ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isprm6 GIF version

Theorem isprm6 12141
Description: A number is prime iff it satisfies Euclid's lemma euclemma 12140. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
isprm6 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃𝑥𝑃𝑦))))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑃

Proof of Theorem isprm6
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmuz2 12125 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
2 euclemma 12140 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) ↔ (𝑃𝑥𝑃𝑦)))
323expb 1204 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) ↔ (𝑃𝑥𝑃𝑦)))
43biimpd 144 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃𝑥𝑃𝑦)))
54ralrimivva 2559 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃𝑥𝑃𝑦)))
61, 5jca 306 . 2 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃𝑥𝑃𝑦))))
7 simpl 109 . . 3 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃𝑥𝑃𝑦))) → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
8 eluz2nn 9564 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 𝑃 ∈ ℕ)
98adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → 𝑃 ∈ ℕ)
109nnzd 9372 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → 𝑃 ∈ ℤ)
11 iddvds 11806 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃𝑃)
1210, 11syl 14 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → 𝑃𝑃)
13 nncn 8925 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℂ)
149, 13syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → 𝑃 ∈ ℂ)
15 nncn 8925 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℂ)
1615ad2antrl 490 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → 𝑧 ∈ ℂ)
17 nnap0 8946 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 # 0)
1817ad2antrl 490 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → 𝑧 # 0)
1914, 16, 18divcanap1d 8746 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧) = 𝑃)
2012, 19breqtrrd 4031 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → 𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧))
2120adantr 276 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃𝑥𝑃𝑦))) → 𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧))
22 simprr 531 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → 𝑧𝑃)
23 simprl 529 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → 𝑧 ∈ ℕ)
24 nndivdvds 11798 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑧𝑃 ↔ (𝑃 / 𝑧) ∈ ℕ))
259, 23, 24syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → (𝑧𝑃 ↔ (𝑃 / 𝑧) ∈ ℕ))
2622, 25mpbid 147 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → (𝑃 / 𝑧) ∈ ℕ)
2726nnzd 9372 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → (𝑃 / 𝑧) ∈ ℤ)
28 nnz 9270 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℤ)
2928ad2antrl 490 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → 𝑧 ∈ ℤ)
3027, 29jca 306 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → ((𝑃 / 𝑧) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ))
31 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → (𝑥 · 𝑦) = ((𝑃 / 𝑧) · 𝑦))
3231breq2d 4015 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑦)))
33 breq2 4007 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → (𝑃𝑥𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧)))
3433orbi1d 791 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → ((𝑃𝑥𝑃𝑦) ↔ (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃𝑦)))
3532, 34imbi12d 234 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → ((𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃𝑥𝑃𝑦)) ↔ (𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑦) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃𝑦))))
36 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑃 / 𝑧) · 𝑦) = ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧))
3736breq2d 4015 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑧 → (𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑦) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧)))
38 breq2 4007 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑧 → (𝑃𝑦𝑃𝑧))
3938orbi2d 790 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃𝑦) ↔ (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃𝑧)))
4037, 39imbi12d 234 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑦) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃𝑦)) ↔ (𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃𝑧))))
4135, 40rspc2va 2855 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 / 𝑧) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃𝑥𝑃𝑦))) → (𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃𝑧)))
4230, 41sylan 283 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃𝑥𝑃𝑦))) → (𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃𝑧)))
4321, 42mpd 13 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃𝑥𝑃𝑦))) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃𝑧))
44 dvdsle 11844 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 / 𝑧) ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) → 𝑃 ≤ (𝑃 / 𝑧)))
4510, 26, 44syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) → 𝑃 ≤ (𝑃 / 𝑧)))
4614div1d 8735 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → (𝑃 / 1) = 𝑃)
4746breq1d 4013 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → ((𝑃 / 1) ≤ (𝑃 / 𝑧) ↔ 𝑃 ≤ (𝑃 / 𝑧)))
4845, 47sylibrd 169 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) → (𝑃 / 1) ≤ (𝑃 / 𝑧)))
49 nnrp 9661 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℝ+)
5049rpregt0d 9701 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧))
5150ad2antrl 490 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧))
52 1rp 9655 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ+
53 rpregt0 9665 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ∈ ℝ+ → (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1))
5452, 53mp1i 10 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1))
55 nnrp 9661 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ+)
569, 55syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → 𝑃 ∈ ℝ+)
5756rpregt0d 9701 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃))
58 lediv2 8846 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃)) → (𝑧 ≤ 1 ↔ (𝑃 / 1) ≤ (𝑃 / 𝑧)))
5951, 54, 57, 58syl3anc 1238 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → (𝑧 ≤ 1 ↔ (𝑃 / 1) ≤ (𝑃 / 𝑧)))
6048, 59sylibrd 169 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) → 𝑧 ≤ 1))
61 nnle1eq1 8941 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ≤ 1 ↔ 𝑧 = 1))
6261ad2antrl 490 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → (𝑧 ≤ 1 ↔ 𝑧 = 1))
6360, 62sylibd 149 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) → 𝑧 = 1))
64 nnnn0 9181 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℕ0)
6564ad2antrl 490 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → 𝑧 ∈ ℕ0)
6665adantr 276 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) ∧ 𝑃𝑧) → 𝑧 ∈ ℕ0)
67 nnnn0 9181 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
689, 67syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → 𝑃 ∈ ℕ0)
6968adantr 276 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) ∧ 𝑃𝑧) → 𝑃 ∈ ℕ0)
70 simplrr 536 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) ∧ 𝑃𝑧) → 𝑧𝑃)
71 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) ∧ 𝑃𝑧) → 𝑃𝑧)
72 dvdseq 11848 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℕ0) ∧ (𝑧𝑃𝑃𝑧)) → 𝑧 = 𝑃)
7366, 69, 70, 71, 72syl22anc 1239 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) ∧ 𝑃𝑧) → 𝑧 = 𝑃)
7473ex 115 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → (𝑃𝑧𝑧 = 𝑃))
7563, 74orim12d 786 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → ((𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃𝑧) → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
7675imp 124 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) ∧ (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃𝑧)) → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))
7743, 76syldan 282 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃𝑥𝑃𝑦))) → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))
7877an32s 568 . . . . 5 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃𝑥𝑃𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))
7978expr 375 . . . 4 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃𝑥𝑃𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
8079ralrimiva 2550 . . 3 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃𝑥𝑃𝑦))) → ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
81 isprm2 12111 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
827, 80, 81sylanbrc 417 . 2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃𝑥𝑃𝑦))) → 𝑃 ∈ ℙ)
836, 82impbii 126 1 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃𝑥𝑃𝑦))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455   class class class wbr 4003  cfv 5216  (class class class)co 5874  cc 7808  cr 7809  0cc0 7810  1c1 7811   · cmul 7815   < clt 7990  cle 7991   # cap 8536   / cdiv 8627  cn 8917  2c2 8968  0cn0 9174  cz 9251  cuz 9526  +crp 9651  cdvds 11789  cprime 12101
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-1o 6416  df-2o 6417  df-er 6534  df-en 6740  df-sup 6982  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-4 8978  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527  df-q 9618  df-rp 9652  df-fz 10007  df-fzo 10140  df-fl 10267  df-mod 10320  df-seqfrec 10443  df-exp 10517  df-cj 10846  df-re 10847  df-im 10848  df-rsqrt 11002  df-abs 11003  df-dvds 11790  df-gcd 11938  df-prm 12102
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator