resqrexlemglsq - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem resqrexlemglsq 10986

Description: Lemma for resqrex 10990. The sequence formed by squaring each term of 𝐹 converges to (𝐿↑2). (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Aug-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
resqrexlemex.seq	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ⁺, 𝑧 ∈ ℝ⁺ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
resqrexlemgt0.rr	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
resqrexlemgt0.lim	⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)))
resqrexlemsqa.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑥)↑2))

**Assertion**
Ref	Expression
resqrexlemglsq	⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘) < ((𝐿↑2) + 𝑒) ∧ (𝐿↑2) < ((𝐺‘𝑘) + 𝑒)))

Distinct variable groups: 𝑦,𝐴,𝑧 𝑒,𝐹,𝑗,𝑘,𝑖,𝑦,𝑧 𝑥,𝐹,𝑘 𝑒,𝐿,𝑗,𝑘,𝑖,𝑦,𝑧 𝜑,𝑒,𝑖,𝑗,𝑘,𝑦,𝑧 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑥) 𝐴(𝑥,𝑒,𝑖,𝑗,𝑘) 𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑒,𝑖,𝑗,𝑘) 𝐿(𝑥)

Proof of Theorem resqrexlemglsq Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5861	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) → (𝐿 + 𝑓) = (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))
2	1	breq2d 4001	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) → ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑓) ↔ (𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)))))
3		oveq2 5861	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) → ((𝐹‘𝑘) + 𝑓) = ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))
4	3	breq2d 4001	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) → (𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑓) ↔ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)))))
5	2, 4	anbi12d 470	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) → (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑓) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑓)) ↔ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))))
6	5	rexralbidv 2496	. . . 4 ⊢ (𝑓 = (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑓) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑓)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))))
7		resqrexlemgt0.lim	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)))
8		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘𝑘))
9	8	breq1d 3999	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ↔ (𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑒)))
10	8	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑖) + 𝑒) = ((𝐹‘𝑘) + 𝑒))
11	10	breq2d 4001	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒) ↔ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)))
12	9, 11	anbi12d 470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)) ↔ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒))))
13	12	cbvralv 2696	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)))
14	13	rexbii 2477	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)))
15	14	ralbii 2476	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)))
16	7, 15	sylib 121	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)))
17		oveq2 5861	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = 𝑓 → (𝐿 + 𝑒) = (𝐿 + 𝑓))
18	17	breq2d 4001	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = 𝑓 → ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑒) ↔ (𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑓)))
19		oveq2 5861	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = 𝑓 → ((𝐹‘𝑘) + 𝑒) = ((𝐹‘𝑘) + 𝑓))
20	19	breq2d 4001	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = 𝑓 → (𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒) ↔ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑓)))
21	18, 20	anbi12d 470	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = 𝑓 → (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)) ↔ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑓) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑓))))
22	21	rexralbidv 2496	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 = 𝑓 → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑓) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑓))))
23	22	cbvralv 2696	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑒)) ↔ ∀𝑓 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑓) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑓)))
24	16, 23	sylib 121	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑓) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑓)))
25	24	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ∀𝑓 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑓) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑓)))
26		simpr 109	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 𝑒 ∈ ℝ⁺)
27		resqrexlemex.seq	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ⁺, 𝑧 ∈ ℝ⁺ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
28		resqrexlemex.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
29		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
