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Theorem cvg1nlemres 11007
Description: Lemma for cvg1n 11008. The original sequence 𝐹 has a limit (turns out it is the same as the limit of the modified sequence 𝐺). (Contributed by Jim Kingdon, 1-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
cvg1n.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„)
cvg1n.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
cvg1n.cau (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((πΉβ€˜π‘›) < ((πΉβ€˜π‘˜) + (𝐢 / 𝑛)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < ((πΉβ€˜π‘›) + (𝐢 / 𝑛))))
cvg1nlem.g 𝐺 = (𝑗 ∈ β„• ↦ (πΉβ€˜(𝑗 Β· 𝑍)))
cvg1nlem.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ β„•)
cvg1nlem.start (πœ‘ β†’ 𝐢 < 𝑍)
Assertion
Ref Expression
cvg1nlemres (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘–) < (𝑦 + π‘₯) ∧ 𝑦 < ((πΉβ€˜π‘–) + π‘₯)))
Distinct variable groups:   𝐢,𝑖,π‘˜   𝐢,𝑛,π‘˜   𝑗,𝐹,π‘˜,𝑛   𝑖,𝐺,𝑦,π‘˜   𝑛,𝐺   π‘₯,𝐺,𝑖,𝑦   𝑖,𝑍,𝑗,π‘˜   𝑛,𝑍   πœ‘,𝑖,π‘₯,𝑦,𝑗   πœ‘,π‘˜,𝑛   π‘₯,𝑗,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐢(π‘₯,𝑦,𝑗)   𝐹(π‘₯,𝑦,𝑖)   𝐺(𝑗)   𝑍(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem cvg1nlemres
Dummy variables 𝑒 π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvg1n.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„)
2 cvg1n.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
3 cvg1n.cau . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((πΉβ€˜π‘›) < ((πΉβ€˜π‘˜) + (𝐢 / 𝑛)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < ((πΉβ€˜π‘›) + (𝐢 / 𝑛))))
4 cvg1nlem.g . . . 4 𝐺 = (𝑗 ∈ β„• ↦ (πΉβ€˜(𝑗 Β· 𝑍)))
5 cvg1nlem.z . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ β„•)
6 cvg1nlem.start . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 < 𝑍)
71, 2, 3, 4, 5, 6cvg1nlemf 11005 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„•βŸΆβ„)
81, 2, 3, 4, 5, 6cvg1nlemcau 11006 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((πΊβ€˜π‘›) < ((πΊβ€˜π‘˜) + (1 / 𝑛)) ∧ (πΊβ€˜π‘˜) < ((πΊβ€˜π‘›) + (1 / 𝑛))))
97, 8caucvgre 11003 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐)))
10 fveq2 5527 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = 𝑀 β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž) = (β„€β‰₯β€˜π‘€))
1110raleqdv 2689 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = 𝑀 β†’ (βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐)) ↔ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))))
1211cbvrexv 2716 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐)) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐)))
1312ralbii 2493 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐)) ↔ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐)))
1413anbi2i 457 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))))
1514anbi1i 458 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ↔ (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+))
16 oveq2 5896 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = (π‘₯ / 2) β†’ (𝑦 + 𝑐) = (𝑦 + (π‘₯ / 2)))
1716breq2d 4027 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = (π‘₯ / 2) β†’ ((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ↔ (πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2))))
18 oveq2 5896 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = (π‘₯ / 2) β†’ ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐) = ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2)))
1918breq2d 4027 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = (π‘₯ / 2) β†’ (𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐) ↔ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))
2017, 19anbi12d 473 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = (π‘₯ / 2) β†’ (((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐)) ↔ ((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2)))))
