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Theorem cau3lem 10443
Description: Lemma for cau3 10444. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cau3lem.1 𝑍 ⊆ ℤ
cau3lem.2 (𝜏𝜓)
cau3lem.3 ((𝐹𝑘) = (𝐹𝑗) → (𝜓𝜒))
cau3lem.4 ((𝐹𝑘) = (𝐹𝑚) → (𝜓𝜃))
cau3lem.5 ((𝜑𝜒𝜓) → (𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘))) = (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))))
cau3lem.6 ((𝜑𝜃𝜒) → (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) = (𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))))
cau3lem.7 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃) ∧ (𝜒𝑥 ∈ ℝ)) → (((𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) ∧ (𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < (𝑥 / 2)) → (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
Assertion
Ref Expression
cau3lem (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑚,𝜒   𝑥,𝑘,𝐷,𝑚   𝑘,𝐹,𝑚,𝑥   𝑗,𝑘,𝑚,𝑥,𝜑   𝑘,𝐺,𝑚,𝑥   𝜓,𝑚,𝑥   𝜏,𝑥   𝜃,𝑘   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑗,𝑘)   𝜒(𝑥,𝑗)   𝜃(𝑥,𝑗,𝑚)   𝜏(𝑗,𝑘,𝑚)   𝐷(𝑗)   𝐹(𝑗)   𝐺(𝑗)   𝑍(𝑗,𝑘,𝑚)

Proof of Theorem cau3lem
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 3824 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥 ↔ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑧))
21anbi2d 452 . . . . 5 (𝑥 = 𝑧 → ((𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ (𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑧)))
32rexralbidv 2400 . . . 4 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑧)))
43cbvralv 2586 . . 3 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑧))
5 rphalfcl 9093 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
6 breq2 3824 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝑥 / 2) → ((𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑧 ↔ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)))
76anbi2d 452 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑥 / 2) → ((𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑧) ↔ (𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))))
87rexralbidv 2400 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑥 / 2) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑧) ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))))
98rspcv 2711 . . . . . . 7 ((𝑥 / 2) ∈ ℝ+ → (∀𝑧 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑧) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))))
105, 9syl 14 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → (∀𝑧 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑧) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))))
1110adantl 271 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑧 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑧) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))))
12 cau3lem.2 . . . . . . . . . 10 (𝜏𝜓)
1312ralimi 2434 . . . . . . . . 9 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜏 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓)
14 r19.26 2493 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) ↔ (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)))
15 fveq2 5268 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑚 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑚))
16 cau3lem.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑘) = (𝐹𝑚) → (𝜓𝜃))
1715, 16syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑚 → (𝜓𝜃))
1815oveq1d 5628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑚 → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) = ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗)))
1918fveq2d 5272 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑚 → (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) = (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))))
2019breq1d 3830 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑚 → ((𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) ↔ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)))
2117, 20anbi12d 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑚 → ((𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) ↔ (𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))))
2221cbvralv 2586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)))
2322biimpi 118 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)))
2423a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))))
2514, 24syl5bir 151 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))))
2625expdimp 255 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))))
27 cau3lem.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑍 ⊆ ℤ
2827sseli 3010 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℤ)
29 uzid 8965 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
3028, 29syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
31 fveq2 5268 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
32 cau3lem.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝑘) = (𝐹𝑗) → (𝜓𝜒))
3331, 32syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑗 → (𝜓𝜒))
3433rspcva 2713 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ (ℤ𝑗) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → 𝜒)
3530, 34sylan 277 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → 𝜒)
3635adantll 460 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → 𝜒)
3726, 36jctild 309 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) → (𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)))))
38 simplll 500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒𝜃)) ∧ 𝜓) → 𝜑)
39 simplrr 503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒𝜃)) ∧ 𝜓) → 𝜃)
40 simplrl 502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒𝜃)) ∧ 𝜓) → 𝜒)
41 cau3lem.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝜃𝜒) → (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) = (𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))))
4238, 39, 40, 41syl3anc 1172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒𝜃)) ∧ 𝜓) → (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) = (𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))))
4342breq1d 3830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒𝜃)) ∧ 𝜓) → ((𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) ↔ (𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < (𝑥 / 2)))
4443anbi2d 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒𝜃)) ∧ 𝜓) → (((𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) ↔ ((𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) ∧ (𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < (𝑥 / 2))))
45 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒𝜃)) ∧ 𝜓) → 𝜓)
46 simpllr 501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒𝜃)) ∧ 𝜓) → 𝑥 ∈ ℝ+)
4746rpred 9105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒𝜃)) ∧ 𝜓) → 𝑥 ∈ ℝ)
48 cau3lem.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃) ∧ (𝜒𝑥 ∈ ℝ)) → (((𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) ∧ (𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < (𝑥 / 2)) → (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
4938, 45, 39, 40, 47, 48syl122anc 1181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒𝜃)) ∧ 𝜓) → (((𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) ∧ (𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < (𝑥 / 2)) → (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
5044, 49sylbid 148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒𝜃)) ∧ 𝜓) → (((𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) → (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
5150expd 254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒𝜃)) ∧ 𝜓) → ((𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) → ((𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) → (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)))
5251impr 371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒𝜃)) ∧ (𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))) → ((𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) → (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
5352an32s 533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))) ∧ (𝜒𝜃)) → ((𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) → (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
5453anassrs 392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))) ∧ 𝜒) ∧ 𝜃) → ((𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) → (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
5554expimpd 355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))) ∧ 𝜒) → ((𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) → (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
5655ralimdv 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))) ∧ 𝜒) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
5756impr 371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))) ∧ (𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)))) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)
5857an32s 533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)))) ∧ (𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)
5958expr 367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)))) ∧ 𝜓) → ((𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
60 uzss 8971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → (ℤ𝑘) ⊆ (ℤ𝑗))
61 ssralv 3074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((ℤ𝑘) ⊆ (ℤ𝑗) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥 → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
6260, 61syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥 → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
6359, 62sylan9 401 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)))) ∧ 𝜓) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
6463an32s 533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝜓) → ((𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
6564expimpd 355 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
6665ralimdva 2437 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)))) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
6766ex 113 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)))
6867com23 77 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ((𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)))
6968adantr 270 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ((𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)))
7014, 69syl5bir 151 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ((𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)))
7170expdimp 255 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) → ((𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)))
7237, 71mpdd 40 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
7313, 72sylan2 280 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜏) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
7473imdistanda 437 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜏 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜏 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)))
75 r19.26 2493 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) ↔ (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜏 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)))
76 r19.26 2493 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥) ↔ (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜏 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
7774, 75, 763imtr4g 203 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)))
7877reximdva 2471 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)))
7911, 78syld 44 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑧 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑧) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)))
8079ralrimdva 2449 . . 3 (𝜑 → (∀𝑧 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑧) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)))
814, 80syl5bi 150 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)))
82 fveq2 5268 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → (ℤ𝑘) = (ℤ𝑗))
8331oveq1d 5628 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) = ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚)))
8483fveq2d 5272 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) = (𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))))
8584breq1d 3830 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥 ↔ (𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
8682, 85raleqbidv 2570 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗 → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
8786rspcv 2711 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (ℤ𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥 → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
8887ad2antlr 473 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥 → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
89 fveq2 5268 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑘 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑘))
9089oveq2d 5629 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑘 → ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚)) = ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘)))
9190fveq2d 5272 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑘 → (𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) = (𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘))))
9291breq1d 3830 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑘 → ((𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥 ↔ (𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘))) < 𝑥))
9392cbvralv 2586 . . . . . . . . . 10 (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘))) < 𝑥)
9434anim2i 334 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ (ℤ𝑗) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓)) → (𝜑𝜒))
9594anassrs 392 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → (𝜑𝜒))
96 simpr 108 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓)
97 cau3lem.5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝜒𝜓) → (𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘))) = (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))))
9897breq1d 3830 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜒𝜓) → ((𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘))) < 𝑥 ↔ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥))
99983expia 1143 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜒) → (𝜓 → ((𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘))) < 𝑥 ↔ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥)))
10099ralimdv 2438 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝜒) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘))) < 𝑥 ↔ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥)))
10195, 96, 100sylc 61 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘))) < 𝑥 ↔ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥))
102 ralbi 2497 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘))) < 𝑥 ↔ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘))) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥))
103101, 102syl 14 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘))) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥))
10493, 103syl5bb 190 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥))
10588, 104sylibd 147 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥))
10613, 105sylan2 280 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜏) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥))
107106imdistanda 437 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑗)) → ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜏 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜏 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥)))
10830, 107sylan2 280 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜏 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜏 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥)))
109 r19.26 2493 . . . . 5 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜏 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥))
110108, 76, 1093imtr4g 203 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥)))
111110reximdva 2471 . . 3 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥)))
112111ralimdv 2438 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥)))
11381, 112impbid 127 1 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  w3a 922   = wceq 1287  wcel 1436  wral 2355  wrex 2356  wss 2988   class class class wbr 3820  cfv 4981  (class class class)co 5613  cr 7293   < clt 7466   / cdiv 8078  2c2 8407  cz 8683  cuz 8951  +crp 9066
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3932  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234  ax-setind 4326  ax-cnex 7380  ax-resscn 7381  ax-1cn 7382  ax-1re 7383  ax-icn 7384  ax-addcl 7385  ax-addrcl 7386  ax-mulcl 7387  ax-mulrcl 7388  ax-addcom 7389  ax-mulcom 7390  ax-addass 7391  ax-mulass 7392  ax-distr 7393  ax-i2m1 7394  ax-0lt1 7395  ax-1rid 7396  ax-0id 7397  ax-rnegex 7398  ax-precex 7399  ax-cnre 7400  ax-pre-ltirr 7401  ax-pre-ltwlin 7402  ax-pre-lttrn 7403  ax-pre-apti 7404  ax-pre-ltadd 7405  ax-pre-mulgt0 7406  ax-pre-mulext 7407
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-br 3821  df-opab 3875  df-mpt 3876  df-id 4094  df-po 4097  df-iso 4098  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-rn 4422  df-res 4423  df-ima 4424  df-iota 4946  df-fun 4983  df-fn 4984  df-f 4985  df-fv 4989  df-riota 5569  df-ov 5616  df-oprab 5617  df-mpt2 5618  df-pnf 7468  df-mnf 7469  df-xr 7470  df-ltxr 7471  df-le 7472  df-sub 7599  df-neg 7600  df-reap 7993  df-ap 8000  df-div 8079  df-2 8416  df-z 8684  df-uz 8952  df-rp 9067
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