30	27, 28, 29	resqrexlemf 10971	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ⁺)
31	30	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 𝐹:ℕ⟶ℝ⁺)
32		1nn 8889	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℕ
33	32	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 1 ∈ ℕ)
34	31, 33	ffvelrnd 5632	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (𝐹‘1) ∈ ℝ⁺)
35	34	rpred 9653	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (𝐹‘1) ∈ ℝ)
36		resqrexlemgt0.rr	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
37	36	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 𝐿 ∈ ℝ)
38	35, 37	readdcld 7949	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ((𝐹‘1) + 𝐿) ∈ ℝ)
39	34	rpgt0d 9656	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 0 < (𝐹‘1))
40	27, 28, 29, 36, 7	resqrexlemgt0 10984	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐿)
41	40	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 0 ≤ 𝐿)
42		addgtge0 8369	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹‘1) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ (0 < (𝐹‘1) ∧ 0 ≤ 𝐿)) → 0 < ((𝐹‘1) + 𝐿))
43	35, 37, 39, 41, 42	syl22anc 1234	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 0 < ((𝐹‘1) + 𝐿))
44	38, 43	elrpd 9650	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ((𝐹‘1) + 𝐿) ∈ ℝ⁺)
45	26, 44	rpdivcld 9671	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) ∈ ℝ⁺)
46	6, 25, 45	rspcdva 2839	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)))))
47		simpllr 529	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝑗 ∈ ℕ)
48		simplr 525	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗))
49		eluznn 9559	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
50	47, 48, 49	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝑘 ∈ ℕ)
51	31	ad3antrrr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝐹:ℕ⟶ℝ⁺)
52	51, 50	ffvelrnd 5632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ⁺)
53		2z 9240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
54	53	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 2 ∈ ℤ)
55	52, 54	rpexpcld 10633	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐹‘𝑘)↑2) ∈ ℝ⁺)
56		fveq2 5496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑘))
57	56	oveq1d 5868	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑥)↑2) = ((𝐹‘𝑘)↑2))
58		resqrexlemsqa.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑥)↑2))
59	57, 58	fvmptg 5572	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ ((𝐹‘𝑘)↑2) ∈ ℝ⁺) → (𝐺‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘)↑2))
60	50, 55, 59	syl2anc 409	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐺‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘)↑2))
61	52	rpred 9653	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
62	61	recnd 7948	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
63	37	ad3antrrr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝐿 ∈ ℝ)
64	63	recnd 7948	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝐿 ∈ ℂ)
65		subsq 10582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → (((𝐹‘𝑘)↑2) − (𝐿↑2)) = (((𝐹‘𝑘) + 𝐿) · ((𝐹‘𝑘) − 𝐿)))
66	62, 64, 65	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (((𝐹‘𝑘)↑2) − (𝐿↑2)) = (((𝐹‘𝑘) + 𝐿) · ((𝐹‘𝑘) − 𝐿)))
67	61, 63	readdcld 7949	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐹‘𝑘) + 𝐿) ∈ ℝ)
68	61, 63	resubcld 8300	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐹‘𝑘) − 𝐿) ∈ ℝ)
69	67, 68	remulcld 7950	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (((𝐹‘𝑘) + 𝐿) · ((𝐹‘𝑘) − 𝐿)) ∈ ℝ)
70	38	ad3antrrr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐹‘1) + 𝐿) ∈ ℝ)
71	70, 68	remulcld 7950	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (((𝐹‘1) + 𝐿) · ((𝐹‘𝑘) − 𝐿)) ∈ ℝ)
72	26	ad3antrrr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝑒 ∈ ℝ⁺)
73	72	rpred 9653	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝑒 ∈ ℝ)
74	28	ad4antr 491	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝐴 ∈ ℝ)
75	29	ad4antr 491	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 0 ≤ 𝐴)
76	7	ad4antr 491	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)))
77	27, 74, 75, 63, 76, 50	resqrexlemoverl 10985	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 𝐿 ≤ (𝐹‘𝑘))
78	61, 63	subge0d 8454	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (0 ≤ ((𝐹‘𝑘) − 𝐿) ↔ 𝐿 ≤ (𝐹‘𝑘)))
79	77, 78	mpbird 166	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 0 ≤ ((𝐹‘𝑘) − 𝐿))
80		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘1))
81	80	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝐹‘𝑘) + 𝐿) = ((𝐹‘1) + 𝐿))
82		eqle 8011	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹‘𝑘) + 𝐿) ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝑘) + 𝐿) = ((𝐹‘1) + 𝐿)) → ((𝐹‘𝑘) + 𝐿) ≤ ((𝐹‘1) + 𝐿))
83	67, 81, 82	syl2an 287	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 𝑘 = 1) → ((𝐹‘𝑘) + 𝐿) ≤ ((𝐹‘1) + 𝐿))
84	61	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
85	35	ad4antr 491	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → (𝐹‘1) ∈ ℝ)
