ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrexlemglsq GIF version

Theorem resqrexlemglsq 11034
Description: Lemma for resqrex 11038. The sequence formed by squaring each term of 𝐹 converges to (𝐿↑2). (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
resqrexlemgt0.rr (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
resqrexlemgt0.lim (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)))
resqrexlemsqa.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑥)↑2))
Assertion
Ref Expression
resqrexlemglsq (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺𝑘) < ((𝐿↑2) + 𝑒) ∧ (𝐿↑2) < ((𝐺𝑘) + 𝑒)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝑒,𝐹,𝑗,𝑘,𝑖,𝑦,𝑧   𝑥,𝐹,𝑘   𝑒,𝐿,𝑗,𝑘,𝑖,𝑦,𝑧   𝜑,𝑒,𝑖,𝑗,𝑘,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥,𝑒,𝑖,𝑗,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑒,𝑖,𝑗,𝑘)   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem resqrexlemglsq
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5886 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) → (𝐿 + 𝑓) = (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))
21breq2d 4017 . . . . . 6 (𝑓 = (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) → ((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑓) ↔ (𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)))))
3 oveq2 5886 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) → ((𝐹𝑘) + 𝑓) = ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))
43breq2d 4017 . . . . . 6 (𝑓 = (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) → (𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑓) ↔ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)))))
52, 4anbi12d 473 . . . . 5 (𝑓 = (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) → (((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑓) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑓)) ↔ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))))
65rexralbidv 2503 . . . 4 (𝑓 = (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑓) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑓)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))))
7 resqrexlemgt0.lim . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)))
8 fveq2 5517 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑘 → (𝐹𝑖) = (𝐹𝑘))
98breq1d 4015 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑘 → ((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ↔ (𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑒)))
108oveq1d 5893 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑘 → ((𝐹𝑖) + 𝑒) = ((𝐹𝑘) + 𝑒))
1110breq2d 4017 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑘 → (𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒) ↔ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)))
129, 11anbi12d 473 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑘 → (((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)) ↔ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑒))))
1312cbvralv 2705 . . . . . . . . 9 (∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)))
1413rexbii 2484 . . . . . . . 8 (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)))
1514ralbii 2483 . . . . . . 7 (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)))
167, 15sylib 122 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)))
17 oveq2 5886 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 𝑓 → (𝐿 + 𝑒) = (𝐿 + 𝑓))
1817breq2d 4017 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑓 → ((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑒) ↔ (𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑓)))
19 oveq2 5886 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 𝑓 → ((𝐹𝑘) + 𝑒) = ((𝐹𝑘) + 𝑓))
2019breq2d 4017 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑓 → (𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑒) ↔ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑓)))
2118, 20anbi12d 473 . . . . . . . 8 (𝑒 = 𝑓 → (((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)) ↔ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑓) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑓))))
2221rexralbidv 2503 . . . . . . 7 (𝑒 = 𝑓 → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑓) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑓))))
2322cbvralv 2705 . . . . . 6 (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)) ↔ ∀𝑓 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑓) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑓)))
2416, 23sylib 122 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑓) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑓)))
2524adantr 276 . . . 4 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑓 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑓) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑓)))
26 simpr 110 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ ℝ+)
27 resqrexlemex.seq . . . . . . . . . . 11 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
28 resqrexlemex.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
