Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrexlemglsq GIF version

Theorem resqrexlemglsq 10899
 Description: Lemma for resqrex 10903. The sequence formed by squaring each term of 𝐹 converges to (𝐿↑2). (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
resqrexlemgt0.rr (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
resqrexlemgt0.lim (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)))
resqrexlemsqa.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑥)↑2))
Assertion
Ref Expression
resqrexlemglsq (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺𝑘) < ((𝐿↑2) + 𝑒) ∧ (𝐿↑2) < ((𝐺𝑘) + 𝑒)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝑒,𝐹,𝑗,𝑘,𝑖,𝑦,𝑧   𝑥,𝐹,𝑘   𝑒,𝐿,𝑗,𝑘,𝑖,𝑦,𝑧   𝜑,𝑒,𝑖,𝑗,𝑘,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥,𝑒,𝑖,𝑗,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑒,𝑖,𝑗,𝑘)   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem resqrexlemglsq
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5822 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) → (𝐿 + 𝑓) = (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))
21breq2d 3973 . . . . . 6 (𝑓 = (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) → ((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑓) ↔ (𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)))))
3 oveq2 5822 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) → ((𝐹𝑘) + 𝑓) = ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))
43breq2d 3973 . . . . . 6 (𝑓 = (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) → (𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑓) ↔ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)))))
52, 4anbi12d 465 . . . . 5 (𝑓 = (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) → (((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑓) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑓)) ↔ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))))
65rexralbidv 2480 . . . 4 (𝑓 = (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑓) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑓)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))))
7 resqrexlemgt0.lim . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)))
8 fveq2 5461 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑘 → (𝐹𝑖) = (𝐹𝑘))
98breq1d 3971 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑘 → ((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ↔ (𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑒)))
108oveq1d 5829 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑘 → ((𝐹𝑖) + 𝑒) = ((𝐹𝑘) + 𝑒))
1110breq2d 3973 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑘 → (𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒) ↔ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)))
129, 11anbi12d 465 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑘 → (((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)) ↔ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑒))))
1312cbvralv 2677 . . . . . . . . 9 (∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)))
1413rexbii 2461 . . . . . . . 8 (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)))
1514ralbii 2460 . . . . . . 7 (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)))
167, 15sylib 121 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)))
17 oveq2 5822 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 𝑓 → (𝐿 + 𝑒) = (𝐿 + 𝑓))
1817breq2d 3973 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑓 → ((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑒) ↔ (𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑓)))
19 oveq2 5822 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 𝑓 → ((𝐹𝑘) + 𝑒) = ((𝐹𝑘) + 𝑓))
2019breq2d 3973 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑓 → (𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑒) ↔ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑓)))
2118, 20anbi12d 465 . . . . . . . 8 (𝑒 = 𝑓 → (((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)) ↔ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑓) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑓))))
2221rexralbidv 2480 . . . . . . 7 (𝑒 = 𝑓 → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑓) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑓))))
2322cbvralv 2677 . . . . . 6 (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)) ↔ ∀𝑓 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑓) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑓)))
2416, 23sylib 121 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑓) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑓)))
2524adantr 274 . . . 4 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑓 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑓) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑓)))
26 simpr 109 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ ℝ+)
27 resqrexlemex.seq . . . . . . . . . . 11 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
28 resqrexlemex.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
29 resqrexlemex.agt0 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3027, 28, 29resqrexlemf 10884 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ+)
3130adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)
32 1nn 8823 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℕ
3332a1i 9 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℕ)
3431, 33ffvelrnd 5596 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (𝐹‘1) ∈ ℝ+)
