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Theorem axcaucvglemres 7378
Description: Lemma for axcaucvg 7379. Mapping the limit from N and R. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
axcaucvg.n 𝑁 = {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
axcaucvg.f (𝜑𝐹:𝑁⟶ℝ)
axcaucvg.cau (𝜑 → ∀𝑛𝑁𝑘𝑁 (𝑛 < 𝑘 → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)))))
axcaucvg.g 𝐺 = (𝑗N ↦ (𝑧R (𝐹‘⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩) = ⟨𝑧, 0R⟩))
Assertion
Ref Expression
axcaucvglemres (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → ∃𝑗𝑁𝑘𝑁 (𝑗 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑗,𝑛   𝑦,𝐹,𝑗,𝑘   𝑧,𝐹,𝑗   𝑘,𝐺,𝑥,𝑙,𝑢   𝑛,𝐺,𝑙,𝑢,𝑧   𝑘,𝑁,𝑗,𝑛   𝑦,𝑁,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥   𝑗,𝑙,𝑢,𝑦   𝜑,𝑗,𝑥   𝑘,𝑟,𝑙,𝑛,𝑢   𝑧,𝑙,𝑢   𝜑,𝑛   𝑥,𝑦   𝑗,𝑛,𝑧,𝑘   𝑥,𝑙,𝑢
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑢,𝑟,𝑙)   𝐹(𝑥,𝑢,𝑟,𝑙)   𝐺(𝑦,𝑗,𝑟)   𝑁(𝑧,𝑢,𝑟,𝑙)

Proof of Theorem axcaucvglemres
Dummy variables 𝑏 𝑒 𝑓 𝑔 𝑎 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axcaucvg.n . . . 4 𝑁 = {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
2 axcaucvg.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝑁⟶ℝ)
3 axcaucvg.cau . . . 4 (𝜑 → ∀𝑛𝑁𝑘𝑁 (𝑛 < 𝑘 → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)))))
4 axcaucvg.g . . . 4 𝐺 = (𝑗N ↦ (𝑧R (𝐹‘⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩) = ⟨𝑧, 0R⟩))
51, 2, 3, 4axcaucvglemf 7375 . . 3 (𝜑𝐺:NR)
61, 2, 3, 4axcaucvglemcau 7377 . . 3 (𝜑 → ∀𝑛N𝑘N (𝑛 <N 𝑘 → ((𝐺𝑛) <R ((𝐺𝑘) +R [⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∧ (𝐺𝑘) <R ((𝐺𝑛) +R [⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ))))
75, 6caucvgsr 7291 . 2 (𝜑 → ∃𝑏R𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑘N (𝑐 <N 𝑘 → ((𝐺𝑘) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑘) +R 𝑎)))))
8 opelreal 7309 . . . . 5 (⟨𝑏, 0R⟩ ∈ ℝ ↔ 𝑏R)
98biimpri 131 . . . 4 (𝑏R → ⟨𝑏, 0R⟩ ∈ ℝ)
109ad2antrl 474 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑘N (𝑐 <N 𝑘 → ((𝐺𝑘) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑘) +R 𝑎)))))) → ⟨𝑏, 0R⟩ ∈ ℝ)
11 breq2 3824 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑘 → (𝑐 <N 𝑑𝑐 <N 𝑘))
12 fveq2 5268 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = 𝑘 → (𝐺𝑑) = (𝐺𝑘))
1312breq1d 3830 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = 𝑘 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ↔ (𝐺𝑘) <R (𝑏 +R 𝑎)))
1412oveq1d 5628 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = 𝑘 → ((𝐺𝑑) +R 𝑎) = ((𝐺𝑘) +R 𝑎))
1514breq2d 3832 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = 𝑘 → (𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎) ↔ 𝑏 <R ((𝐺𝑘) +R 𝑎)))
1613, 15anbi12d 457 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑘 → (((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)) ↔ ((𝐺𝑘) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑘) +R 𝑎))))
1711, 16imbi12d 232 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝑘 → ((𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎))) ↔ (𝑐 <N 𝑘 → ((𝐺𝑘) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑘) +R 𝑎)))))
1817cbvralv 2586 . . . . . . . 8 (∀𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎))) ↔ ∀𝑘N (𝑐 <N 𝑘 → ((𝐺𝑘) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑘) +R 𝑎))))
1918rexbii 2381 . . . . . . 7 (∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎))) ↔ ∃𝑐N𝑘N (𝑐 <N 𝑘 → ((𝐺𝑘) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑘) +R 𝑎))))
2019imbi2i 224 . . . . . 6 ((0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))) ↔ (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑘N (𝑐 <N 𝑘 → ((𝐺𝑘) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑘) +R 𝑎)))))
2120ralbii 2380 . . . . 5 (∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))) ↔ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑘N (𝑐 <N 𝑘 → ((𝐺𝑘) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑘) +R 𝑎)))))
2221anbi2i 445 . . . 4 ((𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎))))) ↔ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑘N (𝑐 <N 𝑘 → ((𝐺𝑘) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑘) +R 𝑎))))))
23 elreal 7310 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ ↔ ∃𝑒R𝑒, 0R⟩ = 𝑥)
2423biimpi 118 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑒R𝑒, 0R⟩ = 𝑥)
2524ad2antlr 473 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) → ∃𝑒R𝑒, 0R⟩ = 𝑥)