29 resqrexlemex.agt0 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3027, 28, 29resqrexlemf 11019 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ+)
3130adantr 276 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)
32 1nn 8933 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℕ
3332a1i 9 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℕ)
3431, 33ffvelcdmd 5655 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (𝐹‘1) ∈ ℝ+)
3534rpred 9699 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (𝐹‘1) ∈ ℝ)
36 resqrexlemgt0.rr . . . . . . . 8 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
3736adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 𝐿 ∈ ℝ)
3835, 37readdcld 7990 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ((𝐹‘1) + 𝐿) ∈ ℝ)
3934rpgt0d 9702 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 0 < (𝐹‘1))
4027, 28, 29, 36, 7resqrexlemgt0 11032 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ 𝐿)
4140adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝐿)
42 addgtge0 8410 . . . . . . 7 ((((𝐹‘1) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ (0 < (𝐹‘1) ∧ 0 ≤ 𝐿)) → 0 < ((𝐹‘1) + 𝐿))
4335, 37, 39, 41, 42syl22anc 1239 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 0 < ((𝐹‘1) + 𝐿))
4438, 43elrpd 9696 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ((𝐹‘1) + 𝐿) ∈ ℝ+)
4526, 44rpdivcld 9717 . . . 4 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) ∈ ℝ+)
466, 25, 45rspcdva 2848 . . 3 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)))))
47 simpllr 534 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝑗 ∈ ℕ)
48 simplr 528 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))
49 eluznn 9603 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
5047, 48, 49syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝑘 ∈ ℕ)
5131ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)
5251, 50ffvelcdmd 5655 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
53 2z 9284 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
5453a1i 9 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 2 ∈ ℤ)
5552, 54rpexpcld 10681 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐹𝑘)↑2) ∈ ℝ+)
56 fveq2 5517 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑘 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑘))
5756oveq1d 5893 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑘 → ((𝐹𝑥)↑2) = ((𝐹𝑘)↑2))
58 resqrexlemsqa.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑥)↑2))
5957, 58fvmptg 5595 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ ((𝐹𝑘)↑2) ∈ ℝ+) → (𝐺𝑘) = ((𝐹𝑘)↑2))
6050, 55, 59syl2anc 411 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐺𝑘) = ((𝐹𝑘)↑2))
6152rpred 9699 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
6261recnd 7989 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
6337ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝐿 ∈ ℝ)
6463recnd 7989 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝐿 ∈ ℂ)
65 subsq 10630 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → (((𝐹𝑘)↑2) − (𝐿↑2)) = (((𝐹𝑘) + 𝐿) · ((𝐹𝑘) − 𝐿)))
6662, 64, 65syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (((𝐹𝑘)↑2) − (𝐿↑2)) = (((𝐹𝑘) + 𝐿) · ((𝐹𝑘) − 𝐿)))
6761, 63readdcld 7990 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐹𝑘) + 𝐿) ∈ ℝ)
6861, 63resubcld 8341 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐹𝑘) − 𝐿) ∈ ℝ)
6967, 68remulcld 7991 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (((𝐹𝑘) + 𝐿) · ((𝐹𝑘) − 𝐿)) ∈ ℝ)
7038ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐹‘1) + 𝐿) ∈ ℝ)
7170, 68remulcld 7991 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (((𝐹‘1) + 𝐿) · ((𝐹𝑘) − 𝐿)) ∈ ℝ)
7226ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝑒 ∈ ℝ+)
7372rpred 9699 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝑒 ∈ ℝ)
7428ad4antr 494 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝐴 ∈ ℝ)
7529ad4antr 494 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 0 ≤ 𝐴)
767ad4antr 494 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)))
7727, 74, 75, 63, 76, 50resqrexlemoverl 11033 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝐿 ≤ (𝐹𝑘))
7861, 63subge0d 8495 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (0 ≤ ((𝐹𝑘) − 𝐿) ↔ 𝐿 ≤ (𝐹𝑘)))
7977, 78mpbird 167 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 0 ≤ ((𝐹𝑘) − 𝐿))
80 fveq2 5517 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 1 → (𝐹𝑘) = (𝐹‘1))
8180oveq1d 5893 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 1 → ((𝐹𝑘) + 𝐿) = ((𝐹‘1) + 𝐿))
82 eqle 8052 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹𝑘) + 𝐿) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑘) + 𝐿) = ((𝐹‘1) + 𝐿)) → ((𝐹𝑘) + 𝐿) ≤ ((𝐹‘1) + 𝐿))
8367, 81, 82syl2an 289 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 𝑘 = 1) → ((𝐹𝑘) + 𝐿) ≤ ((𝐹‘1) + 𝐿))
8461adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
8535ad4antr 494 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → (𝐹‘1) ∈ ℝ)
8663adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → 𝐿 ∈ ℝ)
