Theorem cncfi 13927

Description: Defining property of a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cncfi	⊢ ((𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑅))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑤,𝐴   𝑤,𝐶,𝑧   𝑤,𝐹,𝑧   𝑤,𝑅,𝑧   𝑤,𝐵,𝑧

Proof of Theorem cncfi

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncfrss 13924	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐴 ⊆ ℂ)
2		cncfrss2 13925	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐵 ⊆ ℂ)
3		elcncf2 13923	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑦))))
4	1, 2, 3	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑦))))
5	4	ibi 176	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑦)))
6	5	simprd 114	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑦))
7		oveq2 5879	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑤 − 𝑥) = (𝑤 − 𝐶))
8	7	fveq2d 5517	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (abs‘(𝑤 − 𝑥)) = (abs‘(𝑤 − 𝐶)))
9	8	breq1d 4012	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑤 − 𝐶)) < 𝑧))
10		fveq2 5513	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐶))
11	10	oveq2d 5887	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝐶)))
12	11	fveq2d 5517	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) = (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝐶))))
13	12	breq1d 4012	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑦))
14	9, 13	imbi12d 234	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑦) ↔ ((abs‘(𝑤 − 𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑦)))
15	14	rexralbidv 2503	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑦) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑦)))
16		breq2 4006	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑅 → ((abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑅))
17	16	imbi2d 230	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑅 → (((abs‘(𝑤 − 𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑦) ↔ ((abs‘(𝑤 − 𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑅)))
18	17	rexralbidv 2503	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑅 → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑦) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑅)))
19	15, 18	rspc2v 2854	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑅)))
20	6, 19	mpan9 281	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑅))
21	20	3impb 1199	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  ∃wrex 2456   ⊆ wss 3129   class class class wbr 4002  ⟶wf 5210  ‘cfv 5214  (class class class)co 5871  ℂcc 7805   < clt 7987   − cmin 8123  ℝ⁺crp 9648  abscabs 10998  –cn→ccncf 13919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7898  ax-resscn 7899  ax-1cn 7900  ax-1re 7901  ax-icn 7902  ax-addcl 7903  ax-addrcl 7904  ax-mulcl 7905  ax-mulrcl 7906  ax-addcom 7907  ax-mulcom 7908  ax-addass 7909  ax-mulass 7910  ax-distr 7911  ax-i2m1 7912  ax-0lt1 7913  ax-1rid 7914  ax-0id 7915  ax-rnegex 7916  ax-precex 7917  ax-cnre 7918  ax-pre-ltirr 7919  ax-pre-ltwlin 7920  ax-pre-lttrn 7921  ax-pre-apti 7922  ax-pre-ltadd 7923  ax-pre-mulgt0 7924  ax-pre-mulext 7925

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-po 4295  df-iso 4296  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5176  df-fun 5216  df-fn 5217  df-f 5218  df-f1 5219  df-fo 5220  df-f1o 5221  df-fv 5222  df-riota 5827  df-ov 5874  df-oprab 5875  df-mpo 5876  df-map 6646  df-pnf 7989  df-mnf 7990  df-xr 7991  df-ltxr 7992  df-le 7993  df-sub 8125  df-neg 8126  df-reap 8527  df-ap 8534  df-div 8625  df-2 8973  df-cj 10843  df-re 10844  df-im 10845  df-rsqrt 10999  df-abs 11000  df-cncf 13920

This theorem is referenced by:  cncfcdm  13931  climcncf  13933  cncfco  13940  mulcncf  13953  ivthinclemlopn  13976  ivthinclemuopn  13978  eflt  14058