26 simplrr 503 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))
2726ad2antrr 472 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) → ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))
28 simprr 499 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) → ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)
29 simplr 497 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) → 0 < 𝑥)
30 df-0 7301 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 = ⟨0R, 0R
3130breq1i 3827 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 <𝑒, 0R⟩ ↔ ⟨0R, 0R⟩ <𝑒, 0R⟩)
32 ltresr 7320 . . . . . . . . . . . . . 14 (⟨0R, 0R⟩ <𝑒, 0R⟩ ↔ 0R <R 𝑒)
3331, 32bitri 182 . . . . . . . . . . . . 13 (0 <𝑒, 0R⟩ ↔ 0R <R 𝑒)
34 breq2 3824 . . . . . . . . . . . . 13 (⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥 → (0 <𝑒, 0R⟩ ↔ 0 < 𝑥))
3533, 34syl5rbbr 193 . . . . . . . . . . . 12 (⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥 → (0 < 𝑥 ↔ 0R <R 𝑒))
3635biimpa 290 . . . . . . . . . . 11 ((⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥 ∧ 0 < 𝑥) → 0R <R 𝑒)
3728, 29, 36syl2anc 403 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) → 0R <R 𝑒)
38 breq2 3824 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑒 → (0R <R 𝑎 ↔ 0R <R 𝑒))
39 oveq2 5621 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = 𝑒 → (𝑏 +R 𝑎) = (𝑏 +R 𝑒))
4039breq2d 3832 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = 𝑒 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ↔ (𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒)))
41 oveq2 5621 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = 𝑒 → ((𝐺𝑑) +R 𝑎) = ((𝐺𝑑) +R 𝑒))
4241breq2d 3832 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = 𝑒 → (𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎) ↔ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒)))
4340, 42anbi12d 457 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = 𝑒 → (((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)) ↔ ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))
4443imbi2d 228 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = 𝑒 → ((𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎))) ↔ (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒)))))
4544rexralbidv 2400 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑒 → (∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎))) ↔ ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒)))))
4638, 45imbi12d 232 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑒 → ((0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))) ↔ (0R <R 𝑒 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))))
4746rspcv 2711 . . . . . . . . . . 11 (𝑒R → (∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))) → (0R <R 𝑒 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))))
4847ad2antrl 474 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) → (∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))) → (0R <R 𝑒 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))))
4927, 37, 48mp2d 46 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))
50 breq1 3823 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = 𝑓 → (𝑐 <N 𝑑𝑓 <N 𝑑))
5150imbi1d 229 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝑓 → ((𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))) ↔ (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒)))))
5251ralbidv 2376 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑓 → (∀𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))) ↔ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒)))))
5352cbvrexv 2587 . . . . . . . . 9 (∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))) ↔ ∃𝑓N𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))
5449, 53sylib 120 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) → ∃𝑓N𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))
55 pitonn 7329 . . . . . . . . . . 11 (𝑓N → ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑓, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)})
5655, 1syl6eleqr 2178 . . . . . . . . . 10 (𝑓N → ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑓, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ ∈ 𝑁)
5756ad2antrl 474 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) → ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑓, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ ∈ 𝑁)
