Theorem rpgt0d 10028

Description: A positive real is greater than zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpgt0d	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem rpgt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpgt0 9994	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2203   class class class wbr 4108  0cc0 8123   < clt 8304  ℝ⁺crp 9982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-rab 2529  df-v 2814  df-un 3214  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-br 4109  df-rp 9983

This theorem is referenced by:  rpregt0d  10032  ltmulgt11d  10061  ltmulgt12d  10062  gt0divd  10063  ge0divd  10064  lediv12ad  10085  expgt0  10930  nnesq  11017  bccl2  11126  resqrexlemp1rp  11684  resqrexlemover  11688  resqrexlemnm  11696  resqrexlemgt0  11698  resqrexlemglsq  11700  sqrtgt0d  11837  reccn2ap  11991  fsumlt  12143  eirraplem  12456  dvdsmodexp  12474  bitsmod  12635  prmind2  12810  sqrt2irrlem  12851  modprmn0modprm0  12947  4sqlem11  13092  4sqlem12  13093  modxai  13107  ssblex  15283  mulc1cncf  15441  cncfmptc  15448  mulcncflem  15459  cnplimclemle  15520  pilem3  15635  sgmnncl  15843  iooref1o  16805  trilpolemeq1  16811  nconstwlpolemgt0  16836  taupi  16845