥 / 2) + (𝑥 / 2))))
151136oveq2d 5629 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝐹𝑖) + ((𝑥 / 2) + (𝑥 / 2))) = ((𝐹𝑖) + 𝑥))
152150, 151breqtrd 3844 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥))
153138, 152jca 300 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥)))
154153ralrimiva 2442 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) → ∀𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥)))
155 fveq2 5268 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = (𝑒 · 𝑍) → (ℤ𝑗) = (ℤ‘(𝑒 · 𝑍)))
156155raleqdv 2564 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = (𝑒 · 𝑍) → (∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥)) ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥))))
157156rspcev 2715 . . . . . . . . 9 (((𝑒 · 𝑍) ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥))) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥)))
15843, 154, 157syl2anc 403 . . . . . . . 8 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥)))
15940, 158rexlimddv 2489 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥)))
16026, 159rexlimddv 2489 . . . . . 6 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥)))
16115, 160sylbi 119 . . . . 5 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥)))
162161ralrimiva 2442 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥)))
163162ex 113 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑐 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥))))
164163reximdva 2471 . 2 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥))))
1659, 164mpd 13 1 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1287  wcel 1436  wral 2355  wrex 2356   class class class wbr 3820  cmpt 3874  wf 4977  cfv 4981  (class class class)co 5613  cr 7293   + caddc 7297   · cmul 7299   < clt 7466  cle 7467   / cdiv 8078  cn 8357  2c2 8407  cz 8683  cuz 8951  +crp 9066
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3932  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234  ax-setind 4326  ax-cnex 7380  ax-resscn 7381  ax-1cn 7382  ax-1re 7383  ax-icn 7384  ax-addcl 7385  ax-addrcl 7386  ax-mulcl 7387  ax-mulrcl 7388  ax-addcom 7389  ax-mulcom 7390  ax-addass 7391  ax-mulass 7392  ax-distr 7393  ax-i2m1 7394  ax-0lt1 7395  ax-1rid 7396  ax-0id 7397  ax-rnegex 7398  ax-precex 7399  ax-cnre 7400  ax-pre-ltirr 7401  ax-pre-ltwlin 7402  ax-pre-lttrn 7403  ax-pre-apti 7404  ax-pre-ltadd 7405  ax-pre-mulgt0 7406  ax-pre-mulext 7407  ax-arch 7408  ax-caucvg 7409
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-int 3672  df-br 3821  df-opab 3875  df-mpt 3876  df-id 4094  df-po 4097  df-iso 4098  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-rn 4422  df-res 4423  df-ima 4424  df-iota 4946  df-fun 4983  df-fn 4984  df-f 4985  df-fv 4989  df-riota 5569  df-ov 5616  df-oprab 5617  df-mpt2 5618  df-pnf 7468  df-mnf 7469  df-xr 7470  df-ltxr 7471  df-le 7472  df-sub 7599  df-neg 7600  df-reap 7993  df-ap 8000  df-div 8079  df-inn 8358  df-2 8416  df-n0 8607  df-z 8684  df-uz 8952  df-rp 9067
This theorem is referenced by:  cvg1n  10314
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