Theorem rpgt0d 10118

Description: A positive real is greater than zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpgt0d	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem rpgt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpgt0 10084	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  0cc0 8186   < clt 8367  ℝ⁺crp 10072

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4132  df-rp 10073

This theorem is used by:  rpregt0d  10122  ltmulgt11d  10151  ltmulgt12d  10152  gt0divd  10153  ge0divd  10154  lediv12ad  10175  expgt0  11031  nnesq  11119  bccl2  11229  resqrexlemp1rp  11795  resqrexlemover  11799  resqrexlemnm  11807  resqrexlemgt0  11809  resqrexlemglsq  11811  sqrtgt0d  11949  reccn2ap  12105  fsumlt  12257  eirraplem  12570  dvdsmodexp  12588  bitsmod  12749  prmind2  12924  sqrt2irrlem  12966  modprmn0modprm0  13065  4sqlem11  13210  4sqlem12  13211  modxai  13225  ssblex  15669  mulc1cncf  15827  cncfmptc  15834  mulcncflem  15845  cnplimclemle  15906  pilem3  16022  sgmnncl  16269  iooref1o  17301  trilpolemeq1  17308  nconstwlpolemgt0  17333  taupi  17342