ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrexlemglsq GIF version

Theorem resqrexlemglsq 10683
Description: Lemma for resqrex 10687. The sequence formed by squaring each term of 𝐹 converges to (𝐿↑2). (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
resqrexlemgt0.rr (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
resqrexlemgt0.lim (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)))
resqrexlemsqa.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑥)↑2))
Assertion
Ref Expression
resqrexlemglsq (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺𝑘) < ((𝐿↑2) + 𝑒) ∧ (𝐿↑2) < ((𝐺𝑘) + 𝑒)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝑒,𝐹,𝑗,𝑘,𝑖,𝑦,𝑧   𝑥,𝐹,𝑘   𝑒,𝐿,𝑗,𝑘,𝑖,𝑦,𝑧   𝜑,𝑒,𝑖,𝑗,𝑘,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥,𝑒,𝑖,𝑗,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑒,𝑖,𝑗,𝑘)   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem resqrexlemglsq
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5736 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) → (𝐿 + 𝑓) = (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))
21breq2d 3907 . . . . . 6 (𝑓 = (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) → ((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑓) ↔ (𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)))))
3 oveq2 5736 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) → ((𝐹𝑘) + 𝑓) = ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))
43breq2d 3907 . . . . . 6 (𝑓 = (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) → (𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑓) ↔ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)))))
52, 4anbi12d 462 . . . . 5 (𝑓 = (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) → (((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑓) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑓)) ↔ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))))
65rexralbidv 2435 . . . 4 (𝑓 = (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑓) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑓)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))))
7 resqrexlemgt0.lim . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)))
8 fveq2 5375 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑘 → (𝐹𝑖) = (𝐹𝑘))
98breq1d 3905 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑘 → ((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ↔ (𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑒)))
108oveq1d 5743 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑘 → ((𝐹𝑖) + 𝑒) = ((𝐹𝑘) + 𝑒))
1110breq2d 3907 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑘 → (𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒) ↔ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)))
129, 11anbi12d 462 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑘 → (((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)) ↔ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑒))))
1312cbvralv 2628 . . . . . . . . 9 (∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)))
1413rexbii 2416 . . . . . . . 8 (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)))
1514ralbii 2415 . . . . . . 7 (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)))
167, 15sylib 121 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)))
17 oveq2 5736 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 𝑓 → (𝐿 + 𝑒) = (𝐿 + 𝑓))
1817breq2d 3907 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑓 → ((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑒) ↔ (𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑓)))
19 oveq2 5736 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 𝑓 → ((𝐹𝑘) + 𝑒) = ((𝐹𝑘) + 𝑓))
2019breq2d 3907 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑓 → (𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑒) ↔ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑓)))
2118, 20anbi12d 462 . . . . . . . 8 (𝑒 = 𝑓 → (((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)) ↔ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑓) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑓))))
2221rexralbidv 2435 . . . . . . 7 (𝑒 = 𝑓 → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑓) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑓))))
2322cbvralv 2628 . . . . . 6 (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)) ↔ ∀𝑓 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑓) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑓)))
2416, 23sylib 121 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑓) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑓)))
2524adantr 272 . . . 4 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑓 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑓) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑓)))
26 simpr 109 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ ℝ+)
27 resqrexlemex.seq . . . . . . . . . . 11 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
28 resqrexlemex.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
29 resqrexlemex.agt0 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3027, 28, 29resqrexlemf 10668 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ+)
3130adantr 272 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)
32 1nn 8638 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℕ
3332a1i 9 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℕ)
