Theorem rpgt0d 9934

Description: A positive real is greater than zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpgt0d	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem rpgt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpgt0 9900	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  0cc0 8032   < clt 8214  ℝ⁺crp 9888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-rab 2519  df-v 2804  df-un 3204  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-br 4089  df-rp 9889

This theorem is referenced by:  rpregt0d  9938  ltmulgt11d  9967  ltmulgt12d  9968  gt0divd  9969  ge0divd  9970  lediv12ad  9991  expgt0  10835  nnesq  10922  bccl2  11031  resqrexlemp1rp  11568  resqrexlemover  11572  resqrexlemnm  11580  resqrexlemgt0  11582  resqrexlemglsq  11584  sqrtgt0d  11721  reccn2ap  11875  fsumlt  12027  eirraplem  12340  dvdsmodexp  12358  bitsmod  12519  prmind2  12694  sqrt2irrlem  12735  modprmn0modprm0  12831  4sqlem11  12976  4sqlem12  12977  modxai  12991  ssblex  15158  mulc1cncf  15316  cncfmptc  15323  mulcncflem  15334  cnplimclemle  15395  pilem3  15510  sgmnncl  15715  iooref1o  16659  trilpolemeq1  16665  nconstwlpolemgt0  16689  taupi  16698