86	63	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → 𝐿 ∈ ℝ)
87	28	ad5antr 493	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → 𝐴 ∈ ℝ)
88	29	ad5antr 493	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → 0 ≤ 𝐴)
89	32	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → 1 ∈ ℕ)
90	50	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → 𝑘 ∈ ℕ)
91		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → 1 < 𝑘)
92	27, 87, 88, 89, 90, 91	resqrexlemdecn 10976	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → (𝐹‘𝑘) < (𝐹‘1))
93	84, 85, 92	ltled 8038	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘1))
94	84, 85, 86, 93	leadd1dd 8478	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) ∧ 1 < 𝑘) → ((𝐹‘𝑘) + 𝐿) ≤ ((𝐹‘1) + 𝐿))
95		nn1gt1 8912	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 = 1 ∨ 1 < 𝑘))
96	50, 95	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝑘 = 1 ∨ 1 < 𝑘))
97	83, 94, 96	mpjaodan 793	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐹‘𝑘) + 𝐿) ≤ ((𝐹‘1) + 𝐿))
98	67, 70, 68, 79, 97	lemul1ad 8855	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (((𝐹‘𝑘) + 𝐿) · ((𝐹‘𝑘) − 𝐿)) ≤ (((𝐹‘1) + 𝐿) · ((𝐹‘𝑘) − 𝐿)))
99		simprl 526	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))
100	45	ad3antrrr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) ∈ ℝ⁺)
101	100	rpred 9653	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) ∈ ℝ)
102	61, 63, 101	ltsubadd2d 8462	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (((𝐹‘𝑘) − 𝐿) < (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)) ↔ (𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)))))
103	99, 102	mpbird 166	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐹‘𝑘) − 𝐿) < (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)))
104	44	ad3antrrr 489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐹‘1) + 𝐿) ∈ ℝ⁺)
105	68, 73, 104	ltmuldiv2d 9702	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((((𝐹‘1) + 𝐿) · ((𝐹‘𝑘) − 𝐿)) < 𝑒 ↔ ((𝐹‘𝑘) − 𝐿) < (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))
106	103, 105	mpbird 166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (((𝐹‘1) + 𝐿) · ((𝐹‘𝑘) − 𝐿)) < 𝑒)
107	69, 71, 73, 98, 106	lelttrd 8044	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (((𝐹‘𝑘) + 𝐿) · ((𝐹‘𝑘) − 𝐿)) < 𝑒)
108	66, 107	eqbrtrd 4011	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (((𝐹‘𝑘)↑2) − (𝐿↑2)) < 𝑒)
109	61	resqcld 10635	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐹‘𝑘)↑2) ∈ ℝ)
110	63	resqcld 10635	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐿↑2) ∈ ℝ)
111	109, 110, 73	ltsubadd2d 8462	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((((𝐹‘𝑘)↑2) − (𝐿↑2)) < 𝑒 ↔ ((𝐹‘𝑘)↑2) < ((𝐿↑2) + 𝑒)))
112	108, 111	mpbid 146	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐹‘𝑘)↑2) < ((𝐿↑2) + 𝑒))
113	60, 112	eqbrtrd 4011	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐺‘𝑘) < ((𝐿↑2) + 𝑒))
114	60, 109	eqeltrd 2247	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
115	114, 73	readdcld 7949	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐺‘𝑘) + 𝑒) ∈ ℝ)
116	41	ad3antrrr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → 0 ≤ 𝐿)
117		le2sq2 10551	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐿) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ≤ (𝐹‘𝑘))) → (𝐿↑2) ≤ ((𝐹‘𝑘)↑2))
118	63, 116, 61, 77, 117	syl22anc 1234	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐿↑2) ≤ ((𝐹‘𝑘)↑2))
119	118, 60	breqtrrd 4017	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐿↑2) ≤ (𝐺‘𝑘))
120	114, 72	ltaddrpd 9687	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐺‘𝑘) < ((𝐺‘𝑘) + 𝑒))
121	110, 114, 115, 119, 120	lelttrd 8044	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → (𝐿↑2) < ((𝐺‘𝑘) + 𝑒))
122	113, 121	jca 304	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))))) → ((𝐺‘𝑘) < ((𝐿↑2) + 𝑒) ∧ (𝐿↑2) < ((𝐺‘𝑘) + 𝑒)))
123	122	ex 114	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)))) → ((𝐺‘𝑘) < ((𝐿↑2) + 𝑒) ∧ (𝐿↑2) < ((𝐺‘𝑘) + 𝑒))))
124	123	ralimdva 2537	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘) < ((𝐿↑2) + 𝑒) ∧ (𝐿↑2) < ((𝐺‘𝑘) + 𝑒))))
125	124	reximdva 2572	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿))) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + (𝑒 / ((𝐹‘1) + 𝐿)))) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘) < ((𝐿↑2) + 𝑒) ∧ (𝐿↑2) < ((𝐺‘𝑘) + 𝑒))))
126	46, 125	mpd 13	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘) < ((𝐿↑2) + 𝑒) ∧ (𝐿↑2) < ((𝐺‘𝑘) + 𝑒)))
127	126	ralrimiva 2543	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘) < ((𝐿↑2) + 𝑒) ∧ (𝐿↑2) < ((𝐺‘𝑘) + 𝑒)))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 103 ∨ wo 703 = wceq 1348 ∈ wcel 2141 ∀wral 2448 ∃wrex 2449 {csn 3583 class class class wbr 3989 ↦ cmpt 4050 × cxp 4609 ⟶wf 5194 ‘cfv 5198 (class class class)co 5853 ∈ cmpo 5855 ℂcc 7772 ℝcr 7773 0cc0 7774 1c1 7775 + caddc 7777 · cmul 7779 < clt 7954 ≤ cle 7955 − cmin 8090 / cdiv 8589 ℕcn 8878 2c2 8929 ℤcz 9212 ℤ_≥cuz 9487 ℝ⁺crp 9610 seqcseq 10401 ↑cexp 10475