2120rexralbidv 2513 . . . . . . . . 9 (𝑐 = (π‘₯ / 2) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐)) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2)))))
22 simplr 528 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐)))
23 simpr 110 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
2423rphalfcld 9722 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ / 2) ∈ ℝ+)
2521, 22, 24rspcdva 2858 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))
2615, 25sylbir 135 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))
272rpred 9709 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
2827ad4antr 494 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
29 2re 9002 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ
3029a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) β†’ 2 ∈ ℝ)
3128, 30remulcld 8001 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) β†’ (𝐢 Β· 2) ∈ ℝ)
32 simplr 528 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
3331, 32rerpdivcld 9741 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) β†’ ((𝐢 Β· 2) / π‘₯) ∈ ℝ)
345ad4antr 494 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) β†’ 𝑍 ∈ β„•)
3533, 34nndivred 8982 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) β†’ (((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) ∈ ℝ)
36 simprl 529 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) β†’ π‘Ž ∈ β„•)
3736nnred 8945 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
3835, 37readdcld 8000 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) β†’ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) ∈ ℝ)
39 arch 9186 . . . . . . . . 9 (((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) ∈ ℝ β†’ βˆƒπ‘’ ∈ β„• ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)
4038, 39syl 14 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ β„• ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)
41 simprl 529 . . . . . . . . . 10 ((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) β†’ 𝑒 ∈ β„•)
4234adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) β†’ 𝑍 ∈ β„•)
4341, 42nnmulcld 8981 . . . . . . . . 9 ((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) β†’ (𝑒 Β· 𝑍) ∈ β„•)
441ad6antr 498 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„)
45 simplrl 535 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ 𝑒 ∈ β„•)
465ad6antr 498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ 𝑍 ∈ β„•)
4745, 46nnmulcld 8981 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ (𝑒 Β· 𝑍) ∈ β„•)
48 eluznn 9613 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑒 Β· 𝑍) ∈ β„• ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ 𝑖 ∈ β„•)
4947, 48sylancom 420 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ 𝑖 ∈ β„•)
5044, 49ffvelcdmd 5665 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ (πΉβ€˜π‘–) ∈ ℝ)
5144, 47ffvelcdmd 5665 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ (πΉβ€˜(𝑒 Β· 𝑍)) ∈ ℝ)
5232ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
5352rpred 9709 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
5453rehalfcld 9178 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ (π‘₯ / 2) ∈ ℝ)
5551, 54readdcld 8000 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑒 Β· 𝑍)) + (π‘₯ / 2)) ∈ ℝ)
56 simpllr 534 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
5756ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
5857, 54readdcld 8000 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∈ ℝ)
5958, 54readdcld 8000 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ ((𝑦 + (π‘₯ / 2)) + (π‘₯ / 2)) ∈ ℝ)
6027ad6antr 498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
6160, 47nndivred 8982 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ (𝐢 / (𝑒 Β· 𝑍)) ∈ ℝ)
6251, 61readdcld 8000 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑒 Β· 𝑍)) + (𝐢 / (𝑒 Β· 𝑍))) ∈ ℝ)
