Theorem resqrexlemsqa 11773

Description: Lemma for resqrex 11775. The square of a limit is 𝐴. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
resqrexlemgt0.rr	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
resqrexlemgt0.lim	⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)))

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemsqa	⊢ (𝜑 → (𝐿↑2) = 𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑒,𝑗   𝑦,𝐴,𝑧   𝑒,𝐹,𝑗   𝑦,𝐹,𝑧   𝑖,𝐹   𝑒,𝐿,𝑗,𝑖   𝑦,𝐿,𝑧   𝑒,𝑖,𝑗   𝜑,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑒,𝑖,𝑗)   𝐴(𝑖)

Proof of Theorem resqrexlemsqa

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemex.seq	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
2		resqrexlemex.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		resqrexlemex.agt0	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4	1, 2, 3	resqrexlemf 11756	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)
5	4	ffvelcdmda 5837	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ+)
6		2z 9655	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
7	6	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℤ)
8	5, 7	rpexpcld 11118	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑥)↑2) ∈ ℝ+)
9		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑥)↑2)) = (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑥)↑2))
10	8, 9	fmptd 5856	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑥)↑2)):ℕ⟶ℝ+)
11		rpssre 10048	. . . 4 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
12	11	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
13	10, 12	fssd 5545	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑥)↑2)):ℕ⟶ℝ)
14		resqrexlemgt0.rr	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
15	14	resqcld 11120	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿↑2) ∈ ℝ)
16		resqrexlemgt0.lim	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)))
17		oveq2 6087	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = 𝑎 → (𝐿 + 𝑒) = (𝐿 + 𝑎))
18	17	breq2d 4140	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = 𝑎 → ((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ↔ (𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑎)))
19		oveq2 6087	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = 𝑎 → ((𝐹‘𝑖) + 𝑒) = ((𝐹‘𝑖) + 𝑎))
20	19	breq2d 4140	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = 𝑎 → (𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒) ↔ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑎)))
21	18, 20	anbi12d 477	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 = 𝑎 → (((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)) ↔ ((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑎))))
22	21	rexralbidv 2576	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = 𝑎 → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑎))))
23	22	cbvralv 2786	. . . . 5 ⊢ (∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)) ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑎)))
24		fveq2 5693	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑏 → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘𝑏))
25	24	raleqdv 2755	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑏 → (∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑎)) ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑎))))
26	25	cbvrexv 2787	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑎)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑎)))
27	26	ralbii 2556	. . . . 5 ⊢ (∀𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑎)) ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑎)))
28		fveq2 5693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑐 → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘𝑐))
29	28	breq1d 4138	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑐 → ((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ↔ (𝐹‘𝑐) < (𝐿 + 𝑎)))
30	28	oveq1d 6094	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑐 → ((𝐹‘𝑖) + 𝑎) = ((𝐹‘𝑐) + 𝑎))
31	30	breq2d 4140	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑐 → (𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑎) ↔ 𝐿 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑎)))
32	29, 31	anbi12d 477	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑐 → (((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑎)) ↔ ((𝐹‘𝑐) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑎))))
33	32	cbvralv 2786	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑎)) ↔ ∀𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝑏)((𝐹‘𝑐) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑎)))
34	33	rexbii 2557	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑎)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝑏)((𝐹‘𝑐) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑎)))
35	34	ralbii 2556	. . . . 5 ⊢ (∀𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑎)) ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝑏)((𝐹‘𝑐) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑎)))
36	23, 27, 35	3bitri 206	. . . 4 ⊢ (∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)) ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝑏)((𝐹‘𝑐) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑎)))
37	16, 36	sylib 122	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝑏)((𝐹‘𝑐) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑎)))
38	1, 2, 3, 14, 37, 9	resqrexlemglsq 11771	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑑 ∈ (ℤ≥‘𝑏)(((𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑥)↑2))‘𝑑) < ((𝐿↑2) + 𝑎) ∧ (𝐿↑2) < (((𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑥)↑2))‘𝑑) + 𝑎)))
39	1, 2, 3, 14, 37, 9	resqrexlemga 11772	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑑 ∈ (ℤ≥‘𝑏)(((𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑥)↑2))‘𝑑) < (𝐴 + 𝑎) ∧ 𝐴 < (((𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑥)↑2))‘𝑑) + 𝑎)))
40	13, 15, 38, 2, 39	recvguniq 11744	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿↑2) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529   ⊆ wss 3220  {csn 3708   class class class wbr 4128   ↦ cmpt 4190   × cxp 4770  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079   ∈ cmpo 6081  ℝcr 8172  0cc0 8173  1c1 8174   + caddc 8176   < clt 8354   ≤ cle 8355   / cdiv 8996  ℕcn 9287  2c2 9338  ℤcz 9627  ℤ_≥cuz 9904  ℝ⁺crp 10037  seqcseq 10867  ↑cexp 10958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291  ax-arch 8292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-rp 10038  df-seqfrec 10868  df-exp 10959

This theorem is referenced by:  resqrexlemex  11774