Theorem rpgt0d 9903

Description: A positive real is greater than zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpgt0d	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem rpgt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpgt0 9869	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  0cc0 8007   < clt 8189  ℝ⁺crp 9857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-rab 2517  df-v 2801  df-un 3201  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4084  df-rp 9858

This theorem is referenced by:  rpregt0d  9907  ltmulgt11d  9936  ltmulgt12d  9937  gt0divd  9938  ge0divd  9939  lediv12ad  9960  expgt0  10802  nnesq  10889  bccl2  10998  resqrexlemp1rp  11525  resqrexlemover  11529  resqrexlemnm  11537  resqrexlemgt0  11539  resqrexlemglsq  11541  sqrtgt0d  11678  reccn2ap  11832  fsumlt  11983  eirraplem  12296  dvdsmodexp  12314  bitsmod  12475  prmind2  12650  sqrt2irrlem  12691  modprmn0modprm0  12787  4sqlem11  12932  4sqlem12  12933  modxai  12947  ssblex  15113  mulc1cncf  15271  cncfmptc  15278  mulcncflem  15289  cnplimclemle  15350  pilem3  15465  sgmnncl  15670  iooref1o  16432  trilpolemeq1  16438  nconstwlpolemgt0  16462  taupi  16471