Theorem rpgt0d 10102

Description: A positive real is greater than zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpgt0d	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem rpgt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpgt0 10068	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  0cc0 8179   < clt 8360  ℝ⁺crp 10056

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4131  df-rp 10057

This theorem is used by:  rpregt0d  10106  ltmulgt11d  10135  ltmulgt12d  10136  gt0divd  10137  ge0divd  10138  lediv12ad  10159  expgt0  11011  nnesq  11099  bccl2  11208  resqrexlemp1rp  11774  resqrexlemover  11778  resqrexlemnm  11786  resqrexlemgt0  11788  resqrexlemglsq  11790  sqrtgt0d  11927  reccn2ap  12081  fsumlt  12233  eirraplem  12546  dvdsmodexp  12564  bitsmod  12725  prmind2  12900  sqrt2irrlem  12941  modprmn0modprm0  13037  4sqlem11  13182  4sqlem12  13183  modxai  13197  ssblex  15534  mulc1cncf  15692  cncfmptc  15699  mulcncflem  15710  cnplimclemle  15771  pilem3  15887  sgmnncl  16108  iooref1o  17095  trilpolemeq1  17101  nconstwlpolemgt0  17126  taupi  17135