Theorem axcaucvglemres 8266

Description: Lemma for axcaucvg 8267. Mapping the limit from N and R. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
axcaucvg.n	⊢ 𝑁 = ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
axcaucvg.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑁⟶ℝ)
axcaucvg.cau	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝑁 ∀𝑘 ∈ 𝑁 (𝑛 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) <ℝ ((𝐹‘𝑘) + (℩𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ∧ (𝐹‘𝑘) <ℝ ((𝐹‘𝑛) + (℩𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)))))
axcaucvg.g	⊢ 𝐺 = (𝑗 ∈ N ↦ (℩𝑧 ∈ R (𝐹‘⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝑗, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑗, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩) = ⟨𝑧, 0R⟩))

Assertion

Ref	Expression
axcaucvglemres	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 <ℝ 𝑥 → ∃𝑗 ∈ 𝑁 ∀𝑘 ∈ 𝑁 (𝑗 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑗,𝑛   𝑦,𝐹,𝑗,𝑘   𝑧,𝐹,𝑗   𝑘,𝐺,𝑥,𝑙,𝑢   𝑛,𝐺,𝑙,𝑢,𝑧   𝑘,𝑁,𝑗,𝑛   𝑦,𝑁,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥   𝑗,𝑙,𝑢,𝑦   𝜑,𝑗,𝑥   𝑘,𝑟,𝑙,𝑛,𝑢   𝑧,𝑙,𝑢   𝜑,𝑛   𝑥,𝑦   𝑗,𝑛,𝑧,𝑘   𝑥,𝑙,𝑢

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦, 𝑧, 𝑢, 𝑟, 𝑙)   𝐹(𝑥, 𝑢, 𝑟, 𝑙)   𝐺(𝑦, 𝑗, 𝑟)   𝑁(𝑧, 𝑢, 𝑟, 𝑙)

Proof of Theorem axcaucvglemres

Dummy variables 𝑏 𝑒 𝑓 𝑔 𝑎 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axcaucvg.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
2		axcaucvg.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑁⟶ℝ)
3		axcaucvg.cau	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝑁 ∀𝑘 ∈ 𝑁 (𝑛 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) <ℝ ((𝐹‘𝑘) + (℩𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ∧ (𝐹‘𝑘) <ℝ ((𝐹‘𝑛) + (℩𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)))))
4		axcaucvg.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑗 ∈ N ↦ (℩𝑧 ∈ R (𝐹‘⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝑗, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑗, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩) = ⟨𝑧, 0R⟩))
5	1, 2, 3, 4	axcaucvglemf 8263	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:N⟶R)
6	1, 2, 3, 4	axcaucvglemcau 8265	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑛 <N 𝑘 → ((𝐺‘𝑛) <R ((𝐺‘𝑘) +R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∧ (𝐺‘𝑘) <R ((𝐺‘𝑛) +R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ))))
7	5, 6	caucvgsr 8169	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ R ∀𝑎 ∈ R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑐 <N 𝑘 → ((𝐺‘𝑘) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑘) +R 𝑎)))))
8		opelreal 8194	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑏, 0R⟩ ∈ ℝ ↔ 𝑏 ∈ R)
9	8	biimpri 133	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ R → ⟨𝑏, 0R⟩ ∈ ℝ)
10	9	ad2antrl 494	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ R ∧ ∀𝑎 ∈ R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑐 <N 𝑘 → ((𝐺‘𝑘) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑘) +R 𝑎)))))) → ⟨𝑏, 0R⟩ ∈ ℝ)
11		breq2 4134	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = 𝑘 → (𝑐 <N 𝑑 ↔ 𝑐 <N 𝑘))
12		fveq2 5695	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 = 𝑘 → (𝐺‘𝑑) = (𝐺‘𝑘))
13	12	breq1d 4140	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = 𝑘 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ↔ (𝐺‘𝑘) <R (𝑏 +R 𝑎)))
14	12	oveq1d 6100	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 = 𝑘 → ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎) = ((𝐺‘𝑘) +R 𝑎))
15	14	breq2d 4142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = 𝑘 → (𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎) ↔ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑘) +R 𝑎)))
16	13, 15	anbi12d 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = 𝑘 → (((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎)) ↔ ((𝐺‘𝑘) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑘) +R 𝑎))))
17	11, 16	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = 𝑘 → ((𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎))) ↔ (𝑐 <N 𝑘 → ((𝐺‘𝑘) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑘) +R 𝑎)))))
18	17	cbvralv 2786	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎))) ↔ ∀𝑘 ∈ N (𝑐 <N 𝑘 → ((𝐺‘𝑘) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑘) +R 𝑎))))