3534rpred 9581 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (𝐹‘1) ∈ ℝ)
36 resqrexlemgt0.rr . . . . . . . 8 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
3736adantr 274 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 𝐿 ∈ ℝ)
3835, 37readdcld 7886 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ((𝐹‘1) + 𝐿) ∈ ℝ)
3934rpgt0d 9584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 0 < (𝐹‘1))
4027, 28, 29, 36, 7resqrexlemgt0 10897 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ 𝐿)
4140adantr 274 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝐿)
42 addgtge0 8304 . . . . . . 7 ((((𝐹‘1) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ (0 < (𝐹‘1) ∧ 0 ≤ 𝐿)) → 0 < ((𝐹‘1) + 𝐿))
4335, 37, 39, 41, 42syl22anc 1218 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 0 < ((𝐹‘1) + 𝐿))
4438, 43elrpd 9578 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ((𝐹‘1) + 𝐿) ∈ ℝ+)
4526, 44rpdivcld 9599 . . . 4 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) ∈ ℝ+)
466, 25, 45rspcdva 2818 . . 3 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)))))
47 simpllr 524 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝑗 ∈ ℕ)
48 simplr 520 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))
49 eluznn 9489 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
5047, 48, 49syl2anc 409 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝑘 ∈ ℕ)
5131ad3antrrr 484 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)
5251, 50ffvelrnd 5596 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
53 2z 9174 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
5453a1i 9 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 2 ∈ ℤ)
5552, 54rpexpcld 10552 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐹𝑘)↑2) ∈ ℝ+)
56 fveq2 5461 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑘 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑘))
5756oveq1d 5829 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑘 → ((𝐹𝑥)↑2) = ((𝐹𝑘)↑2))
58 resqrexlemsqa.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑥)↑2))
5957, 58fvmptg 5537 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ ((𝐹𝑘)↑2) ∈ ℝ+) → (𝐺𝑘) = ((𝐹𝑘)↑2))
6050, 55, 59syl2anc 409 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐺𝑘) = ((𝐹𝑘)↑2))
6152rpred 9581 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
6261recnd 7885 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
6337ad3antrrr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝐿 ∈ ℝ)
6463recnd 7885 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝐿 ∈ ℂ)
65 subsq 10503 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → (((𝐹𝑘)↑2) − (𝐿↑2)) = (((𝐹𝑘) + 𝐿) · ((𝐹𝑘) − 𝐿)))
6662, 64, 65syl2anc 409 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (((𝐹𝑘)↑2) − (𝐿↑2)) = (((𝐹𝑘) + 𝐿) · ((𝐹𝑘) − 𝐿)))
6761, 63readdcld 7886 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐹𝑘) + 𝐿) ∈ ℝ)
6861, 63resubcld 8235 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐹𝑘) − 𝐿) ∈ ℝ)
6967, 68remulcld 7887 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (((𝐹𝑘) + 𝐿) · ((𝐹𝑘) − 𝐿)) ∈ ℝ)
7038ad3antrrr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐹‘1) + 𝐿) ∈ ℝ)
7170, 68remulcld 7887 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (((𝐹‘1) + 𝐿) · ((𝐹𝑘) − 𝐿)) ∈ ℝ)
7226ad3antrrr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝑒 ∈ ℝ+)
7372rpred 9581 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝑒 ∈ ℝ)
7428ad4antr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝐴 ∈ ℝ)
7529ad4antr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 0 ≤ 𝐴)
767ad4antr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)))
7727, 74, 75, 63, 76, 50resqrexlemoverl 10898 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝐿 ≤ (𝐹𝑘))
7861, 63subge0d 8389 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (0 ≤ ((𝐹𝑘) − 𝐿) ↔ 𝐿 ≤ (𝐹𝑘)))
7977, 78mpbird 166 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 0 ≤ ((𝐹𝑘) − 𝐿))
80 fveq2 5461 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 1 → (𝐹𝑘) = (𝐹‘1))
8180oveq1d 5829 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 1 → ((𝐹𝑘) + 𝐿) = ((𝐹‘1) + 𝐿))
82 eqle 7947 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹𝑘) + 𝐿) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑘) + 𝐿) = ((𝐹‘1) + 𝐿)) → ((𝐹𝑘) + 𝐿) ≤ ((𝐹‘1) + 𝐿))
8367, 81, 82syl2an 287 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 𝑘 = 1) → ((𝐹𝑘) + 𝐿) ≤ ((𝐹‘1) + 𝐿))
8461adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
8535ad4antr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → (𝐹‘1) ∈ ℝ)
8663adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → 𝐿 ∈ ℝ)
8728ad5antr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → 𝐴 ∈ ℝ)
8829ad5antr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → 0 ≤ 𝐴)
8932a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → 1 ∈ ℕ)
9050adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → 𝑘 ∈ ℕ)
91 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → 1 < 𝑘)
9227, 87, 88, 89, 90, 91resqrexlemdecn 10889 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → (𝐹𝑘) < (𝐹‘1))
9384, 85, 92ltled 7973 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘1))
9484, 85, 86, 93leadd1dd 8413 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → ((𝐹𝑘) + 𝐿) ≤ ((𝐹‘1) + 𝐿))
95 nn1gt1 8846 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 = 1 ∨ 1 < 𝑘))
