Theorem mertenslemi1 11846

Description: Lemma for mertensabs 11848. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Dec-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
mertens.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑗) = 𝐴)
mertens.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐾‘𝑗) = (abs‘𝐴))
mertens.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
mertens.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑘) = 𝐵)
mertens.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
mertens.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐻‘𝑘) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(𝐴 · (𝐺‘(𝑘 − 𝑗))))
mertens.7	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐾) ∈ dom ⇝ )
mertens.8	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
mertens.9	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
mertens.10	⊢ 𝑇 = {𝑧 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘))}
mertens.11	⊢ (𝜓 ↔ (𝑠 ∈ ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1))))
mertens.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
mertens.i12	⊢ (𝜑 → (𝜓 ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑡)(𝐾‘𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (𝑃 + 1)))))
mertens.pge0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑃)
mertens.pub	⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ 𝑇 𝑤 ≤ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mertenslemi1	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑚,𝑛,𝑠,𝑡,𝑦,𝑧,𝐵   𝑗,𝑘,𝐺,𝑚,𝑛,𝑠,𝑦,𝑧   𝜑,𝑗,𝑘,𝑚,𝑦,𝑧   𝑡,𝑘,𝐴,𝑚,𝑛,𝑠,𝑦   𝑗,𝐸,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑡,𝑦,𝑧   𝑗,𝐾,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑡,𝑦,𝑧   𝑗,𝐹,𝑚,𝑛,𝑦   𝜓,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑡,𝑦,𝑧   𝑤,𝑗,𝑇,𝑘,𝑚,𝑛,𝑡,𝑦,𝑧   𝑘,𝐻,𝑚,𝑦   𝑤,𝐵   𝑃,𝑗,𝑚,𝑤

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑡,𝑛,𝑠)   𝜓(𝑤,𝑠)   𝐴(𝑧,𝑤,𝑗)   𝐵(𝑘)   𝑃(𝑦,𝑧,𝑡,𝑘,𝑛,𝑠)   𝑇(𝑠)   𝐸(𝑤)   𝐹(𝑧,𝑤,𝑡,𝑘,𝑠)   𝐺(𝑤,𝑡)   𝐻(𝑧,𝑤,𝑡,𝑗,𝑛,𝑠)   𝐾(𝑤)

Proof of Theorem mertenslemi1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mertens.i12	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑡)(𝐾‘𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (𝑃 + 1)))))
2	1	simpld 112	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝜓)
3		mertens.11	. . . . . 6 ⊢ (𝜓 ↔ (𝑠 ∈ ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1))))
4	2, 3	sylib 122	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1))))
5	4	simpld 112	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑠 ∈ ℕ)
6	5	nnnn0d 9348	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑠 ∈ ℕ0)
7	1	simprd 114	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑡)(𝐾‘𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (𝑃 + 1))))
8	7	simpld 112	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ℕ0)
9	6, 8	nn0addcld 9352	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑠 + 𝑡) ∈ ℕ0)
10		0zd 9384	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → 0 ∈ ℤ)
11		eluzelz 9657	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡)) → 𝑚 ∈ ℤ)
12	11	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑚 ∈ ℤ)
13	10, 12	fzfigd 10576	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → (0...𝑚) ∈ Fin)
14		simpl 109	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝜑)
15		elfznn0 10236	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑚) → 𝑗 ∈ ℕ0)
16		mertens.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
17	14, 15, 16	syl2an 289	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → 𝐴 ∈ ℂ)
18		eqid 2205	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1)) = (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))
19		fznn0sub 10179	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑚) → (𝑚 − 𝑗) ∈ ℕ0)
20	19	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → (𝑚 − 𝑗) ∈ ℕ0)
21		peano2nn0 9335	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 − 𝑗) ∈ ℕ0 → ((𝑚 − 𝑗) + 1) ∈ ℕ0)
22	20, 21	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → ((𝑚 − 𝑗) + 1) ∈ ℕ0)
23	22	nn0zd 9493	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → ((𝑚 − 𝑗) + 1) ∈ ℤ)
24		simplll 533	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))) → 𝜑)
25		eluznn0 9720	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑚 − 𝑗) + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
26	22, 25	sylan 283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
27		mertens.4	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑘) = 𝐵)
28	24, 26, 27	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))) → (𝐺‘𝑘) = 𝐵)
29		mertens.5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
30	24, 26, 29	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
31		mertens.8	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
32	31	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
33		nn0uz 9683	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
34		simpll 527	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → 𝜑)
35	27, 29	eqeltrd 2282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
36	34, 35	sylan 283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
37	33, 22, 36	iserex 11650	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → (seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ↔ seq((𝑚 − 𝑗) + 1)( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ))
38	32, 37	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → seq((𝑚 − 𝑗) + 1)( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
39	18, 23, 28, 30, 38	isumcl 11736	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵 ∈ ℂ)
40	17, 39	mulcld 8093	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → (𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵) ∈ ℂ)
41	13, 40	fsumcl 11711	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵) ∈ ℂ)
42	41	abscld 11492	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → (abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵)) ∈ ℝ)
