ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rpap0d GIF version

Theorem rpap0d 9702
Description: A positive real is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jul-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
rpred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
rpap0d (𝜑𝐴 # 0)

Proof of Theorem rpap0d
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
2 rpap0 9670 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 # 0)
31, 2syl 14 1 (𝜑𝐴 # 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2148   class class class wbr 4004  0cc0 7811   # cap 8538  +crp 9653
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-ltxr 7997  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-rp 9654
This theorem is referenced by:  cvg1nlemcxze  10991  resqrexlemover  11019  resqrexlemlo  11022  resqrexlemcalc1  11023  resqrexlemcalc2  11024  resqrexlemcalc3  11025  resqrexlemnm  11027  sqrtdiv  11051  abs00ap  11071  absdivap  11079  expcnvap0  11510  cvgratnnlembern  11531  cvgratz  11540  mertenslemi1  11543  limcimolemlt  14136  reeff1oleme  14196  tanrpcl  14261  logdivlti  14305  rpdivcxp  14335  rpabscxpbnd  14362  logbgcd1irr  14388  cvgcmp2nlemabs  14783  iooref1o  14785  trilpolemisumle  14789
  Copyright terms: Public domain W3C validator