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 609 ax-in2 610 ax-io 704 ax-5 1440 ax-7 1441 ax-gen 1442 ax-ie1 1486 ax-ie2 1487 ax-8 1497 ax-10 1498 ax-11 1499 ax-i12 1500 ax-bndl 1502 ax-4 1503 ax-17 1519 ax-i9 1523 ax-ial 1527 ax-i5r 1528 ax-13 2143 ax-14 2144 ax-ext 2152 ax-coll 4104 ax-sep 4107 ax-nul 4115 ax-pow 4160 ax-pr 4194 ax-un 4418 ax-setind 4521 ax-iinf 4572 ax-cnex 7865 ax-resscn 7866 ax-1cn 7867 ax-1re 7868 ax-icn 7869 ax-addcl 7870 ax-addrcl 7871 ax-mulcl 7872 ax-mulrcl 7873 ax-addcom 7874 ax-mulcom 7875 ax-addass 7876 ax-mulass 7877 ax-distr 7878 ax-i2m1 7879 ax-0lt1 7880 ax-1rid 7881 ax-0id 7882 ax-rnegex 7883 ax-precex 7884 ax-cnre 7885 ax-pre-ltirr 7886 ax-pre-ltwlin 7887 ax-pre-lttrn 7888 ax-pre-apti 7889 ax-pre-ltadd 7890 ax-pre-mulgt0 7891 ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 830 df-3or 974 df-3an 975 df-tru 1351 df-fal 1354 df-nf 1454 df-sb 1756 df-eu 2022 df-mo 2023 df-clab 2157 df-cleq 2163 df-clel 2166 df-nfc 2301 df-ne 2341 df-nel 2436 df-ral 2453 df-rex 2454 df-reu 2455 df-rmo 2456 df-rab 2457 df-v 2732 df-sbc 2956 df-csb 3050 df-dif 3123 df-un 3125 df-in 3127 df-ss 3134 df-nul 3415 df-if 3527 df-pw 3568 df-sn 3589 df-pr 3590 df-op 3592 df-uni 3797 df-int 3832 df-iun 3875 df-br 3990 df-opab 4051 df-mpt 4052 df-tr 4088 df-id 4278 df-po 4281 df-iso 4282 df-iord 4351 df-on 4353 df-ilim 4354 df-suc 4356 df-iom 4575 df-xp 4617 df-rel 4618 df-cnv 4619 df-co 4620 df-dm 4621 df-rn 4622 df-res 4623 df-ima 4624 df-iota 5160 df-fun 5200 df-fn 5201 df-f 5202 df-f1 5203 df-fo 5204 df-f1o 5205 df-fv 5206 df-riota 5809 df-ov 5856 df-oprab 5857 df-mpo 5858 df-1st 6119 df-2nd 6120 df-recs 6284 df-frec 6370 df-pnf 7956 df-mnf 7957 df-xr 7958 df-ltxr 7959 df-le 7960 df-sub 8092 df-neg 8093 df-reap 8494 df-ap 8501 df-div 8590 df-inn 8879 df-2 8937 df-3 8938 df-4 8939 df-n0 9136 df-z 9213 df-uz 9488 df-rp 9611 df-seqfrec 10402 df-exp 10476

This theorem is referenced by: resqrexlemsqa 10988

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