19	18	rexbii 2557	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎))) ↔ ∃𝑐 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑐 <N 𝑘 → ((𝐺‘𝑘) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑘) +R 𝑎))))
20	19	imbi2i 226	. . . . . 6 ⊢ ((0R <R 𝑎 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎)))) ↔ (0R <R 𝑎 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑐 <N 𝑘 → ((𝐺‘𝑘) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑘) +R 𝑎)))))
21	20	ralbii 2556	. . . . 5 ⊢ (∀𝑎 ∈ R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎)))) ↔ ∀𝑎 ∈ R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑐 <N 𝑘 → ((𝐺‘𝑘) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑘) +R 𝑎)))))
22	21	anbi2i 461	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ R ∧ ∀𝑎 ∈ R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎))))) ↔ (𝑏 ∈ R ∧ ∀𝑎 ∈ R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑐 <N 𝑘 → ((𝐺‘𝑘) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑘) +R 𝑎))))))
23		elreal 8195	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↔ ∃𝑒 ∈ R ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)
24	23	biimpi 120	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑒 ∈ R ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)
25	24	ad2antlr 493	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ R ∧ ∀𝑎 ∈ R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 <ℝ 𝑥) → ∃𝑒 ∈ R ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)
26		simplrr 542	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ R ∧ ∀𝑎 ∈ R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∀𝑎 ∈ R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎)))))
27	26	ad2antrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ R ∧ ∀𝑎 ∈ R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 <ℝ 𝑥) ∧ (𝑒 ∈ R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) → ∀𝑎 ∈ R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎)))))
28		simprr 537	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ R ∧ ∀𝑎 ∈ R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 <ℝ 𝑥) ∧ (𝑒 ∈ R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) → ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)
29		simplr 533	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ R ∧ ∀𝑎 ∈ R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 <ℝ 𝑥) ∧ (𝑒 ∈ R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) → 0 <ℝ 𝑥)
30		breq2 4134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥 → (0 <ℝ ⟨𝑒, 0R⟩ ↔ 0 <ℝ 𝑥))
31		df-0 8186	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 = ⟨0R, 0R⟩
32	31	breq1i 4137	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 <ℝ ⟨𝑒, 0R⟩ ↔ ⟨0R, 0R⟩ <ℝ ⟨𝑒, 0R⟩)
33		ltresr 8206	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⟨0R, 0R⟩ <ℝ ⟨𝑒, 0R⟩ ↔ 0R <R 𝑒)
34	32, 33	bitri 184	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 <ℝ ⟨𝑒, 0R⟩ ↔ 0R <R 𝑒)
35	30, 34	bitr3di 195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥 → (0 <ℝ 𝑥 ↔ 0R <R 𝑒))
36	35	biimpa 296	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥 ∧ 0 <ℝ 𝑥) → 0R <R 𝑒)
37	28, 29, 36	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ R ∧ ∀𝑎 ∈ R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 <ℝ 𝑥) ∧ (𝑒 ∈ R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) → 0R <R 𝑒)
38		breq2 4134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑒 → (0R <R 𝑎 ↔ 0R <R 𝑒))
39		oveq2 6093	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = 𝑒 → (𝑏 +R 𝑎) = (𝑏 +R 𝑒))
40	39	breq2d 4142	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = 𝑒 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ↔ (𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒)))
41		oveq2 6093	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = 𝑒 → ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎) = ((𝐺‘𝑑) +R 𝑒))
42	41	breq2d 4142	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = 𝑒 → (𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎) ↔ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑒)))
43	40, 42	anbi12d 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = 𝑒 → (((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎)) ↔ ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑒))))
