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Theorem axcaucvglemres 7634
Description: Lemma for axcaucvg 7635. Mapping the limit from N and R. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
axcaucvg.n 𝑁 = {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
axcaucvg.f (𝜑𝐹:𝑁⟶ℝ)
axcaucvg.cau (𝜑 → ∀𝑛𝑁𝑘𝑁 (𝑛 < 𝑘 → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)))))
axcaucvg.g 𝐺 = (𝑗N ↦ (𝑧R (𝐹‘⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑗, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑗, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩) = ⟨𝑧, 0R⟩))
Assertion
Ref Expression
axcaucvglemres (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → ∃𝑗𝑁𝑘𝑁 (𝑗 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑗,𝑛   𝑦,𝐹,𝑗,𝑘   𝑧,𝐹,𝑗   𝑘,𝐺,𝑥,𝑙,𝑢   𝑛,𝐺,𝑙,𝑢,𝑧   𝑘,𝑁,𝑗,𝑛   𝑦,𝑁,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥   𝑗,𝑙,𝑢,𝑦   𝜑,𝑗,𝑥   𝑘,𝑟,𝑙,𝑛,𝑢   𝑧,𝑙,𝑢   𝜑,𝑛   𝑥,𝑦   𝑗,𝑛,𝑧,𝑘   𝑥,𝑙,𝑢
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑢,𝑟,𝑙)   𝐹(𝑥,𝑢,𝑟,𝑙)   𝐺(𝑦,𝑗,𝑟)   𝑁(𝑧,𝑢,𝑟,𝑙)

Proof of Theorem axcaucvglemres
Dummy variables 𝑏 𝑒 𝑓 𝑔 𝑎 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axcaucvg.n . . . 4 𝑁 = {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
2 axcaucvg.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝑁⟶ℝ)
3 axcaucvg.cau . . . 4 (𝜑 → ∀𝑛𝑁𝑘𝑁 (𝑛 < 𝑘 → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)))))
4 axcaucvg.g . . . 4 𝐺 = (𝑗N ↦ (𝑧R (𝐹‘⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑗, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑗, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩) = ⟨𝑧, 0R⟩))
51, 2, 3, 4axcaucvglemf 7631 . . 3 (𝜑𝐺:NR)
61, 2, 3, 4axcaucvglemcau 7633 . . 3 (𝜑 → ∀𝑛N𝑘N (𝑛 <N 𝑘 → ((𝐺𝑛) <R ((𝐺𝑘) +R [⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∧ (𝐺𝑘) <R ((𝐺𝑛) +R [⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ))))
75, 6caucvgsr 7544 . 2 (𝜑 → ∃𝑏R𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑘N (𝑐 <N 𝑘 → ((𝐺𝑘) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑘) +R 𝑎)))))
8 opelreal 7562 . . . . 5 (⟨𝑏, 0R⟩ ∈ ℝ ↔ 𝑏R)
98biimpri 132 . . . 4 (𝑏R → ⟨𝑏, 0R⟩ ∈ ℝ)
109ad2antrl 479 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑘N (𝑐 <N 𝑘 → ((𝐺𝑘) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑘) +R 𝑎)))))) → ⟨𝑏, 0R⟩ ∈ ℝ)
11 breq2 3899 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑘 → (𝑐 <N 𝑑𝑐 <N 𝑘))
12 fveq2 5375 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = 𝑘 → (𝐺𝑑) = (𝐺𝑘))
1312breq1d 3905 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = 𝑘 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ↔ (𝐺𝑘) <R (𝑏 +R 𝑎)))
1412oveq1d 5743 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = 𝑘 → ((𝐺𝑑) +R 𝑎) = ((𝐺𝑘) +R 𝑎))
1514breq2d 3907 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = 𝑘 → (𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎) ↔ 𝑏 <R ((𝐺𝑘) +R 𝑎)))
1613, 15anbi12d 462 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑘 → (((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)) ↔ ((𝐺𝑘) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑘) +R 𝑎))))
1711, 16imbi12d 233 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝑘 → ((𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎))) ↔ (𝑐 <N 𝑘 → ((𝐺𝑘) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑘) +R 𝑎)))))
1817cbvralv 2628 . . . . . . . 8 (∀𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎))) ↔ ∀𝑘N (𝑐 <N 𝑘 → ((𝐺𝑘) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑘) +R 𝑎))))
1918rexbii 2416 . . . . . . 7 (∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎))) ↔ ∃𝑐N𝑘N (𝑐 <N 𝑘 → ((𝐺𝑘) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑘) +R 𝑎))))
2019imbi2i 225 . . . . . 6 ((0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))) ↔ (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑘N (𝑐 <N 𝑘 → ((𝐺𝑘) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑘) +R 𝑎)))))
2120ralbii 2415 . . . . 5 (∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))) ↔ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑘N (𝑐 <N 𝑘 → ((𝐺𝑘) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑘) +R 𝑎)))))
