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Theorem axcaucvglemres 7886
Description: Lemma for axcaucvg 7887. Mapping the limit from N and R. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
axcaucvg.n 𝑁 = {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
axcaucvg.f (𝜑𝐹:𝑁⟶ℝ)
axcaucvg.cau (𝜑 → ∀𝑛𝑁𝑘𝑁 (𝑛 < 𝑘 → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)))))
axcaucvg.g 𝐺 = (𝑗N ↦ (𝑧R (𝐹‘⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑗, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑗, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩) = ⟨𝑧, 0R⟩))
Assertion
Ref Expression
axcaucvglemres (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → ∃𝑗𝑁𝑘𝑁 (𝑗 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑗,𝑛   𝑦,𝐹,𝑗,𝑘   𝑧,𝐹,𝑗   𝑘,𝐺,𝑥,𝑙,𝑢   𝑛,𝐺,𝑙,𝑢,𝑧   𝑘,𝑁,𝑗,𝑛   𝑦,𝑁,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥   𝑗,𝑙,𝑢,𝑦   𝜑,𝑗,𝑥   𝑘,𝑟,𝑙,𝑛,𝑢   𝑧,𝑙,𝑢   𝜑,𝑛   𝑥,𝑦   𝑗,𝑛,𝑧,𝑘   𝑥,𝑙,𝑢
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑢,𝑟,𝑙)   𝐹(𝑥,𝑢,𝑟,𝑙)   𝐺(𝑦,𝑗,𝑟)   𝑁(𝑧,𝑢,𝑟,𝑙)

Proof of Theorem axcaucvglemres
Dummy variables 𝑏 𝑒 𝑓 𝑔 𝑎 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axcaucvg.n . . . 4 𝑁 = {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
2 axcaucvg.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝑁⟶ℝ)
3 axcaucvg.cau . . . 4 (𝜑 → ∀𝑛𝑁𝑘𝑁 (𝑛 < 𝑘 → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)))))
4 axcaucvg.g . . . 4 𝐺 = (𝑗N ↦ (𝑧R (𝐹‘⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑗, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑗, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩) = ⟨𝑧, 0R⟩))
51, 2, 3, 4axcaucvglemf 7883 . . 3 (𝜑𝐺:NR)
61, 2, 3, 4axcaucvglemcau 7885 . . 3 (𝜑 → ∀𝑛N𝑘N (𝑛 <N 𝑘 → ((𝐺𝑛) <R ((𝐺𝑘) +R [⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∧ (𝐺𝑘) <R ((𝐺𝑛) +R [⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ))))
75, 6caucvgsr 7789 . 2 (𝜑 → ∃𝑏R𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑘N (𝑐 <N 𝑘 → ((𝐺𝑘) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑘) +R 𝑎)))))
8 opelreal 7814 . . . . 5 (⟨𝑏, 0R⟩ ∈ ℝ ↔ 𝑏R)
98biimpri 133 . . . 4 (𝑏R → ⟨𝑏, 0R⟩ ∈ ℝ)
109ad2antrl 490 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑘N (𝑐 <N 𝑘 → ((𝐺𝑘) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑘) +R 𝑎)))))) → ⟨𝑏, 0R⟩ ∈ ℝ)
11 breq2 4004 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑘 → (𝑐 <N 𝑑𝑐 <N 𝑘))
12 fveq2 5511 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = 𝑘 → (𝐺𝑑) = (𝐺𝑘))
1312breq1d 4010 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = 𝑘 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ↔ (𝐺𝑘) <R (𝑏 +R 𝑎)))
1412oveq1d 5884 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = 𝑘 → ((𝐺𝑑) +R 𝑎) = ((𝐺𝑘) +R 𝑎))
1514breq2d 4012 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = 𝑘 → (𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎) ↔ 𝑏 <R ((𝐺𝑘) +R 𝑎)))
1613, 15anbi12d 473 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑘 → (((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)) ↔ ((𝐺𝑘) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑘) +R 𝑎))))
1711, 16imbi12d 234 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝑘 → ((𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎))) ↔ (𝑐 <N 𝑘 → ((𝐺𝑘) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑘) +R 𝑎)))))
1817cbvralv 2703 . . . . . . . 8 (∀𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎))) ↔ ∀𝑘N (𝑐 <N 𝑘 → ((𝐺𝑘) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑘) +R 𝑎))))
1918rexbii 2484 . . . . . . 7 (∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎))) ↔ ∃𝑐N𝑘N (𝑐 <N 𝑘 → ((𝐺𝑘) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑘) +R 𝑎))))
2019imbi2i 226 . . . . . 6 ((0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))) ↔ (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑘N (𝑐 <N 𝑘 → ((𝐺𝑘) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑘) +R 𝑎)))))
2120ralbii 2483 . . . . 5 (∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))) ↔ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑘N (𝑐 <N 𝑘 → ((𝐺𝑘) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑘) +R 𝑎)))))
2221anbi2i 457 . . . 4 ((𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎))))) ↔ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑘N (𝑐 <N 𝑘 → ((𝐺𝑘) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑘) +R 𝑎))))))
23 elreal 7815 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ ↔ ∃𝑒R𝑒, 0R⟩ = 𝑥)
2423biimpi 120 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑒R𝑒, 0R⟩ = 𝑥)
2524ad2antlr 489 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) → ∃𝑒R𝑒, 0R⟩ = 𝑥)
26 simplrr 536 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))
2726ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) → ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))
28 simprr 531 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) → ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)
29 simplr 528 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) → 0 < 𝑥)
30 breq2 4004 . . . . . . . . . . . . 13 (⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥 → (0 <𝑒, 0R⟩ ↔ 0 < 𝑥))
