Theorem resqrexlemsqa 11543

Description: Lemma for resqrex 11545. The square of a limit is 𝐴. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
resqrexlemgt0.rr	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
resqrexlemgt0.lim	⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)))

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemsqa	⊢ (𝜑 → (𝐿↑2) = 𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑒,𝑗   𝑦,𝐴,𝑧   𝑒,𝐹,𝑗   𝑦,𝐹,𝑧   𝑖,𝐹   𝑒,𝐿,𝑗,𝑖   𝑦,𝐿,𝑧   𝑒,𝑖,𝑗   𝜑,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑒,𝑖,𝑗)   𝐴(𝑖)

Proof of Theorem resqrexlemsqa

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemex.seq	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
2		resqrexlemex.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		resqrexlemex.agt0	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4	1, 2, 3	resqrexlemf 11526	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)
5	4	ffvelcdmda 5772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ+)
6		2z 9482	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
7	6	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℤ)
8	5, 7	rpexpcld 10927	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑥)↑2) ∈ ℝ+)
9		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑥)↑2)) = (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑥)↑2))
10	8, 9	fmptd 5791	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑥)↑2)):ℕ⟶ℝ+)
11		rpssre 9868	. . . 4 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
12	11	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
13	10, 12	fssd 5486	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑥)↑2)):ℕ⟶ℝ)
14		resqrexlemgt0.rr	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
15	14	resqcld 10929	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿↑2) ∈ ℝ)
16		resqrexlemgt0.lim	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)))
17		oveq2 6015	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = 𝑎 → (𝐿 + 𝑒) = (𝐿 + 𝑎))
18	17	breq2d 4095	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = 𝑎 → ((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ↔ (𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑎)))
19		oveq2 6015	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = 𝑎 → ((𝐹‘𝑖) + 𝑒) = ((𝐹‘𝑖) + 𝑎))
20	19	breq2d 4095	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = 𝑎 → (𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒) ↔ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑎)))
21	18, 20	anbi12d 473	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 = 𝑎 → (((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)) ↔ ((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑎))))
22	21	rexralbidv 2556	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = 𝑎 → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑎))))
23	22	cbvralv 2765	. . . . 5 ⊢ (∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)) ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑎)))
24		fveq2 5629	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑏 → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘𝑏))
25	24	raleqdv 2734	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑏 → (∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑎)) ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑎))))
26	25	cbvrexv 2766	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑎)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑎)))
27	26	ralbii 2536	. . . . 5 ⊢ (∀𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑎)) ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑎)))
28		fveq2 5629	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑐 → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘𝑐))
29	28	breq1d 4093	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑐 → ((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ↔ (𝐹‘𝑐) < (𝐿 + 𝑎)))
30	28	oveq1d 6022	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑐 → ((𝐹‘𝑖) + 𝑎) = ((𝐹‘𝑐) + 𝑎))
31	30	breq2d 4095	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑐 → (𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑎) ↔ 𝐿 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑎)))
32	29, 31	anbi12d 473	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑐 → (((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑎)) ↔ ((𝐹‘𝑐) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑎))))
33	32	cbvralv 2765	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑎)) ↔ ∀𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝑏)((𝐹‘𝑐) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑎)))
34	33	rexbii 2537	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑎)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝑏)((𝐹‘𝑐) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑎)))
35	34	ralbii 2536	. . . . 5 ⊢ (∀𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑎)) ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝑏)((𝐹‘𝑐) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑎)))
36	23, 27, 35	3bitri 206	. . . 4 ⊢ (∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)) ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝑏)((𝐹‘𝑐) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑎)))
37	16, 36	sylib 122	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝑏)((𝐹‘𝑐) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑎)))
38	1, 2, 3, 14, 37, 9	resqrexlemglsq 11541	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑑 ∈ (ℤ≥‘𝑏)(((𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑥)↑2))‘𝑑) < ((𝐿↑2) + 𝑎) ∧ (𝐿↑2) < (((𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑥)↑2))‘𝑑) + 𝑎)))
39	1, 2, 3, 14, 37, 9	resqrexlemga 11542	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑑 ∈ (ℤ≥‘𝑏)(((𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑥)↑2))‘𝑑) < (𝐴 + 𝑎) ∧ 𝐴 < (((𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑥)↑2))‘𝑑) + 𝑎)))
40	13, 15, 38, 2, 39	recvguniq 11514	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿↑2) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ∃wrex 2509   ⊆ wss 3197  {csn 3666   class class class wbr 4083   ↦ cmpt 4145   × cxp 4717  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007   ∈ cmpo 6009  ℝcr 8006  0cc0 8007  1c1 8008   + caddc 8010   < clt 8189   ≤ cle 8190   / cdiv 8827  ℕcn 9118  2c2 9169  ℤcz 9454  ℤ_≥cuz 9730  ℝ⁺crp 9857  seqcseq 10677  ↑cexp 10768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-mulrcl 8106  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-precex 8117  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123  ax-pre-mulgt0 8124  ax-pre-mulext 8125  ax-arch 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-reap 8730  df-ap 8737  df-div 8828  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-n0 9378  df-z 9455  df-uz 9731  df-rp 9858  df-seqfrec 10678  df-exp 10769

This theorem is referenced by:  resqrexlemex  11544