2221anbi2i 450 . . . 4 ((𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎))))) ↔ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑘N (𝑐 <N 𝑘 → ((𝐺𝑘) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑘) +R 𝑎))))))
23 elreal 7563 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ ↔ ∃𝑒R𝑒, 0R⟩ = 𝑥)
2423biimpi 119 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑒R𝑒, 0R⟩ = 𝑥)
2524ad2antlr 478 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) → ∃𝑒R𝑒, 0R⟩ = 𝑥)
26 simplrr 508 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))
2726ad2antrr 477 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) → ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))
28 simprr 504 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) → ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)
29 simplr 502 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) → 0 < 𝑥)
30 df-0 7554 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 = ⟨0R, 0R
3130breq1i 3902 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 <𝑒, 0R⟩ ↔ ⟨0R, 0R⟩ <𝑒, 0R⟩)
32 ltresr 7574 . . . . . . . . . . . . . 14 (⟨0R, 0R⟩ <𝑒, 0R⟩ ↔ 0R <R 𝑒)
3331, 32bitri 183 . . . . . . . . . . . . 13 (0 <𝑒, 0R⟩ ↔ 0R <R 𝑒)
34 breq2 3899 . . . . . . . . . . . . 13 (⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥 → (0 <𝑒, 0R⟩ ↔ 0 < 𝑥))
3533, 34syl5rbbr 194 . . . . . . . . . . . 12 (⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥 → (0 < 𝑥 ↔ 0R <R 𝑒))
3635biimpa 292 . . . . . . . . . . 11 ((⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥 ∧ 0 < 𝑥) → 0R <R 𝑒)
3728, 29, 36syl2anc 406 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) → 0R <R 𝑒)
38 breq2 3899 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑒 → (0R <R 𝑎 ↔ 0R <R 𝑒))
39 oveq2 5736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = 𝑒 → (𝑏 +R 𝑎) = (𝑏 +R 𝑒))
4039breq2d 3907 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = 𝑒 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ↔ (𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒)))
41 oveq2 5736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = 𝑒 → ((𝐺𝑑) +R 𝑎) = ((𝐺𝑑) +R 𝑒))
4241breq2d 3907 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = 𝑒 → (𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎) ↔ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒)))
4340, 42anbi12d 462 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = 𝑒 → (((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)) ↔ ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))
4443imbi2d 229 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = 𝑒 → ((𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎))) ↔ (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒)))))
4544rexralbidv 2435 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑒 → (∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎))) ↔ ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒)))))
4638, 45imbi12d 233 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑒 → ((0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))) ↔ (0R <R 𝑒 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))))
4746rspcv 2756 . . . . . . . . . . 11 (𝑒R → (∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))) → (0R <R 𝑒 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))))
4847ad2antrl 479 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) → (∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))) → (0R <R 𝑒 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))))
4927, 37, 48mp2d 47 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))
50 breq1 3898 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = 𝑓 → (𝑐 <N 𝑑𝑓 <N 𝑑))
5150imbi1d 230 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝑓 → ((𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))) ↔ (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒)))))
5251ralbidv 2411 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑓 → (∀𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))) ↔ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒)))))
5352cbvrexv 2629 . . . . . . . . 9 (∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))) ↔ ∃𝑓N𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))
5449, 53sylib 121 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) → ∃𝑓N𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))