31 df-0 7806 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 = ⟨0R, 0R
3231breq1i 4007 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 <𝑒, 0R⟩ ↔ ⟨0R, 0R⟩ <𝑒, 0R⟩)
33 ltresr 7826 . . . . . . . . . . . . . 14 (⟨0R, 0R⟩ <𝑒, 0R⟩ ↔ 0R <R 𝑒)
3432, 33bitri 184 . . . . . . . . . . . . 13 (0 <𝑒, 0R⟩ ↔ 0R <R 𝑒)
3530, 34bitr3di 195 . . . . . . . . . . . 12 (⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥 → (0 < 𝑥 ↔ 0R <R 𝑒))
3635biimpa 296 . . . . . . . . . . 11 ((⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥 ∧ 0 < 𝑥) → 0R <R 𝑒)
3728, 29, 36syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) → 0R <R 𝑒)
38 breq2 4004 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑒 → (0R <R 𝑎 ↔ 0R <R 𝑒))
39 oveq2 5877 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = 𝑒 → (𝑏 +R 𝑎) = (𝑏 +R 𝑒))
4039breq2d 4012 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = 𝑒 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ↔ (𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒)))
41 oveq2 5877 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = 𝑒 → ((𝐺𝑑) +R 𝑎) = ((𝐺𝑑) +R 𝑒))
4241breq2d 4012 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = 𝑒 → (𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎) ↔ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒)))
4340, 42anbi12d 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = 𝑒 → (((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)) ↔ ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))
4443imbi2d 230 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = 𝑒 → ((𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎))) ↔ (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒)))))
4544rexralbidv 2503 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑒 → (∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎))) ↔ ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒)))))
4638, 45imbi12d 234 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑒 → ((0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))) ↔ (0R <R 𝑒 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))))
4746rspcv 2837 . . . . . . . . . . 11 (𝑒R → (∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))) → (0R <R 𝑒 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))))
4847ad2antrl 490 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) → (∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))) → (0R <R 𝑒 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))))
4927, 37, 48mp2d 47 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))
50 breq1 4003 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = 𝑓 → (𝑐 <N 𝑑𝑓 <N 𝑑))
5150imbi1d 231 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝑓 → ((𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))) ↔ (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒)))))
5251ralbidv 2477 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑓 → (∀𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))) ↔ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒)))))
5352cbvrexv 2704 . . . . . . . . 9 (∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))) ↔ ∃𝑓N𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))
5449, 53sylib 122 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) → ∃𝑓N𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))
55 pitonn 7835 . . . . . . . . . . 11 (𝑓N → ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)})
5655, 1eleqtrrdi 2271 . . . . . . . . . 10 (𝑓N → ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ ∈ 𝑁)
5756ad2antrl 490 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) → ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ ∈ 𝑁)
581nntopi 7881 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘𝑁 → ∃𝑔N ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)
5958adantl 277 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) → ∃𝑔N ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)
60 breq2 4004 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 = 𝑔 → (𝑓 <N 𝑑𝑓 <N 𝑔))
61 fveq2 5511 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 = 𝑔 → (𝐺𝑑) = (𝐺𝑔))
6261breq1d 4010 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 = 𝑔 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ↔ (𝐺𝑔) <R (𝑏 +R 𝑒)))
6361oveq1d 5884 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 = 𝑔 → ((𝐺𝑑) +R 𝑒) = ((𝐺𝑔) +R 𝑒))
6463breq2d 4012 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 = 𝑔 → (𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒) ↔ 𝑏 <R ((𝐺𝑔) +R 𝑒)))
6562, 64anbi12d 473 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 = 𝑔 → (((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒)) ↔ ((𝐺𝑔) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑔) +R 𝑒))))
6660, 65imbi12d 234 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 = 𝑔 → ((𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))) ↔ (𝑓 <N 𝑔 → ((𝐺𝑔) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑔) +R 𝑒)))))
67 simplrr 536 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) → ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))
6867adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))
