ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rpred GIF version

Theorem rpred 9068
Description: A positive real is a real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rpred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
rpred (𝜑𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem rpred
StepHypRef Expression
1 rpssre 9039 . 2 + ⊆ ℝ
2 rpred.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
31, 2sseldi 3008 1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1434  cr 7252  +crp 9029
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-nf 1391  df-sb 1688  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-rab 2362  df-in 2990  df-ss 2997  df-rp 9030
This theorem is referenced by:  rpxrd  9069  rpcnd  9070  rpregt0d  9075  rprege0d  9076  rprene0d  9077  rprecred  9080  ltmulgt11d  9104  ltmulgt12d  9105  gt0divd  9106  ge0divd  9107  lediv12ad  9128  ltexp2a  9844  leexp2a  9845  expnlbnd2  9914  cvg1nlemcxze  10242  cvg1nlemcau  10244  cvg1nlemres  10245  cvg1n  10246  resqrexlemp1rp  10266  resqrexlemfp1  10269  resqrexlemover  10270  resqrexlemdec  10271  resqrexlemdecn  10272  resqrexlemlo  10273  resqrexlemcalc1  10274  resqrexlemcalc2  10275  resqrexlemcalc3  10276  resqrexlemnmsq  10277  resqrexlemnm  10278  resqrexlemcvg  10279  resqrexlemgt0  10280  resqrexlemoverl  10281  resqrexlemglsq  10282  resqrexlemga  10283  cau3lem  10374  addcn2  10523  mulcn2  10525  climrecvg1n  10559  climcvg1nlem  10560  qdencn  11256
  Copyright terms: Public domain W3C validator