resqrexlemglsq - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem resqrexlemglsq 11573

Description: Lemma for resqrex 11577. The sequence formed by squaring each term of 𝐹 converges to (𝐿↑2). (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Aug-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
resqrexlemex.seq	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ⁺, 𝑧 ∈ ℝ⁺ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
resqrexlemgt0.rr	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
resqrexlemgt0.lim	⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)))
resqrexlemsqa.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑥)↑2))

**Assertion**
Ref	Expression
resqrexlemglsq	⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘) < ((𝐿↑2) + 𝑒) ∧ (𝐿↑2) < ((𝐺‘𝑘) + 𝑒)))

Distinct variable groups: 𝑦,𝐴,𝑧 𝑒,𝐹,𝑗,𝑘,𝑖,𝑦,𝑧 𝑥,𝐹,𝑘 𝑒,𝐿,𝑗,𝑘,𝑖,𝑦,𝑧 𝜑,𝑒,𝑖,𝑗,𝑘,𝑦,𝑧 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑥) 𝐴(𝑥,𝑒,𝑖,𝑗,𝑘) 𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑒,𝑖,𝑗,𝑘) 𝐿(𝑥)

Proof of Theorem resqrexlemglsq Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6021	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) → (𝐿 + 𝑓) = (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))
2	1	breq2d 4098	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) → ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑓) ↔ (𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)))))
3		oveq2 6021	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) → ((𝐹‘𝑘) + 𝑓) = ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))
4	3	breq2d 4098	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) → (𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑓) ↔ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)))))
5	2, 4	anbi12d 473	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) → (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑓) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑓)) ↔ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))))
6	5	rexralbidv 2556	. . . 4 ⊢ (𝑓 = (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑓) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑓)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))))
7		resqrexlemgt0.lim	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)))
8		fveq2 5635	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘𝑘))
9	8	breq1d 4096	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ↔ (𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑒)))
10	8	oveq1d 6028	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑖) + 𝑒) = ((𝐹‘𝑘) + 𝑒))
11	10	breq2d 4098	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒) ↔ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)))
12	9, 11	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)) ↔ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒))))
13	12	cbvralv 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)))
14	13	rexbii 2537	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)))
15	14	ralbii 2536	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)))
16	7, 15	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)))
17		oveq2 6021	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = 𝑓 → (𝐿 + 𝑒) = (𝐿 + 𝑓))
18	17	breq2d 4098	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = 𝑓 → ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑒) ↔ (𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑓)))
19		oveq2 6021	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = 𝑓 → ((𝐹‘𝑘) + 𝑒) = ((𝐹‘𝑘) + 𝑓))
20	19	breq2d 4098	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = 𝑓 → (𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒) ↔ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑓)))
21	18, 20	anbi12d 473	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = 𝑓 → (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)) ↔ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑓) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑓))))
22	21	rexralbidv 2556	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 = 𝑓 → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑓) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑓))))
23	22	cbvralv 2765	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)) ↔ ∀𝑓 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑓) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑓)))
24	16, 23	sylib 122	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑓) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑓)))
25	24	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ∀𝑓 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑓) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑓)))
26		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 𝑒 ∈ ℝ⁺)
27		resqrexlemex.seq	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ⁺, 𝑧 ∈ ℝ⁺ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
