ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrexlemsqa GIF version

Theorem resqrexlemsqa 11065
Description: Lemma for resqrex 11067. The square of a limit is 𝐴. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
resqrexlemgt0.rr (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
resqrexlemgt0.lim (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)))
Assertion
Ref Expression
resqrexlemsqa (𝜑 → (𝐿↑2) = 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑒,𝑗   𝑦,𝐴,𝑧   𝑒,𝐹,𝑗   𝑦,𝐹,𝑧   𝑖,𝐹   𝑒,𝐿,𝑗,𝑖   𝑦,𝐿,𝑧   𝑒,𝑖,𝑗   𝜑,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑒,𝑖,𝑗)   𝐴(𝑖)

Proof of Theorem resqrexlemsqa
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resqrexlemex.seq . . . . . . 7 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
2 resqrexlemex.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 resqrexlemex.agt0 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
41, 2, 3resqrexlemf 11048 . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ+)
54ffvelcdmda 5672 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ+)
6 2z 9311 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
76a1i 9 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℤ)
85, 7rpexpcld 10709 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑥)↑2) ∈ ℝ+)
9 eqid 2189 . . . 4 (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑥)↑2)) = (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑥)↑2))
108, 9fmptd 5691 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑥)↑2)):ℕ⟶ℝ+)
11 rpssre 9694 . . . 4 + ⊆ ℝ
1211a1i 9 . . 3 (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
1310, 12fssd 5397 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑥)↑2)):ℕ⟶ℝ)
14 resqrexlemgt0.rr . . 3 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
1514resqcld 10711 . 2 (𝜑 → (𝐿↑2) ∈ ℝ)
16 resqrexlemgt0.lim . . . 4 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)))
17 oveq2 5904 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑎 → (𝐿 + 𝑒) = (𝐿 + 𝑎))
1817breq2d 4030 . . . . . . . 8 (𝑒 = 𝑎 → ((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ↔ (𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑎)))
19 oveq2 5904 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑎 → ((𝐹𝑖) + 𝑒) = ((𝐹𝑖) + 𝑎))
2019breq2d 4030 . . . . . . . 8 (𝑒 = 𝑎 → (𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒) ↔ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑎)))
2118, 20anbi12d 473 . . . . . . 7 (𝑒 = 𝑎 → (((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)) ↔ ((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑎))))
2221rexralbidv 2516 . . . . . 6 (𝑒 = 𝑎 → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑎))))
2322cbvralv 2718 . . . . 5 (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)) ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑎)))
24 fveq2 5534 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑏 → (ℤ𝑗) = (ℤ𝑏))
2524raleqdv 2692 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑏 → (∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑎)) ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑎))))
2625cbvrexv 2719 . . . . . 6 (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑎)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑎)))
2726ralbii 2496 . . . . 5 (∀𝑎 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑎)) ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑎)))
28 fveq2 5534 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑐 → (𝐹𝑖) = (𝐹𝑐))
2928breq1d 4028 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑐 → ((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ↔ (𝐹𝑐) < (𝐿 + 𝑎)))
3028oveq1d 5911 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑐 → ((𝐹𝑖) + 𝑎) = ((𝐹𝑐) + 𝑎))
3130breq2d 4030 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑐 → (𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑎) ↔ 𝐿 < ((𝐹𝑐) + 𝑎)))
3229, 31anbi12d 473 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑐 → (((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑎)) ↔ ((𝐹𝑐) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑐) + 𝑎))))
3332cbvralv 2718 . . . . . . 7 (∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑎)) ↔ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑐) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑐) + 𝑎)))
3433rexbii 2497 . . . . . 6 (∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑎)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑐) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑐) + 𝑎)))
3534ralbii 2496 . . . . 5 (∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑎)) ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑐) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑐) + 𝑎)))
3623, 27, 353bitri 206 . . . 4 (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)) ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑐) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑐) + 𝑎)))
3716, 36sylib 122 . . 3 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑐) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑐) + 𝑎)))
381, 2, 3, 14, 37, 9resqrexlemglsq 11063 . 2 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℕ ∀𝑑 ∈ (ℤ𝑏)(((𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑥)↑2))‘𝑑) < ((𝐿↑2) + 𝑎) ∧ (𝐿↑2) < (((𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑥)↑2))‘𝑑) + 𝑎)))
391, 2, 3, 14, 37, 9resqrexlemga 11064 . 2 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℕ ∀𝑑 ∈ (ℤ𝑏)(((𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑥)↑2))‘𝑑) < (𝐴 + 𝑎) ∧ 𝐴 < (((𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑥)↑2))‘𝑑) + 𝑎)))
4013, 15, 38, 2, 39recvguniq 11036 1 (𝜑 → (𝐿↑2) = 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1364  wcel 2160  wral 2468  wrex 2469  wss 3144  {csn 3607   class class class wbr 4018  cmpt 4079   × cxp 4642  cfv 5235  (class class class)co 5896  cmpo 5898  cr 7840  0cc0 7841  1c1 7842   + caddc 7844   < clt 8022  cle 8023   / cdiv 8659  cn 8949  2c2 9000  cz 9283  cuz 9558  +crp 9683  seqcseq 10476  cexp 10550
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958  ax-pre-mulext 7959  ax-arch 7960
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-frec 6416  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-ap 8569  df-div 8660  df-inn 8950  df-2 9008  df-3 9009  df-4 9010  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559  df-rp 9684  df-seqfrec 10477  df-exp 10551
This theorem is referenced by:  resqrexlemex  11066
  Copyright terms: Public domain W3C validator