resqrexlemglsq - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem resqrexlemglsq 11766

Description: Lemma for resqrex 11770. The sequence formed by squaring each term of 𝐹 converges to (𝐿↑2). (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Aug-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
resqrexlemex.seq	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ⁺, 𝑧 ∈ ℝ⁺ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
resqrexlemgt0.rr	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
resqrexlemgt0.lim	⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)))
resqrexlemsqa.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑥)↑2))

**Assertion**
Ref	Expression
resqrexlemglsq	⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘) < ((𝐿↑2) + 𝑒) ∧ (𝐿↑2) < ((𝐺‘𝑘) + 𝑒)))

Distinct variable groups: 𝑦,𝐴,𝑧 𝑒,𝐹,𝑗,𝑘,𝑖,𝑦,𝑧 𝑥,𝐹,𝑘 𝑒,𝐿,𝑗,𝑘,𝑖,𝑦,𝑧 𝜑,𝑒,𝑖,𝑗,𝑘,𝑦,𝑧 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑥) 𝐴(𝑥,𝑒,𝑖,𝑗,𝑘) 𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑒,𝑖,𝑗,𝑘) 𝐿(𝑥)

Proof of Theorem resqrexlemglsq Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6083	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) → (𝐿 + 𝑓) = (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))
2	1	breq2d 4137	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) → ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑓) ↔ (𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)))))
3		oveq2 6083	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) → ((𝐹‘𝑘) + 𝑓) = ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))
4	3	breq2d 4137	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) → (𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑓) ↔ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)))))
5	2, 4	anbi12d 477	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) → (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑓) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑓)) ↔ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))))
6	5	rexralbidv 2576	. . . 4 ⊢ (𝑓 = (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑓) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑓)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))))
7		resqrexlemgt0.lim	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)))
8		fveq2 5690	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘𝑘))
9	8	breq1d 4135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ↔ (𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑒)))
10	8	oveq1d 6090	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑖) + 𝑒) = ((𝐹‘𝑘) + 𝑒))
11	10	breq2d 4137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒) ↔ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)))
12	9, 11	anbi12d 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)) ↔ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒))))
13	12	cbvralv 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)))
14	13	rexbii 2557	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)))
15	14	ralbii 2556	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)))
16	7, 15	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)))
17		oveq2 6083	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = 𝑓 → (𝐿 + 𝑒) = (𝐿 + 𝑓))
18	17	breq2d 4137	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = 𝑓 → ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑒) ↔ (𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑓)))
19		oveq2 6083	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = 𝑓 → ((𝐹‘𝑘) + 𝑒) = ((𝐹‘𝑘) + 𝑓))
20	19	breq2d 4137	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = 𝑓 → (𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒) ↔ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑓)))
21	18, 20	anbi12d 477	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = 𝑓 → (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)) ↔ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑓) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑓))))
22	21	rexralbidv 2576	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 = 𝑓 → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑓) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑓))))
23	22	cbvralv 2786	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)) ↔ ∀𝑓 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑓) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑓)))
24	16, 23	sylib 122	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑓) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑓)))
25	24	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ∀𝑓 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑓) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑓)))
26		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 𝑒 ∈ ℝ⁺)
27		resqrexlemex.seq	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ⁺, 𝑧 ∈ ℝ⁺ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
28		resqrexlemex.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
