Theorem rpred 10050

Description: A positive real is a real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpred	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem rpred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpssre 10018	. 2 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
2		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
3	1, 2	sselid 3240	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2205  ℝcr 8142  ℝ⁺crp 10007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-rab 2531  df-in 3220  df-ss 3227  df-rp 10008

This theorem is referenced by:  rpxrd  10051  rpcnd  10052  rpregt0d  10057  rprege0d  10058  rprene0d  10059  rprecred  10062  ltmulgt11d  10086  ltmulgt12d  10087  gt0divd  10088  ge0divd  10089  lediv12ad  10110  ltexp2a  10980  leexp2a  10981  expnlbnd2  11055  cvg1nlemcxze  11695  cvg1nlemcau  11697  cvg1nlemres  11698  cvg1n  11699  resqrexlemp1rp  11719  resqrexlemfp1  11722  resqrexlemover  11723  resqrexlemdec  11724  resqrexlemdecn  11725  resqrexlemlo  11726  resqrexlemcalc1  11727  resqrexlemcalc2  11728  resqrexlemcalc3  11729  resqrexlemnmsq  11730  resqrexlemnm  11731  resqrexlemcvg  11732  resqrexlemgt0  11733  resqrexlemoverl  11734  resqrexlemglsq  11735  resqrexlemga  11736  cau3lem  11827  bdtrilem  11952  bdtri  11953  addcn2  12023  mulcn2  12025  reccn2ap  12026  climrecvg1n  12061  climcvg1nlem  12062  isumrpcl  12208  expcnvap0  12216  absgtap  12224  cvgratnnlemsumlt  12242  cvgratnnlemfm  12243  cvgratnnlemrate  12244  mertenslemi1  12249  effsumlt  12406  eirraplem  12491  bitsmod  12670  4sqlem7  13110  ssblex  15425  metss2lem  15491  addcncntoplem  15555  mulcncflem  15601  ivthinclemlopn  15630  ivthinclemuopn  15632  limcimolemlt  15658  limcimo  15659  cnplimclemle  15662  limccnp2lem  15670  dveflem  15720  efltlemlt  15768  pilem3  15777  cxplt  15910  cxple  15911  rpcxple2  15912  rpcxplt2  15913  rpcxpsqrt  15916  rpabscxpbnd  15934  logbgt0b  15960  logbgcd1irr  15961  logbgcd1irraplemexp  15962  qdencn  16946  cvgcmp2nlemabs  16955  iooref1o  16957  trilpolemclim  16959  trilpolemisumle  16961  trilpolemeq1  16963  nconstwlpolemgt0  16989  taupi  16998