Theorem rpgt0d 9656

Description: A positive real is greater than zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpgt0d	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem rpgt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpgt0 9622	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989  0cc0 7774   < clt 7954  ℝ⁺crp 9610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-rab 2457  df-v 2732  df-un 3125  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990  df-rp 9611

This theorem is referenced by:  rpregt0d  9660  ltmulgt11d  9689  ltmulgt12d  9690  gt0divd  9691  ge0divd  9692  lediv12ad  9713  expgt0  10509  nnesq  10595  bccl2  10702  resqrexlemp1rp  10970  resqrexlemover  10974  resqrexlemnm  10982  resqrexlemgt0  10984  resqrexlemglsq  10986  sqrtgt0d  11123  reccn2ap  11276  fsumlt  11427  eirraplem  11739  dvdsmodexp  11757  prmind2  12074  sqrt2irrlem  12115  modprmn0modprm0  12210  ssblex  13225  mulc1cncf  13370  cncfmptc  13376  mulcncflem  13384  cnplimclemle  13431  pilem3  13498  iooref1o  14066  trilpolemeq1  14072  nconstwlpolemgt0  14095  taupi  14102