Theorem rpgt0d 9927

Description: A positive real is greater than zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpgt0d	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem rpgt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpgt0 9893	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4086  0cc0 8025   < clt 8207  ℝ⁺crp 9881

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-rab 2517  df-v 2802  df-un 3202  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-br 4087  df-rp 9882

This theorem is referenced by:  rpregt0d  9931  ltmulgt11d  9960  ltmulgt12d  9961  gt0divd  9962  ge0divd  9963  lediv12ad  9984  expgt0  10827  nnesq  10914  bccl2  11023  resqrexlemp1rp  11560  resqrexlemover  11564  resqrexlemnm  11572  resqrexlemgt0  11574  resqrexlemglsq  11576  sqrtgt0d  11713  reccn2ap  11867  fsumlt  12018  eirraplem  12331  dvdsmodexp  12349  bitsmod  12510  prmind2  12685  sqrt2irrlem  12726  modprmn0modprm0  12822  4sqlem11  12967  4sqlem12  12968  modxai  12982  ssblex  15148  mulc1cncf  15306  cncfmptc  15313  mulcncflem  15324  cnplimclemle  15385  pilem3  15500  sgmnncl  15705  iooref1o  16588  trilpolemeq1  16594  nconstwlpolemgt0  16618  taupi  16627