ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cncfi GIF version

Theorem cncfi 11938
Description: Defining property of a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
cncfi ((𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) ∧ 𝐶𝐴𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝐶))) < 𝑅))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑤,𝐴   𝑤,𝐶,𝑧   𝑤,𝐹,𝑧   𝑤,𝑅,𝑧   𝑤,𝐵,𝑧

Proof of Theorem cncfi
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncfrss 11935 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → 𝐴 ⊆ ℂ)
2 cncfrss2 11936 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → 𝐵 ⊆ ℂ)
3 elcncf2 11934 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) ↔ (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑦))))
41, 2, 3syl2anc 404 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) ↔ (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑦))))
54ibi 175 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑦)))
65simprd 113 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑦))
7 oveq2 5676 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐶 → (𝑤𝑥) = (𝑤𝐶))
87fveq2d 5324 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐶 → (abs‘(𝑤𝑥)) = (abs‘(𝑤𝐶)))
98breq1d 3863 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐶 → ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑤𝐶)) < 𝑧))
10 fveq2 5320 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐶 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐶))
1110oveq2d 5684 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐶 → ((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥)) = ((𝐹𝑤) − (𝐹𝐶)))
1211fveq2d 5324 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐶 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) = (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝐶))))
1312breq1d 3863 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐶 → ((abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝐶))) < 𝑦))
149, 13imbi12d 233 . . . . 5 (𝑥 = 𝐶 → (((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑦) ↔ ((abs‘(𝑤𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝐶))) < 𝑦)))
1514rexralbidv 2405 . . . 4 (𝑥 = 𝐶 → (∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑦) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝐶))) < 𝑦)))
16 breq2 3857 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑅 → ((abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝐶))) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝐶))) < 𝑅))
1716imbi2d 229 . . . . 5 (𝑦 = 𝑅 → (((abs‘(𝑤𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝐶))) < 𝑦) ↔ ((abs‘(𝑤𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝐶))) < 𝑅)))
1817rexralbidv 2405 . . . 4 (𝑦 = 𝑅 → (∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝐶))) < 𝑦) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝐶))) < 𝑅)))
1915, 18rspc2v 2737 . . 3 ((𝐶𝐴𝑅 ∈ ℝ+) → (∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝐶))) < 𝑅)))
206, 19mpan9 276 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) ∧ (𝐶𝐴𝑅 ∈ ℝ+)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝐶))) < 𝑅))
21203impb 1140 1 ((𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) ∧ 𝐶𝐴𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝐶))) < 𝑅))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 925   = wceq 1290  wcel 1439  wral 2360  wrex 2361  wss 3002   class class class wbr 3853  wf 5026  cfv 5030  (class class class)co 5668  cc 7411   < clt 7585  cmin 7716  +crp 9197  abscabs 10493  cnccncf 11930
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3962  ax-sep 3965  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-mulrcl 7507  ax-addcom 7508  ax-mulcom 7509  ax-addass 7510  ax-mulass 7511  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-1rid 7515  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-precex 7518  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-apti 7523  ax-pre-ltadd 7524  ax-pre-mulgt0 7525  ax-pre-mulext 7526
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-iun 3740  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-id 4131  df-po 4134  df-iso 4135  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-fv 5038  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-map 6423  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-reap 8115  df-ap 8122  df-div 8203  df-2 8544  df-cj 10339  df-re 10340  df-im 10341  df-rsqrt 10494  df-abs 10495  df-cncf 11931
This theorem is referenced by:  cncffvrn  11942  climcncf  11944  cncfco  11951
  Copyright terms: Public domain W3C validator