resqrexlemglsq - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem resqrexlemglsq 10683

Description: Lemma for resqrex 10687. The sequence formed by squaring each term of 𝐹 converges to (𝐿↑2). (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Aug-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
resqrexlemex.seq	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ⁺, 𝑧 ∈ ℝ⁺ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
resqrexlemgt0.rr	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
resqrexlemgt0.lim	⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)))
resqrexlemsqa.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑥)↑2))

**Assertion**
Ref	Expression
resqrexlemglsq	⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘) < ((𝐿↑2) + 𝑒) ∧ (𝐿↑2) < ((𝐺‘𝑘) + 𝑒)))

Distinct variable groups: 𝑦,𝐴,𝑧 𝑒,𝐹,𝑗,𝑘,𝑖,𝑦,𝑧 𝑥,𝐹,𝑘 𝑒,𝐿,𝑗,𝑘,𝑖,𝑦,𝑧 𝜑,𝑒,𝑖,𝑗,𝑘,𝑦,𝑧 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑥) 𝐴(𝑥,𝑒,𝑖,𝑗,𝑘) 𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑒,𝑖,𝑗,𝑘) 𝐿(𝑥)

Proof of Theorem resqrexlemglsq Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) → (𝐿 + 𝑓) = (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))
2	1	breq2d 3907	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) → ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑓) ↔ (𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)))))
3		oveq2 5736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) → ((𝐹‘𝑘) + 𝑓) = ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))
4	3	breq2d 3907	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) → (𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑓) ↔ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)))))
5	2, 4	anbi12d 462	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) → (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑓) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑓)) ↔ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))))
6	5	rexralbidv 2435	. . . 4 ⊢ (𝑓 = (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑓) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑓)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))))
7		resqrexlemgt0.lim	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)))
8		fveq2 5375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘𝑘))
9	8	breq1d 3905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ↔ (𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑒)))
10	8	oveq1d 5743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑖) + 𝑒) = ((𝐹‘𝑘) + 𝑒))
11	10	breq2d 3907	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒) ↔ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)))
12	9, 11	anbi12d 462	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)) ↔ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒))))
13	12	cbvralv 2628	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)))
14	13	rexbii 2416	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)))
15	14	ralbii 2415	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)))
16	7, 15	sylib 121	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)))
17		oveq2 5736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = 𝑓 → (𝐿 + 𝑒) = (𝐿 + 𝑓))
18	17	breq2d 3907	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = 𝑓 → ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑒) ↔ (𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑓)))
19		oveq2 5736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = 𝑓 → ((𝐹‘𝑘) + 𝑒) = ((𝐹‘𝑘) + 𝑓))
20	19	breq2d 3907	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = 𝑓 → (𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒) ↔ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑓)))
21	18, 20	anbi12d 462	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = 𝑓 → (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)) ↔ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑓) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑓))))
22	21	rexralbidv 2435	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 = 𝑓 → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑓) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑓))))
23	22	cbvralv 2628	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)) ↔ ∀𝑓 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑓) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑓)))
24	16, 23	sylib 121	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑓) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑓)))
25	24	adantr 272	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ∀𝑓 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑓) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑓)))
26		simpr 109	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 𝑒 ∈ ℝ⁺)
27		resqrexlemex.seq	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ⁺, 𝑧 ∈ ℝ⁺ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
28		resqrexlemex.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
29		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
30	27, 28, 29	resqrexlemf 10668	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ⁺)
31	30	adantr 272	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 𝐹:ℕ⟶ℝ⁺)
32		1nn 8638	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℕ
33	32	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 1 ∈ ℕ)
34	31, 33	ffvelrnd 5510	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (𝐹‘1) ∈ ℝ⁺)
35	34	rpred 9379	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (𝐹‘1) ∈ ℝ)
36		resqrexlemgt0.rr	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
37	36	adantr 272	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 𝐿 ∈ ℝ)
38	35, 37	readdcld 7716	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ((𝐹‘1) + 𝐿) ∈ ℝ)
39	34	rpgt0d 9382	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 0 < (𝐹‘1))
40	27, 28, 29, 36, 7	resqrexlemgt0 10681	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐿)
41	40	adantr 272	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 0 ≤ 𝐿)
42		addgtge0 8128	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹‘1) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ (0 < (𝐹‘1) ∧ 0 ≤ 𝐿)) → 0 < ((𝐹‘1) + 𝐿))
43	35, 37, 39, 41, 42	syl22anc 1200	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 0 < ((𝐹‘1) + 𝐿))
44	38, 43	elrpd 9377	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ((𝐹‘1) + 𝐿) ∈ ℝ⁺)
45	26, 44	rpdivcld 9397	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) ∈ ℝ⁺)
46	6, 25, 45	rspcdva 2765	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)))))
47		simpllr 506	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝑗 ∈ ℕ)
48		simplr 502	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗))
49		eluznn 9293	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
50	47, 48, 49	syl2anc 406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝑘 ∈ ℕ)
51	31	ad3antrrr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝐹:ℕ⟶ℝ⁺)
52	51, 50	ffvelrnd 5510	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ⁺)
53		2z 8983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
54	53	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 2 ∈ ℤ)
55	52, 54	rpexpcld 10338	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐹‘𝑘)↑2) ∈ ℝ⁺)
56		fveq2 5375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑘))
57	56	oveq1d 5743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑥)↑2) = ((𝐹‘𝑘)↑2))
58		resqrexlemsqa.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑥)↑2))