43	40	abscld 11492	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → (abs‘(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵)) ∈ ℝ)
44	13, 43	fsumrecl 11712	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(abs‘(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵)) ∈ ℝ)
45		mertens.9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
46	45	rpred 9818	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
47	46	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝐸 ∈ ℝ)
48	13, 40	fsumabs 11776	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → (abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵)) ≤ Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(abs‘(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵)))
49	5	nnzd 9494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑠 ∈ ℤ)
50	49	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑠 ∈ ℤ)
51	12, 50	zsubcld 9500	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑚 − 𝑠) ∈ ℤ)
52	10, 51	fzfigd 10576	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → (0...(𝑚 − 𝑠)) ∈ Fin)
53	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑠 ∈ ℕ0)
54	53	nn0ge0d 9351	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → 0 ≤ 𝑠)
55	12	zred 9495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑚 ∈ ℝ)
56	53	nn0red 9349	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑠 ∈ ℝ)
57	55, 56	subge02d 8610	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → (0 ≤ 𝑠 ↔ (𝑚 − 𝑠) ≤ 𝑚))
58	54, 57	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑚 − 𝑠) ≤ 𝑚)
59	53, 33	eleqtrdi 2298	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑠 ∈ (ℤ≥‘0))
60		uzid 9662	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 ∈ ℤ → 𝑠 ∈ (ℤ≥‘𝑠))
61	49, 60	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑠 ∈ (ℤ≥‘𝑠))
62		uzaddcl 9707	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑠 ∈ (ℤ≥‘𝑠) ∧ 𝑡 ∈ ℕ0) → (𝑠 + 𝑡) ∈ (ℤ≥‘𝑠))
63	61, 8, 62	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑠 + 𝑡) ∈ (ℤ≥‘𝑠))
64		eqid 2205	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℤ≥‘𝑠) = (ℤ≥‘𝑠)
65	64	uztrn2 9666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑠 + 𝑡) ∈ (ℤ≥‘𝑠) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑠))
66	63, 65	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑠))
67		elfzuzb 10141	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 ∈ (0...𝑚) ↔ (𝑠 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑠)))
68	59, 66, 67	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑠 ∈ (0...𝑚))
69		fznn0sub2 10250	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ (0...𝑚) → (𝑚 − 𝑠) ∈ (0...𝑚))
70	68, 69	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑚 − 𝑠) ∈ (0...𝑚))
71		elfzelz 10147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 − 𝑠) ∈ (0...𝑚) → (𝑚 − 𝑠) ∈ ℤ)
72	70, 71	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑚 − 𝑠) ∈ ℤ)
73		eluz 9661	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑚 − 𝑠) ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 − 𝑠)) ↔ (𝑚 − 𝑠) ≤ 𝑚))
74	72, 12, 73	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 − 𝑠)) ↔ (𝑚 − 𝑠) ≤ 𝑚))
75	58, 74	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 − 𝑠)))
76		fzss2 10186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 − 𝑠)) → (0...(𝑚 − 𝑠)) ⊆ (0...𝑚))
77	75, 76	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → (0...(𝑚 − 𝑠)) ⊆ (0...𝑚))
78	77	sselda 3193	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))) → 𝑗 ∈ (0...𝑚))
79	16	abscld 11492	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
80	14, 15, 79	syl2an 289	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
81	39	abscld 11492	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵) ∈ ℝ)
82	80, 81	remulcld 8103	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → ((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵)) ∈ ℝ)
83	78, 82	syldan 282	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))) → ((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵)) ∈ ℝ)
84	52, 83	fsumrecl 11712	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵)) ∈ ℝ)
85	51	peano2zd 9498	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → ((𝑚 − 𝑠) + 1) ∈ ℤ)
86	85, 12	fzfigd 10576	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚) ∈ Fin)
87		elfznn0 10236	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 − 𝑠) ∈ (0...𝑚) → (𝑚 − 𝑠) ∈ ℕ0)
88	70, 87	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑚 − 𝑠) ∈ ℕ0)
89		peano2nn0 9335	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 − 𝑠) ∈ ℕ0 → ((𝑚 − 𝑠) + 1) ∈ ℕ0)
90	88, 89	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → ((𝑚 − 𝑠) + 1) ∈ ℕ0)
91	90, 33	eleqtrdi 2298	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → ((𝑚 − 𝑠) + 1) ∈ (ℤ≥‘0))
92		fzss1 10185	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑚 − 𝑠) + 1) ∈ (ℤ≥‘0) → (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚) ⊆ (0...𝑚))
93	91, 92	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚) ⊆ (0...𝑚))
94	93	sselda 3193	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)) → 𝑗 ∈ (0...𝑚))
95	94, 82	syldan 282	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)) → ((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵)) ∈ ℝ)
96	86, 95	fsumrecl 11712	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵)) ∈ ℝ)
97	45	rphalfcld 9831	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 2) ∈ ℝ+)
98	97	rpred 9818	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
99	98	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
100		elfznn0 10236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
101	14, 100, 79	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
102	52, 101	fsumrecl 11712	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))(abs‘𝐴) ∈ ℝ)
103	102, 99	remulcld 8103	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) ∈ ℝ)
104		0zd 9384	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
105		eqidd 2206	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐾‘𝑗) = (𝐾‘𝑗))