44	43	imbi2d 230	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 𝑒 → ((𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎))) ↔ (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑒)))))
45	44	rexralbidv 2576	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑒 → (∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎))) ↔ ∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑒)))))
46	38, 45	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑒 → ((0R <R 𝑎 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎)))) ↔ (0R <R 𝑒 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑒))))))
47	46	rspcv 2925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ R → (∀𝑎 ∈ R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎)))) → (0R <R 𝑒 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑒))))))
48	47	ad2antrl 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ R ∧ ∀𝑎 ∈ R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 <ℝ 𝑥) ∧ (𝑒 ∈ R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) → (∀𝑎 ∈ R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎)))) → (0R <R 𝑒 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑒))))))
49	27, 37, 48	mp2d 47	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ R ∧ ∀𝑎 ∈ R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 <ℝ 𝑥) ∧ (𝑒 ∈ R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑒))))
50		breq1 4133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝑓 → (𝑐 <N 𝑑 ↔ 𝑓 <N 𝑑))
51	50	imbi1d 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 𝑓 → ((𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑒))) ↔ (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑒)))))
52	51	ralbidv 2550	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑓 → (∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑒))) ↔ ∀𝑑 ∈ N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑒)))))
53	52	cbvrexv 2787	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑒))) ↔ ∃𝑓 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑒))))
54	49, 53	sylib 122	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ R ∧ ∀𝑎 ∈ R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 <ℝ 𝑥) ∧ (𝑒 ∈ R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) → ∃𝑓 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑒))))
55		pitonn 8215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ N → ⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ ∈ ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)})
56	55, 1	eleqtrrdi 2332	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ N → ⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ ∈ 𝑁)
57	56	ad2antrl 494	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ R ∧ ∀𝑎 ∈ R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 <ℝ 𝑥) ∧ (𝑒 ∈ R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓 ∈ N ∧ ∀𝑑 ∈ N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑒))))) → ⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ ∈ 𝑁)
58	1	nntopi 8261	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑁 → ∃𝑔 ∈ N ⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)
59	58	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ R ∧ ∀𝑎 ∈ R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 <ℝ 𝑥) ∧ (𝑒 ∈ R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓 ∈ N ∧ ∀𝑑 ∈ N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → ∃𝑔 ∈ N ⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)
60		breq2 4134	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑑 = 𝑔 → (𝑓 <N 𝑑 ↔ 𝑓 <N 𝑔))
61		fveq2 5695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑑 = 𝑔 → (𝐺‘𝑑) = (𝐺‘𝑔))
62	61	breq1d 4140	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑑 = 𝑔 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ↔ (𝐺‘𝑔) <R (𝑏 +R 𝑒)))
63	61	oveq1d 6100	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑑 = 𝑔 → ((𝐺‘𝑑) +R 𝑒) = ((𝐺‘𝑔) +R 𝑒))
64	63	breq2d 4142	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑑 = 𝑔 → (𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑒) ↔ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑔) +R 𝑒)))
65	62, 64	anbi12d 477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑑 = 𝑔 → (((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑒)) ↔ ((𝐺‘𝑔) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑔) +R 𝑒))))
