Theorem cau3lem 11591

Description: Lemma for cau3 11592. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cau3lem.1	⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
cau3lem.2	⊢ (𝜏 → 𝜓)
cau3lem.3	⊢ ((𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗) → (𝜓 ↔ 𝜒))
cau3lem.4	⊢ ((𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑚) → (𝜓 ↔ 𝜃))
cau3lem.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜒 ∧ 𝜓) → (𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘))) = (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))))
cau3lem.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜃 ∧ 𝜒) → (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) = (𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))))
cau3lem.7	⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃) ∧ (𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (((𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) < (𝑥 / 2)) → (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
cau3lem	⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑚,𝜒   𝑥,𝑘,𝐷,𝑚   𝑘,𝐹,𝑚,𝑥   𝑗,𝑘,𝑚,𝑥,𝜑   𝑘,𝐺,𝑚,𝑥   𝜓,𝑚,𝑥   𝜏,𝑥   𝜃,𝑘   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑗,𝑘)   𝜒(𝑥,𝑗)   𝜃(𝑥,𝑗,𝑚)   𝜏(𝑗,𝑘,𝑚)   𝐷(𝑗)   𝐹(𝑗)   𝐺(𝑗)   𝑍(𝑗,𝑘,𝑚)

Proof of Theorem cau3lem

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4066	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥 ↔ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑧))
2	1	anbi2d 464	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ (𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑧)))
3	2	rexralbidv 2536	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑧)))
4	3	cbvralv 2745	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑧))
5		rphalfcl 9845	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
6		breq2 4066	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (𝑥 / 2) → ((𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑧 ↔ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)))
7	6	anbi2d 464	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑥 / 2) → ((𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑧) ↔ (𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2))))
8	7	rexralbidv 2536	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑥 / 2) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑧) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2))))
9	8	rspcv 2883	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 / 2) ∈ ℝ+ → (∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑧) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2))))
10	5, 9	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑧) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2))))
11	10	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑧) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2))))
12		cau3lem.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜏 → 𝜓)
13	12	ralimi 2573	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜏 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓)
14		r19.26 2637	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)) ↔ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)))
15		fveq2 5603	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑚))
16		cau3lem.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑚) → (𝜓 ↔ 𝜃))
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝜓 ↔ 𝜃))
18	15	oveq1d 5989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) = ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗)))
19	18	fveq2d 5607	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) = (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))))
20	19	breq1d 4072	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) ↔ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)))
21	17, 20	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)) ↔ (𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2))))
22	21	cbvralv 2745	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)))
23	22	biimpi 120	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)))
24	23	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2))))
25	14, 24	biimtrrid 153	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2))))
26	25	expdimp 259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2))))
27		cau3lem.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
28	27	sseli 3200	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ ℤ)
29		uzid 9704	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
30	28, 29	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
31		fveq2 5603	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
32		cau3lem.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗) → (𝜓 ↔ 𝜒))
33	31, 32	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝜓 ↔ 𝜒))
34	33	rspcva 2885	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓) → 𝜒)
35	30, 34	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓) → 𝜒)
36	35	adantll 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓) → 𝜒)
37	26, 36	jctild 316	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) → (𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)))))
38		simplll 533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ 𝜃)) ∧ 𝜓) → 𝜑)
39		simplrr 536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ 𝜃)) ∧ 𝜓) → 𝜃)
40		simplrl 535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ 𝜃)) ∧ 𝜓) → 𝜒)
41		cau3lem.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜃 ∧ 𝜒) → (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) = (𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))))
42	38, 39, 40, 41	syl3anc 1252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ 𝜃)) ∧ 𝜓) → (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) = (𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))))
43	42	breq1d 4072	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ 𝜃)) ∧ 𝜓) → ((𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) ↔ (𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) < (𝑥 / 2)))
44	43	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ 𝜃)) ∧ 𝜓) → (((𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)) ↔ ((𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) < (𝑥 / 2))))
45		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ 𝜃)) ∧ 𝜓) → 𝜓)
46		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ 𝜃)) ∧ 𝜓) → 𝑥 ∈ ℝ+)
47	46	rpred 9860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ 𝜃)) ∧ 𝜓) → 𝑥 ∈ ℝ)
48		cau3lem.7	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃) ∧ (𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (((𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) < (𝑥 / 2)) → (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
49	38, 45, 39, 40, 47, 48	syl122anc 1261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ 𝜃)) ∧ 𝜓) → (((𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) < (𝑥 / 2)) → (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
50	44, 49	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ 𝜃)) ∧ 𝜓) → (((𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)) → (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
51	50	expd 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ 𝜃)) ∧ 𝜓) → ((𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) → ((𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) → (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
52	51	impr 379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ 𝜃)) ∧ (𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2))) → ((𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) → (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
53	52	an32s 568	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2))) ∧ (𝜒 ∧ 𝜃)) → ((𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) → (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
54	53	anassrs 400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2))) ∧ 𝜒) ∧ 𝜃) → ((𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) → (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
55	54	expimpd 363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2))) ∧ 𝜒) → ((𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)) → (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