106		mertens.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐾‘𝑗) = (abs‘𝐴))
107	106, 79	eqeltrd 2282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐾‘𝑗) ∈ ℝ)
108		mertens.7	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐾) ∈ dom ⇝ )
109	33, 104, 105, 107, 108	isumrecl 11740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) ∈ ℝ)
110	16	absge0d 11495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
111	110, 106	breqtrrd 4072	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐾‘𝑗))
112	33, 104, 105, 107, 108, 111	isumge0 11741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗))
113	109, 112	ge0p1rpd 9849	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1) ∈ ℝ+)
114	113	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1) ∈ ℝ+)
115	103, 114	rerpdivcld 9850	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → ((Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1)) ∈ ℝ)
116	97, 113	rpdivcld 9836	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1)) ∈ ℝ+)
117	116	rpred 9818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1)) ∈ ℝ)
118	117	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))) → ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1)) ∈ ℝ)
119	101, 118	remulcld 8103	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))) → ((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1))) ∈ ℝ)
120	78, 23	syldan 282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))) → ((𝑚 − 𝑗) + 1) ∈ ℤ)
121		simplll 533	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))) → 𝜑)
122	78, 22	syldan 282	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))) → ((𝑚 − 𝑗) + 1) ∈ ℕ0)
123	122, 25	sylan 283	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
124	121, 123, 27	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))) → (𝐺‘𝑘) = 𝐵)
125	121, 123, 29	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
126	78, 38	syldan 282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))) → seq((𝑚 − 𝑗) + 1)( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
127	18, 120, 124, 125, 126	isumcl 11736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵 ∈ ℂ)
128	127	abscld 11492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵) ∈ ℝ)
129	79, 110	jca 306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)))
130	14, 100, 129	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))) → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)))
131	124	sumeq2dv 11679	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))(𝐺‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵)
132	131	fveq2d 5580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))(𝐺‘𝑘)) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵))
133		fvoveq1 5967	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − 𝑗) → (ℤ≥‘(𝑛 + 1)) = (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1)))
134	133	sumeq1d 11677	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − 𝑗) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))(𝐺‘𝑘))
135	134	fveq2d 5580	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − 𝑗) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘)) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))(𝐺‘𝑘)))
136	135	breq1d 4054	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − 𝑗) → ((abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1)) ↔ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))(𝐺‘𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1))))
137	4	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1)))
138	137	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))) → ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1)))
139		elfzelz 10147	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠)) → 𝑗 ∈ ℤ)
140	139	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))) → 𝑗 ∈ ℤ)
141	140	zred 9495	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))) → 𝑗 ∈ ℝ)
142	11	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))) → 𝑚 ∈ ℤ)
143	142	zred 9495	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))) → 𝑚 ∈ ℝ)
144	49	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))) → 𝑠 ∈ ℤ)
145	144	zred 9495	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))) → 𝑠 ∈ ℝ)
146		elfzle2 10150	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠)) → 𝑗 ≤ (𝑚 − 𝑠))
147	146	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))) → 𝑗 ≤ (𝑚 − 𝑠))
148	141, 143, 145, 147	lesubd 8622	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))) → 𝑠 ≤ (𝑚 − 𝑗))
149	142, 140	zsubcld 9500	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))) → (𝑚 − 𝑗) ∈ ℤ)
150		eluz 9661	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ (𝑚 − 𝑗) ∈ ℤ) → ((𝑚 − 𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑠) ↔ 𝑠 ≤ (𝑚 − 𝑗)))
151	144, 149, 150	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))) → ((𝑚 − 𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑠) ↔ 𝑠 ≤ (𝑚 − 𝑗)))
152	148, 151	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))) → (𝑚 − 𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑠))
153	136, 138, 152	rspcdva 2882	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))(𝐺‘𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1)))
154	132, 153	eqbrtrrd 4068	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1)))
155	128, 118, 154	ltled 8191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵) ≤ ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1)))
156		lemul2a 8932	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵) ∈ ℝ ∧ ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1)) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴))) ∧ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵) ≤ ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1))) → ((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1))))
157	128, 118, 130, 155, 156	syl31anc 1253	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))) → ((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1))))
