Theorem rpgt0d 10083

Description: A positive real is greater than zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpgt0d	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem rpgt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpgt0 10049	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4128  0cc0 8173   < clt 8354  ℝ⁺crp 10037

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-br 4129  df-rp 10038

This theorem is referenced by:  rpregt0d  10087  ltmulgt11d  10116  ltmulgt12d  10117  gt0divd  10118  ge0divd  10119  lediv12ad  10140  expgt0  10992  nnesq  11080  bccl2  11189  resqrexlemp1rp  11755  resqrexlemover  11759  resqrexlemnm  11767  resqrexlemgt0  11769  resqrexlemglsq  11771  sqrtgt0d  11908  reccn2ap  12062  fsumlt  12214  eirraplem  12527  dvdsmodexp  12545  bitsmod  12706  prmind2  12881  sqrt2irrlem  12922  modprmn0modprm0  13018  4sqlem11  13163  4sqlem12  13164  modxai  13178  ssblex  15515  mulc1cncf  15673  cncfmptc  15680  mulcncflem  15691  cnplimclemle  15752  pilem3  15867  sgmnncl  16085  iooref1o  17057  trilpolemeq1  17063  nconstwlpolemgt0  17088  taupi  17097