Theorem lt2mul2divd 10002

Description: The ratio of nonnegative and positive numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt2mul2divd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
lt2mul2divd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
lt2mul2divd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lt2mul2divd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
lt2mul2divd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < (𝐶 · 𝐷) ↔ (𝐴 / 𝐷) < (𝐶 / 𝐵)))

Proof of Theorem lt2mul2divd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt2mul2divd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		lt2mul2divd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3	2	rpregt0d 9940	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
4		lt2mul2divd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5		lt2mul2divd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)
6	5	rpregt0d 9940	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))
7		lt2mul2div 9061	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → ((𝐴 · 𝐵) < (𝐶 · 𝐷) ↔ (𝐴 / 𝐷) < (𝐶 / 𝐵)))
8	1, 3, 4, 6, 7	syl22anc 1274	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < (𝐶 · 𝐷) ↔ (𝐴 / 𝐷) < (𝐶 / 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2201   class class class wbr 4087  (class class class)co 6020  ℝcr 8033  0cc0 8034   · cmul 8039   < clt 8216   / cdiv 8854  ℝ⁺crp 9890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4206  ax-pow 4263  ax-pr 4298  ax-un 4529  ax-setind 4634  ax-cnex 8125  ax-resscn 8126  ax-1cn 8127  ax-1re 8128  ax-icn 8129  ax-addcl 8130  ax-addrcl 8131  ax-mulcl 8132  ax-mulrcl 8133  ax-addcom 8134  ax-mulcom 8135  ax-addass 8136  ax-mulass 8137  ax-distr 8138  ax-i2m1 8139  ax-0lt1 8140  ax-1rid 8141  ax-0id 8142  ax-rnegex 8143  ax-precex 8144  ax-cnre 8145  ax-pre-ltirr 8146  ax-pre-ltwlin 8147  ax-pre-lttrn 8148  ax-pre-apti 8149  ax-pre-ltadd 8150  ax-pre-mulgt0 8151  ax-pre-mulext 8152

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3653  df-sn 3674  df-pr 3675  df-op 3677  df-uni 3893  df-br 4088  df-opab 4150  df-id 4389  df-po 4392  df-iso 4393  df-xp 4730  df-rel 4731  df-cnv 4732  df-co 4733  df-dm 4734  df-iota 5285  df-fun 5327  df-fv 5333  df-riota 5973  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpo 6025  df-pnf 8218  df-mnf 8219  df-xr 8220  df-ltxr 8221  df-le 8222  df-sub 8354  df-neg 8355  df-reap 8757  df-ap 8764  df-div 8855  df-rp 9891

This theorem is referenced by:  qtri3or  10503  cvg1nlemcxze  11562  cvg1nlemcau  11564  efcllemp  12239