581nntopi 7373 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘𝑁 → ∃𝑔N ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)
5958adantl 271 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) → ∃𝑔N ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)
60 breq2 3824 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 = 𝑔 → (𝑓 <N 𝑑𝑓 <N 𝑔))
61 fveq2 5268 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 = 𝑔 → (𝐺𝑑) = (𝐺𝑔))
6261breq1d 3830 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 = 𝑔 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ↔ (𝐺𝑔) <R (𝑏 +R 𝑒)))
6361oveq1d 5628 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 = 𝑔 → ((𝐺𝑑) +R 𝑒) = ((𝐺𝑔) +R 𝑒))
6463breq2d 3832 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 = 𝑔 → (𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒) ↔ 𝑏 <R ((𝐺𝑔) +R 𝑒)))
6562, 64anbi12d 457 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 = 𝑔 → (((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒)) ↔ ((𝐺𝑔) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑔) +R 𝑒))))
6660, 65imbi12d 232 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 = 𝑔 → ((𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))) ↔ (𝑓 <N 𝑔 → ((𝐺𝑔) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑔) +R 𝑒)))))
67 simplrr 503 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) → ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))
6867adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))
69 simprl 498 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → 𝑔N)
7066, 68, 69rspcdva 2720 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → (𝑓 <N 𝑔 → ((𝐺𝑔) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑔) +R 𝑒))))
71 simplrl 502 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑓N)
7271adantr 270 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → 𝑓N)
73 ltrennb 7335 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓N𝑔N) → (𝑓 <N 𝑔 ↔ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑓, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ < ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩))
7472, 69, 73syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → (𝑓 <N 𝑔 ↔ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑓, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ < ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩))
75 simprr 499 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)
7675breq2d 3832 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → (⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑓, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ < ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ ↔ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑓, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ < 𝑘))
7774, 76bitrd 186 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → (𝑓 <N 𝑔 ↔ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑓, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ < 𝑘))
78 ltresr 7320 . . . . . . . . . . . . . 14 (⟨(𝐺𝑔), 0R⟩ < ⟨(𝑏 +R 𝑒), 0R⟩ ↔ (𝐺𝑔) <R (𝑏 +R 𝑒))
79 simplll 500 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) → 𝜑)
8079ad4antr 478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → 𝜑)
811, 2, 3, 4axcaucvglemval 7376 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑔N) → (𝐹‘⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩) = ⟨(𝐺𝑔), 0R⟩)
8280, 69, 81syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → (𝐹‘⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩) = ⟨(𝐺𝑔), 0R⟩)
8375fveq2d 5272 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → (𝐹‘⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩) = (𝐹𝑘))
8482, 83eqtr3d 2119 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → ⟨(𝐺𝑔), 0R⟩ = (𝐹𝑘))
85 simplrl 502 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑏R)
8685ad5antr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → 𝑏R)
87 simplrl 502 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) → 𝑒R)
8887ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → 𝑒R)
89 addresr 7318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑏R𝑒R) → (⟨𝑏, 0R⟩ + ⟨𝑒, 0R⟩) = ⟨(𝑏 +R 𝑒), 0R⟩)
9086, 88, 89syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → (⟨𝑏, 0R⟩ + ⟨𝑒, 0R⟩) = ⟨(𝑏 +R 𝑒), 0R⟩)
9128oveq2d 5629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) → (⟨𝑏, 0R⟩ + ⟨𝑒, 0R⟩) = (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥))