158	52, 83, 119, 157	fsumle 11774	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵)) ≤ Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1))))
159	102	recnd 8101	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))(abs‘𝐴) ∈ ℂ)
160	97	rpcnd 9820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 2) ∈ ℂ)
161	160	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝐸 / 2) ∈ ℂ)
162		peano2re 8208	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) ∈ ℝ → (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1) ∈ ℝ)
163	109, 162	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1) ∈ ℝ)
164	163	recnd 8101	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1) ∈ ℂ)
165	164	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1) ∈ ℂ)
166	114	rpap0d 9824	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1) # 0)
167	159, 161, 165, 166	divassapd 8899	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → ((Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1)) = (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))(abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1))))
168		fveq2 5576	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝐾‘𝑛) = (𝐾‘𝑗))
169	168	cbvsumv 11672	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑛) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗)
170	169	oveq1i 5954	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑛) + 1) = (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1)
171	170	oveq2i 5955	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐸 / 2) / (Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑛) + 1)) = ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1))
172	171, 116	eqeltrid 2292	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 / 2) / (Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑛) + 1)) ∈ ℝ+)
173	172	rpcnd 9820	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 / 2) / (Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
174	173	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → ((𝐸 / 2) / (Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
175	79	recnd 8101	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
176	14, 100, 175	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
177	52, 174, 176	fsummulc1 11760	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))(abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑛) + 1))) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑛) + 1))))
178	171	oveq2i 5955	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))(abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑛) + 1))) = (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))(abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1)))
179	171	oveq2i 5955	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑛) + 1))) = ((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1)))
180	179	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠)) → ((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑛) + 1))) = ((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1))))
181	180	sumeq2i 11675	. . . . . . . . . 10 ⊢ Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑛) + 1))) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1)))
182	177, 178, 181	3eqtr3g 2261	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))(abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1))) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1))))
183	167, 182	eqtrd 2238	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → ((Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1)) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1))))
184	158, 183	breqtrrd 4072	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵)) ≤ ((Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1)))
185	109	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) ∈ ℝ)
186	163	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1) ∈ ℝ)
187		fz0ssnn0 10238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0...(𝑚 − 𝑠)) ⊆ ℕ0
188	187	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → (0...(𝑚 − 𝑠)) ⊆ ℕ0)
189	106	adantlr 477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐾‘𝑗) = (abs‘𝐴))
190		nn0z 9392	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → 𝑗 ∈ ℤ)
191	190	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℤ)
192		0zd 9384	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℤ)
193	51	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑚 − 𝑠) ∈ ℤ)
194		fzdcel 10162	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (𝑚 − 𝑠) ∈ ℤ) → DECID 𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠)))
195	191, 192, 193, 194	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → DECID 𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠)))
196	195	ralrimiva 2579	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → ∀𝑗 ∈ ℕ0 DECID 𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠)))
197	79	adantlr 477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
198	110	adantlr 477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
199	108	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → seq0( + , 𝐾) ∈ dom ⇝ )
200	33, 10, 52, 188, 189, 196, 197, 198, 199	isumlessdc 11807	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))(abs‘𝐴) ≤ Σ𝑗 ∈ ℕ0 (abs‘𝐴))
201	106	sumeq2dv 11679	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 (abs‘𝐴))
202	201	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 (abs‘𝐴))
203	200, 202	breqtrrd 4072	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))(abs‘𝐴) ≤ Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗))
204	109	ltp1d 9003	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) < (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1))
205	204	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) < (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1))
206	102, 185, 186, 203, 205	lelttrd 8197	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))(abs‘𝐴) < (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1))
