Theorem limccoap 14998

Description: Composition of two limits. This theorem is only usable in the case where 𝑥 # 𝑋 implies R(x) # 𝐶 so it is less general than might appear at first. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 18-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
limccoap.r	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑋}) → 𝑅 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤 # 𝐶})
limccoap.s	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝑆 ∈ ℂ)
limccoap.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑋} ↦ 𝑅) limℂ 𝑋))
limccoap.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ((𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ 𝑆) limℂ 𝐶))
limcco.1	⊢ (𝑦 = 𝑅 → 𝑆 = 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
limccoap	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ((𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑋} ↦ 𝑇) limℂ 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐴,𝑥   𝑤,𝐵,𝑥,𝑦   𝑤,𝐶,𝑥,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑤,𝑅,𝑦   𝑥,𝑆   𝑦,𝑇   𝑤,𝑋,𝑥   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤)   𝐴(𝑦)   𝐷(𝑤)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑦,𝑤)   𝑇(𝑥,𝑤)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem limccoap

Dummy variables 𝑑 𝑒 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccoap.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ((𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ 𝑆) limℂ 𝐶))
2		apsscn 8691	. . . . . 6 ⊢ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤 # 𝐶} ⊆ ℂ
3	2	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤 # 𝐶} ⊆ ℂ)
4		limcrcl 14978	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ((𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ 𝑆) limℂ 𝐶) → ((𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ 𝑆):dom (𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ 𝑆)⟶ℂ ∧ dom (𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ 𝑆) ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
5	1, 4	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ 𝑆):dom (𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ 𝑆)⟶ℂ ∧ dom (𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ 𝑆) ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
6	5	simp3d 1013	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
7		limccoap.s	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝑆 ∈ ℂ)
8	3, 6, 7	limcmpted 14983	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ((𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ 𝑆) limℂ 𝐶) ↔ (𝐷 ∈ ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤 # 𝐶} ((𝑦 # 𝐶 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐶)) < 𝑑) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑒))))
9	1, 8	mpbid 147	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤 # 𝐶} ((𝑦 # 𝐶 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐶)) < 𝑑) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑒)))
10	9	simpld 112	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
11	9	simprd 114	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤 # 𝐶} ((𝑦 # 𝐶 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐶)) < 𝑑) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑒))
12		breq2 4038	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑑 → ((abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑣 ↔ (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑑))
13	12	imbi2d 230	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑑 → (((𝑥 # 𝑋 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑢) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑣) ↔ ((𝑥 # 𝑋 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑢) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑑)))
14	13	rexralbidv 2523	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑑 → (∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑋} ((𝑥 # 𝑋 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑢) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑣) ↔ ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑋} ((𝑥 # 𝑋 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑢) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑑)))
15		limccoap.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑋} ↦ 𝑅) limℂ 𝑋))
16		apsscn 8691	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑋} ⊆ ℂ
17	16	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑋} ⊆ ℂ)
18		limcrcl 14978	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐶 ∈ ((𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑋} ↦ 𝑅) limℂ 𝑋) → ((𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑋} ↦ 𝑅):dom (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑋} ↦ 𝑅)⟶ℂ ∧ dom (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑋} ↦ 𝑅) ⊆ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ))
19	15, 18	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑋} ↦ 𝑅):dom (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑋} ↦ 𝑅)⟶ℂ ∧ dom (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑋} ↦ 𝑅) ⊆ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ))
20	19	simp3d 1013	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
21		limccoap.r	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑋}) → 𝑅 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤 # 𝐶})
22	2, 21	sselid 3182	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑋}) → 𝑅 ∈ ℂ)
23	17, 20, 22	limcmpted 14983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑋} ↦ 𝑅) limℂ 𝑋) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑣 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑋} ((𝑥 # 𝑋 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑢) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑣))))
24	15, 23	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑣 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑋} ((𝑥 # 𝑋 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑢) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑣)))
25	24	simprd 114	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑣 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑋} ((𝑥 # 𝑋 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑢) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑣))
26	25	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → ∀𝑣 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑋} ((𝑥 # 𝑋 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑢) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑣))
27		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝑑 ∈ ℝ+)
28	14, 26, 27	rspcdva 2873	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑋} ((𝑥 # 𝑋 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑢) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑑))
29	28	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤 # 𝐶} ((𝑦 # 𝐶 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐶)) < 𝑑) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑒)) → ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑋} ((𝑥 # 𝑋 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑢) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑑))
30		simp-5l 543	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤 # 𝐶} ((𝑦 # 𝐶 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐶)) < 𝑑) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑒)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑋}) → 𝜑)
31	30, 21	sylancom 420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤 # 𝐶} ((𝑦 # 𝐶 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐶)) < 𝑑) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑒)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑋}) → 𝑅 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤 # 𝐶})
32		breq1 4037	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = 𝑅 → (𝑤 # 𝐶 ↔ 𝑅 # 𝐶))
33	32	elrab 2920	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↔ (𝑅 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 # 𝐶))
34	31, 33	sylib 122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤 # 𝐶} ((𝑦 # 𝐶 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐶)) < 𝑑) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑒)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑋}) → (𝑅 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 # 𝐶))
35	34	simprd 114	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤 # 𝐶} ((𝑦 # 𝐶 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐶)) < 𝑑) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑒)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑋}) → 𝑅 # 𝐶)
36		breq1 4037	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑅 → (𝑦 # 𝐶 ↔ 𝑅 # 𝐶))
37		fvoveq1 5948	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑅 → (abs‘(𝑦 − 𝐶)) = (abs‘(𝑅 − 𝐶)))
38	37	breq1d 4044	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑅 → ((abs‘(𝑦 − 𝐶)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑑))
39	36, 38	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑅 → ((𝑦 # 𝐶 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐶)) < 𝑑) ↔ (𝑅 # 𝐶 ∧ (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑑)))
40		limcco.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑅 → 𝑆 = 𝑇)
41	40	fvoveq1d 5947	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑅 → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) = (abs‘(𝑇 − 𝐷)))
42	41	breq1d 4044	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑅 → ((abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑒 ↔ (abs‘(𝑇 − 𝐷)) < 𝑒))
43	39, 42	imbi12d 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑅 → (((𝑦 # 𝐶 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐶)) < 𝑑) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑒) ↔ ((𝑅 # 𝐶 ∧ (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑑) → (abs‘(𝑇 − 𝐷)) < 𝑒)))
44		simpllr 534	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤 # 𝐶} ((𝑦 # 𝐶 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐶)) < 𝑑) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑒)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑋}) → ∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤 # 𝐶} ((𝑦 # 𝐶 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐶)) < 𝑑) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑒))
45	43, 44, 31	rspcdva 2873	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤 # 𝐶} ((𝑦 # 𝐶 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐶)) < 𝑑) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑒)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑋}) → ((𝑅 # 𝐶 ∧ (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑑) → (abs‘(𝑇 − 𝐷)) < 𝑒))
46	35, 45	mpand 429	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤 # 𝐶} ((𝑦 # 𝐶 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐶)) < 𝑑) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑒)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑋}) → ((abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑑 → (abs‘(𝑇 − 𝐷)) < 𝑒))
47	46	imim2d 54	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤 # 𝐶} ((𝑦 # 𝐶 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐶)) < 𝑑) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑒)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑋}) → (((𝑥 # 𝑋 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑢) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑑) → ((𝑥 # 𝑋 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑢) → (abs‘(𝑇 − 𝐷)) < 𝑒)))
48	47	ralimdva 2564	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤 # 𝐶} ((𝑦 # 𝐶 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐶)) < 𝑑) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑒)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) → (∀𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑋} ((𝑥 # 𝑋 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑢) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑑) → ∀𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑋} ((𝑥 # 𝑋 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑢) → (abs‘(𝑇 − 𝐷)) < 𝑒)))
49	48	reximdva 2599	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤 # 𝐶} ((𝑦 # 𝐶 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐶)) < 𝑑) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑒)) → (∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑋} ((𝑥 # 𝑋 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑢) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑑) → ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑋} ((𝑥 # 𝑋 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑢) → (abs‘(𝑇 − 𝐷)) < 𝑒)))
50	29, 49	mpd 13	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤 # 𝐶} ((𝑦 # 𝐶 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐶)) < 𝑑) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑒)) → ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑋} ((𝑥 # 𝑋 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑢) → (abs‘(𝑇 − 𝐷)) < 𝑒))
51	50	rexlimdva2 2617	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤 # 𝐶} ((𝑦 # 𝐶 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐶)) < 𝑑) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑒) → ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑋} ((𝑥 # 𝑋 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑢) → (abs‘(𝑇 − 𝐷)) < 𝑒)))
52	51	ralimdva 2564	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤 # 𝐶} ((𝑦 # 𝐶 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐶)) < 𝑑) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑒) → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑋} ((𝑥 # 𝑋 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑢) → (abs‘(𝑇 − 𝐷)) < 𝑒)))
53	11, 52	mpd 13	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑋} ((𝑥 # 𝑋 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑢) → (abs‘(𝑇 − 𝐷)) < 𝑒))
54	40	eleq1d 2265	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑅 → (𝑆 ∈ ℂ ↔ 𝑇 ∈ ℂ))
55	7	ralrimiva 2570	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤 # 𝐶}𝑆 ∈ ℂ)
56	55	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑋}) → ∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤 # 𝐶}𝑆 ∈ ℂ)
57	54, 56, 21	rspcdva 2873	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑋}) → 𝑇 ∈ ℂ)
58	17, 20, 57	limcmpted 14983	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ((𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑋} ↦ 𝑇) limℂ 𝑋) ↔ (𝐷 ∈ ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑋} ((𝑥 # 𝑋 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑢) → (abs‘(𝑇 − 𝐷)) < 𝑒))))
59	10, 53, 58	mpbir2and 946	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ((𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑋} ↦ 𝑇) limℂ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  ∃wrex 2476  {crab 2479   ⊆ wss 3157   class class class wbr 4034   ↦ cmpt 4095  dom cdm 4664  ⟶wf 5255  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  ℂcc 7894   < clt 8078   − cmin 8214   # cap 8625  ℝ⁺crp 9745  abscabs 11179   lim_ℂ climc 14974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-mulcl 7994

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fo 5265  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-pm 6719  df-ap 8626  df-limced 14976

This theorem is referenced by:  dvcoapbr  15027