66	60, 65	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑑 = 𝑔 → ((𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑒))) ↔ (𝑓 <N 𝑔 → ((𝐺‘𝑔) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑔) +R 𝑒)))))
67		simplrr 542	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ R ∧ ∀𝑎 ∈ R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 <ℝ 𝑥) ∧ (𝑒 ∈ R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓 ∈ N ∧ ∀𝑑 ∈ N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → ∀𝑑 ∈ N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑒))))
68	67	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ R ∧ ∀𝑎 ∈ R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 <ℝ 𝑥) ∧ (𝑒 ∈ R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓 ∈ N ∧ ∀𝑑 ∈ N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ (𝑔 ∈ N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → ∀𝑑 ∈ N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑒))))
69		simprl 535	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ R ∧ ∀𝑎 ∈ R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 <ℝ 𝑥) ∧ (𝑒 ∈ R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓 ∈ N ∧ ∀𝑑 ∈ N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ (𝑔 ∈ N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → 𝑔 ∈ N)
70	66, 68, 69	rspcdva 2934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ R ∧ ∀𝑎 ∈ R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 <ℝ 𝑥) ∧ (𝑒 ∈ R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓 ∈ N ∧ ∀𝑑 ∈ N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ (𝑔 ∈ N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → (𝑓 <N 𝑔 → ((𝐺‘𝑔) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑔) +R 𝑒))))
71		simplrl 541	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ R ∧ ∀𝑎 ∈ R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 <ℝ 𝑥) ∧ (𝑒 ∈ R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓 ∈ N ∧ ∀𝑑 ∈ N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑓 ∈ N)
72	71	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ R ∧ ∀𝑎 ∈ R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 <ℝ 𝑥) ∧ (𝑒 ∈ R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓 ∈ N ∧ ∀𝑑 ∈ N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ (𝑔 ∈ N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → 𝑓 ∈ N)
73		ltrennb 8221	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓 ∈ N ∧ 𝑔 ∈ N) → (𝑓 <N 𝑔 ↔ ⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ <ℝ ⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩))
74	72, 69, 73	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ R ∧ ∀𝑎 ∈ R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 <ℝ 𝑥) ∧ (𝑒 ∈ R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓 ∈ N ∧ ∀𝑑 ∈ N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ (𝑔 ∈ N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → (𝑓 <N 𝑔 ↔ ⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ <ℝ ⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩))
75		simprr 537	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ R ∧ ∀𝑎 ∈ R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 <ℝ 𝑥) ∧ (𝑒 ∈ R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓 ∈ N ∧ ∀𝑑 ∈ N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ (𝑔 ∈ N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → ⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)
76	75	breq2d 4142	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ R ∧ ∀𝑎 ∈ R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 <ℝ 𝑥) ∧ (𝑒 ∈ R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓 ∈ N ∧ ∀𝑑 ∈ N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ (𝑔 ∈ N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → (⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ <ℝ ⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ ↔ ⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ <ℝ 𝑘))
77	74, 76	bitrd 188	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ R ∧ ∀𝑎 ∈ R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 <ℝ 𝑥) ∧ (𝑒 ∈ R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓 ∈ N ∧ ∀𝑑 ∈ N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ (𝑔 ∈ N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → (𝑓 <N 𝑔 ↔ ⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ <ℝ 𝑘))
