Theorem rpgt0d 9791

Description: A positive real is greater than zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpgt0d	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem rpgt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpgt0 9757	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  0cc0 7896   < clt 8078  ℝ⁺crp 9745

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-rab 2484  df-v 2765  df-un 3161  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-br 4035  df-rp 9746

This theorem is referenced by:  rpregt0d  9795  ltmulgt11d  9824  ltmulgt12d  9825  gt0divd  9826  ge0divd  9827  lediv12ad  9848  expgt0  10681  nnesq  10768  bccl2  10877  resqrexlemp1rp  11188  resqrexlemover  11192  resqrexlemnm  11200  resqrexlemgt0  11202  resqrexlemglsq  11204  sqrtgt0d  11341  reccn2ap  11495  fsumlt  11646  eirraplem  11959  dvdsmodexp  11977  bitsmod  12138  prmind2  12313  sqrt2irrlem  12354  modprmn0modprm0  12450  4sqlem11  12595  4sqlem12  12596  modxai  12610  ssblex  14751  mulc1cncf  14909  cncfmptc  14916  mulcncflem  14927  cnplimclemle  14988  pilem3  15103  sgmnncl  15308  iooref1o  15765  trilpolemeq1  15771  nconstwlpolemgt0  15795  taupi  15804