Theorem rpap0d 9927

Description: A positive real is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jul-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpap0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)

Proof of Theorem rpap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpap0 9895	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 # 0)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4086  0cc0 8022   # cap 8751  ℝ⁺crp 9878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-ltxr 8209  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-rp 9879

This theorem is referenced by:  fldiv4lem1div2uz2  10556  cvg1nlemcxze  11533  resqrexlemover  11561  resqrexlemlo  11564  resqrexlemcalc1  11565  resqrexlemcalc2  11566  resqrexlemcalc3  11567  resqrexlemnm  11569  sqrtdiv  11593  abs00ap  11613  absdivap  11621  expcnvap0  12053  cvgratnnlembern  12074  cvgratz  12083  mertenslemi1  12086  limcimolemlt  15378  reeff1oleme  15486  tanrpcl  15551  logdivlti  15595  rpdivcxp  15625  rpabscxpbnd  15654  logbgcd1irr  15681  2lgslem3b  15813  2lgslem3c  15814  2lgslem3d  15815  cvgcmp2nlemabs  16572  iooref1o  16574  trilpolemisumle  16578