Theorem rpgt0d 9765

Description: A positive real is greater than zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpgt0d	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem rpgt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpgt0 9731	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4029  0cc0 7872   < clt 8054  ℝ⁺crp 9719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-rab 2481  df-v 2762  df-un 3157  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-br 4030  df-rp 9720

This theorem is referenced by:  rpregt0d  9769  ltmulgt11d  9798  ltmulgt12d  9799  gt0divd  9800  ge0divd  9801  lediv12ad  9822  expgt0  10643  nnesq  10730  bccl2  10839  resqrexlemp1rp  11150  resqrexlemover  11154  resqrexlemnm  11162  resqrexlemgt0  11164  resqrexlemglsq  11166  sqrtgt0d  11303  reccn2ap  11456  fsumlt  11607  eirraplem  11920  dvdsmodexp  11938  prmind2  12258  sqrt2irrlem  12299  modprmn0modprm0  12394  4sqlem11  12539  4sqlem12  12540  ssblex  14599  mulc1cncf  14744  cncfmptc  14750  mulcncflem  14761  cnplimclemle  14822  pilem3  14918  iooref1o  15524  trilpolemeq1  15530  nconstwlpolemgt0  15554  taupi  15563