Theorem rpgt0d 10038

Description: A positive real is greater than zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpgt0d	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem rpgt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpgt0 10004	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4111  0cc0 8132   < clt 8313  ℝ⁺crp 9992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-rab 2531  df-v 2817  df-un 3217  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-br 4112  df-rp 9993

This theorem is referenced by:  rpregt0d  10042  ltmulgt11d  10071  ltmulgt12d  10072  gt0divd  10073  ge0divd  10074  lediv12ad  10095  expgt0  10941  nnesq  11029  bccl2  11138  resqrexlemp1rp  11699  resqrexlemover  11703  resqrexlemnm  11711  resqrexlemgt0  11713  resqrexlemglsq  11715  sqrtgt0d  11852  reccn2ap  12006  fsumlt  12158  eirraplem  12471  dvdsmodexp  12489  bitsmod  12650  prmind2  12825  sqrt2irrlem  12866  modprmn0modprm0  12962  4sqlem11  13107  4sqlem12  13108  modxai  13122  ssblex  15345  mulc1cncf  15503  cncfmptc  15510  mulcncflem  15521  cnplimclemle  15582  pilem3  15697  sgmnncl  15905  iooref1o  16867  trilpolemeq1  16873  nconstwlpolemgt0  16899  taupi  16908