Theorem rpap0d 9823

Description: A positive real is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jul-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpap0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)

Proof of Theorem rpap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpap0 9791	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 # 0)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2175   class class class wbr 4043  0cc0 7924   # cap 8653  ℝ⁺crp 9774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-mulrcl 8023  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-precex 8034  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040  ax-pre-mulgt0 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-ltxr 8111  df-sub 8244  df-neg 8245  df-reap 8647  df-ap 8654  df-rp 9775

This theorem is referenced by:  fldiv4lem1div2uz2  10447  cvg1nlemcxze  11264  resqrexlemover  11292  resqrexlemlo  11295  resqrexlemcalc1  11296  resqrexlemcalc2  11297  resqrexlemcalc3  11298  resqrexlemnm  11300  sqrtdiv  11324  abs00ap  11344  absdivap  11352  expcnvap0  11784  cvgratnnlembern  11805  cvgratz  11814  mertenslemi1  11817  limcimolemlt  15107  reeff1oleme  15215  tanrpcl  15280  logdivlti  15324  rpdivcxp  15354  rpabscxpbnd  15383  logbgcd1irr  15410  2lgslem3b  15542  2lgslem3c  15543  2lgslem3d  15544  cvgcmp2nlemabs  15933  iooref1o  15935  trilpolemisumle  15939