56	55	ralimdv 2578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2))) ∧ 𝜒) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
57	56	impr 379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2))) ∧ (𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)))) → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥)
58	57	an32s 568	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)))) ∧ (𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2))) → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥)
59	58	expr 375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)))) ∧ 𝜓) → ((𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
60		uzss 9711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (ℤ≥‘𝑘) ⊆ (ℤ≥‘𝑗))
61		ssralv 3268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((ℤ≥‘𝑘) ⊆ (ℤ≥‘𝑗) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥 → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
62	60, 61	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥 → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
63	59, 62	sylan9 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)))) ∧ 𝜓) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
64	63	an32s 568	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ 𝜓) → ((𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
65	64	expimpd 363	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
66	65	ralimdva 2577	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)))) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
67	66	ex 115	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2))) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
68	67	com23 78	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ((𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
69	68	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ((𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
70	14, 69	biimtrrid 153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ((𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
71	70	expdimp 259	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) → ((𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
72	37, 71	mpdd 41	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
73	13, 72	sylan2 286	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜏) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
74	73	imdistanda 448	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜏 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜏 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
75		r19.26 2637	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)) ↔ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜏 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)))
76		r19.26 2637	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥) ↔ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜏 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
77	74, 75, 76	3imtr4g 205	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
78	77	reximdva 2612	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
79	11, 78	syld 45	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑧) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
80	79	ralrimdva 2590	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑧) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
81	4, 80	biimtrid 152	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
82		fveq2 5603	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (ℤ≥‘𝑘) = (ℤ≥‘𝑗))
83	31	oveq1d 5989	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) = ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚)))
84	83	fveq2d 5607	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) = (𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))))
85	84	breq1d 4072	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥 ↔ (𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
86	82, 85	raleqbidv 2724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
87	86	rspcv 2883	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥 → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
88	87	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥 → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
89		fveq2 5603	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑘))
90	89	oveq2d 5990	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚)) = ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘)))
91	90	fveq2d 5607	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) = (𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘))))
92	91	breq1d 4072	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥 ↔ (𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘))) < 𝑥))
93	92	cbvralv 2745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘))) < 𝑥)
94	34	anim2i 342	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓)) → (𝜑 ∧ 𝜒))
95	94	anassrs 400	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓) → (𝜑 ∧ 𝜒))
96		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓)
97		cau3lem.5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜒 ∧ 𝜓) → (𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘))) = (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))))
98	97	breq1d 4072	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜒 ∧ 𝜓) → ((𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘))) < 𝑥 ↔ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
99	98	3expia 1210	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜒) → (𝜓 → ((𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘))) < 𝑥 ↔ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
100	99	ralimdv 2578	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜒) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘))) < 𝑥 ↔ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
101	95, 96, 100	sylc 62	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘))) < 𝑥 ↔ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
102		ralbi 2643	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘))) < 𝑥 ↔ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘))) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
103	101, 102	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘))) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
104	93, 103	bitrid 192	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
105	88, 104	sylibd 149	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
106	13, 105	sylan2 286	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜏) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
107	106	imdistanda 448	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜏 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜏 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
108	30, 107	sylan2 286	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜏 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜏 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
109		r19.26 2637	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜏 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
110	108, 76, 109	3imtr4g 205	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
111	110	reximdva 2612	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
112	111	ralimdv 2578	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
113	81, 112	impbid 129	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 983   = wceq 1375   ∈ wcel 2180  ∀wral 2488  ∃wrex 2489   ⊆ wss 3177   class class class wbr 4062  ‘cfv 5294  (class class class)co 5974  ℝcr 7966   < clt 8149   / cdiv 8787  2c2 9129  ℤcz 9414  ℤ_≥cuz 9690  ℝ⁺crp 9817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-mulrcl 8066  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-precex 8077  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083  ax-pre-mulgt0 8084  ax-pre-mulext 8085

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-po 4364  df-iso 4365  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-reap 8690  df-ap 8697  df-div 8788  df-2 9137  df-z 9415  df-uz 9691  df-rp 9818

This theorem is referenced by:  cau3  11592