78		ltresr 8206	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⟨(𝐺‘𝑔), 0R⟩ <ℝ ⟨(𝑏 +R 𝑒), 0R⟩ ↔ (𝐺‘𝑔) <R (𝑏 +R 𝑒))
79		simplll 539	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ R ∧ ∀𝑎 ∈ R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 <ℝ 𝑥) → 𝜑)
80	79	ad4antr 498	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ R ∧ ∀𝑎 ∈ R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 <ℝ 𝑥) ∧ (𝑒 ∈ R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓 ∈ N ∧ ∀𝑑 ∈ N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ (𝑔 ∈ N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → 𝜑)
81	1, 2, 3, 4	axcaucvglemval 8264	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ N) → (𝐹‘⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩) = ⟨(𝐺‘𝑔), 0R⟩)
82	80, 69, 81	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ R ∧ ∀𝑎 ∈ R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 <ℝ 𝑥) ∧ (𝑒 ∈ R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓 ∈ N ∧ ∀𝑑 ∈ N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ (𝑔 ∈ N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → (𝐹‘⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩) = ⟨(𝐺‘𝑔), 0R⟩)
83	75	fveq2d 5699	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ R ∧ ∀𝑎 ∈ R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 <ℝ 𝑥) ∧ (𝑒 ∈ R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓 ∈ N ∧ ∀𝑑 ∈ N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ (𝑔 ∈ N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → (𝐹‘⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩) = (𝐹‘𝑘))
84	82, 83	eqtr3d 2273	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ R ∧ ∀𝑎 ∈ R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 <ℝ 𝑥) ∧ (𝑒 ∈ R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓 ∈ N ∧ ∀𝑑 ∈ N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ (𝑔 ∈ N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → ⟨(𝐺‘𝑔), 0R⟩ = (𝐹‘𝑘))
85		simplrl 541	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ R ∧ ∀𝑎 ∈ R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑏 ∈ R)
86	85	ad5antr 500	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ R ∧ ∀𝑎 ∈ R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 <ℝ 𝑥) ∧ (𝑒 ∈ R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓 ∈ N ∧ ∀𝑑 ∈ N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ (𝑔 ∈ N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → 𝑏 ∈ R)
87		simplrl 541	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ R ∧ ∀𝑎 ∈ R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 <ℝ 𝑥) ∧ (𝑒 ∈ R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓 ∈ N ∧ ∀𝑑 ∈ N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑒))))) → 𝑒 ∈ R)
88	87	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ R ∧ ∀𝑎 ∈ R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 <ℝ 𝑥) ∧ (𝑒 ∈ R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓 ∈ N ∧ ∀𝑑 ∈ N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ (𝑔 ∈ N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → 𝑒 ∈ R)
89		addresr 8204	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑏 ∈ R ∧ 𝑒 ∈ R) → (⟨𝑏, 0R⟩ + ⟨𝑒, 0R⟩) = ⟨(𝑏 +R 𝑒), 0R⟩)
90	86, 88, 89	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ R ∧ ∀𝑎 ∈ R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 <ℝ 𝑥) ∧ (𝑒 ∈ R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓 ∈ N ∧ ∀𝑑 ∈ N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ (𝑔 ∈ N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → (⟨𝑏, 0R⟩ + ⟨𝑒, 0R⟩) = ⟨(𝑏 +R 𝑒), 0R⟩)
91	28	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ R ∧ ∀𝑎 ∈ R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 <ℝ 𝑥) ∧ (𝑒 ∈ R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) → (⟨𝑏, 0R⟩ + ⟨𝑒, 0R⟩) = (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥))
92	91	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ R ∧ ∀𝑎 ∈ R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 <ℝ 𝑥) ∧ (𝑒 ∈ R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓 ∈ N ∧ ∀𝑑 ∈ N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ (𝑔 ∈ N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → (⟨𝑏, 0R⟩ + ⟨𝑒, 0R⟩) = (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥))