55 pitonn 7583 . . . . . . . . . . 11 (𝑓N → ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)})
5655, 1syl6eleqr 2208 . . . . . . . . . 10 (𝑓N → ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ ∈ 𝑁)
5756ad2antrl 479 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) → ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ ∈ 𝑁)
581nntopi 7629 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘𝑁 → ∃𝑔N ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)
5958adantl 273 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) → ∃𝑔N ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)
60 breq2 3899 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 = 𝑔 → (𝑓 <N 𝑑𝑓 <N 𝑔))
61 fveq2 5375 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 = 𝑔 → (𝐺𝑑) = (𝐺𝑔))
6261breq1d 3905 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 = 𝑔 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ↔ (𝐺𝑔) <R (𝑏 +R 𝑒)))
6361oveq1d 5743 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 = 𝑔 → ((𝐺𝑑) +R 𝑒) = ((𝐺𝑔) +R 𝑒))
6463breq2d 3907 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 = 𝑔 → (𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒) ↔ 𝑏 <R ((𝐺𝑔) +R 𝑒)))
6562, 64anbi12d 462 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 = 𝑔 → (((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒)) ↔ ((𝐺𝑔) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑔) +R 𝑒))))
6660, 65imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 = 𝑔 → ((𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))) ↔ (𝑓 <N 𝑔 → ((𝐺𝑔) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑔) +R 𝑒)))))
67 simplrr 508 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) → ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))
6867adantr 272 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))
69 simprl 503 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → 𝑔N)
7066, 68, 69rspcdva 2765 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → (𝑓 <N 𝑔 → ((𝐺𝑔) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑔) +R 𝑒))))
71 simplrl 507 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑓N)
7271adantr 272 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → 𝑓N)
73 ltrennb 7589 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓N𝑔N) → (𝑓 <N 𝑔 ↔ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ < ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩))
7472, 69, 73syl2anc 406 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → (𝑓 <N 𝑔 ↔ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ < ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩))
75 simprr 504 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)
7675breq2d 3907 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → (⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ < ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ ↔ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ < 𝑘))
7774, 76bitrd 187 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → (𝑓 <N 𝑔 ↔ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ < 𝑘))
78 ltresr 7574 . . . . . . . . . . . . . 14 (⟨(𝐺𝑔), 0R⟩ < ⟨(𝑏 +R 𝑒), 0R⟩ ↔ (𝐺𝑔) <R (𝑏 +R 𝑒))
79 simplll 505 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) → 𝜑)
8079ad4antr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → 𝜑)
811, 2, 3, 4axcaucvglemval 7632 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑔N) → (𝐹‘⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩) = ⟨(𝐺𝑔), 0R⟩)
8280, 69, 81syl2anc 406 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → (𝐹‘⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩) = ⟨(𝐺𝑔), 0R⟩)
8375fveq2d 5379 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → (𝐹‘⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩) = (𝐹𝑘))
8482, 83eqtr3d 2149 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → ⟨(𝐺𝑔), 0R⟩ = (𝐹𝑘))
85 simplrl 507 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑏R)
8685ad5antr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → 𝑏R)
87 simplrl 507 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) → 𝑒R)
8887ad2antrr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → 𝑒R)
89 addresr 7572 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑏R𝑒R) → (⟨𝑏, 0R⟩ + ⟨𝑒, 0R⟩) = ⟨(𝑏 +R 𝑒), 0R⟩)