63 fveq2 5527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘–))
6463oveq1d 5903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = 𝑖 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) + (𝐢 / (𝑒 Β· 𝑍))) = ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐢 / (𝑒 Β· 𝑍))))
6564breq2d 4027 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = 𝑖 β†’ ((πΉβ€˜(𝑒 Β· 𝑍)) < ((πΉβ€˜π‘˜) + (𝐢 / (𝑒 Β· 𝑍))) ↔ (πΉβ€˜(𝑒 Β· 𝑍)) < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐢 / (𝑒 Β· 𝑍)))))
6663breq1d 4025 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = 𝑖 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) < ((πΉβ€˜(𝑒 Β· 𝑍)) + (𝐢 / (𝑒 Β· 𝑍))) ↔ (πΉβ€˜π‘–) < ((πΉβ€˜(𝑒 Β· 𝑍)) + (𝐢 / (𝑒 Β· 𝑍)))))
6765, 66anbi12d 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (((πΉβ€˜(𝑒 Β· 𝑍)) < ((πΉβ€˜π‘˜) + (𝐢 / (𝑒 Β· 𝑍))) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < ((πΉβ€˜(𝑒 Β· 𝑍)) + (𝐢 / (𝑒 Β· 𝑍)))) ↔ ((πΉβ€˜(𝑒 Β· 𝑍)) < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐢 / (𝑒 Β· 𝑍))) ∧ (πΉβ€˜π‘–) < ((πΉβ€˜(𝑒 Β· 𝑍)) + (𝐢 / (𝑒 Β· 𝑍))))))
68 fveq2 5527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = (𝑒 Β· 𝑍) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘›) = (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍)))
69 fveq2 5527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = (𝑒 Β· 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΉβ€˜(𝑒 Β· 𝑍)))
70 oveq2 5896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 = (𝑒 Β· 𝑍) β†’ (𝐢 / 𝑛) = (𝐢 / (𝑒 Β· 𝑍)))
7170oveq2d 5904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = (𝑒 Β· 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) + (𝐢 / 𝑛)) = ((πΉβ€˜π‘˜) + (𝐢 / (𝑒 Β· 𝑍))))
7269, 71breq12d 4028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = (𝑒 Β· 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) < ((πΉβ€˜π‘˜) + (𝐢 / 𝑛)) ↔ (πΉβ€˜(𝑒 Β· 𝑍)) < ((πΉβ€˜π‘˜) + (𝐢 / (𝑒 Β· 𝑍)))))
7369, 70oveq12d 5906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = (𝑒 Β· 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) + (𝐢 / 𝑛)) = ((πΉβ€˜(𝑒 Β· 𝑍)) + (𝐢 / (𝑒 Β· 𝑍))))
7473breq2d 4027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = (𝑒 Β· 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) < ((πΉβ€˜π‘›) + (𝐢 / 𝑛)) ↔ (πΉβ€˜π‘˜) < ((πΉβ€˜(𝑒 Β· 𝑍)) + (𝐢 / (𝑒 Β· 𝑍)))))
7572, 74anbi12d 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = (𝑒 Β· 𝑍) β†’ (((πΉβ€˜π‘›) < ((πΉβ€˜π‘˜) + (𝐢 / 𝑛)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < ((πΉβ€˜π‘›) + (𝐢 / 𝑛))) ↔ ((πΉβ€˜(𝑒 Β· 𝑍)) < ((πΉβ€˜π‘˜) + (𝐢 / (𝑒 Β· 𝑍))) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < ((πΉβ€˜(𝑒 Β· 𝑍)) + (𝐢 / (𝑒 Β· 𝑍))))))
7668, 75raleqbidv 2695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = (𝑒 Β· 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((πΉβ€˜π‘›) < ((πΉβ€˜π‘˜) + (𝐢 / 𝑛)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < ((πΉβ€˜π‘›) + (𝐢 / 𝑛))) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))((πΉβ€˜(𝑒 Β· 𝑍)) < ((πΉβ€˜π‘˜) + (𝐢 / (𝑒 Β· 𝑍))) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < ((πΉβ€˜(𝑒 Β· 𝑍)) + (𝐢 / (𝑒 Β· 𝑍))))))
773ad6antr 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((πΉβ€˜π‘›) < ((πΉβ€˜π‘˜) + (𝐢 / 𝑛)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < ((πΉβ€˜π‘›) + (𝐢 / 𝑛))))
7876, 77, 47rspcdva 2858 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))((πΉβ€˜(𝑒 Β· 𝑍)) < ((πΉβ€˜π‘˜) + (𝐢 / (𝑒 Β· 𝑍))) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < ((πΉβ€˜(𝑒 Β· 𝑍)) + (𝐢 / (𝑒 Β· 𝑍)))))
79 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍)))
8067, 78, 79rspcdva 2858 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑒 Β· 𝑍)) < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐢 / (𝑒 Β· 𝑍))) ∧ (πΉβ€˜π‘–) < ((πΉβ€˜(𝑒 Β· 𝑍)) + (𝐢 / (𝑒 Β· 𝑍)))))