93	90, 92	eqtr3d 2273	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ R ∧ ∀𝑎 ∈ R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 <ℝ 𝑥) ∧ (𝑒 ∈ R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓 ∈ N ∧ ∀𝑑 ∈ N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ (𝑔 ∈ N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → ⟨(𝑏 +R 𝑒), 0R⟩ = (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥))
94	84, 93	breq12d 4143	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ R ∧ ∀𝑎 ∈ R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 <ℝ 𝑥) ∧ (𝑒 ∈ R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓 ∈ N ∧ ∀𝑑 ∈ N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ (𝑔 ∈ N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → (⟨(𝐺‘𝑔), 0R⟩ <ℝ ⟨(𝑏 +R 𝑒), 0R⟩ ↔ (𝐹‘𝑘) <ℝ (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥)))
95	78, 94	bitr3id 194	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ R ∧ ∀𝑎 ∈ R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 <ℝ 𝑥) ∧ (𝑒 ∈ R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓 ∈ N ∧ ∀𝑑 ∈ N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ (𝑔 ∈ N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → ((𝐺‘𝑔) <R (𝑏 +R 𝑒) ↔ (𝐹‘𝑘) <ℝ (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥)))
96		ltresr 8206	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⟨𝑏, 0R⟩ <ℝ ⟨((𝐺‘𝑔) +R 𝑒), 0R⟩ ↔ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑔) +R 𝑒))
97	80, 5	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ R ∧ ∀𝑎 ∈ R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 <ℝ 𝑥) ∧ (𝑒 ∈ R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓 ∈ N ∧ ∀𝑑 ∈ N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ (𝑔 ∈ N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → 𝐺:N⟶R)
98	97, 69	ffvelcdmd 5844	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ R ∧ ∀𝑎 ∈ R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 <ℝ 𝑥) ∧ (𝑒 ∈ R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓 ∈ N ∧ ∀𝑑 ∈ N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ (𝑔 ∈ N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → (𝐺‘𝑔) ∈ R)
99		addresr 8204	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐺‘𝑔) ∈ R ∧ 𝑒 ∈ R) → (⟨(𝐺‘𝑔), 0R⟩ + ⟨𝑒, 0R⟩) = ⟨((𝐺‘𝑔) +R 𝑒), 0R⟩)
100	98, 88, 99	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ R ∧ ∀𝑎 ∈ R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 <ℝ 𝑥) ∧ (𝑒 ∈ R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓 ∈ N ∧ ∀𝑑 ∈ N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ (𝑔 ∈ N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → (⟨(𝐺‘𝑔), 0R⟩ + ⟨𝑒, 0R⟩) = ⟨((𝐺‘𝑔) +R 𝑒), 0R⟩)
101	28	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ R ∧ ∀𝑎 ∈ R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 <ℝ 𝑥) ∧ (𝑒 ∈ R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓 ∈ N ∧ ∀𝑑 ∈ N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ (𝑔 ∈ N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)
102	84, 101	oveq12d 6103	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ R ∧ ∀𝑎 ∈ R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 <ℝ 𝑥) ∧ (𝑒 ∈ R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓 ∈ N ∧ ∀𝑑 ∈ N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ (𝑔 ∈ N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → (⟨(𝐺‘𝑔), 0R⟩ + ⟨𝑒, 0R⟩) = ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))
103	100, 102	eqtr3d 2273	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ R ∧ ∀𝑎 ∈ R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 <ℝ 𝑥) ∧ (𝑒 ∈ R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓 ∈ N ∧ ∀𝑑 ∈ N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ (𝑔 ∈ N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → ⟨((𝐺‘𝑔) +R 𝑒), 0R⟩ = ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))
104	103	breq2d 4142	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ R ∧ ∀𝑎 ∈ R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 <ℝ 𝑥) ∧ (𝑒 ∈ R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓 ∈ N ∧ ∀𝑑 ∈ N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ (𝑔 ∈ N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → (⟨𝑏, 0R⟩ <ℝ ⟨((𝐺‘𝑔) +R 𝑒), 0R⟩ ↔ ⟨𝑏, 0R⟩ <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))