59	57, 58	fvmptg 5451	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ ((𝐹‘𝑘)↑2) ∈ ℝ⁺) → (𝐺‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘)↑2))
60	50, 55, 59	syl2anc 406	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐺‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘)↑2))
61	52	rpred 9379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
62	61	recnd 7715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
63	37	ad3antrrr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝐿 ∈ ℝ)
64	63	recnd 7715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝐿 ∈ ℂ)
65		subsq 10289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → (((𝐹‘𝑘)↑2) − (𝐿↑2)) = (((𝐹‘𝑘) + 𝐿) · ((𝐹‘𝑘) − 𝐿)))
66	62, 64, 65	syl2anc 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (((𝐹‘𝑘)↑2) − (𝐿↑2)) = (((𝐹‘𝑘) + 𝐿) · ((𝐹‘𝑘) − 𝐿)))
67	61, 63	readdcld 7716	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐹‘𝑘) + 𝐿) ∈ ℝ)
68	61, 63	resubcld 8059	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐹‘𝑘) − 𝐿) ∈ ℝ)
69	67, 68	remulcld 7717	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (((𝐹‘𝑘) + 𝐿) · ((𝐹‘𝑘) − 𝐿)) ∈ ℝ)
70	38	ad3antrrr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐹‘1) + 𝐿) ∈ ℝ)
71	70, 68	remulcld 7717	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (((𝐹‘1) + 𝐿) · ((𝐹‘𝑘) − 𝐿)) ∈ ℝ)
72	26	ad3antrrr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝑒 ∈ ℝ⁺)
73	72	rpred 9379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝑒 ∈ ℝ)
74	28	ad4antr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝐴 ∈ ℝ)
75	29	ad4antr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 0 ≤ 𝐴)
76	7	ad4antr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)))
77	27, 74, 75, 63, 76, 50	resqrexlemoverl 10682	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝐿 ≤ (𝐹‘𝑘))
78	61, 63	subge0d 8212	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (0 ≤ ((𝐹‘𝑘) − 𝐿) ↔ 𝐿 ≤ (𝐹‘𝑘)))
79	77, 78	mpbird 166	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 0 ≤ ((𝐹‘𝑘) − 𝐿))
80		fveq2 5375	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘1))
81	80	oveq1d 5743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝐹‘𝑘) + 𝐿) = ((𝐹‘1) + 𝐿))
82		eqle 7775	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹‘𝑘) + 𝐿) ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝑘) + 𝐿) = ((𝐹‘1) + 𝐿)) → ((𝐹‘𝑘) + 𝐿) ≤ ((𝐹‘1) + 𝐿))
83	67, 81, 82	syl2an 285	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 𝑘 = 1) → ((𝐹‘𝑘) + 𝐿) ≤ ((𝐹‘1) + 𝐿))
84	61	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
85	35	ad4antr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → (𝐹‘1) ∈ ℝ)
86	63	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → 𝐿 ∈ ℝ)
87	28	ad5antr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → 𝐴 ∈ ℝ)
88	29	ad5antr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → 0 ≤ 𝐴)
89	32	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → 1 ∈ ℕ)
90	50	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → 𝑘 ∈ ℕ)
91		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → 1 < 𝑘)
92	27, 87, 88, 89, 90, 91	resqrexlemdecn 10673	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘1))
93	84, 85, 92	ltled 7801	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘1))
94	84, 85, 86, 93	leadd1dd 8236	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → ((𝐹‘𝑘) + 𝐿) ≤ ((𝐹‘1) + 𝐿))
95		nn1gt1 8661	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 = 1 ∨ 1 < 𝑘))
96	50, 95	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝑘 = 1 ∨ 1 < 𝑘))
97	83, 94, 96	mpjaodan 770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐹‘𝑘) + 𝐿) ≤ ((𝐹‘1) + 𝐿))
98	67, 70, 68, 79, 97	lemul1ad 8604	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (((𝐹‘𝑘) + 𝐿) · ((𝐹‘𝑘) − 𝐿)) ≤ (((𝐹‘1) + 𝐿) · ((𝐹‘𝑘) − 𝐿)))
99		simprl 503	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))
100	45	ad3antrrr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) ∈ ℝ⁺)
101	100	rpred 9379	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) ∈ ℝ)
102	61, 63, 101	ltsubadd2d 8220	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (((𝐹‘𝑘) − 𝐿) < (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) ↔ (𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)))))
103	99, 102	mpbird 166	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐹‘𝑘) − 𝐿) < (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)))
104	44	ad3antrrr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐹‘1) + 𝐿) ∈ ℝ⁺)
105	68, 73, 104	ltmuldiv2d 9428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((((𝐹‘1) + 𝐿) · ((𝐹‘𝑘) − 𝐿)) < 𝑒 ↔ ((𝐹‘𝑘) − 𝐿) < (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))
106	103, 105	mpbird 166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (((𝐹‘1) + 𝐿) · ((𝐹‘𝑘) − 𝐿)) < 𝑒)
107	69, 71, 73, 98, 106	lelttrd 7807	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (((𝐹‘𝑘) + 𝐿) · ((𝐹‘𝑘) − 𝐿)) < 𝑒)
108	66, 107	eqbrtrd 3915	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (((𝐹‘𝑘)↑2) − (𝐿↑2)) < 𝑒)
109	61	resqcld 10340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐹‘𝑘)↑2) ∈ ℝ)
110	63	resqcld 10340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐿↑2) ∈ ℝ)
111	109, 110, 73	ltsubadd2d 8220	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((((𝐹‘𝑘)↑2) − (𝐿↑2)) < 𝑒 ↔ ((𝐹‘𝑘)↑2) < ((𝐿↑2) + 𝑒)))
112	108, 111	mpbid 146	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐹‘𝑘)↑2) < ((𝐿↑2) + 𝑒))
113	60, 112	eqbrtrd 3915	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐺‘𝑘) < ((𝐿↑2) + 𝑒))
114	60, 109	eqeltrd 2191	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
115	114, 73	readdcld 7716	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐺‘𝑘) + 𝑒) ∈ ℝ)
116	41	ad3antrrr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 0 ≤ 𝐿)
117		le2sq2 10258	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐿) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ≤ (𝐹‘𝑘))) → (𝐿↑2) ≤ ((𝐹‘𝑘)↑2))
118	63, 116, 61, 77, 117	syl22anc 1200	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐿↑2) ≤ ((𝐹‘𝑘)↑2))
119	118, 60	breqtrrd 3921	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐿↑2) ≤ (𝐺‘𝑘))
120	114, 72	ltaddrpd 9413	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐺‘𝑘) < ((𝐺‘𝑘) + 𝑒))
121	110, 114, 115, 119, 120	lelttrd 7807	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐿↑2) < ((𝐺‘𝑘) + 𝑒))
122	113, 121	jca 302	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐺‘𝑘) < ((𝐿↑2) + 𝑒) ∧ (𝐿↑2) < ((𝐺‘𝑘) + 𝑒)))
123	122	ex 114	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)))) → ((𝐺‘𝑘) < ((𝐿↑2) + 𝑒) ∧ (𝐿↑2) < ((𝐺‘𝑘) + 𝑒))))
124	123	ralimdva 2473	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘) < ((𝐿↑2) + 𝑒) ∧ (𝐿↑2) < ((𝐺‘𝑘) + 𝑒))))
125	124	reximdva 2508	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)))) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘) < ((𝐿↑2) + 𝑒) ∧ (𝐿↑2) < ((𝐺‘𝑘) + 𝑒))))
126	46, 125	mpd 13	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘) < ((𝐿↑2) + 𝑒) ∧ (𝐿↑2) < ((𝐺‘𝑘) + 𝑒)))
127	126	ralrimiva 2479	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘) < ((𝐿↑2) + 𝑒) ∧ (𝐿↑2) < ((𝐺‘𝑘) + 𝑒)))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 103 ∨ wo 680 = wceq 1314 ∈ wcel 1463 ∀wral 2390 ∃wrex 2391 {csn 3493 class class class wbr 3895 ↦ cmpt 3949 × cxp 4497 ⟶wf 5077 ‘cfv 5081 (class class class)co 5728 ∈ cmpo 5730 ℂcc 7542 ℝcr 7543 0cc0 7544 1c1 7545 + caddc 7547 · cmul 7549 < clt 7721 ≤ cle 7722 − cmin 7853 / cdiv 8342 ℕcn 8627 2c2 8678 ℤcz 8955 ℤ_≥cuz 9225 ℝ⁺crp 9340 seqcseq 10108 ↑cexp 10182