29		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
30	27, 28, 29	resqrexlemf 11751	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ⁺)
31	30	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 𝐹:ℕ⟶ℝ⁺)
32		1nn 9294	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℕ
33	32	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 1 ∈ ℕ)
34	31, 33	ffvelcdmd 5835	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (𝐹‘1) ∈ ℝ⁺)
35	34	rpred 10076	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (𝐹‘1) ∈ ℝ)
36		resqrexlemgt0.rr	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
37	36	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 𝐿 ∈ ℝ)
38	35, 37	readdcld 8345	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ((𝐹‘1) + 𝐿) ∈ ℝ)
39	34	rpgt0d 10079	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 0 < (𝐹‘1))
40	27, 28, 29, 36, 7	resqrexlemgt0 11764	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐿)
41	40	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 0 ≤ 𝐿)
42		addgtge0 8768	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹‘1) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ (0 < (𝐹‘1) ∧ 0 ≤ 𝐿)) → 0 < ((𝐹‘1) + 𝐿))
43	35, 37, 39, 41, 42	syl22anc 1279	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 0 < ((𝐹‘1) + 𝐿))
44	38, 43	elrpd 10073	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ((𝐹‘1) + 𝐿) ∈ ℝ⁺)
45	26, 44	rpdivcld 10094	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) ∈ ℝ⁺)
46	6, 25, 45	rspcdva 2934	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)))))
47		simpllr 540	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝑗 ∈ ℕ)
48		simplr 533	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗))
49		eluznn 9979	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
50	47, 48, 49	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝑘 ∈ ℕ)
51	31	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝐹:ℕ⟶ℝ⁺)
52	51, 50	ffvelcdmd 5835	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ⁺)
53		2z 9651	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
54	53	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 2 ∈ ℤ)
55	52, 54	rpexpcld 11113	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐹‘𝑘)↑2) ∈ ℝ⁺)
56		fveq2 5690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑘))
57	56	oveq1d 6090	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑥)↑2) = ((𝐹‘𝑘)↑2))
58		resqrexlemsqa.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑥)↑2))
59	57, 58	fvmptg 5775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ ((𝐹‘𝑘)↑2) ∈ ℝ⁺) → (𝐺‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘)↑2))
60	50, 55, 59	syl2anc 415	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐺‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘)↑2))
61	52	rpred 10076	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
62	61	recnd 8344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
63	37	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝐿 ∈ ℝ)
64	63	recnd 8344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝐿 ∈ ℂ)
65		subsq 11061	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → (((𝐹‘𝑘)↑2) − (𝐿↑2)) = (((𝐹‘𝑘) + 𝐿) · ((𝐹‘𝑘) − 𝐿)))
66	62, 64, 65	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (((𝐹‘𝑘)↑2) − (𝐿↑2)) = (((𝐹‘𝑘) + 𝐿) · ((𝐹‘𝑘) − 𝐿)))
67	61, 63	readdcld 8345	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐹‘𝑘) + 𝐿) ∈ ℝ)
68	61, 63	resubcld 8698	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐹‘𝑘) − 𝐿) ∈ ℝ)
69	67, 68	remulcld 8346	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (((𝐹‘𝑘) + 𝐿) · ((𝐹‘𝑘) − 𝐿)) ∈ ℝ)
70	38	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐹‘1) + 𝐿) ∈ ℝ)
71	70, 68	remulcld 8346	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (((𝐹‘1) + 𝐿) · ((𝐹‘𝑘) − 𝐿)) ∈ ℝ)
72	26	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝑒 ∈ ℝ⁺)
73	72	rpred 10076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝑒 ∈ ℝ)
74	28	ad4antr 498	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝐴 ∈ ℝ)
75	29	ad4antr 498	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 0 ≤ 𝐴)
76	7	ad4antr 498	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)))
77	27, 74, 75, 63, 76, 50	resqrexlemoverl 11765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝐿 ≤ (𝐹‘𝑘))
78	61, 63	subge0d 8853	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (0 ≤ ((𝐹‘𝑘) − 𝐿) ↔ 𝐿 ≤ (𝐹‘𝑘)))
79	77, 78	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 0 ≤ ((𝐹‘𝑘) − 𝐿))
80		fveq2 5690	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘1))
81	80	oveq1d 6090	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝐹‘𝑘) + 𝐿) = ((𝐹‘1) + 𝐿))
82		eqle 8407	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹‘𝑘) + 𝐿) ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝑘) + 𝐿) = ((𝐹‘1) + 𝐿)) → ((𝐹‘𝑘) + 𝐿) ≤ ((𝐹‘1) + 𝐿))
83	67, 81, 82	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 𝑘 = 1) → ((𝐹‘𝑘) + 𝐿) ≤ ((𝐹‘1) + 𝐿))