9650, 95syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝑘 = 1 ∨ 1 < 𝑘))
9783, 94, 96mpjaodan 788 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐹𝑘) + 𝐿) ≤ ((𝐹‘1) + 𝐿))
9867, 70, 68, 79, 97lemul1ad 8789 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (((𝐹𝑘) + 𝐿) · ((𝐹𝑘) − 𝐿)) ≤ (((𝐹‘1) + 𝐿) · ((𝐹𝑘) − 𝐿)))
99 simprl 521 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))
10045ad3antrrr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) ∈ ℝ+)
101100rpred 9581 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) ∈ ℝ)
10261, 63, 101ltsubadd2d 8397 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (((𝐹𝑘) − 𝐿) < (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) ↔ (𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)))))
10399, 102mpbird 166 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐹𝑘) − 𝐿) < (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)))
10444ad3antrrr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐹‘1) + 𝐿) ∈ ℝ+)
10568, 73, 104ltmuldiv2d 9630 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((((𝐹‘1) + 𝐿) · ((𝐹𝑘) − 𝐿)) < 𝑒 ↔ ((𝐹𝑘) − 𝐿) < (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))
106103, 105mpbird 166 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (((𝐹‘1) + 𝐿) · ((𝐹𝑘) − 𝐿)) < 𝑒)
10769, 71, 73, 98, 106lelttrd 7979 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (((𝐹𝑘) + 𝐿) · ((𝐹𝑘) − 𝐿)) < 𝑒)
10866, 107eqbrtrd 3982 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (((𝐹𝑘)↑2) − (𝐿↑2)) < 𝑒)
10961resqcld 10554 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐹𝑘)↑2) ∈ ℝ)
11063resqcld 10554 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐿↑2) ∈ ℝ)
111109, 110, 73ltsubadd2d 8397 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((((𝐹𝑘)↑2) − (𝐿↑2)) < 𝑒 ↔ ((𝐹𝑘)↑2) < ((𝐿↑2) + 𝑒)))
112108, 111mpbid 146 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐹𝑘)↑2) < ((𝐿↑2) + 𝑒))
11360, 112eqbrtrd 3982 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐺𝑘) < ((𝐿↑2) + 𝑒))
11460, 109eqeltrd 2231 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
115114, 73readdcld 7886 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐺𝑘) + 𝑒) ∈ ℝ)
11641ad3antrrr 484 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 0 ≤ 𝐿)
117 le2sq2 10472 . . . . . . . . . 10 (((𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐿) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ≤ (𝐹𝑘))) → (𝐿↑2) ≤ ((𝐹𝑘)↑2))
11863, 116, 61, 77, 117syl22anc 1218 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐿↑2) ≤ ((𝐹𝑘)↑2))
119118, 60breqtrrd 3988 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐿↑2) ≤ (𝐺𝑘))
120114, 72ltaddrpd 9615 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐺𝑘) < ((𝐺𝑘) + 𝑒))
121110, 114, 115, 119, 120lelttrd 7979 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐿↑2) < ((𝐺𝑘) + 𝑒))
122113, 121jca 304 . . . . . 6 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐺𝑘) < ((𝐿↑2) + 𝑒) ∧ (𝐿↑2) < ((𝐺𝑘) + 𝑒)))
123122ex 114 . . . . 5 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)))) → ((𝐺𝑘) < ((𝐿↑2) + 𝑒) ∧ (𝐿↑2) < ((𝐺𝑘) + 𝑒))))
124123ralimdva 2521 . . . 4 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺𝑘) < ((𝐿↑2) + 𝑒) ∧ (𝐿↑2) < ((𝐺𝑘) + 𝑒))))
125124reximdva 2556 . . 3 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)))) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺𝑘) < ((𝐿↑2) + 𝑒) ∧ (𝐿↑2) < ((𝐺𝑘) + 𝑒))))
12646, 125mpd 13 . 2 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺𝑘) < ((𝐿↑2) + 𝑒) ∧ (𝐿↑2) < ((𝐺𝑘) + 𝑒)))
127126ralrimiva 2527 1 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺𝑘) < ((𝐿↑2) + 𝑒) ∧ (𝐿↑2) < ((𝐺𝑘) + 𝑒)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 698   = wceq 1332   ∈ wcel 2125  ∀wral 2432  ∃wrex 2433  {csn 3556   class class class wbr 3961   ↦ cmpt 4021   × cxp 4577  ⟶wf 5159  ‘cfv 5163  (class class class)co 5814   ∈ cmpo 5816  ℂcc 7709  ℝcr 7710  0cc0 7711  1c1 7712   + caddc 7714   · cmul 7716   < clt 7891   ≤ cle 7892   − cmin 8025   / cdiv 8524  ℕcn 8812  2c2 8863  ℤcz 9146  ℤ≥cuz 9418  ℝ+crp 9538  seqcseq 10322  ↑cexp 10396 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-coll 4075  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-iinf 4541  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-mulrcl 7810  ax-addcom 7811  ax-mulcom 7812  ax-addass 7813  ax-mulass 7814  ax-distr 7815  ax-i2m1 7816  ax-0lt1 7817  ax-1rid 7818  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-precex 7821  ax-cnre 7822  ax-pre-ltirr 7823  ax-pre-ltwlin 7824  ax-pre-lttrn 7825  ax-pre-apti 7826  ax-pre-ltadd 7827  ax-pre-mulgt0 7828  ax-pre-mulext 7829 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rmo 2440  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-if 3502  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-tr 4059  df-id 4248  df-po 4251  df-iso 4252  df-iord 4321  df-on 4323  df-ilim 4324  df-suc 4326  df-iom 4544  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-f1 5168  df-fo 5169  df-f1o 5170  df-fv 5171  df-riota 5770  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-1st 6078  df-2nd 6079  df-recs 6242  df-frec 6328  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896  df-le 7897  df-sub 8027  df-neg 8028  df-reap 8429  df-ap 8436  df-div 8525  df-inn 8813  df-2 8871  df-3 8872  df-4 8873  df-n0 9070  df-z 9147  df-uz 9419  df-rp 9539  df-seqfrec 10323  df-exp 10397 This theorem is referenced by:  resqrexlemsqa  10901
 Copyright terms: Public domain W3C validator