This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 586 ax-in2 587 ax-io 681 ax-5 1406 ax-7 1407 ax-gen 1408 ax-ie1 1452 ax-ie2 1453 ax-8 1465 ax-10 1466 ax-11 1467 ax-i12 1468 ax-bndl 1469 ax-4 1470 ax-13 1474 ax-14 1475 ax-17 1489 ax-i9 1493 ax-ial 1497 ax-i5r 1498 ax-ext 2097 ax-coll 4003 ax-sep 4006 ax-nul 4014 ax-pow 4058 ax-pr 4091 ax-un 4315 ax-setind 4412 ax-iinf 4462 ax-cnex 7633 ax-resscn 7634 ax-1cn 7635 ax-1re 7636 ax-icn 7637 ax-addcl 7638 ax-addrcl 7639 ax-mulcl 7640 ax-mulrcl 7641 ax-addcom 7642 ax-mulcom 7643 ax-addass 7644 ax-mulass 7645 ax-distr 7646 ax-i2m1 7647 ax-0lt1 7648 ax-1rid 7649 ax-0id 7650 ax-rnegex 7651 ax-precex 7652 ax-cnre 7653 ax-pre-ltirr 7654 ax-pre-ltwlin 7655 ax-pre-lttrn 7656 ax-pre-apti 7657 ax-pre-ltadd 7658 ax-pre-mulgt0 7659 ax-pre-mulext 7660