28		resqrexlemex.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
29		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
30	27, 28, 29	resqrexlemf 11558	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ⁺)
31	30	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 𝐹:ℕ⟶ℝ⁺)
32		1nn 9144	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℕ
33	32	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 1 ∈ ℕ)
34	31, 33	ffvelcdmd 5779	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (𝐹‘1) ∈ ℝ⁺)
35	34	rpred 9921	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (𝐹‘1) ∈ ℝ)
36		resqrexlemgt0.rr	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
37	36	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 𝐿 ∈ ℝ)
38	35, 37	readdcld 8199	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ((𝐹‘1) + 𝐿) ∈ ℝ)
39	34	rpgt0d 9924	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 0 < (𝐹‘1))
40	27, 28, 29, 36, 7	resqrexlemgt0 11571	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐿)
41	40	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 0 ≤ 𝐿)
42		addgtge0 8620	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹‘1) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ (0 < (𝐹‘1) ∧ 0 ≤ 𝐿)) → 0 < ((𝐹‘1) + 𝐿))
43	35, 37, 39, 41, 42	syl22anc 1272	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 0 < ((𝐹‘1) + 𝐿))
44	38, 43	elrpd 9918	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ((𝐹‘1) + 𝐿) ∈ ℝ⁺)
45	26, 44	rpdivcld 9939	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) ∈ ℝ⁺)
46	6, 25, 45	rspcdva 2913	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)))))
47		simpllr 534	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝑗 ∈ ℕ)
48		simplr 528	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗))
49		eluznn 9824	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
50	47, 48, 49	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝑘 ∈ ℕ)
51	31	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝐹:ℕ⟶ℝ⁺)
52	51, 50	ffvelcdmd 5779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ⁺)
53		2z 9497	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
54	53	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 2 ∈ ℤ)
55	52, 54	rpexpcld 10949	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐹‘𝑘)↑2) ∈ ℝ⁺)
56		fveq2 5635	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑘))
57	56	oveq1d 6028	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑥)↑2) = ((𝐹‘𝑘)↑2))
58		resqrexlemsqa.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑥)↑2))
59	57, 58	fvmptg 5718	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ ((𝐹‘𝑘)↑2) ∈ ℝ⁺) → (𝐺‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘)↑2))
60	50, 55, 59	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐺‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘)↑2))
61	52	rpred 9921	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
62	61	recnd 8198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
63	37	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝐿 ∈ ℝ)
64	63	recnd 8198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝐿 ∈ ℂ)
65		subsq 10898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → (((𝐹‘𝑘)↑2) − (𝐿↑2)) = (((𝐹‘𝑘) + 𝐿) · ((𝐹‘𝑘) − 𝐿)))
66	62, 64, 65	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (((𝐹‘𝑘)↑2) − (𝐿↑2)) = (((𝐹‘𝑘) + 𝐿) · ((𝐹‘𝑘) − 𝐿)))
67	61, 63	readdcld 8199	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐹‘𝑘) + 𝐿) ∈ ℝ)
68	61, 63	resubcld 8550	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐹‘𝑘) − 𝐿) ∈ ℝ)
69	67, 68	remulcld 8200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (((𝐹‘𝑘) + 𝐿) · ((𝐹‘𝑘) − 𝐿)) ∈ ℝ)
70	38	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐹‘1) + 𝐿) ∈ ℝ)
71	70, 68	remulcld 8200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (((𝐹‘1) + 𝐿) · ((𝐹‘𝑘) − 𝐿)) ∈ ℝ)
72	26	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝑒 ∈ ℝ⁺)
73	72	rpred 9921	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝑒 ∈ ℝ)
74	28	ad4antr 494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝐴 ∈ ℝ)
75	29	ad4antr 494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 0 ≤ 𝐴)
76	7	ad4antr 494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)))
77	27, 74, 75, 63, 76, 50	resqrexlemoverl 11572	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝐿 ≤ (𝐹‘𝑘))
78	61, 63	subge0d 8705	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (0 ≤ ((𝐹‘𝑘) − 𝐿) ↔ 𝐿 ≤ (𝐹‘𝑘)))
79	77, 78	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 0 ≤ ((𝐹‘𝑘) − 𝐿))
80		fveq2 5635	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘1))
81	80	oveq1d 6028	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝐹‘𝑘) + 𝐿) = ((𝐹‘1) + 𝐿))
82		eqle 8261	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹‘𝑘) + 𝐿) ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝑘) + 𝐿) = ((𝐹‘1) + 𝐿)) → ((𝐹‘𝑘) + 𝐿) ≤ ((𝐹‘1) + 𝐿))
83	67, 81, 82	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 𝑘 = 1) → ((𝐹‘𝑘) + 𝐿) ≤ ((𝐹‘1) + 𝐿))