69 simprl 529 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → 𝑔N)
7066, 68, 69rspcdva 2846 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → (𝑓 <N 𝑔 → ((𝐺𝑔) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑔) +R 𝑒))))
71 simplrl 535 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑓N)
7271adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → 𝑓N)
73 ltrennb 7841 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓N𝑔N) → (𝑓 <N 𝑔 ↔ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ < ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩))
7472, 69, 73syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → (𝑓 <N 𝑔 ↔ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ < ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩))
75 simprr 531 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)
7675breq2d 4012 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → (⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ < ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ ↔ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ < 𝑘))
7774, 76bitrd 188 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → (𝑓 <N 𝑔 ↔ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ < 𝑘))
78 ltresr 7826 . . . . . . . . . . . . . 14 (⟨(𝐺𝑔), 0R⟩ < ⟨(𝑏 +R 𝑒), 0R⟩ ↔ (𝐺𝑔) <R (𝑏 +R 𝑒))
79 simplll 533 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) → 𝜑)
8079ad4antr 494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → 𝜑)
811, 2, 3, 4axcaucvglemval 7884 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑔N) → (𝐹‘⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩) = ⟨(𝐺𝑔), 0R⟩)
8280, 69, 81syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → (𝐹‘⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩) = ⟨(𝐺𝑔), 0R⟩)
8375fveq2d 5515 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → (𝐹‘⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩) = (𝐹𝑘))
8482, 83eqtr3d 2212 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → ⟨(𝐺𝑔), 0R⟩ = (𝐹𝑘))
85 simplrl 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑏R)
8685ad5antr 496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → 𝑏R)
87 simplrl 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) → 𝑒R)
8887ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → 𝑒R)
89 addresr 7824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑏R𝑒R) → (⟨𝑏, 0R⟩ + ⟨𝑒, 0R⟩) = ⟨(𝑏 +R 𝑒), 0R⟩)
9086, 88, 89syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → (⟨𝑏, 0R⟩ + ⟨𝑒, 0R⟩) = ⟨(𝑏 +R 𝑒), 0R⟩)
9128oveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) → (⟨𝑏, 0R⟩ + ⟨𝑒, 0R⟩) = (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥))
9291ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → (⟨𝑏, 0R⟩ + ⟨𝑒, 0R⟩) = (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥))
9390, 92eqtr3d 2212 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → ⟨(𝑏 +R 𝑒), 0R⟩ = (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥))
9484, 93breq12d 4013 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → (⟨(𝐺𝑔), 0R⟩ < ⟨(𝑏 +R 𝑒), 0R⟩ ↔ (𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥)))
9578, 94bitr3id 194 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → ((𝐺𝑔) <R (𝑏 +R 𝑒) ↔ (𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥)))
96 ltresr 7826 . . . . . . . . . . . . . 14 (⟨𝑏, 0R⟩ < ⟨((𝐺𝑔) +R 𝑒), 0R⟩ ↔ 𝑏 <R ((𝐺𝑔) +R 𝑒))
9780, 5syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → 𝐺:NR)
9897, 69ffvelcdmd 5648 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → (𝐺𝑔) ∈ R)
99 addresr 7824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐺𝑔) ∈ R𝑒R) → (⟨(𝐺𝑔), 0R⟩ + ⟨𝑒, 0R⟩) = ⟨((𝐺𝑔) +R 𝑒), 0R⟩)
10098, 88, 99syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → (⟨(𝐺𝑔), 0R⟩ + ⟨𝑒, 0R⟩) = ⟨((𝐺𝑔) +R 𝑒), 0R⟩)
10128ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)
10284, 101oveq12d 5887 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → (⟨(𝐺𝑔), 0R⟩ + ⟨𝑒, 0R⟩) = ((𝐹𝑘) + 𝑥))
103100, 102eqtr3d 2212 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → ⟨((𝐺𝑔) +R 𝑒), 0R⟩ = ((𝐹𝑘) + 𝑥))
104103breq2d 4012 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → (⟨𝑏, 0R⟩ < ⟨((𝐺𝑔) +R 𝑒), 0R⟩ ↔ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))
10596, 104bitr3id 194 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → (𝑏 <R ((𝐺𝑔) +R 𝑒) ↔ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))
10695, 105anbi12d 473 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → (((𝐺𝑔) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑔) +R 𝑒)) ↔ ((𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥))))
10770, 77, 1063imtr3d 202 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → (⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥))))
10859, 107rexlimddv 2599 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) → (⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥))))
109108ralrimiva 2550 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) → ∀𝑘𝑁 (⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥))))
110 breq1 4003 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ → (𝑗 < 𝑘 ↔ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ < 𝑘))