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 803 df-3or 946 df-3an 947 df-tru 1317 df-fal 1320 df-nf 1420 df-sb 1719 df-eu 1978 df-mo 1979 df-clab 2102 df-cleq 2108 df-clel 2111 df-nfc 2244 df-ne 2283 df-nel 2378 df-ral 2395 df-rex 2396 df-reu 2397 df-rmo 2398 df-rab 2399 df-v 2659 df-sbc 2879 df-csb 2972 df-dif 3039 df-un 3041 df-in 3043 df-ss 3050 df-nul 3330 df-if 3441 df-pw 3478 df-sn 3499 df-pr 3500 df-op 3502 df-uni 3703 df-int 3738 df-iun 3781 df-br 3896 df-opab 3950 df-mpt 3951 df-tr 3987 df-id 4175 df-po 4178 df-iso 4179 df-iord 4248 df-on 4250 df-ilim 4251 df-suc 4253 df-iom 4465 df-xp 4505 df-rel 4506 df-cnv 4507 df-co 4508 df-dm 4509 df-rn 4510 df-res 4511 df-ima 4512 df-iota 5046 df-fun 5083 df-fn 5084 df-f 5085 df-f1 5086 df-fo 5087 df-f1o 5088 df-fv 5089 df-riota 5684 df-ov 5731 df-oprab 5732 df-mpo 5733 df-1st 5992 df-2nd 5993 df-recs 6156 df-frec 6242 df-pnf 7723 df-mnf 7724 df-xr 7725 df-ltxr 7726 df-le 7727 df-sub 7855 df-neg 7856 df-reap 8252 df-ap 8259 df-div 8343 df-inn 8628 df-2 8686 df-3 8687 df-4 8688 df-n0 8879 df-z 8956 df-uz 9226 df-rp 9341 df-seqfrec 10109 df-exp 10183

This theorem is referenced by: resqrexlemsqa 10685

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