Theorem rpgt0d 9774

Description: A positive real is greater than zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpgt0d	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem rpgt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpgt0 9740	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4033  0cc0 7879   < clt 8061  ℝ⁺crp 9728

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-rab 2484  df-v 2765  df-un 3161  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-br 4034  df-rp 9729

This theorem is referenced by:  rpregt0d  9778  ltmulgt11d  9807  ltmulgt12d  9808  gt0divd  9809  ge0divd  9810  lediv12ad  9831  expgt0  10664  nnesq  10751  bccl2  10860  resqrexlemp1rp  11171  resqrexlemover  11175  resqrexlemnm  11183  resqrexlemgt0  11185  resqrexlemglsq  11187  sqrtgt0d  11324  reccn2ap  11478  fsumlt  11629  eirraplem  11942  dvdsmodexp  11960  prmind2  12288  sqrt2irrlem  12329  modprmn0modprm0  12425  4sqlem11  12570  4sqlem12  12571  modxai  12585  ssblex  14667  mulc1cncf  14825  cncfmptc  14832  mulcncflem  14843  cnplimclemle  14904  pilem3  15019  sgmnncl  15224  iooref1o  15678  trilpolemeq1  15684  nconstwlpolemgt0  15708  taupi  15717