Theorem rpgt0d 9912

Description: A positive real is greater than zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpgt0d	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem rpgt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpgt0 9878	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  0cc0 8015   < clt 8197  ℝ⁺crp 9866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-rab 2517  df-v 2801  df-un 3201  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4084  df-rp 9867

This theorem is referenced by:  rpregt0d  9916  ltmulgt11d  9945  ltmulgt12d  9946  gt0divd  9947  ge0divd  9948  lediv12ad  9969  expgt0  10811  nnesq  10898  bccl2  11007  resqrexlemp1rp  11538  resqrexlemover  11542  resqrexlemnm  11550  resqrexlemgt0  11552  resqrexlemglsq  11554  sqrtgt0d  11691  reccn2ap  11845  fsumlt  11996  eirraplem  12309  dvdsmodexp  12327  bitsmod  12488  prmind2  12663  sqrt2irrlem  12704  modprmn0modprm0  12800  4sqlem11  12945  4sqlem12  12946  modxai  12960  ssblex  15126  mulc1cncf  15284  cncfmptc  15291  mulcncflem  15302  cnplimclemle  15363  pilem3  15478  sgmnncl  15683  iooref1o  16516  trilpolemeq1  16522  nconstwlpolemgt0  16546  taupi  16555