ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrexlemsqa GIF version

Theorem resqrexlemsqa 10981
Description: Lemma for resqrex 10983. The square of a limit is 𝐴. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
resqrexlemgt0.rr (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
resqrexlemgt0.lim (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)))
Assertion
Ref Expression
resqrexlemsqa (𝜑 → (𝐿↑2) = 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑒,𝑗   𝑦,𝐴,𝑧   𝑒,𝐹,𝑗   𝑦,𝐹,𝑧   𝑖,𝐹   𝑒,𝐿,𝑗,𝑖   𝑦,𝐿,𝑧   𝑒,𝑖,𝑗   𝜑,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑒,𝑖,𝑗)   𝐴(𝑖)

Proof of Theorem resqrexlemsqa
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resqrexlemex.seq . . . . . . 7 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
2 resqrexlemex.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 resqrexlemex.agt0 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
41, 2, 3resqrexlemf 10964 . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ+)
54ffvelrnda 5629 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ+)
6 2z 9233 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
76a1i 9 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℤ)
85, 7rpexpcld 10626 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑥)↑2) ∈ ℝ+)
9 eqid 2170 . . . 4 (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑥)↑2)) = (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑥)↑2))
108, 9fmptd 5648 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑥)↑2)):ℕ⟶ℝ+)
11 rpssre 9614 . . . 4 + ⊆ ℝ
1211a1i 9 . . 3 (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
1310, 12fssd 5358 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑥)↑2)):ℕ⟶ℝ)
14 resqrexlemgt0.rr . . 3 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
1514resqcld 10628 . 2 (𝜑 → (𝐿↑2) ∈ ℝ)
16 resqrexlemgt0.lim . . . 4 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)))
17 oveq2 5859 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑎 → (𝐿 + 𝑒) = (𝐿 + 𝑎))
1817breq2d 3999 . . . . . . . 8 (𝑒 = 𝑎 → ((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ↔ (𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑎)))
19 oveq2 5859 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑎 → ((𝐹𝑖) + 𝑒) = ((𝐹𝑖) + 𝑎))
2019breq2d 3999 . . . . . . . 8 (𝑒 = 𝑎 → (𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒) ↔ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑎)))
2118, 20anbi12d 470 . . . . . . 7 (𝑒 = 𝑎 → (((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)) ↔ ((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑎))))
2221rexralbidv 2496 . . . . . 6 (𝑒 = 𝑎 → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑎))))
2322cbvralv 2696 . . . . 5 (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)) ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑎)))
24 fveq2 5494 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑏 → (ℤ𝑗) = (ℤ𝑏))
2524raleqdv 2671 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑏 → (∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑎)) ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑎))))
2625cbvrexv 2697 . . . . . 6 (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑎)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑎)))
2726ralbii 2476 . . . . 5 (∀𝑎 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑎)) ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑎)))
28 fveq2 5494 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑐 → (𝐹𝑖) = (𝐹𝑐))
2928breq1d 3997 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑐 → ((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ↔ (𝐹𝑐) < (𝐿 + 𝑎)))
3028oveq1d 5866 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑐 → ((𝐹𝑖) + 𝑎) = ((𝐹𝑐) + 𝑎))
3130breq2d 3999 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑐 → (𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑎) ↔ 𝐿 < ((𝐹𝑐) + 𝑎)))
3229, 31anbi12d 470 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑐 → (((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑎)) ↔ ((𝐹𝑐) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑐) + 𝑎))))
3332cbvralv 2696 . . . . . . 7 (∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑎)) ↔ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑐) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑐) + 𝑎)))
3433rexbii 2477 . . . . . 6 (∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑎)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑐) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑐) + 𝑎)))
3534ralbii 2476 . . . . 5 (∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑎)) ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑐) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑐) + 𝑎)))
3623, 27, 353bitri 205 . . . 4 (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)) ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑐) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑐) + 𝑎)))
3716, 36sylib 121 . . 3 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑐) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑐) + 𝑎)))
381, 2, 3, 14, 37, 9resqrexlemglsq 10979 . 2 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℕ ∀𝑑 ∈ (ℤ𝑏)(((𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑥)↑2))‘𝑑) < ((𝐿↑2) + 𝑎) ∧ (𝐿↑2) < (((𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑥)↑2))‘𝑑) + 𝑎)))
391, 2, 3, 14, 37, 9resqrexlemga 10980 . 2 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℕ ∀𝑑 ∈ (ℤ𝑏)(((𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑥)↑2))‘𝑑) < (𝐴 + 𝑎) ∧ 𝐴 < (((𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑥)↑2))‘𝑑) + 𝑎)))
4013, 15, 38, 2, 39recvguniq 10952 1 (𝜑 → (𝐿↑2) = 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1348  wcel 2141  wral 2448  wrex 2449  wss 3121  {csn 3581   class class class wbr 3987  cmpt 4048   × cxp 4607  cfv 5196  (class class class)co 5851  cmpo 5853  cr 7766  0cc0 7767  1c1 7768   + caddc 7770   < clt 7947  cle 7948   / cdiv 8582  cn 8871  2c2 8922  cz 9205  cuz 9480  +crp 9603  seqcseq 10394  cexp 10468
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859  ax-1cn 7860  ax-1re 7861  ax-icn 7862  ax-addcl 7863  ax-addrcl 7864  ax-mulcl 7865  ax-mulrcl 7866  ax-addcom 7867  ax-mulcom 7868  ax-addass 7869  ax-mulass 7870  ax-distr 7871  ax-i2m1 7872  ax-0lt1 7873  ax-1rid 7874  ax-0id 7875  ax-rnegex 7876  ax-precex 7877  ax-cnre 7878  ax-pre-ltirr 7879  ax-pre-ltwlin 7880  ax-pre-lttrn 7881  ax-pre-apti 7882  ax-pre-ltadd 7883  ax-pre-mulgt0 7884  ax-pre-mulext 7885  ax-arch 7886
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-recs 6282  df-frec 6368  df-pnf 7949  df-mnf 7950  df-xr 7951  df-ltxr 7952  df-le 7953  df-sub 8085  df-neg 8086  df-reap 8487  df-ap 8494  df-div 8583  df-inn 8872  df-2 8930  df-3 8931  df-4 8932  df-n0 9129  df-z 9206  df-uz 9481  df-rp 9604  df-seqfrec 10395  df-exp 10469
This theorem is referenced by:  resqrexlemex  10982
  Copyright terms: Public domain W3C validator