84	61	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
85	35	ad4antr 498	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → (𝐹‘1) ∈ ℝ)
86	63	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → 𝐿 ∈ ℝ)
87	28	ad5antr 500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → 𝐴 ∈ ℝ)
88	29	ad5antr 500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → 0 ≤ 𝐴)
89	32	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → 1 ∈ ℕ)
90	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → 𝑘 ∈ ℕ)
91		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → 1 < 𝑘)
92	27, 87, 88, 89, 90, 91	resqrexlemdecn 11756	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘1))
93	84, 85, 92	ltled 8435	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘1))
94	84, 85, 86, 93	leadd1dd 8877	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → ((𝐹‘𝑘) + 𝐿) ≤ ((𝐹‘1) + 𝐿))
95		nn1gt1 9317	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 = 1 ∨ 1 < 𝑘))
96	50, 95	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝑘 = 1 ∨ 1 < 𝑘))
97	83, 94, 96	mpjaodan 810	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐹‘𝑘) + 𝐿) ≤ ((𝐹‘1) + 𝐿))
98	67, 70, 68, 79, 97	lemul1ad 9259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (((𝐹‘𝑘) + 𝐿) · ((𝐹‘𝑘) − 𝐿)) ≤ (((𝐹‘1) + 𝐿) · ((𝐹‘𝑘) − 𝐿)))
99		simprl 535	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))
100	45	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) ∈ ℝ⁺)
101	100	rpred 10076	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) ∈ ℝ)
102	61, 63, 101	ltsubadd2d 8861	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (((𝐹‘𝑘) − 𝐿) < (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) ↔ (𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)))))
103	99, 102	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐹‘𝑘) − 𝐿) < (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)))
104	44	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐹‘1) + 𝐿) ∈ ℝ⁺)
105	68, 73, 104	ltmuldiv2d 10125	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((((𝐹‘1) + 𝐿) · ((𝐹‘𝑘) − 𝐿)) < 𝑒 ↔ ((𝐹‘𝑘) − 𝐿) < (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))
106	103, 105	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (((𝐹‘1) + 𝐿) · ((𝐹‘𝑘) − 𝐿)) < 𝑒)
107	69, 71, 73, 98, 106	lelttrd 8441	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (((𝐹‘𝑘) + 𝐿) · ((𝐹‘𝑘) − 𝐿)) < 𝑒)
108	66, 107	eqbrtrd 4147	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (((𝐹‘𝑘)↑2) − (𝐿↑2)) < 𝑒)
109	61	resqcld 11115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐹‘𝑘)↑2) ∈ ℝ)
110	63	resqcld 11115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐿↑2) ∈ ℝ)
111	109, 110, 73	ltsubadd2d 8861	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((((𝐹‘𝑘)↑2) − (𝐿↑2)) < 𝑒 ↔ ((𝐹‘𝑘)↑2) < ((𝐿↑2) + 𝑒)))
112	108, 111	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐹‘𝑘)↑2) < ((𝐿↑2) + 𝑒))
113	60, 112	eqbrtrd 4147	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐺‘𝑘) < ((𝐿↑2) + 𝑒))
114	60, 109	eqeltrd 2315	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
115	114, 73	readdcld 8345	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐺‘𝑘) + 𝑒) ∈ ℝ)
116	41	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 0 ≤ 𝐿)
117		le2sq2 11030	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐿) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ≤ (𝐹‘𝑘))) → (𝐿↑2) ≤ ((𝐹‘𝑘)↑2))
118	63, 116, 61, 77, 117	syl22anc 1279	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐿↑2) ≤ ((𝐹‘𝑘)↑2))
119	118, 60	breqtrrd 4153	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐿↑2) ≤ (𝐺‘𝑘))
120	114, 72	ltaddrpd 10110	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐺‘𝑘) < ((𝐺‘𝑘) + 𝑒))
121	110, 114, 115, 119, 120	lelttrd 8441	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐿↑2) < ((𝐺‘𝑘) + 𝑒))
122	113, 121	jca 306	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐺‘𝑘) < ((𝐿↑2) + 𝑒) ∧ (𝐿↑2) < ((𝐺‘𝑘) + 𝑒)))
123	122	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)))) → ((𝐺‘𝑘) < ((𝐿↑2) + 𝑒) ∧ (𝐿↑2) < ((𝐺‘𝑘) + 𝑒))))
124	123	ralimdva 2617	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘) < ((𝐿↑2) + 𝑒) ∧ (𝐿↑2) < ((𝐺‘𝑘) + 𝑒))))
125	124	reximdva 2652	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)))) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘) < ((𝐿↑2) + 𝑒) ∧ (𝐿↑2) < ((𝐺‘𝑘) + 𝑒))))
126	46, 125	mpd 13	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘) < ((𝐿↑2) + 𝑒) ∧ (𝐿↑2) < ((𝐺‘𝑘) + 𝑒)))
127	126	ralrimiva 2623	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘) < ((𝐿↑2) + 𝑒) ∧ (𝐿↑2) < ((𝐺‘𝑘) + 𝑒)))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 104 ∨ wo 720 = wceq 1402 ∈ wcel 2209 ∀wral 2528 ∃wrex 2529 {csn 3705 class class class wbr 4125 ↦ cmpt 4187 × cxp 4767 ⟶wf 5368 ‘cfv 5372 (class class class)co 6075 ∈ cmpo 6077 ℂcc 8167 ℝcr 8168 0cc0 8169 1c1 8170 + caddc 8172 · cmul 8174 < clt 8350 ≤ cle 8351 − cmin 8487 / cdiv 8992 ℕcn 9283 2c2 9334 ℤcz 9623 ℤ_≥cuz 9900 ℝ⁺crp 10033 seqcseq 10862 ↑cexp 10953