8180simprd 114 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ (πΉβ€˜π‘–) < ((πΉβ€˜(𝑒 Β· 𝑍)) + (𝐢 / (𝑒 Β· 𝑍))))
82 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
8382ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
8483rpred 9709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
8584rehalfcld 9178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ (π‘₯ / 2) ∈ ℝ)
862ad6antr 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
8736ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ π‘Ž ∈ β„•)
88 simplrr 536 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)
8986, 83, 46, 45, 87, 88cvg1nlemcxze 11004 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ (𝐢 / (𝑒 Β· 𝑍)) < (π‘₯ / 2))
9061, 85, 89ltled 8089 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ (𝐢 / (𝑒 Β· 𝑍)) ≀ (π‘₯ / 2))
9161, 54, 51, 90leadd2dd 8530 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑒 Β· 𝑍)) + (𝐢 / (𝑒 Β· 𝑍))) ≀ ((πΉβ€˜(𝑒 Β· 𝑍)) + (π‘₯ / 2)))
9250, 62, 55, 81, 91ltletrd 8393 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ (πΉβ€˜π‘–) < ((πΉβ€˜(𝑒 Β· 𝑍)) + (π‘₯ / 2)))
93 fveq2 5527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 = 𝑒 β†’ (πΊβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘’))
9493breq1d 4025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 = 𝑒 β†’ ((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ↔ (πΊβ€˜π‘’) < (𝑦 + (π‘₯ / 2))))
9593oveq1d 5903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 = 𝑒 β†’ ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2)) = ((πΊβ€˜π‘’) + (π‘₯ / 2)))
9695breq2d 4027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 = 𝑒 β†’ (𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2)) ↔ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘’) + (π‘₯ / 2))))
9794, 96anbi12d 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = 𝑒 β†’ (((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))) ↔ ((πΊβ€˜π‘’) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘’) + (π‘₯ / 2)))))
98 simprr 531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) β†’ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))
9998ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))
10087nnred 8945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
10145nnred 8945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ 𝑒 ∈ ℝ)
102 2rp 9671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 ∈ ℝ+
103102a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ 2 ∈ ℝ+)
10486, 103rpmulcld 9726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ (𝐢 Β· 2) ∈ ℝ+)
105104, 83rpdivcld 9727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ ((𝐢 Β· 2) / π‘₯) ∈ ℝ+)
10646nnrpd 9707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ 𝑍 ∈ ℝ+)
107105, 106rpdivcld 9727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ (((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) ∈ ℝ+)
108107rpred 9709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ (((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) ∈ ℝ)
109108, 100readdcld 8000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) ∈ ℝ)
110100, 107ltaddrp2d 9744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ π‘Ž < ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž))
111100, 109, 101, 110, 88lttrd 8096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ π‘Ž < 𝑒)
112100, 101, 111ltled 8089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ π‘Ž ≀ 𝑒)
11387nnzd 9387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ π‘Ž ∈ β„€)
11445nnzd 9387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ 𝑒 ∈ β„€)
115 eluz 9554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑒 ∈ β„€) β†’ (𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž) ↔ π‘Ž ≀ 𝑒))
116113, 114, 115syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ (𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž) ↔ π‘Ž ≀ 𝑒))