84	61	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
85	35	ad4antr 494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → (𝐹‘1) ∈ ℝ)
86	63	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → 𝐿 ∈ ℝ)
87	28	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → 𝐴 ∈ ℝ)
88	29	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → 0 ≤ 𝐴)
89	32	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → 1 ∈ ℕ)
90	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → 𝑘 ∈ ℕ)
91		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → 1 < 𝑘)
92	27, 87, 88, 89, 90, 91	resqrexlemdecn 11563	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘1))
93	84, 85, 92	ltled 8288	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘1))
94	84, 85, 86, 93	leadd1dd 8729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → ((𝐹‘𝑘) + 𝐿) ≤ ((𝐹‘1) + 𝐿))
95		nn1gt1 9167	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 = 1 ∨ 1 < 𝑘))
96	50, 95	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝑘 = 1 ∨ 1 < 𝑘))
97	83, 94, 96	mpjaodan 803	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐹‘𝑘) + 𝐿) ≤ ((𝐹‘1) + 𝐿))
98	67, 70, 68, 79, 97	lemul1ad 9109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (((𝐹‘𝑘) + 𝐿) · ((𝐹‘𝑘) − 𝐿)) ≤ (((𝐹‘1) + 𝐿) · ((𝐹‘𝑘) − 𝐿)))
99		simprl 529	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))
100	45	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) ∈ ℝ⁺)
101	100	rpred 9921	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) ∈ ℝ)
102	61, 63, 101	ltsubadd2d 8713	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (((𝐹‘𝑘) − 𝐿) < (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) ↔ (𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)))))
103	99, 102	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐹‘𝑘) − 𝐿) < (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)))
104	44	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐹‘1) + 𝐿) ∈ ℝ⁺)
105	68, 73, 104	ltmuldiv2d 9970	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((((𝐹‘1) + 𝐿) · ((𝐹‘𝑘) − 𝐿)) < 𝑒 ↔ ((𝐹‘𝑘) − 𝐿) < (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))
106	103, 105	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (((𝐹‘1) + 𝐿) · ((𝐹‘𝑘) − 𝐿)) < 𝑒)
107	69, 71, 73, 98, 106	lelttrd 8294	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (((𝐹‘𝑘) + 𝐿) · ((𝐹‘𝑘) − 𝐿)) < 𝑒)
108	66, 107	eqbrtrd 4108	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (((𝐹‘𝑘)↑2) − (𝐿↑2)) < 𝑒)
109	61	resqcld 10951	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐹‘𝑘)↑2) ∈ ℝ)
110	63	resqcld 10951	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐿↑2) ∈ ℝ)
111	109, 110, 73	ltsubadd2d 8713	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((((𝐹‘𝑘)↑2) − (𝐿↑2)) < 𝑒 ↔ ((𝐹‘𝑘)↑2) < ((𝐿↑2) + 𝑒)))
112	108, 111	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐹‘𝑘)↑2) < ((𝐿↑2) + 𝑒))
113	60, 112	eqbrtrd 4108	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐺‘𝑘) < ((𝐿↑2) + 𝑒))
114	60, 109	eqeltrd 2306	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
115	114, 73	readdcld 8199	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐺‘𝑘) + 𝑒) ∈ ℝ)
116	41	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 0 ≤ 𝐿)
117		le2sq2 10867	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐿) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ≤ (𝐹‘𝑘))) → (𝐿↑2) ≤ ((𝐹‘𝑘)↑2))
118	63, 116, 61, 77, 117	syl22anc 1272	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐿↑2) ≤ ((𝐹‘𝑘)↑2))
119	118, 60	breqtrrd 4114	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐿↑2) ≤ (𝐺‘𝑘))
120	114, 72	ltaddrpd 9955	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐺‘𝑘) < ((𝐺‘𝑘) + 𝑒))
121	110, 114, 115, 119, 120	lelttrd 8294	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐿↑2) < ((𝐺‘𝑘) + 𝑒))
122	113, 121	jca 306	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐺‘𝑘) < ((𝐿↑2) + 𝑒) ∧ (𝐿↑2) < ((𝐺‘𝑘) + 𝑒)))
123	122	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)))) → ((𝐺‘𝑘) < ((𝐿↑2) + 𝑒) ∧ (𝐿↑2) < ((𝐺‘𝑘) + 𝑒))))
124	123	ralimdva 2597	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘) < ((𝐿↑2) + 𝑒) ∧ (𝐿↑2) < ((𝐺‘𝑘) + 𝑒))))
125	124	reximdva 2632	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)))) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘) < ((𝐿↑2) + 𝑒) ∧ (𝐿↑2) < ((𝐺‘𝑘) + 𝑒))))
126	46, 125	mpd 13	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘) < ((𝐿↑2) + 𝑒) ∧ (𝐿↑2) < ((𝐺‘𝑘) + 𝑒)))
127	126	ralrimiva 2603	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘) < ((𝐿↑2) + 𝑒) ∧ (𝐿↑2) < ((𝐺‘𝑘) + 𝑒)))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 104 ∨ wo 713 = wceq 1395 ∈ wcel 2200 ∀wral 2508 ∃wrex 2509 {csn 3667 class class class wbr 4086 ↦ cmpt 4148 × cxp 4721 ⟶wf 5320 ‘cfv 5324 (class class class)co 6013 ∈ cmpo 6015 ℂcc 8020 ℝcr 8021 0cc0 8022 1c1 8023 + caddc 8025 · cmul 8027 < clt 8204 ≤ cle 8205 − cmin 8340 / cdiv 8842 ℕcn 9133 2c2 9184 ℤcz 9469 ℤ_≥cuz 9745 ℝ⁺crp 9878 seqcseq 10699 ↑cexp 10790