9086, 88, 89syl2anc 406 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → (⟨𝑏, 0R⟩ + ⟨𝑒, 0R⟩) = ⟨(𝑏 +R 𝑒), 0R⟩)
9128oveq2d 5744 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) → (⟨𝑏, 0R⟩ + ⟨𝑒, 0R⟩) = (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥))
9291ad3antrrr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → (⟨𝑏, 0R⟩ + ⟨𝑒, 0R⟩) = (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥))
9390, 92eqtr3d 2149 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → ⟨(𝑏 +R 𝑒), 0R⟩ = (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥))
9484, 93breq12d 3908 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → (⟨(𝐺𝑔), 0R⟩ < ⟨(𝑏 +R 𝑒), 0R⟩ ↔ (𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥)))
9578, 94syl5bbr 193 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → ((𝐺𝑔) <R (𝑏 +R 𝑒) ↔ (𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥)))
96 ltresr 7574 . . . . . . . . . . . . . 14 (⟨𝑏, 0R⟩ < ⟨((𝐺𝑔) +R 𝑒), 0R⟩ ↔ 𝑏 <R ((𝐺𝑔) +R 𝑒))
9780, 5syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → 𝐺:NR)
9897, 69ffvelrnd 5510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → (𝐺𝑔) ∈ R)
99 addresr 7572 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐺𝑔) ∈ R𝑒R) → (⟨(𝐺𝑔), 0R⟩ + ⟨𝑒, 0R⟩) = ⟨((𝐺𝑔) +R 𝑒), 0R⟩)
10098, 88, 99syl2anc 406 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → (⟨(𝐺𝑔), 0R⟩ + ⟨𝑒, 0R⟩) = ⟨((𝐺𝑔) +R 𝑒), 0R⟩)
10128ad3antrrr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)
10284, 101oveq12d 5746 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → (⟨(𝐺𝑔), 0R⟩ + ⟨𝑒, 0R⟩) = ((𝐹𝑘) + 𝑥))
103100, 102eqtr3d 2149 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → ⟨((𝐺𝑔) +R 𝑒), 0R⟩ = ((𝐹𝑘) + 𝑥))
104103breq2d 3907 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → (⟨𝑏, 0R⟩ < ⟨((𝐺𝑔) +R 𝑒), 0R⟩ ↔ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))
10596, 104syl5bbr 193 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → (𝑏 <R ((𝐺𝑔) +R 𝑒) ↔ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))
10695, 105anbi12d 462 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → (((𝐺𝑔) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑔) +R 𝑒)) ↔ ((𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥))))
10770, 77, 1063imtr3d 201 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑔N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → (⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥))))
10859, 107rexlimddv 2528 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘𝑁) → (⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥))))
109108ralrimiva 2479 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) → ∀𝑘𝑁 (⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥))))
110 breq1 3898 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ → (𝑗 < 𝑘 ↔ ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ < 𝑘))
111110imbi1d 230 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ → ((𝑗 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) ↔ (⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))))
112111ralbidv 2411 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = ⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ → (∀𝑘𝑁 (𝑗 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) ↔ ∀𝑘𝑁 (⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))))
113112rspcev 2760 . . . . . . . . 9 ((⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑘𝑁 (⟨[⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))) → ∃𝑗𝑁𝑘𝑁 (𝑗 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥))))
11457, 109, 113syl2anc 406 . . . . . . . 8 ((((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓N ∧ ∀𝑑N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑒))))) → ∃𝑗𝑁𝑘𝑁 (𝑗 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥))))
11554, 114rexlimddv 2528 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑒R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) → ∃𝑗𝑁𝑘𝑁 (𝑗 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥))))
11625, 115rexlimddv 2528 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑥) → ∃𝑗𝑁𝑘𝑁 (𝑗 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥))))
117116ex 114 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 < 𝑥 → ∃𝑗𝑁𝑘𝑁 (𝑗 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))))
