Theorem rpgt0d 10053

Description: A positive real is greater than zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpgt0d	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem rpgt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpgt0 10019	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4114  0cc0 8143   < clt 8324  ℝ⁺crp 10007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-rab 2531  df-v 2817  df-un 3218  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-br 4115  df-rp 10008

This theorem is referenced by:  rpregt0d  10057  ltmulgt11d  10086  ltmulgt12d  10087  gt0divd  10088  ge0divd  10089  lediv12ad  10110  expgt0  10961  nnesq  11049  bccl2  11158  resqrexlemp1rp  11719  resqrexlemover  11723  resqrexlemnm  11731  resqrexlemgt0  11733  resqrexlemglsq  11735  sqrtgt0d  11872  reccn2ap  12026  fsumlt  12178  eirraplem  12491  dvdsmodexp  12509  bitsmod  12670  prmind2  12845  sqrt2irrlem  12886  modprmn0modprm0  12982  4sqlem11  13127  4sqlem12  13128  modxai  13142  ssblex  15425  mulc1cncf  15583  cncfmptc  15590  mulcncflem  15601  cnplimclemle  15662  pilem3  15777  sgmnncl  15985  iooref1o  16957  trilpolemeq1  16963  nconstwlpolemgt0  16989  taupi  16998