Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrexlemsqa GIF version

Theorem resqrexlemsqa 10636
 Description: Lemma for resqrex 10638. The square of a limit is 𝐴. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
resqrexlemgt0.rr (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
resqrexlemgt0.lim (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)))
Assertion
Ref Expression
resqrexlemsqa (𝜑 → (𝐿↑2) = 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑒,𝑗   𝑦,𝐴,𝑧   𝑒,𝐹,𝑗   𝑦,𝐹,𝑧   𝑖,𝐹   𝑒,𝐿,𝑗,𝑖   𝑦,𝐿,𝑧   𝑒,𝑖,𝑗   𝜑,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑒,𝑖,𝑗)   𝐴(𝑖)

Proof of Theorem resqrexlemsqa
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resqrexlemex.seq . . . . . . 7 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
2 resqrexlemex.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 resqrexlemex.agt0 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
41, 2, 3resqrexlemf 10619 . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ+)
54ffvelrnda 5487 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ+)
6 2z 8934 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
76a1i 9 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℤ)
85, 7rpexpcld 10289 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑥)↑2) ∈ ℝ+)
9 eqid 2100 . . . 4 (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑥)↑2)) = (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑥)↑2))
108, 9fmptd 5506 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑥)↑2)):ℕ⟶ℝ+)
11 rpssre 9301 . . . 4 + ⊆ ℝ
1211a1i 9 . . 3 (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
1310, 12fssd 5221 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑥)↑2)):ℕ⟶ℝ)
14 resqrexlemgt0.rr . . 3 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
1514resqcld 10291 . 2 (𝜑 → (𝐿↑2) ∈ ℝ)
16 resqrexlemgt0.lim . . . 4 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)))
17 oveq2 5714 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑎 → (𝐿 + 𝑒) = (𝐿 + 𝑎))
1817breq2d 3887 . . . . . . . 8 (𝑒 = 𝑎 → ((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ↔ (𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑎)))
19 oveq2 5714 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑎 → ((𝐹𝑖) + 𝑒) = ((𝐹𝑖) + 𝑎))
2019breq2d 3887 . . . . . . . 8 (𝑒 = 𝑎 → (𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒) ↔ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑎)))
2118, 20anbi12d 460 . . . . . . 7 (𝑒 = 𝑎 → (((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)) ↔ ((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑎))))
2221rexralbidv 2420 . . . . . 6 (𝑒 = 𝑎 → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑎))))
2322cbvralv 2612 . . . . 5 (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)) ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑎)))
24 fveq2 5353 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑏 → (ℤ𝑗) = (ℤ𝑏))
2524raleqdv 2590 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑏 → (∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑎)) ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑎))))
2625cbvrexv 2613 . . . . . 6 (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑎)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑎)))
2726ralbii 2400 . . . . 5 (∀𝑎 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑎)) ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑎)))
28 fveq2 5353 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑐 → (𝐹𝑖) = (𝐹𝑐))
2928breq1d 3885 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑐 → ((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ↔ (𝐹𝑐) < (𝐿 + 𝑎)))
3028oveq1d 5721 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑐 → ((𝐹𝑖) + 𝑎) = ((𝐹𝑐) + 𝑎))
3130breq2d 3887 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑐 → (𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑎) ↔ 𝐿 < ((𝐹𝑐) + 𝑎)))
3229, 31anbi12d 460 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑐 → (((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑎)) ↔ ((𝐹𝑐) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑐) + 𝑎))))
3332cbvralv 2612 . . . . . . 7 (∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑎)) ↔ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑐) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑐) + 𝑎)))
3433rexbii 2401 . . . . . 6 (∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑎)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑐) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑐) + 𝑎)))
3534ralbii 2400 . . . . 5 (∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑎)) ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑐) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑐) + 𝑎)))
3623, 27, 353bitri 205 . . . 4 (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)) ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑐) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑐) + 𝑎)))
3716, 36sylib 121 . . 3 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑐) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑐) + 𝑎)))
381, 2, 3, 14, 37, 9resqrexlemglsq 10634 . 2 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℕ ∀𝑑 ∈ (ℤ𝑏)(((𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑥)↑2))‘𝑑) < ((𝐿↑2) + 𝑎) ∧ (𝐿↑2) < (((𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑥)↑2))‘𝑑) + 𝑎)))
391, 2, 3, 14, 37, 9resqrexlemga 10635 . 2 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℕ ∀𝑑 ∈ (ℤ𝑏)(((𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑥)↑2))‘𝑑) < (𝐴 + 𝑎) ∧ 𝐴 < (((𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑥)↑2))‘𝑑) + 𝑎)))
4013, 15, 38, 2, 39recvguniq 10607 1 (𝜑 → (𝐿↑2) = 𝐴)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1299   ∈ wcel 1448  ∀wral 2375  ∃wrex 2376   ⊆ wss 3021  {csn 3474   class class class wbr 3875   ↦ cmpt 3929   × cxp 4475  ‘cfv 5059  (class class class)co 5706   ∈ cmpo 5708  ℝcr 7499  0cc0 7500  1c1 7501   + caddc 7503   < clt 7672   ≤ cle 7673   / cdiv 8293  ℕcn 8578  2c2 8629  ℤcz 8906  ℤ≥cuz 9176  ℝ+crp 9291  seqcseq 10059  ↑cexp 10133 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-mulrcl 7594  ax-addcom 7595  ax-mulcom 7596  ax-addass 7597  ax-mulass 7598  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-1rid 7602  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-precex 7605  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611  ax-pre-mulgt0 7612  ax-pre-mulext 7613  ax-arch 7614 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rmo 2383  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-if 3422  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-iord 4226  df-on 4228  df-ilim 4229  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-recs 6132  df-frec 6218  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-reap 8203  df-ap 8210  df-div 8294  df-inn 8579  df-2 8637  df-3 8638  df-4 8639  df-n0 8830  df-z 8907  df-uz 9177  df-rp 9292  df-seqfrec 10060  df-exp 10134 This theorem is referenced by:  resqrexlemex  10637
 Copyright terms: Public domain W3C validator