Theorem rpgt0d 9768

Description: A positive real is greater than zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpgt0d	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem rpgt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpgt0 9734	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4030  0cc0 7874   < clt 8056  ℝ⁺crp 9722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-rab 2481  df-v 2762  df-un 3158  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-br 4031  df-rp 9723

This theorem is referenced by:  rpregt0d  9772  ltmulgt11d  9801  ltmulgt12d  9802  gt0divd  9803  ge0divd  9804  lediv12ad  9825  expgt0  10646  nnesq  10733  bccl2  10842  resqrexlemp1rp  11153  resqrexlemover  11157  resqrexlemnm  11165  resqrexlemgt0  11167  resqrexlemglsq  11169  sqrtgt0d  11306  reccn2ap  11459  fsumlt  11610  eirraplem  11923  dvdsmodexp  11941  prmind2  12261  sqrt2irrlem  12302  modprmn0modprm0  12397  4sqlem11  12542  4sqlem12  12543  ssblex  14610  mulc1cncf  14768  cncfmptc  14775  mulcncflem  14786  cnplimclemle  14847  pilem3  14959  iooref1o  15594  trilpolemeq1  15600  nconstwlpolemgt0  15624  taupi  15633