Theorem rpgt0d 9863

Description: A positive real is greater than zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpgt0d	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem rpgt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpgt0 9829	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2180   class class class wbr 4062  0cc0 7967   < clt 8149  ℝ⁺crp 9817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-ext 2191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-nf 1487  df-sb 1789  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-rab 2497  df-v 2781  df-un 3181  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-br 4063  df-rp 9818

This theorem is referenced by:  rpregt0d  9867  ltmulgt11d  9896  ltmulgt12d  9897  gt0divd  9898  ge0divd  9899  lediv12ad  9920  expgt0  10761  nnesq  10848  bccl2  10957  resqrexlemp1rp  11483  resqrexlemover  11487  resqrexlemnm  11495  resqrexlemgt0  11497  resqrexlemglsq  11499  sqrtgt0d  11636  reccn2ap  11790  fsumlt  11941  eirraplem  12254  dvdsmodexp  12272  bitsmod  12433  prmind2  12608  sqrt2irrlem  12649  modprmn0modprm0  12745  4sqlem11  12890  4sqlem12  12891  modxai  12905  ssblex  15070  mulc1cncf  15228  cncfmptc  15235  mulcncflem  15246  cnplimclemle  15307  pilem3  15422  sgmnncl  15627  iooref1o  16313  trilpolemeq1  16319  nconstwlpolemgt0  16343  taupi  16352