207	97	rpregt0d 9825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐸 / 2)))
208	207	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → ((𝐸 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐸 / 2)))
209		ltmul1 8665	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))(abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝐸 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐸 / 2))) → (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))(abs‘𝐴) < (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1) ↔ (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) < ((Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1) · (𝐸 / 2))))
210	102, 186, 208, 209	syl3anc 1250	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))(abs‘𝐴) < (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1) ↔ (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) < ((Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1) · (𝐸 / 2))))
211	206, 210	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) < ((Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1) · (𝐸 / 2)))
212	113	rpregt0d 9825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1)))
213	212	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → ((Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1)))
214		ltdivmul 8949	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝐸 / 2) ∈ ℝ ∧ ((Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1))) → (((Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1)) < (𝐸 / 2) ↔ (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) < ((Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1) · (𝐸 / 2))))
215	103, 99, 213, 214	syl3anc 1250	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → (((Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1)) < (𝐸 / 2) ↔ (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) < ((Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1) · (𝐸 / 2))))
216	211, 215	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → ((Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1)) < (𝐸 / 2))
217	84, 115, 99, 184, 216	lelttrd 8197	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵)) < (𝐸 / 2))
218		mertens.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
219	98, 218	remulcld 8103	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 / 2) · 𝑃) ∈ ℝ)
220		mertens.pge0	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑃)
221	218, 220	ge0p1rpd 9849	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 + 1) ∈ ℝ+)
222	219, 221	rerpdivcld 9850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐸 / 2) · 𝑃) / (𝑃 + 1)) ∈ ℝ)
223	222	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → (((𝐸 / 2) · 𝑃) / (𝑃 + 1)) ∈ ℝ)
224	5	nnrpd 9816	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑠 ∈ ℝ+)
225	97, 224	rpdivcld 9836	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 / 2) / 𝑠) ∈ ℝ+)
226	225, 221	rpdivcld 9836	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (𝑃 + 1)) ∈ ℝ+)
227	226	rpred 9818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (𝑃 + 1)) ∈ ℝ)
228	227, 218	remulcld 8103	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (𝑃 + 1)) · 𝑃) ∈ ℝ)
229	228	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)) → ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (𝑃 + 1)) · 𝑃) ∈ ℝ)
230		simpll 527	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)) → 𝜑)
231	94, 15	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
232	230, 231, 79	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
233	227	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)) → (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (𝑃 + 1)) ∈ ℝ)
234	230, 231, 106	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)) → (𝐾‘𝑗) = (abs‘𝐴))
235		fveq2 5576	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (𝐾‘𝑚) = (𝐾‘𝑗))
236	235	breq1d 4054	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → ((𝐾‘𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (𝑃 + 1)) ↔ (𝐾‘𝑗) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (𝑃 + 1))))
237	7	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑡)(𝐾‘𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (𝑃 + 1)))
238	237	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)) → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑡)(𝐾‘𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (𝑃 + 1)))
239		elfzuz 10143	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑠) + 1)))
240		eluzle 9660	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡)) → (𝑠 + 𝑡) ≤ 𝑚)
241	240	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑠 + 𝑡) ≤ 𝑚)
242	8	nn0zd 9493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ℤ)
243	242	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑡 ∈ ℤ)
244	243	zred 9495	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑡 ∈ ℝ)
245	56, 244, 55	leaddsub2d 8620	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → ((𝑠 + 𝑡) ≤ 𝑚 ↔ 𝑡 ≤ (𝑚 − 𝑠)))
246	241, 245	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑡 ≤ (𝑚 − 𝑠))
247		eluz 9661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑡 ∈ ℤ ∧ (𝑚 − 𝑠) ∈ ℤ) → ((𝑚 − 𝑠) ∈ (ℤ≥‘𝑡) ↔ 𝑡 ≤ (𝑚 − 𝑠)))
248	243, 72, 247	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → ((𝑚 − 𝑠) ∈ (ℤ≥‘𝑡) ↔ 𝑡 ≤ (𝑚 − 𝑠)))
249	246, 248	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑚 − 𝑠) ∈ (ℤ≥‘𝑡))
250		peano2uz 9704	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 − 𝑠) ∈ (ℤ≥‘𝑡) → ((𝑚 − 𝑠) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑡))
251	249, 250	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → ((𝑚 − 𝑠) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑡))
252		uztrn 9665	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑗 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑠) + 1)) ∧ ((𝑚 − 𝑠) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑡)) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑡))