105	96, 104	bitr3id 194	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ R ∧ ∀𝑎 ∈ R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 <ℝ 𝑥) ∧ (𝑒 ∈ R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓 ∈ N ∧ ∀𝑑 ∈ N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ (𝑔 ∈ N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → (𝑏 <R ((𝐺‘𝑔) +R 𝑒) ↔ ⟨𝑏, 0R⟩ <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))
106	95, 105	anbi12d 477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ R ∧ ∀𝑎 ∈ R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 <ℝ 𝑥) ∧ (𝑒 ∈ R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓 ∈ N ∧ ∀𝑑 ∈ N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ (𝑔 ∈ N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → (((𝐺‘𝑔) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑔) +R 𝑒)) ↔ ((𝐹‘𝑘) <ℝ (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))
107	70, 77, 106	3imtr3d 202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ R ∧ ∀𝑎 ∈ R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 <ℝ 𝑥) ∧ (𝑒 ∈ R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓 ∈ N ∧ ∀𝑑 ∈ N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ (𝑔 ∈ N ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑔, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ = 𝑘)) → (⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))
108	59, 107	rexlimddv 2673	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ R ∧ ∀𝑎 ∈ R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 <ℝ 𝑥) ∧ (𝑒 ∈ R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓 ∈ N ∧ ∀𝑑 ∈ N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑒))))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))
109	108	ralrimiva 2623	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ R ∧ ∀𝑎 ∈ R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 <ℝ 𝑥) ∧ (𝑒 ∈ R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓 ∈ N ∧ ∀𝑑 ∈ N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑒))))) → ∀𝑘 ∈ 𝑁 (⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))
110		breq1 4133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = ⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ → (𝑗 <ℝ 𝑘 ↔ ⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ <ℝ 𝑘))
111	110	imbi1d 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = ⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ → ((𝑗 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) ↔ (⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))))
112	111	ralbidv 2550	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = ⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ → (∀𝑘 ∈ 𝑁 (𝑗 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑁 (⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))))
113	112	rspcev 2929	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑁 (⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑓, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))) → ∃𝑗 ∈ 𝑁 ∀𝑘 ∈ 𝑁 (𝑗 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))
114	57, 109, 113	syl2anc 415	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ R ∧ ∀𝑎 ∈ R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 <ℝ 𝑥) ∧ (𝑒 ∈ R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) ∧ (𝑓 ∈ N ∧ ∀𝑑 ∈ N (𝑓 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑒) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑒))))) → ∃𝑗 ∈ 𝑁 ∀𝑘 ∈ 𝑁 (𝑗 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))
115	54, 114	rexlimddv 2673	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ R ∧ ∀𝑎 ∈ R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 <ℝ 𝑥) ∧ (𝑒 ∈ R ∧ ⟨𝑒, 0R⟩ = 𝑥)) → ∃𝑗 ∈ 𝑁 ∀𝑘 ∈ 𝑁 (𝑗 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))
116	25, 115	rexlimddv 2673	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ R ∧ ∀𝑎 ∈ R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 0 <ℝ 𝑥) → ∃𝑗 ∈ 𝑁 ∀𝑘 ∈ 𝑁 (𝑗 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))
117	116	ex 115	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ R ∧ ∀𝑎 ∈ R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎)))))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 <ℝ 𝑥 → ∃𝑗 ∈ 𝑁 ∀𝑘 ∈ 𝑁 (𝑗 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))))