8728ad5antr 496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → 𝐴 ∈ ℝ)
8829ad5antr 496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → 0 ≤ 𝐴)
8932a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → 1 ∈ ℕ)
9050adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → 𝑘 ∈ ℕ)
91 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → 1 < 𝑘)
9227, 87, 88, 89, 90, 91resqrexlemdecn 11024 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → (𝐹𝑘) < (𝐹‘1))
9384, 85, 92ltled 8079 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘1))
9484, 85, 86, 93leadd1dd 8519 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → ((𝐹𝑘) + 𝐿) ≤ ((𝐹‘1) + 𝐿))
95 nn1gt1 8956 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 = 1 ∨ 1 < 𝑘))
9650, 95syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝑘 = 1 ∨ 1 < 𝑘))
9783, 94, 96mpjaodan 798 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐹𝑘) + 𝐿) ≤ ((𝐹‘1) + 𝐿))
9867, 70, 68, 79, 97lemul1ad 8899 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (((𝐹𝑘) + 𝐿) · ((𝐹𝑘) − 𝐿)) ≤ (((𝐹‘1) + 𝐿) · ((𝐹𝑘) − 𝐿)))
99 simprl 529 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))
10045ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) ∈ ℝ+)
101100rpred 9699 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) ∈ ℝ)
10261, 63, 101ltsubadd2d 8503 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (((𝐹𝑘) − 𝐿) < (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) ↔ (𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)))))
10399, 102mpbird 167 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐹𝑘) − 𝐿) < (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)))
10444ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐹‘1) + 𝐿) ∈ ℝ+)
10568, 73, 104ltmuldiv2d 9748 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((((𝐹‘1) + 𝐿) · ((𝐹𝑘) − 𝐿)) < 𝑒 ↔ ((𝐹𝑘) − 𝐿) < (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))
106103, 105mpbird 167 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (((𝐹‘1) + 𝐿) · ((𝐹𝑘) − 𝐿)) < 𝑒)
10769, 71, 73, 98, 106lelttrd 8085 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (((𝐹𝑘) + 𝐿) · ((𝐹𝑘) − 𝐿)) < 𝑒)
10866, 107eqbrtrd 4027 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (((𝐹𝑘)↑2) − (𝐿↑2)) < 𝑒)
10961resqcld 10683 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐹𝑘)↑2) ∈ ℝ)
11063resqcld 10683 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐿↑2) ∈ ℝ)
111109, 110, 73ltsubadd2d 8503 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((((𝐹𝑘)↑2) − (𝐿↑2)) < 𝑒 ↔ ((𝐹𝑘)↑2) < ((𝐿↑2) + 𝑒)))
112108, 111mpbid 147 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐹𝑘)↑2) < ((𝐿↑2) + 𝑒))
11360, 112eqbrtrd 4027 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐺𝑘) < ((𝐿↑2) + 𝑒))
11460, 109eqeltrd 2254 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
115114, 73readdcld 7990 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐺𝑘) + 𝑒) ∈ ℝ)
11641ad3antrrr 492 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 0 ≤ 𝐿)
117 le2sq2 10599 . . . . . . . . . 10 (((𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐿) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ≤ (𝐹𝑘))) → (𝐿↑2) ≤ ((𝐹𝑘)↑2))
11863, 116, 61, 77, 117syl22anc 1239 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐿↑2) ≤ ((𝐹𝑘)↑2))
119118, 60breqtrrd 4033 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐿↑2) ≤ (𝐺𝑘))
120114, 72ltaddrpd 9733 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐺𝑘) < ((𝐺𝑘) + 𝑒))
121110, 114, 115, 119, 120lelttrd 8085 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐿↑2) < ((𝐺𝑘) + 𝑒))
122113, 121jca 306 . . . . . 6 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐺𝑘) < ((𝐿↑2) + 𝑒) ∧ (𝐿↑2) < ((𝐺𝑘) + 𝑒)))
123122ex 115 . . . . 5 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)))) → ((𝐺𝑘) < ((𝐿↑2) + 𝑒) ∧ (𝐿↑2) < ((𝐺𝑘) + 𝑒))))
124123ralimdva 2544 . . . 4 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺𝑘) < ((𝐿↑2) + 𝑒) ∧ (𝐿↑2) < ((𝐺𝑘) + 𝑒))))
125124reximdva 2579 . . 3 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)))) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺𝑘) < ((𝐿↑2) + 𝑒) ∧ (𝐿↑2) < ((𝐺𝑘) + 𝑒))))
12646, 125mpd 13 . 2 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺𝑘) < ((𝐿↑2) + 𝑒) ∧ (𝐿↑2) < ((𝐺𝑘) + 𝑒)))
127126ralrimiva 2550 1 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺𝑘) < ((𝐿↑2) + 𝑒) ∧ (𝐿↑2) < ((𝐺𝑘) + 𝑒)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wo 708   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  {csn 3594   class class class wbr 4005  cmpt 4066   × cxp 4626  wf 5214  cfv 5218  (class class class)co 5878  cmpo 5880  cc 7812  cr 7813  0cc0 7814  1c1 7815   + caddc 7817   · cmul 7819   < clt 7995  cle 7996  cmin 8131   / cdiv 8632  cn 8922  2c2 8973  cz 9256  cuz 9531  +crp 9656  seqcseq 10448  cexp 10522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-frec 6395  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-rp 9657  df-seqfrec 10449  df-exp 10523
This theorem is referenced by:  resqrexlemsqa  11036
  Copyright terms: Public domain W3C validator