253	239, 251, 252	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑡))
254	236, 238, 253	rspcdva 2882	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)) → (𝐾‘𝑗) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (𝑃 + 1)))
255	234, 254	eqbrtrrd 4068	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)) → (abs‘𝐴) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (𝑃 + 1)))
256	232, 233, 255	ltled 8191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)) → (abs‘𝐴) ≤ (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (𝑃 + 1)))
257		breq1 4047	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵) → (𝑤 ≤ 𝑃 ↔ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵) ≤ 𝑃))
258		mertens.pub	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ 𝑇 𝑤 ≤ 𝑃)
259	258	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)) → ∀𝑤 ∈ 𝑇 𝑤 ≤ 𝑃)
260	55	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)) → 𝑚 ∈ ℝ)
261		peano2zm 9410	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 ∈ ℤ → (𝑠 − 1) ∈ ℤ)
262	49, 261	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑠 − 1) ∈ ℤ)
263	262	zred 9495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑠 − 1) ∈ ℝ)
264	263	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)) → (𝑠 − 1) ∈ ℝ)
265	231	nn0red 9349	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)) → 𝑗 ∈ ℝ)
266	12	zcnd 9496	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑚 ∈ ℂ)
267	56	recnd 8101	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑠 ∈ ℂ)
268		1cnd 8088	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → 1 ∈ ℂ)
269	266, 267, 268	subsubd 8411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑚 − (𝑠 − 1)) = ((𝑚 − 𝑠) + 1))
270	269	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)) → (𝑚 − (𝑠 − 1)) = ((𝑚 − 𝑠) + 1))
271		elfzle1 10149	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚) → ((𝑚 − 𝑠) + 1) ≤ 𝑗)
272	271	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)) → ((𝑚 − 𝑠) + 1) ≤ 𝑗)
273	270, 272	eqbrtrd 4066	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)) → (𝑚 − (𝑠 − 1)) ≤ 𝑗)
274	260, 264, 265, 273	subled 8621	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)) → (𝑚 − 𝑗) ≤ (𝑠 − 1))
275	94, 19	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)) → (𝑚 − 𝑗) ∈ ℕ0)
276	275, 33	eleqtrdi 2298	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)) → (𝑚 − 𝑗) ∈ (ℤ≥‘0))
277	262	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)) → (𝑠 − 1) ∈ ℤ)
278		elfz5 10139	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑚 − 𝑗) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ (𝑠 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑚 − 𝑗) ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↔ (𝑚 − 𝑗) ≤ (𝑠 − 1)))
279	276, 277, 278	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)) → ((𝑚 − 𝑗) ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↔ (𝑚 − 𝑗) ≤ (𝑠 − 1)))
280	274, 279	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)) → (𝑚 − 𝑗) ∈ (0...(𝑠 − 1)))
281		simplll 533	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))) → 𝜑)
282	94, 22	syldan 282	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)) → ((𝑚 − 𝑗) + 1) ∈ ℕ0)
283	282, 25	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
284	281, 283, 27	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))) → (𝐺‘𝑘) = 𝐵)
285	284	sumeq2dv 11679	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))(𝐺‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵)
286	285	eqcomd 2211	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵 = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))(𝐺‘𝑘))
287	286	fveq2d 5580	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))(𝐺‘𝑘)))
288	135	rspceeqv 2895	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑚 − 𝑗) ∈ (0...(𝑠 − 1)) ∧ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))(𝐺‘𝑘))) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘)))
289	280, 287, 288	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘)))
290	94, 39	syldan 282	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵 ∈ ℂ)
291	290	abscld 11492	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵) ∈ ℝ)
292		eqeq1 2212	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵) → (𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘)) ↔ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘))))
293	292	rexbidv 2507	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵) → (∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘)) ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘))))
294		mertens.10	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑇 = {𝑧 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘))}
295	293, 294	elab2g 2920	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵) ∈ ℝ → ((abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵) ∈ 𝑇 ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘))))
296	291, 295	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)) → ((abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵) ∈ 𝑇 ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘))))
297	289, 296	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵) ∈ 𝑇)
298	257, 259, 297	rspcdva 2882	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵) ≤ 𝑃)
299	230, 231, 129	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)) → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)))
300	94, 81	syldan 282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵) ∈ ℝ)
301	39	absge0d 11495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → 0 ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵))
302	94, 301	syldan 282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)) → 0 ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵))
303	300, 302	jca 306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)) → ((abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵)))
304	218	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)) → 𝑃 ∈ ℝ)