9291ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → (⟨𝑏, 0R⟩ + ⟨𝑒, 0R⟩) = (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥))
9390, 92eqtr3d 2119 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → ⟨(𝑏 +R 𝑒), 0R⟩ = (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥))
9484, 93breq12d 3833 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → (⟨(𝐺𝑔), 0R⟩ < ⟨(𝑏 +R 𝑒), 0R⟩ ↔ (𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥)))
9578, 94syl5bbr 192 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → ((𝐺𝑔) <R (𝑏 +R 𝑒) ↔ (𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥)))
96 ltresr 7320 . . . . . . . . . . . . . 14 (⟨𝑏, 0R⟩ < ⟨((𝐺𝑔) +R 𝑒), 0R⟩ ↔ 𝑏 <R ((𝐺𝑔) +R 𝑒))
9780, 5syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → 𝐺:NR)
9897, 69ffvelrnd 5398 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → (𝐺𝑔) ∈ R)
99 addresr 7318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐺𝑔) ∈ R𝑒R) → (⟨(𝐺𝑔), 0R⟩ + ⟨𝑒, 0R⟩) = ⟨((𝐺𝑔) +R 𝑒), 0R⟩)
10098, 88, 99syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → (⟨(𝐺𝑔), 0R⟩ + ⟨𝑒, 0R⟩) = ⟨((𝐺𝑔) +R 𝑒), 0R⟩)
10128ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)
10284, 101oveq12d 5631 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → (⟨(𝐺𝑔), 0R⟩ + ⟨𝑒, 0R⟩) = ((𝐹𝑘) + 𝑥))
103100, 102eqtr3d 2119 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → ⟨((𝐺𝑔) +R 𝑒), 0R⟩ = ((𝐹𝑘) + 𝑥))
104103breq2d 3832 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → (⟨𝑏, 0R⟩ < ⟨((𝐺𝑔) +R 𝑒), 0R⟩ ↔ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))
10596, 104syl5bbr 192 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → (𝑏 <R ((𝐺𝑔) +R 𝑒) ↔ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))
10695, 105anbi12d 457 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → (((𝐺𝑔) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑔) +R 𝑒)) ↔ ((𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥))))
10770, 77, 1063imtr3d 200 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → (⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑓, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥))))
10859, 107rexlimddv 2489 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) → (⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑓, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥))))
109108ralrimiva 2442 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) → ∀𝑘𝑁 (⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑓, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥))))
110 breq1 3823 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑓, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ → (𝑗 < 𝑘 ↔ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑓, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ < 𝑘))
111110imbi1d 229 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑓, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ → ((𝑗 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) ↔ (⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑓, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))))
112111ralbidv 2376 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑓, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ → (∀𝑘𝑁 (𝑗 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) ↔ ∀𝑘𝑁 (⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑓, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))))
113112rspcev 2715 . . . . . . . . 9 ((⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑓, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑘𝑁 (⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑓, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))) → ∃𝑗𝑁𝑘𝑁 (𝑗 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥))))
11457, 109, 113syl2anc 403 . . . . . . . 8 ((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) → ∃𝑗𝑁𝑘𝑁 (𝑗 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥))))
11554, 114rexlimddv 2489 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) → ∃𝑗𝑁𝑘𝑁 (𝑗 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥))))
11625, 115rexlimddv 2489 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) → ∃𝑗𝑁𝑘𝑁 (𝑗 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥))))
117116ex 113 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 < 𝑥 → ∃𝑗𝑁𝑘𝑁 (𝑗 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))))