3431, 33ffvelrnd 5510 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (𝐹‘1) ∈ ℝ+)
3534rpred 9379 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (𝐹‘1) ∈ ℝ)
36 resqrexlemgt0.rr . . . . . . . 8 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
3736adantr 272 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 𝐿 ∈ ℝ)
3835, 37readdcld 7716 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ((𝐹‘1) + 𝐿) ∈ ℝ)
3934rpgt0d 9382 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 0 < (𝐹‘1))
4027, 28, 29, 36, 7resqrexlemgt0 10681 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ 𝐿)
4140adantr 272 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝐿)
42 addgtge0 8128 . . . . . . 7 ((((𝐹‘1) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ (0 < (𝐹‘1) ∧ 0 ≤ 𝐿)) → 0 < ((𝐹‘1) + 𝐿))
4335, 37, 39, 41, 42syl22anc 1200 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 0 < ((𝐹‘1) + 𝐿))
4438, 43elrpd 9377 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ((𝐹‘1) + 𝐿) ∈ ℝ+)
4526, 44rpdivcld 9397 . . . 4 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) ∈ ℝ+)
466, 25, 45rspcdva 2765 . . 3 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)))))
47 simpllr 506 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝑗 ∈ ℕ)
48 simplr 502 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))
49 eluznn 9293 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
5047, 48, 49syl2anc 406 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝑘 ∈ ℕ)
5131ad3antrrr 481 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)
5251, 50ffvelrnd 5510 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
53 2z 8983 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
5453a1i 9 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 2 ∈ ℤ)
5552, 54rpexpcld 10338 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐹𝑘)↑2) ∈ ℝ+)
56 fveq2 5375 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑘 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑘))
5756oveq1d 5743 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑘 → ((𝐹𝑥)↑2) = ((𝐹𝑘)↑2))
58 resqrexlemsqa.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑥)↑2))
5957, 58fvmptg 5451 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ ((𝐹𝑘)↑2) ∈ ℝ+) → (𝐺𝑘) = ((𝐹𝑘)↑2))
6050, 55, 59syl2anc 406 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐺𝑘) = ((𝐹𝑘)↑2))
6152rpred 9379 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
6261recnd 7715 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
6337ad3antrrr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝐿 ∈ ℝ)
6463recnd 7715 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝐿 ∈ ℂ)
65 subsq 10289 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → (((𝐹𝑘)↑2) − (𝐿↑2)) = (((𝐹𝑘) + 𝐿) · ((𝐹𝑘) − 𝐿)))
6662, 64, 65syl2anc 406 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (((𝐹𝑘)↑2) − (𝐿↑2)) = (((𝐹𝑘) + 𝐿) · ((𝐹𝑘) − 𝐿)))
6761, 63readdcld 7716 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐹𝑘) + 𝐿) ∈ ℝ)
6861, 63resubcld 8059 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐹𝑘) − 𝐿) ∈ ℝ)
6967, 68remulcld 7717 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (((𝐹𝑘) + 𝐿) · ((𝐹𝑘) − 𝐿)) ∈ ℝ)
7038ad3antrrr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐹‘1) + 𝐿) ∈ ℝ)
7170, 68remulcld 7717 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (((𝐹‘1) + 𝐿) · ((𝐹𝑘) − 𝐿)) ∈ ℝ)
7226ad3antrrr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝑒 ∈ ℝ+)
7372rpred 9379 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝑒 ∈ ℝ)
7428ad4antr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝐴 ∈ ℝ)
7529ad4antr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 0 ≤ 𝐴)
767ad4antr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)))
7727, 74, 75, 63, 76, 50resqrexlemoverl 10682 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝐿 ≤ (𝐹𝑘))
7861, 63subge0d 8212 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (0 ≤ ((𝐹𝑘) − 𝐿) ↔ 𝐿 ≤ (𝐹𝑘)))
7977, 78mpbird 166 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 0 ≤ ((𝐹𝑘) − 𝐿))
80 fveq2 5375 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 1 → (𝐹𝑘) = (𝐹‘1))
8180oveq1d 5743 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 1 → ((𝐹𝑘) + 𝐿) = ((𝐹‘1) + 𝐿))
82 eqle 7775 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹𝑘) + 𝐿) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑘) + 𝐿) = ((𝐹‘1) + 𝐿)) → ((𝐹𝑘) + 𝐿) ≤ ((𝐹‘1) + 𝐿))
8367, 81, 82syl2an 285 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 𝑘 = 1) → ((𝐹𝑘) + 𝐿) ≤ ((𝐹‘1) + 𝐿))
8461adantr 272 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
8535ad4antr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → (𝐹‘1) ∈ ℝ)
8663adantr 272 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → 𝐿 ∈ ℝ)
8728ad5antr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → 𝐴 ∈ ℝ)
8829ad5antr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → 0 ≤ 𝐴)
8932a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → 1 ∈ ℕ)
9050adantr 272 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → 𝑘 ∈ ℕ)
91 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → 1 < 𝑘)
9227, 87, 88, 89, 90, 91resqrexlemdecn 10673 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → (𝐹𝑘) < (𝐹‘1))
9384, 85, 92ltled 7801 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘1))
9484, 85, 86, 93leadd1dd 8236 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → ((𝐹𝑘) + 𝐿) ≤ ((𝐹‘1) + 𝐿))
