Theorem isprm6 12149

Description: A number is prime iff it satisfies Euclid's lemma euclemma 12148. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isprm6	⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑃

Proof of Theorem isprm6

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmuz2 12133	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
2		euclemma 12148	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) ↔ (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦)))
3	2	3expb 1204	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) ↔ (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦)))
4	3	biimpd 144	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦)))
5	4	ralrimivva 2559	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦)))
6	1, 5	jca 306	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))))
7		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))) → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
8		eluz2nn 9568	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℕ)
9	8	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℕ)
10	9	nnzd 9376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℤ)
11		iddvds 11813	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃 ∥ 𝑃)
12	10, 11	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → 𝑃 ∥ 𝑃)
13		nncn 8929	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℂ)
14	9, 13	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℂ)
15		nncn 8929	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℂ)
16	15	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → 𝑧 ∈ ℂ)
17		nnap0 8950	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 # 0)
18	17	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → 𝑧 # 0)
19	14, 16, 18	divcanap1d 8750	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧) = 𝑃)
20	12, 19	breqtrrd 4033	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → 𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧))
21	20	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))) → 𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧))
22		simprr 531	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → 𝑧 ∥ 𝑃)
23		simprl 529	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → 𝑧 ∈ ℕ)
24		nndivdvds 11805	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑧 ∥ 𝑃 ↔ (𝑃 / 𝑧) ∈ ℕ))
25	9, 23, 24	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑧 ∥ 𝑃 ↔ (𝑃 / 𝑧) ∈ ℕ))
26	22, 25	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑃 / 𝑧) ∈ ℕ)
27	26	nnzd 9376	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑃 / 𝑧) ∈ ℤ)
28		nnz 9274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℤ)
29	28	ad2antrl 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → 𝑧 ∈ ℤ)
30	27, 29	jca 306	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → ((𝑃 / 𝑧) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ))
31		oveq1 5884	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → (𝑥 · 𝑦) = ((𝑃 / 𝑧) · 𝑦))
32	31	breq2d 4017	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑦)))
33		breq2 4009	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → (𝑃 ∥ 𝑥 ↔ 𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧)))
34	33	orbi1d 791	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → ((𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦) ↔ (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ 𝑦)))
35	32, 34	imbi12d 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → ((𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦)) ↔ (𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑦) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))))
36		oveq2 5885	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑃 / 𝑧) · 𝑦) = ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧))
37	36	breq2d 4017	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑦) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧)))
38		breq2 4009	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑃 ∥ 𝑦 ↔ 𝑃 ∥ 𝑧))
39	38	orbi2d 790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ 𝑦) ↔ (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ 𝑧)))
40	37, 39	imbi12d 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑦) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ 𝑦)) ↔ (𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ 𝑧))))
41	35, 40	rspc2va 2857	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 / 𝑧) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))) → (𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ 𝑧)))
42	30, 41	sylan 283	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))) → (𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ 𝑧)))
43	21, 42	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ 𝑧))
44		dvdsle 11852	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 / 𝑧) ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) → 𝑃 ≤ (𝑃 / 𝑧)))
45	10, 26, 44	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) → 𝑃 ≤ (𝑃 / 𝑧)))
46	14	div1d 8739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑃 / 1) = 𝑃)
47	46	breq1d 4015	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → ((𝑃 / 1) ≤ (𝑃 / 𝑧) ↔ 𝑃 ≤ (𝑃 / 𝑧)))
48	45, 47	sylibrd 169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) → (𝑃 / 1) ≤ (𝑃 / 𝑧)))
49		nnrp 9665	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℝ+)
50	49	rpregt0d 9705	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧))
51	50	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧))
52		1rp 9659	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ+
53		rpregt0 9669	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ ℝ+ → (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1))
54	52, 53	mp1i 10	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1))
55		nnrp 9665	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ+)
56	9, 55	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℝ+)
57	56	rpregt0d 9705	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃))
58		lediv2 8850	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃)) → (𝑧 ≤ 1 ↔ (𝑃 / 1) ≤ (𝑃 / 𝑧)))
59	51, 54, 57, 58	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑧 ≤ 1 ↔ (𝑃 / 1) ≤ (𝑃 / 𝑧)))
60	48, 59	sylibrd 169	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) → 𝑧 ≤ 1))
61		nnle1eq1 8945	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ≤ 1 ↔ 𝑧 = 1))
62	61	ad2antrl 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑧 ≤ 1 ↔ 𝑧 = 1))
63	60, 62	sylibd 149	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) → 𝑧 = 1))
64		nnnn0 9185	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℕ0)
65	64	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → 𝑧 ∈ ℕ0)
66	65	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ 𝑃 ∥ 𝑧) → 𝑧 ∈ ℕ0)
67		nnnn0 9185	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
68	9, 67	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℕ0)
69	68	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ 𝑃 ∥ 𝑧) → 𝑃 ∈ ℕ0)
70		simplrr 536	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ 𝑃 ∥ 𝑧) → 𝑧 ∥ 𝑃)
71		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ 𝑃 ∥ 𝑧) → 𝑃 ∥ 𝑧)
72		dvdseq 11856	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ 𝑃 ∥ 𝑧)) → 𝑧 = 𝑃)
73	66, 69, 70, 71, 72	syl22anc 1239	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ 𝑃 ∥ 𝑧) → 𝑧 = 𝑃)
74	73	ex 115	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑃 ∥ 𝑧 → 𝑧 = 𝑃))
75	63, 74	orim12d 786	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → ((𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ 𝑧) → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
76	75	imp 124	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ 𝑧)) → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))
77	43, 76	syldan 282	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))) → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))
78	77	an32s 568	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))
79	78	expr 375	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
80	79	ralrimiva 2550	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))) → ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
81		isprm2 12119	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
82	7, 80, 81	sylanbrc 417	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))) → 𝑃 ∈ ℙ)
83	6, 82	impbii 126	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455   class class class wbr 4005  ‘cfv 5218  (class class class)co 5877  ℂcc 7811  ℝcr 7812  0cc0 7813  1c1 7814   · cmul 7818   < clt 7994   ≤ cle 7995   # cap 8540   / cdiv 8631  ℕcn 8921  2c2 8972  ℕ₀cn0 9178  ℤcz 9255  ℤ_≥cuz 9530  ℝ⁺crp 9655   ∥ cdvds 11796  ℙcprime 12109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-1o 6419  df-2o 6420  df-er 6537  df-en 6743  df-sup 6985  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-fl 10272  df-mod 10325  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-dvds 11797  df-gcd 11946  df-prm 12110

This theorem is referenced by: (None)