305		lemul12a 8935	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)) ∧ (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (𝑃 + 1)) ∈ ℝ) ∧ (((abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵)) ∧ 𝑃 ∈ ℝ)) → (((abs‘𝐴) ≤ (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (𝑃 + 1)) ∧ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵) ≤ 𝑃) → ((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵)) ≤ ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (𝑃 + 1)) · 𝑃)))
306	299, 233, 303, 304, 305	syl22anc 1251	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)) → (((abs‘𝐴) ≤ (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (𝑃 + 1)) ∧ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵) ≤ 𝑃) → ((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵)) ≤ ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (𝑃 + 1)) · 𝑃)))
307	256, 298, 306	mp2and 433	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)) → ((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵)) ≤ ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (𝑃 + 1)) · 𝑃))
308	86, 95, 229, 307	fsumle 11774	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵)) ≤ Σ𝑗 ∈ (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (𝑃 + 1)) · 𝑃))
309	228	recnd 8101	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (𝑃 + 1)) · 𝑃) ∈ ℂ)
310	309	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (𝑃 + 1)) · 𝑃) ∈ ℂ)
311		fsumconst 11765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚) ∈ Fin ∧ ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (𝑃 + 1)) · 𝑃) ∈ ℂ) → Σ𝑗 ∈ (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (𝑃 + 1)) · 𝑃) = ((♯‘(((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)) · ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (𝑃 + 1)) · 𝑃)))
312	86, 310, 311	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (𝑃 + 1)) · 𝑃) = ((♯‘(((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)) · ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (𝑃 + 1)) · 𝑃)))
313		1zzd 9399	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → 1 ∈ ℤ)
314		fzen 10165	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ ∧ (𝑚 − 𝑠) ∈ ℤ) → (1...𝑠) ≈ ((1 + (𝑚 − 𝑠))...(𝑠 + (𝑚 − 𝑠))))
315	313, 50, 72, 314	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → (1...𝑠) ≈ ((1 + (𝑚 − 𝑠))...(𝑠 + (𝑚 − 𝑠))))
316		ax-1cn 8018	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℂ
317	72	zcnd 9496	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑚 − 𝑠) ∈ ℂ)
318		addcom 8209	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑚 − 𝑠) ∈ ℂ) → (1 + (𝑚 − 𝑠)) = ((𝑚 − 𝑠) + 1))
319	316, 317, 318	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → (1 + (𝑚 − 𝑠)) = ((𝑚 − 𝑠) + 1))
320	267, 266	pncan3d 8386	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑠 + (𝑚 − 𝑠)) = 𝑚)
321	319, 320	oveq12d 5962	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → ((1 + (𝑚 − 𝑠))...(𝑠 + (𝑚 − 𝑠))) = (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚))
322	315, 321	breqtrd 4070	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → (1...𝑠) ≈ (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚))
323	313, 50	fzfigd 10576	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → (1...𝑠) ∈ Fin)
324		hashen 10929	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((1...𝑠) ∈ Fin ∧ (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚) ∈ Fin) → ((♯‘(1...𝑠)) = (♯‘(((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)) ↔ (1...𝑠) ≈ (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)))
325	323, 86, 324	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → ((♯‘(1...𝑠)) = (♯‘(((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)) ↔ (1...𝑠) ≈ (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)))
326	322, 325	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → (♯‘(1...𝑠)) = (♯‘(((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)))
327		hashfz1 10928	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑠)) = 𝑠)
328	53, 327	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → (♯‘(1...𝑠)) = 𝑠)
329	326, 328	eqtr3d 2240	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → (♯‘(((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)) = 𝑠)
330	329	oveq1d 5959	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → ((♯‘(((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)) · ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (𝑃 + 1)) · 𝑃)) = (𝑠 · ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (𝑃 + 1)) · 𝑃)))
331	218	recnd 8101	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
332	221	rpcnd 9820	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑃 + 1) ∈ ℂ)
333	221	rpap0d 9824	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑃 + 1) # 0)
334	160, 331, 332, 333	div23apd 8901	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐸 / 2) · 𝑃) / (𝑃 + 1)) = (((𝐸 / 2) / (𝑃 + 1)) · 𝑃))
335	49	zcnd 9496	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑠 ∈ ℂ)
336	225	rpcnd 9820	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 / 2) / 𝑠) ∈ ℂ)
337	335, 336, 332, 333	divassapd 8899	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑠 · ((𝐸 / 2) / 𝑠)) / (𝑃 + 1)) = (𝑠 · (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (𝑃 + 1))))
338	5	nnap0d 9082	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑠 # 0)
339	160, 335, 338	divcanap2d 8865	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑠 · ((𝐸 / 2) / 𝑠)) = (𝐸 / 2))
340	339	oveq1d 5959	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑠 · ((𝐸 / 2) / 𝑠)) / (𝑃 + 1)) = ((𝐸 / 2) / (𝑃 + 1)))
341	337, 340	eqtr3d 2240	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑠 · (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (𝑃 + 1))) = ((𝐸 / 2) / (𝑃 + 1)))
342	341	oveq1d 5959	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑠 · (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (𝑃 + 1))) · 𝑃) = (((𝐸 / 2) / (𝑃 + 1)) · 𝑃))
343	226	rpcnd 9820	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (𝑃 + 1)) ∈ ℂ)