95 nn1gt1 8661 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 = 1 ∨ 1 < 𝑘))
9650, 95syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝑘 = 1 ∨ 1 < 𝑘))
9783, 94, 96mpjaodan 770 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐹𝑘) + 𝐿) ≤ ((𝐹‘1) + 𝐿))
9867, 70, 68, 79, 97lemul1ad 8604 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (((𝐹𝑘) + 𝐿) · ((𝐹𝑘) − 𝐿)) ≤ (((𝐹‘1) + 𝐿) · ((𝐹𝑘) − 𝐿)))
99 simprl 503 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))
10045ad3antrrr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) ∈ ℝ+)
101100rpred 9379 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) ∈ ℝ)
10261, 63, 101ltsubadd2d 8220 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (((𝐹𝑘) − 𝐿) < (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) ↔ (𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)))))
10399, 102mpbird 166 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐹𝑘) − 𝐿) < (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)))
10444ad3antrrr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐹‘1) + 𝐿) ∈ ℝ+)
10568, 73, 104ltmuldiv2d 9428 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((((𝐹‘1) + 𝐿) · ((𝐹𝑘) − 𝐿)) < 𝑒 ↔ ((𝐹𝑘) − 𝐿) < (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))
106103, 105mpbird 166 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (((𝐹‘1) + 𝐿) · ((𝐹𝑘) − 𝐿)) < 𝑒)
10769, 71, 73, 98, 106lelttrd 7807 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (((𝐹𝑘) + 𝐿) · ((𝐹𝑘) − 𝐿)) < 𝑒)
10866, 107eqbrtrd 3915 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (((𝐹𝑘)↑2) − (𝐿↑2)) < 𝑒)
10961resqcld 10340 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐹𝑘)↑2) ∈ ℝ)
11063resqcld 10340 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐿↑2) ∈ ℝ)
111109, 110, 73ltsubadd2d 8220 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((((𝐹𝑘)↑2) − (𝐿↑2)) < 𝑒 ↔ ((𝐹𝑘)↑2) < ((𝐿↑2) + 𝑒)))
112108, 111mpbid 146 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐹𝑘)↑2) < ((𝐿↑2) + 𝑒))
11360, 112eqbrtrd 3915 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐺𝑘) < ((𝐿↑2) + 𝑒))
11460, 109eqeltrd 2191 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
115114, 73readdcld 7716 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐺𝑘) + 𝑒) ∈ ℝ)
11641ad3antrrr 481 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 0 ≤ 𝐿)
117 le2sq2 10258 . . . . . . . . . 10 (((𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐿) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ≤ (𝐹𝑘))) → (𝐿↑2) ≤ ((𝐹𝑘)↑2))
11863, 116, 61, 77, 117syl22anc 1200 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐿↑2) ≤ ((𝐹𝑘)↑2))
119118, 60breqtrrd 3921 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐿↑2) ≤ (𝐺𝑘))
120114, 72ltaddrpd 9413 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐺𝑘) < ((𝐺𝑘) + 𝑒))
121110, 114, 115, 119, 120lelttrd 7807 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐿↑2) < ((𝐺𝑘) + 𝑒))
122113, 121jca 302 . . . . . 6 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐺𝑘) < ((𝐿↑2) + 𝑒) ∧ (𝐿↑2) < ((𝐺𝑘) + 𝑒)))
123122ex 114 . . . . 5 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)))) → ((𝐺𝑘) < ((𝐿↑2) + 𝑒) ∧ (𝐿↑2) < ((𝐺𝑘) + 𝑒))))
124123ralimdva 2473 . . . 4 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺𝑘) < ((𝐿↑2) + 𝑒) ∧ (𝐿↑2) < ((𝐺𝑘) + 𝑒))))
125124reximdva 2508 . . 3 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)))) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺𝑘) < ((𝐿↑2) + 𝑒) ∧ (𝐿↑2) < ((𝐺𝑘) + 𝑒))))
12646, 125mpd 13 . 2 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺𝑘) < ((𝐿↑2) + 𝑒) ∧ (𝐿↑2) < ((𝐺𝑘) + 𝑒)))
127126ralrimiva 2479 1 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺𝑘) < ((𝐿↑2) + 𝑒) ∧ (𝐿↑2) < ((𝐺𝑘) + 𝑒)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wo 680   = wceq 1314  wcel 1463  wral 2390  wrex 2391  {csn 3493   class class class wbr 3895  cmpt 3949   × cxp 4497  wf 5077  cfv 5081  (class class class)co 5728  cmpo 5730  cc 7542  cr 7543  0cc0 7544  1c1 7545   + caddc 7547   · cmul 7549   < clt 7721  cle 7722  cmin 7853   / cdiv 8342  cn 8627  2c2 8678  cz 8955  cuz 9225  +crp 9340  seqcseq 10108  cexp 10182
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462  ax-cnex 7633  ax-resscn 7634  ax-1cn 7635  ax-1re 7636  ax-icn 7637  ax-addcl 7638  ax-addrcl 7639  ax-mulcl 7640  ax-mulrcl 7641  ax-addcom 7642  ax-mulcom 7643  ax-addass 7644  ax-mulass 7645  ax-distr 7646  ax-i2m1 7647  ax-0lt1 7648  ax-1rid 7649  ax-0id 7650  ax-rnegex 7651  ax-precex 7652  ax-cnre 7653  ax-pre-ltirr 7654  ax-pre-ltwlin 7655  ax-pre-lttrn 7656  ax-pre-apti 7657  ax-pre-ltadd 7658  ax-pre-mulgt0 7659  ax-pre-mulext 7660
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rmo 2398  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-if 3441  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-tr 3987  df-id 4175  df-po 4178  df-iso 4179  df-iord 4248  df-on 4250  df-ilim 4251  df-suc 4253  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-recs 6156  df-frec 6242  df-pnf 7723  df-mnf 7724  df-xr 7725  df-ltxr 7726  df-le 7727  df-sub 7855  df-neg 7856  df-reap 8252  df-ap 8259  df-div 8343  df-inn 8628  df-2 8686  df-3 8687  df-4 8688  df-n0 8879  df-z 8956  df-uz 9226  df-rp 9341  df-seqfrec 10109  df-exp 10183
This theorem is referenced by:  resqrexlemsqa  10685
  Copyright terms: Public domain W3C validator