Theorem rpgt0d 9516

Description: A positive real is greater than zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpgt0d	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem rpgt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpgt0 9482	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1481   class class class wbr 3937  0cc0 7644   < clt 7824  ℝ⁺crp 9470

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-rab 2426  df-v 2691  df-un 3080  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-br 3938  df-rp 9471

This theorem is referenced by:  rpregt0d  9520  ltmulgt11d  9549  ltmulgt12d  9550  gt0divd  9551  ge0divd  9552  lediv12ad  9573  expgt0  10357  nnesq  10442  bccl2  10546  resqrexlemp1rp  10810  resqrexlemover  10814  resqrexlemnm  10822  resqrexlemgt0  10824  resqrexlemglsq  10826  sqrtgt0d  10963  reccn2ap  11114  fsumlt  11265  eirraplem  11519  prmind2  11837  sqrt2irrlem  11875  ssblex  12639  mulc1cncf  12784  cncfmptc  12790  mulcncflem  12798  cnplimclemle  12845  pilem3  12912  trilpolemeq1  13408  iooref1o  13426  taupi  13430