117112, 116mpbird 167 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž))
11897, 99, 117rspcdva 2858 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ ((πΊβ€˜π‘’) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘’) + (π‘₯ / 2))))
119 oveq1 5895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 = 𝑒 β†’ (𝑗 Β· 𝑍) = (𝑒 Β· 𝑍))
120119fveq2d 5531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = 𝑒 β†’ (πΉβ€˜(𝑗 Β· 𝑍)) = (πΉβ€˜(𝑒 Β· 𝑍)))
121120, 4fvmptg 5605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑒 ∈ β„• ∧ (πΉβ€˜(𝑒 Β· 𝑍)) ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘’) = (πΉβ€˜(𝑒 Β· 𝑍)))
12245, 51, 121syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ (πΊβ€˜π‘’) = (πΉβ€˜(𝑒 Β· 𝑍)))
123122breq1d 4025 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ ((πΊβ€˜π‘’) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ↔ (πΉβ€˜(𝑒 Β· 𝑍)) < (𝑦 + (π‘₯ / 2))))
124122oveq1d 5903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ ((πΊβ€˜π‘’) + (π‘₯ / 2)) = ((πΉβ€˜(𝑒 Β· 𝑍)) + (π‘₯ / 2)))
125124breq2d 4027 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ (𝑦 < ((πΊβ€˜π‘’) + (π‘₯ / 2)) ↔ 𝑦 < ((πΉβ€˜(𝑒 Β· 𝑍)) + (π‘₯ / 2))))
126123, 125anbi12d 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ (((πΊβ€˜π‘’) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘’) + (π‘₯ / 2))) ↔ ((πΉβ€˜(𝑒 Β· 𝑍)) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΉβ€˜(𝑒 Β· 𝑍)) + (π‘₯ / 2)))))
127118, 126mpbid 147 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑒 Β· 𝑍)) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΉβ€˜(𝑒 Β· 𝑍)) + (π‘₯ / 2))))
128127simpld 112 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ (πΉβ€˜(𝑒 Β· 𝑍)) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)))
12951, 58, 54, 128ltadd1dd 8526 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑒 Β· 𝑍)) + (π‘₯ / 2)) < ((𝑦 + (π‘₯ / 2)) + (π‘₯ / 2)))
13050, 55, 59, 92, 129lttrd 8096 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ (πΉβ€˜π‘–) < ((𝑦 + (π‘₯ / 2)) + (π‘₯ / 2)))
13157recnd 7999 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
13254recnd 7999 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ (π‘₯ / 2) ∈ β„‚)
133131, 132, 132addassd 7993 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ ((𝑦 + (π‘₯ / 2)) + (π‘₯ / 2)) = (𝑦 + ((π‘₯ / 2) + (π‘₯ / 2))))
134130, 133breqtrd 4041 . . . . . . . . . . . 12 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ (πΉβ€˜π‘–) < (𝑦 + ((π‘₯ / 2) + (π‘₯ / 2))))
13552rpcnd 9711 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
1361352halvesd 9177 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ ((π‘₯ / 2) + (π‘₯ / 2)) = π‘₯)
137136oveq2d 5904 . . . . . . . . . . . 12 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ (𝑦 + ((π‘₯ / 2) + (π‘₯ / 2))) = (𝑦 + π‘₯))
138134, 137breqtrd 4041 . . . . . . . . . . 11 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ (πΉβ€˜π‘–) < (𝑦 + π‘₯))
13950, 54readdcld 8000 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ ((πΉβ€˜π‘–) + (π‘₯ / 2)) ∈ ℝ)
140139, 54readdcld 8000 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ (((πΉβ€˜π‘–) + (π‘₯ / 2)) + (π‘₯ / 2)) ∈ ℝ)
141127simprd 114 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ 𝑦 < ((πΉβ€˜(𝑒 Β· 𝑍)) + (π‘₯ / 2)))
14250, 61readdcld 8000 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐢 / (𝑒 Β· 𝑍))) ∈ ℝ)
14380simpld 112 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ (πΉβ€˜(𝑒 Β· 𝑍)) < ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐢 / (𝑒 Β· 𝑍))))
14461, 54, 50, 90leadd2dd 8530 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ ((πΉβ€˜π‘–) + (𝐢 / (𝑒 Β· 𝑍))) ≀ ((πΉβ€˜π‘–) + (π‘₯ / 2)))
14551, 142, 139, 143, 144ltletrd 8393 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ (πΉβ€˜(𝑒 Β· 𝑍)) < ((πΉβ€˜π‘–) + (π‘₯ / 2)))
