Theorem 2clim 11264

Description: If two sequences converge to each other, they converge to the same limit. (Contributed by NM, 24-Dec-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
2clim.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2clim.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2clim.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
2clim.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
2clim.6	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < 𝑥)
2clim.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
2clim	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴   𝑥,𝑗,𝐹,𝑘   𝑗,𝐺,𝑥   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥   𝑘,𝐺

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝑀(𝑥,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem 2clim

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2clim.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < 𝑥)
2		rphalfcl 9638	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
3		breq2 3993	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 / 2) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2)))
4	3	rexralbidv 2496	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 / 2) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < 𝑥 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2)))
5	4	rspccva 2833	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < 𝑥 ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2))
6	1, 2, 5	syl2an 287	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2))
7		2clim.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
8		2clim.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
9	8	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
10	2	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
11		eqidd 2171	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
12		2clim.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
13	12	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐹 ⇝ 𝐴)
14	7, 9, 10, 11, 13	climi 11250	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2)))
15	7	rexanuz2 10955	. . . . 5 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))) ↔ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))))
16	6, 14, 15	sylanbrc 415	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))))
17	7	uztrn2 9504	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
18		an12 556	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))))
19		simprr 527	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
20		2clim.5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
21	20	ad2ant2r 506	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
22	19, 21	abssubd 11157	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) = (abs‘((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘))))
23	22	breq1d 3999	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ↔ (abs‘((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘))) < (𝑦 / 2)))
24	23	anbi1d 462	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)) → (((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2)) ↔ ((abs‘((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))))
25		climcl 11245	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)
26	12, 25	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
27	26	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
28		rpre 9617	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ∈ ℝ)
29	28	ad2antlr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
30		abs3lem 11075	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺‘𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (((abs‘((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
31	21, 27, 19, 29, 30	syl22anc 1234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)) → (((abs‘((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
32	24, 31	sylbid 149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)) → (((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
33	32	anassrs 398	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
34	33	expimpd 361	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))) → (abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
35	18, 34	syl5bi 151	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))) → (abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
36	17, 35	sylan2 284	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))) → (abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
37	36	anassrs 398	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))) → (abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
38	37	ralimdva 2537	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
39	38	reximdva 2572	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
40	16, 39	mpd 13	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
41	40	ralrimiva 2543	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
42		2clim.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
43		eqidd 2171	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
44	7, 8, 42, 43, 26, 20	clim2c 11247	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ⇝ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
45	41, 44	mpbird 166	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  ∀wral 2448  ∃wrex 2449   class class class wbr 3989  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  ℂcc 7772  ℝcr 7773   < clt 7954   − cmin 8090   / cdiv 8589  2c2 8929  ℤcz 9212  ℤ_≥cuz 9487  ℝ⁺crp 9610  abscabs 10961   ⇝ cli 11241

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-rp 9611  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242

This theorem is referenced by:  mertensabs  11500