118117ralrimiva 2479 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑑N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑑) +R 𝑎)))))) → ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → ∃𝑗𝑁𝑘𝑁 (𝑗 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))))
11922, 118sylan2br 284 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑘N (𝑐 <N 𝑘 → ((𝐺𝑘) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑘) +R 𝑎)))))) → ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → ∃𝑗𝑁𝑘𝑁 (𝑗 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))))
120 oveq1 5735 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = ⟨𝑏, 0R⟩ → (𝑦 + 𝑥) = (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥))
121120breq2d 3907 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ⟨𝑏, 0R⟩ → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ↔ (𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥)))
122 breq1 3898 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ⟨𝑏, 0R⟩ → (𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥) ↔ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))
123121, 122anbi12d 462 . . . . . . . 8 (𝑦 = ⟨𝑏, 0R⟩ → (((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)) ↔ ((𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥))))
124123imbi2d 229 . . . . . . 7 (𝑦 = ⟨𝑏, 0R⟩ → ((𝑗 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) ↔ (𝑗 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))))
125124rexralbidv 2435 . . . . . 6 (𝑦 = ⟨𝑏, 0R⟩ → (∃𝑗𝑁𝑘𝑁 (𝑗 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) ↔ ∃𝑗𝑁𝑘𝑁 (𝑗 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))))
126125imbi2d 229 . . . . 5 (𝑦 = ⟨𝑏, 0R⟩ → ((0 < 𝑥 → ∃𝑗𝑁𝑘𝑁 (𝑗 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))) ↔ (0 < 𝑥 → ∃𝑗𝑁𝑘𝑁 (𝑗 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥))))))
127126ralbidv 2411 . . . 4 (𝑦 = ⟨𝑏, 0R⟩ → (∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → ∃𝑗𝑁𝑘𝑁 (𝑗 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → ∃𝑗𝑁𝑘𝑁 (𝑗 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥))))))
128127rspcev 2760 . . 3 ((⟨𝑏, 0R⟩ ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → ∃𝑗𝑁𝑘𝑁 (𝑗 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ < ((𝐹𝑘) + 𝑥))))) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → ∃𝑗𝑁𝑘𝑁 (𝑗 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))))
12910, 119, 128syl2anc 406 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑏R ∧ ∀𝑎R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐N𝑘N (𝑐 <N 𝑘 → ((𝐺𝑘) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺𝑘) +R 𝑎)))))) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → ∃𝑗𝑁𝑘𝑁 (𝑗 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))))
1307, 129rexlimddv 2528 1 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → ∃𝑗𝑁𝑘𝑁 (𝑗 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1314  wcel 1463  {cab 2101  wral 2390  wrex 2391  cop 3496   cint 3737   class class class wbr 3895  cmpt 3949  wf 5077  cfv 5081  crio 5683  (class class class)co 5728  1oc1o 6260  [cec 6381  Ncnpi 7028   <N clti 7031   ~Q ceq 7035   <Q cltq 7041  1Pc1p 7048   +P cpp 7049   ~R cer 7052  Rcnr 7053  0Rc0r 7054   +R cplr 7057   <R cltr 7059  cr 7546  0cc0 7547  1c1 7548   + caddc 7550   < cltrr 7551   · cmul 7552
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rmo 2398  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-tr 3987  df-eprel 4171  df-id 4175  df-po 4178  df-iso 4179  df-iord 4248  df-on 4250  df-suc 4253  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-recs 6156  df-irdg 6221  df-1o 6267  df-2o 6268  df-oadd 6271  df-omul 6272  df-er 6383  df-ec 6385  df-qs 6389  df-ni 7060  df-pli 7061  df-mi 7062  df-lti 7063  df-plpq 7100  df-mpq 7101  df-enq 7103  df-nqqs 7104  df-plqqs 7105  df-mqqs 7106  df-1nqqs 7107  df-rq 7108  df-ltnqqs 7109  df-enq0 7180  df-nq0 7181  df-0nq0 7182  df-plq0 7183  df-mq0 7184  df-inp 7222  df-i1p 7223  df-iplp 7224  df-imp 7225  df-iltp 7226  df-enr 7469  df-nr 7470  df-plr 7471  df-mr 7472  df-ltr 7473  df-0r 7474  df-1r 7475  df-m1r 7476  df-c 7553  df-0 7554  df-1 7555  df-r 7557  df-add 7558  df-mul 7559  df-lt 7560
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