14651, 139, 54, 145ltadd1dd 8526 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑒 Β· 𝑍)) + (π‘₯ / 2)) < (((πΉβ€˜π‘–) + (π‘₯ / 2)) + (π‘₯ / 2)))
14757, 55, 140, 141, 146lttrd 8096 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ 𝑦 < (((πΉβ€˜π‘–) + (π‘₯ / 2)) + (π‘₯ / 2)))
14850recnd 7999 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ (πΉβ€˜π‘–) ∈ β„‚)
149148, 132, 132addassd 7993 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ (((πΉβ€˜π‘–) + (π‘₯ / 2)) + (π‘₯ / 2)) = ((πΉβ€˜π‘–) + ((π‘₯ / 2) + (π‘₯ / 2))))
150147, 149breqtrd 4041 . . . . . . . . . . . 12 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ 𝑦 < ((πΉβ€˜π‘–) + ((π‘₯ / 2) + (π‘₯ / 2))))
151136oveq2d 5904 . . . . . . . . . . . 12 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ ((πΉβ€˜π‘–) + ((π‘₯ / 2) + (π‘₯ / 2))) = ((πΉβ€˜π‘–) + π‘₯))
152150, 151breqtrd 4041 . . . . . . . . . . 11 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ 𝑦 < ((πΉβ€˜π‘–) + π‘₯))
153138, 152jca 306 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))) β†’ ((πΉβ€˜π‘–) < (𝑦 + π‘₯) ∧ 𝑦 < ((πΉβ€˜π‘–) + π‘₯)))
154153ralrimiva 2560 . . . . . . . . 9 ((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))((πΉβ€˜π‘–) < (𝑦 + π‘₯) ∧ 𝑦 < ((πΉβ€˜π‘–) + π‘₯)))
155 fveq2 5527 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = (𝑒 Β· 𝑍) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘—) = (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍)))
156155raleqdv 2689 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = (𝑒 Β· 𝑍) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘–) < (𝑦 + π‘₯) ∧ 𝑦 < ((πΉβ€˜π‘–) + π‘₯)) ↔ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))((πΉβ€˜π‘–) < (𝑦 + π‘₯) ∧ 𝑦 < ((πΉβ€˜π‘–) + π‘₯))))
157156rspcev 2853 . . . . . . . . 9 (((𝑒 Β· 𝑍) ∈ β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 Β· 𝑍))((πΉβ€˜π‘–) < (𝑦 + π‘₯) ∧ 𝑦 < ((πΉβ€˜π‘–) + π‘₯))) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘–) < (𝑦 + π‘₯) ∧ 𝑦 < ((πΉβ€˜π‘–) + π‘₯)))
15843, 154, 157syl2anc 411 . . . . . . . 8 ((((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ β„• ∧ ((((𝐢 Β· 2) / π‘₯) / 𝑍) + π‘Ž) < 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘–) < (𝑦 + π‘₯) ∧ 𝑦 < ((πΉβ€˜π‘–) + π‘₯)))
15940, 158rexlimddv 2609 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + (π‘₯ / 2))))) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘–) < (𝑦 + π‘₯) ∧ 𝑦 < ((πΉβ€˜π‘–) + π‘₯)))
16026, 159rexlimddv 2609 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘–) < (𝑦 + π‘₯) ∧ 𝑦 < ((πΉβ€˜π‘–) + π‘₯)))
16115, 160sylbi 121 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘–) < (𝑦 + π‘₯) ∧ 𝑦 < ((πΉβ€˜π‘–) + π‘₯)))
162161ralrimiva 2560 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘–) < (𝑦 + π‘₯) ∧ 𝑦 < ((πΉβ€˜π‘–) + π‘₯)))
163162ex 115 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘–) < (𝑦 + π‘₯) ∧ 𝑦 < ((πΉβ€˜π‘–) + π‘₯))))
164163reximdva 2589 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)((πΊβ€˜π‘) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((πΊβ€˜π‘) + 𝑐)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘–) < (𝑦 + π‘₯) ∧ 𝑦 < ((πΉβ€˜π‘–) + π‘₯))))
1659, 164mpd 13 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘–) < (𝑦 + π‘₯) ∧ 𝑦 < ((πΉβ€˜π‘–) + π‘₯)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1363   ∈ wcel 2158  βˆ€wral 2465  βˆƒwrex 2466   class class class wbr 4015   ↦ cmpt 4076  βŸΆwf 5224  β€˜cfv 5228  (class class class)co 5888  β„cr 7823   + caddc 7827   Β· cmul 7829   < clt 8005   ≀ cle 8006   / cdiv 8642  β„•cn 8932  2c2 8983  β„€cz 9266  β„€β‰₯cuz 9541  β„+crp 9666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942  ax-arch 7943  ax-caucvg 7944
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-2 8991  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-rp 9667
This theorem is referenced by:  cvg1n  11008
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