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4202 ax-sep 4205 ax-nul 4213 ax-pow 4262 ax-pr 4297 ax-un 4528 ax-setind 4633 ax-iinf 4684 ax-cnex 8113 ax-resscn 8114 ax-1cn 8115 ax-1re 8116 ax-icn 8117 ax-addcl 8118 ax-addrcl 8119 ax-mulcl 8120 ax-mulrcl 8121 ax-addcom 8122 ax-mulcom 8123 ax-addass 8124 ax-mulass 8125 ax-distr 8126 ax-i2m1 8127 ax-0lt1 8128 ax-1rid 8129 ax-0id 8130 ax-rnegex 8131 ax-precex 8132 ax-cnre 8133 ax-pre-ltirr 8134 ax-pre-ltwlin 8135 ax-pre-lttrn 8136 ax-pre-apti 8137 ax-pre-ltadd 8138 ax-pre-mulgt0 8139 ax-pre-mulext 8140

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rmo 2516 df-rab 2517 df-v 2802 df-sbc 3030 df-csb 3126 df-dif 3200 df-un 3202 df-in 3204 df-ss 3211 df-nul 3493 df-if 3604 df-pw 3652 df-sn 3673 df-pr 3674 df-op 3676 df-uni 3892 df-int 3927 df-iun 3970 df-br 4087 df-opab 4149 df-mpt 4150 df-tr 4186 df-id 4388 df-po 4391 df-iso 4392 df-iord 4461 df-on 4463 df-ilim 4464 df-suc 4466 df-iom 4687 df-xp 4729 df-rel 4730 df-cnv 4731 df-co 4732 df-dm 4733 df-rn 4734 df-res 4735 df-ima 4736 df-iota 5284 df-fun 5326 df-fn 5327 df-f 5328 df-f1 5329 df-fo 5330 df-f1o 5331 df-fv 5332 df-riota 5966 df-ov 6016 df-oprab 6017 df-mpo 6018 df-1st 6298 df-2nd 6299 df-recs 6466 df-frec 6552 df-pnf 8206 df-mnf 8207 df-xr 8208 df-ltxr 8209 df-le 8210 df-sub 8342 df-neg 8343 df-reap 8745 df-ap 8752 df-div 8843 df-inn 9134 df-2 9192 df-3 9193 df-4 9194 df-n0 9393 df-z 9470 df-uz 9746 df-rp 9879 df-seqfrec 10700 df-exp 10791

This theorem is referenced by: resqrexlemsqa 11575

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