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 623 ax-in2 624 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-coll 4241 ax-sep 4244 ax-nul 4254 ax-pow 4306 ax-pr 4341 ax-un 4573 ax-setind 4679 ax-iinf 4730 ax-cnex 8260 ax-resscn 8261 ax-1cn 8262 ax-1re 8263 ax-icn 8264 ax-addcl 8265 ax-addrcl 8266 ax-mulcl 8267 ax-mulrcl 8268 ax-addcom 8269 ax-mulcom 8270 ax-addass 8271 ax-mulass 8272 ax-distr 8273 ax-i2m1 8274 ax-0lt1 8275 ax-1rid 8276 ax-0id 8277 ax-rnegex 8278 ax-precex 8279 ax-cnre 8280 ax-pre-ltirr 8281 ax-pre-ltwlin 8282 ax-pre-lttrn 8283 ax-pre-apti 8284 ax-pre-ltadd 8285 ax-pre-mulgt0 8286 ax-pre-mulext 8287

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 847 df-3or 1010 df-3an 1011 df-tru 1405 df-fal 1408 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ne 2421 df-nel 2516 df-ral 2533 df-rex 2534 df-reu 2535 df-rmo 2536 df-rab 2537 df-v 2823 df-sbc 3052 df-csb 3148 df-dif 3222 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-nul 3521 df-if 3636 df-pw 3687 df-sn 3711 df-pr 3712 df-op 3714 df-uni 3931 df-int 3966 df-iun 4009 df-br 4126 df-opab 4188 df-mpt 4189 df-tr 4225 df-id 4433 df-po 4436 df-iso 4437 df-iord 4506 df-on 4508 df-ilim 4509 df-suc 4511 df-iom 4733 df-xp 4775 df-rel 4776 df-cnv 4777 df-co 4778 df-dm 4779 df-rn 4780 df-res 4781 df-ima 4782 df-iota 5332 df-fun 5374 df-fn 5375 df-f 5376 df-f1 5377 df-fo 5378 df-f1o 5379 df-fv 5380 df-riota 6028 df-ov 6078 df-oprab 6079 df-mpo 6080 df-1st 6364 df-2nd 6365 df-recs 6566 df-frec 6652 df-pnf 8352 df-mnf 8353 df-xr 8354 df-ltxr 8355 df-le 8356 df-sub 8489 df-neg 8490 df-reap 8893 df-ap 8900 df-div 8993 df-inn 9284 df-2 9342 df-3 9343 df-4 9344 df-n0 9543 df-z 9624 df-uz 9901 df-rp 10034 df-seqfrec 10863 df-exp 10954

This theorem is referenced by: resqrexlemsqa 11768

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