118	117	ralrimiva 2623	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ R ∧ ∀𝑎 ∈ R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑑 ∈ N (𝑐 <N 𝑑 → ((𝐺‘𝑑) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑑) +R 𝑎)))))) → ∀𝑥 ∈ ℝ (0 <ℝ 𝑥 → ∃𝑗 ∈ 𝑁 ∀𝑘 ∈ 𝑁 (𝑗 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))))
119	22, 118	sylan2br 288	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ R ∧ ∀𝑎 ∈ R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑐 <N 𝑘 → ((𝐺‘𝑘) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑘) +R 𝑎)))))) → ∀𝑥 ∈ ℝ (0 <ℝ 𝑥 → ∃𝑗 ∈ 𝑁 ∀𝑘 ∈ 𝑁 (𝑗 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))))
120		oveq1 6092	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = ⟨𝑏, 0R⟩ → (𝑦 + 𝑥) = (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥))
121	120	breq2d 4142	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = ⟨𝑏, 0R⟩ → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥) ↔ (𝐹‘𝑘) <ℝ (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥)))
122		breq1 4133	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = ⟨𝑏, 0R⟩ → (𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥) ↔ ⟨𝑏, 0R⟩ <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))
123	121, 122	anbi12d 477	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = ⟨𝑏, 0R⟩ → (((𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ↔ ((𝐹‘𝑘) <ℝ (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))
124	123	imbi2d 230	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = ⟨𝑏, 0R⟩ → ((𝑗 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) ↔ (𝑗 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))))
125	124	rexralbidv 2576	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = ⟨𝑏, 0R⟩ → (∃𝑗 ∈ 𝑁 ∀𝑘 ∈ 𝑁 (𝑗 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑁 ∀𝑘 ∈ 𝑁 (𝑗 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))))
126	125	imbi2d 230	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ⟨𝑏, 0R⟩ → ((0 <ℝ 𝑥 → ∃𝑗 ∈ 𝑁 ∀𝑘 ∈ 𝑁 (𝑗 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))) ↔ (0 <ℝ 𝑥 → ∃𝑗 ∈ 𝑁 ∀𝑘 ∈ 𝑁 (𝑗 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))))
127	126	ralbidv 2550	. . . 4 ⊢ (𝑦 = ⟨𝑏, 0R⟩ → (∀𝑥 ∈ ℝ (0 <ℝ 𝑥 → ∃𝑗 ∈ 𝑁 ∀𝑘 ∈ 𝑁 (𝑗 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 <ℝ 𝑥 → ∃𝑗 ∈ 𝑁 ∀𝑘 ∈ 𝑁 (𝑗 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))))
128	127	rspcev 2929	. . 3 ⊢ ((⟨𝑏, 0R⟩ ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 <ℝ 𝑥 → ∃𝑗 ∈ 𝑁 ∀𝑘 ∈ 𝑁 (𝑗 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (⟨𝑏, 0R⟩ + 𝑥) ∧ ⟨𝑏, 0R⟩ <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 <ℝ 𝑥 → ∃𝑗 ∈ 𝑁 ∀𝑘 ∈ 𝑁 (𝑗 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))))
129	10, 119, 128	syl2anc 415	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ R ∧ ∀𝑎 ∈ R (0R <R 𝑎 → ∃𝑐 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑐 <N 𝑘 → ((𝐺‘𝑘) <R (𝑏 +R 𝑎) ∧ 𝑏 <R ((𝐺‘𝑘) +R 𝑎)))))) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 <ℝ 𝑥 → ∃𝑗 ∈ 𝑁 ∀𝑘 ∈ 𝑁 (𝑗 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))))
130	7, 129	rexlimddv 2673	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 <ℝ 𝑥 → ∃𝑗 ∈ 𝑁 ∀𝑘 ∈ 𝑁 (𝑗 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {cab 2224  ∀wral 2528  ∃wrex 2529  ⟨cop 3712  ∩ cint 3970   class class class wbr 4130   ↦ cmpt 4192  ⟶wf 5373  ‘cfv 5377  ℩crio 6037  (class class class)co 6085  1_oc1o 6680  [cec 6805  Ncnpi 7639   <_N clti 7642   ~_Q ceq 7646   <_Q cltq 7652  1_Pc1p 7659   +_P cpp 7660   ~_R cer 7663  Rcnr 7664  0_Rc0r 7665   +_R cplr 7668   <_R cltr 7670  ℝcr 8178  0cc0 8179  1c1 8180   + caddc 8182   <_ℝ cltrr 8183   · cmul 8184

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-eprel 4434  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-omul 6692  df-er 6807  df-ec 6809  df-qs 6813  df-ni 7671  df-pli 7672  df-mi 7673  df-lti 7674  df-plpq 7711  df-mpq 7712  df-enq 7714  df-nqqs 7715  df-plqqs 7716  df-mqqs 7717  df-1nqqs 7718  df-rq 7719  df-ltnqqs 7720  df-enq0 7791  df-nq0 7792  df-0nq0 7793  df-plq0 7794  df-mq0 7795  df-inp 7833  df-i1p 7834  df-iplp 7835  df-imp 7836  df-iltp 7837  df-enr 8093  df-nr 8094  df-plr 8095  df-mr 8096  df-ltr 8097  df-0r 8098  df-1r 8099  df-m1r 8100  df-c 8185  df-0 8186  df-1 8187  df-r 8189  df-add 8190  df-mul 8191  df-lt 8192

This theorem is used by:  axcaucvg  8267