Theorem rpgt0d 9631

Description: A positive real is greater than zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpgt0d	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem rpgt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpgt0 9597	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2136   class class class wbr 3981  0cc0 7749   < clt 7929  ℝ⁺crp 9585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-rab 2452  df-v 2727  df-un 3119  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-br 3982  df-rp 9586

This theorem is referenced by:  rpregt0d  9635  ltmulgt11d  9664  ltmulgt12d  9665  gt0divd  9666  ge0divd  9667  lediv12ad  9688  expgt0  10484  nnesq  10570  bccl2  10677  resqrexlemp1rp  10944  resqrexlemover  10948  resqrexlemnm  10956  resqrexlemgt0  10958  resqrexlemglsq  10960  sqrtgt0d  11097  reccn2ap  11250  fsumlt  11401  eirraplem  11713  dvdsmodexp  11731  prmind2  12048  sqrt2irrlem  12089  modprmn0modprm0  12184  ssblex  13031  mulc1cncf  13176  cncfmptc  13182  mulcncflem  13190  cnplimclemle  13237  pilem3  13304  iooref1o  13873  trilpolemeq1  13879  nconstwlpolemgt0  13902  taupi  13909