344	335, 343, 331	mulassd 8096	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑠 · (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (𝑃 + 1))) · 𝑃) = (𝑠 · ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (𝑃 + 1)) · 𝑃)))
345	334, 342, 344	3eqtr2rd 2245	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑠 · ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (𝑃 + 1)) · 𝑃)) = (((𝐸 / 2) · 𝑃) / (𝑃 + 1)))
346	345	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑠 · ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (𝑃 + 1)) · 𝑃)) = (((𝐸 / 2) · 𝑃) / (𝑃 + 1)))
347	312, 330, 346	3eqtrd 2242	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (𝑃 + 1)) · 𝑃) = (((𝐸 / 2) · 𝑃) / (𝑃 + 1)))
348	308, 347	breqtrd 4070	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵)) ≤ (((𝐸 / 2) · 𝑃) / (𝑃 + 1)))
349		peano2re 8208	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → (𝑃 + 1) ∈ ℝ)
350	218, 349	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 + 1) ∈ ℝ)
351	218	ltp1d 9003	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 < (𝑃 + 1))
352	218, 350, 97, 351	ltmul2dd 9875	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 / 2) · 𝑃) < ((𝐸 / 2) · (𝑃 + 1)))
353	219, 98, 221	ltdivmul2d 9871	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸 / 2) · 𝑃) / (𝑃 + 1)) < (𝐸 / 2) ↔ ((𝐸 / 2) · 𝑃) < ((𝐸 / 2) · (𝑃 + 1))))
354	352, 353	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐸 / 2) · 𝑃) / (𝑃 + 1)) < (𝐸 / 2))
355	354	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → (((𝐸 / 2) · 𝑃) / (𝑃 + 1)) < (𝐸 / 2))
356	96, 223, 99, 348, 355	lelttrd 8197	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵)) < (𝐸 / 2))
357	84, 96, 99, 99, 217, 356	lt2addd 8640	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵)) + Σ𝑗 ∈ (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵))) < ((𝐸 / 2) + (𝐸 / 2)))
358	17, 39	absmuld 11505	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → (abs‘(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵)))
359	358	sumeq2dv 11679	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(abs‘(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵)))
360	72	zred 9495	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑚 − 𝑠) ∈ ℝ)
361	360	ltp1d 9003	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑚 − 𝑠) < ((𝑚 − 𝑠) + 1))
362		fzdisj 10174	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 − 𝑠) < ((𝑚 − 𝑠) + 1) → ((0...(𝑚 − 𝑠)) ∩ (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)) = ∅)
363	361, 362	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → ((0...(𝑚 − 𝑠)) ∩ (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)) = ∅)
364		fzsplit 10173	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 − 𝑠) ∈ (0...𝑚) → (0...𝑚) = ((0...(𝑚 − 𝑠)) ∪ (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)))
365	70, 364	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → (0...𝑚) = ((0...(𝑚 − 𝑠)) ∪ (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)))
366	82	recnd 8101	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → ((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵)) ∈ ℂ)
367	363, 365, 13, 366	fsumsplit 11718	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵)) = (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵)) + Σ𝑗 ∈ (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵))))
368	359, 367	eqtr2d 2239	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚 − 𝑠))((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵)) + Σ𝑗 ∈ (((𝑚 − 𝑠) + 1)...𝑚)((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵))) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(abs‘(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵)))
369	45	rpcnd 9820	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
370	369	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝐸 ∈ ℂ)
371	370	2halvesd 9283	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → ((𝐸 / 2) + (𝐸 / 2)) = 𝐸)
372	357, 368, 371	3brtr3d 4075	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(abs‘(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸)
373	42, 44, 47, 48, 372	lelttrd 8197	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))) → (abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸)
374	373	ralrimiva 2579	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸)
375		fveq2 5576	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝑠 + 𝑡) → (ℤ≥‘𝑦) = (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡)))
376	375	raleqdv 2708	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝑠 + 𝑡) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸))
377	376	rspcev 2877	. 2 ⊢ (((𝑠 + 𝑡) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 𝑡))(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸) → ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸)
378	9, 374, 377	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 836   = wceq 1373   ∈ wcel 2176  {cab 2191  ∀wral 2484  ∃wrex 2485   ∪ cun 3164   ∩ cin 3165   ⊆ wss 3166  ∅c0 3460   class class class wbr 4044  dom cdm 4675  ‘cfv 5271  (class class class)co 5944   ≈ cen 6825  Fincfn 6827  ℂcc 7923  ℝcr 7924  0cc0 7925  1c1 7926   + caddc 7928   · cmul 7930   < clt 8107   ≤ cle 8108   − cmin 8243   / cdiv 8745  ℕcn 9036  2c2 9087  ℕ₀cn0 9295  ℤcz 9372  ℤ_≥cuz 9648  ℝ⁺crp 9775  ...cfz 10130  seqcseq 10592  ♯chash 10920  abscabs 11308   ⇝ cli 11589  Σcsu 11664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043  ax-arch 8044  ax-caucvg 8045

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-irdg 6456  df-frec 6477  df-1o 6502  df-oadd 6506  df-er 6620  df-en 6828  df-dom 6829  df-fin 6830  df-sup 7086  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-4 9097  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-q 9741  df-rp 9776  df-ico 10016  df-fz 10131  df-fzo 10265  df-seqfrec 10593  df-exp 10684  df-ihash 10921  df-cj 11153  df-re 11154  df-im 11155  df-rsqrt 11309  df-abs 11310  df-clim 11590  df-sumdc 11665

This theorem is referenced by:  mertenslem2  11847