118117ralrimiva 2442 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) → ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → ∃𝑗𝑁𝑘𝑁 (𝑗 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))))
11922, 118sylan2br 282 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑘N (𝑐 <N 𝑘 → ((𝐺𝑘) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑘) +R 𝑎)))))) → ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → ∃𝑗𝑁𝑘𝑁 (𝑗 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))))
120 oveq1 5620 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = ⟨𝑏, 0R⟩ → (𝑦 + 𝑥) = (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥))
121120breq2d 3832 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ⟨𝑏, 0R⟩ → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ↔ (𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥)))
122 breq1 3823 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ⟨𝑏, 0R⟩ → (𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥) ↔ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))
123121, 122anbi12d 457 . . . . . . . 8 (𝑦 = ⟨𝑏, 0R⟩ → (((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)) ↔ ((𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥))))
124123imbi2d 228 . . . . . . 7 (𝑦 = ⟨𝑏, 0R⟩ → ((𝑗 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) ↔ (𝑗 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))))
125124rexralbidv 2400 . . . . . 6 (𝑦 = ⟨𝑏, 0R⟩ → (∃𝑗𝑁𝑘𝑁 (𝑗 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) ↔ ∃𝑗𝑁𝑘𝑁 (𝑗 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))))
126125imbi2d 228 . . . . 5 (𝑦 = ⟨𝑏, 0R⟩ → ((0 < 𝑥 → ∃𝑗𝑁𝑘𝑁 (𝑗 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))) ↔ (0 < 𝑥 → ∃𝑗𝑁𝑘𝑁 (𝑗 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥))))))
127126ralbidv 2376 . . . 4 (𝑦 = ⟨𝑏, 0R⟩ → (∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → ∃𝑗𝑁𝑘𝑁 (𝑗 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → ∃𝑗𝑁𝑘𝑁 (𝑗 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥))))))
128127rspcev 2715 . . 3 ((⟨𝑏, 0R⟩ ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → ∃𝑗𝑁𝑘𝑁 (𝑗 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥))))) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → ∃𝑗𝑁𝑘𝑁 (𝑗 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))))
12910, 119, 128syl2anc 403 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑘N (𝑐 <N 𝑘 → ((𝐺𝑘) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑘) +R 𝑎)))))) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → ∃𝑗𝑁𝑘𝑁 (𝑗 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))))
1307, 129rexlimddv 2489 1 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → ∃𝑗𝑁𝑘𝑁 (𝑗 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1287  wcel 1436  {cab 2071  wral 2355  wrex 2356  cop 3434   cint 3671   class class class wbr 3820  cmpt 3874  wf 4977  cfv 4981  crio 5568  (class class class)co 5613  1𝑜c1o 6128  [cec 6242  Ncnpi 6775   <N clti 6778   ~Q ceq 6782   <Q cltq 6788  1Pc1p 6795   +P cpp 6796   ~R cer 6799  Rcnr 6800  0Rc0r 6801   +R cplr 6804   <R cltr 6806  cr 7293  0cc0 7294  1c1 7295   + caddc 7297   < cltrr 7298   · cmul 7299
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3929  ax-sep 3932  ax-nul 3940  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234  ax-setind 4326  ax-iinf 4376
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-int 3672  df-iun 3715  df-br 3821  df-opab 3875  df-mpt 3876  df-tr 3912  df-eprel 4090  df-id 4094  df-po 4097  df-iso 4098  df-iord 4167  df-on 4169  df-suc 4172  df-iom 4379  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-rn 4422  df-res 4423  df-ima 4424  df-iota 4946  df-fun 4983  df-fn 4984  df-f 4985  df-f1 4986  df-fo 4987  df-f1o 4988  df-fv 4989  df-riota 5569  df-ov 5616  df-oprab 5617  df-mpt2 5618  df-1st 5868  df-2nd 5869  df-recs 6024  df-irdg 6089  df-1o 6135  df-2o 6136  df-oadd 6139  df-omul 6140  df-er 6244  df-ec 6246  df-qs 6250  df-ni 6807  df-pli 6808  df-mi 6809  df-lti 6810  df-plpq 6847  df-mpq 6848  df-enq 6850  df-nqqs 6851  df-plqqs 6852  df-mqqs 6853  df-1nqqs 6854  df-rq 6855  df-ltnqqs 6856  df-enq0 6927  df-nq0 6928  df-0nq0 6929  df-plq0 6930  df-mq0 6931  df-inp 6969  df-i1p 6970  df-iplp 6971  df-imp 6972  df-iltp 6973  df-enr 7216  df-nr 7217  df-plr 7218  df-mr 7219  df-ltr 7220  df-0r 7221  df-1r 7222  df-m1r 7223  df-c 7300  df-0 7301  df-1 7302  df-r 7304  df-add 7305  df-mul 7306  df-lt 7307
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