Theorem rpgt0d 9793

Description: A positive real is greater than zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpgt0d	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem rpgt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpgt0 9759	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  0cc0 7898   < clt 8080  ℝ⁺crp 9747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-rab 2484  df-v 2765  df-un 3161  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-br 4035  df-rp 9748

This theorem is referenced by:  rpregt0d  9797  ltmulgt11d  9826  ltmulgt12d  9827  gt0divd  9828  ge0divd  9829  lediv12ad  9850  expgt0  10683  nnesq  10770  bccl2  10879  resqrexlemp1rp  11190  resqrexlemover  11194  resqrexlemnm  11202  resqrexlemgt0  11204  resqrexlemglsq  11206  sqrtgt0d  11343  reccn2ap  11497  fsumlt  11648  eirraplem  11961  dvdsmodexp  11979  bitsmod  12140  prmind2  12315  sqrt2irrlem  12356  modprmn0modprm0  12452  4sqlem11  12597  4sqlem12  12598  modxai  12612  ssblex  14753  mulc1cncf  14911  cncfmptc  14918  mulcncflem  14929  cnplimclemle  14990  pilem3  15105  sgmnncl  15310  iooref1o  15769  trilpolemeq1  15775  nconstwlpolemgt0  15799  taupi  15808