111110imbi1d 231 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ → ((𝑗 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) ↔ (⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))))
112111ralbidv 2477 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ → (∀𝑘𝑁 (𝑗 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) ↔ ∀𝑘𝑁 (⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))))
113112rspcev 2841 . . . . . . . . 9 ((⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑘𝑁 (⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))) → ∃𝑗𝑁𝑘𝑁 (𝑗 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥))))
11457, 109, 113syl2anc 411 . . . . . . . 8 ((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) → ∃𝑗𝑁𝑘𝑁 (𝑗 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥))))
11554, 114rexlimddv 2599 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) → ∃𝑗𝑁𝑘𝑁 (𝑗 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥))))
11625, 115rexlimddv 2599 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) → ∃𝑗𝑁𝑘𝑁 (𝑗 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥))))
117116ex 115 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 < 𝑥 → ∃𝑗𝑁𝑘𝑁 (𝑗 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))))
118117ralrimiva 2550 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) → ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → ∃𝑗𝑁𝑘𝑁 (𝑗 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))))
11922, 118sylan2br 288 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑘N (𝑐 <N 𝑘 → ((𝐺𝑘) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑘) +R 𝑎)))))) → ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → ∃𝑗𝑁𝑘𝑁 (𝑗 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))))
120 oveq1 5876 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = ⟨𝑏, 0R⟩ → (𝑦 + 𝑥) = (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥))
121120breq2d 4012 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ⟨𝑏, 0R⟩ → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ↔ (𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥)))
122 breq1 4003 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ⟨𝑏, 0R⟩ → (𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥) ↔ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))
123121, 122anbi12d 473 . . . . . . . 8 (𝑦 = ⟨𝑏, 0R⟩ → (((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)) ↔ ((𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥))))
124123imbi2d 230 . . . . . . 7 (𝑦 = ⟨𝑏, 0R⟩ → ((𝑗 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) ↔ (𝑗 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))))
125124rexralbidv 2503 . . . . . 6 (𝑦 = ⟨𝑏, 0R⟩ → (∃𝑗𝑁𝑘𝑁 (𝑗 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) ↔ ∃𝑗𝑁𝑘𝑁 (𝑗 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))))
126125imbi2d 230 . . . . 5 (𝑦 = ⟨𝑏, 0R⟩ → ((0 < 𝑥 → ∃𝑗𝑁𝑘𝑁 (𝑗 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))) ↔ (0 < 𝑥 → ∃𝑗𝑁𝑘𝑁 (𝑗 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥))))))
127126ralbidv 2477 . . . 4 (𝑦 = ⟨𝑏, 0R⟩ → (∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → ∃𝑗𝑁𝑘𝑁 (𝑗 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → ∃𝑗𝑁𝑘𝑁 (𝑗 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥))))))
128127rspcev 2841 . . 3 ((⟨𝑏, 0R⟩ ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → ∃𝑗𝑁𝑘𝑁 (𝑗 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥))))) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → ∃𝑗𝑁𝑘𝑁 (𝑗 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))))
12910, 119, 128syl2anc 411 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑘N (𝑐 <N 𝑘 → ((𝐺𝑘) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑘) +R 𝑎)))))) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → ∃𝑗𝑁𝑘𝑁 (𝑗 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))))
1307, 129rexlimddv 2599 1 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → ∃𝑗𝑁𝑘𝑁 (𝑗 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  {cab 2163  wral 2455  wrex 2456  cop 3594   cint 3842   class class class wbr 4000  cmpt 4061  wf 5208  cfv 5212  crio 5824  (class class class)co 5869  1oc1o 6404  [cec 6527  Ncnpi 7259   <N clti 7262   ~Q ceq 7266   <Q cltq 7272  1Pc1p 7279   +P cpp 7280   ~R cer 7283  Rcnr 7284  0Rc0r 7285   +R cplr 7288   <R cltr 7290  cr 7798  0cc0 7799  1c1 7800   + caddc 7802   < cltrr 7803   · cmul 7804
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-eprel 4286  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-1o 6411  df-2o 6412  df-oadd 6415  df-omul 6416  df-er 6529  df-ec 6531  df-qs 6535  df-ni 7291  df-pli 7292  df-mi 7293  df-lti 7294  df-plpq 7331  df-mpq 7332  df-enq 7334  df-nqqs 7335  df-plqqs 7336  df-mqqs 7337  df-1nqqs 7338  df-rq 7339  df-ltnqqs 7340  df-enq0 7411  df-nq0 7412  df-0nq0 7413  df-plq0 7414  df-mq0 7415  df-inp 7453  df-i1p 7454  df-iplp 7455  df-imp 7456  df-iltp 7457  df-enr 7713  df-nr 7714  df-plr 7715  df-mr 7716  df-ltr 7717  df-0r 7718  df-1r 7719  df-m1r 7720  df-c 7805  df-0 7806  df-1 7807  df-r 7809  df-add 7810  df-mul 7811  df-lt 7812
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