Theorem rpred 9788

Description: A positive real is a real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpred	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem rpred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpssre 9756	. 2 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
2		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
3	1, 2	sselid 3182	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  ℝcr 7895  ℝ⁺crp 9745

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-rab 2484  df-in 3163  df-ss 3170  df-rp 9746

This theorem is referenced by:  rpxrd  9789  rpcnd  9790  rpregt0d  9795  rprege0d  9796  rprene0d  9797  rprecred  9800  ltmulgt11d  9824  ltmulgt12d  9825  gt0divd  9826  ge0divd  9827  lediv12ad  9848  ltexp2a  10700  leexp2a  10701  expnlbnd2  10774  cvg1nlemcxze  11164  cvg1nlemcau  11166  cvg1nlemres  11167  cvg1n  11168  resqrexlemp1rp  11188  resqrexlemfp1  11191  resqrexlemover  11192  resqrexlemdec  11193  resqrexlemdecn  11194  resqrexlemlo  11195  resqrexlemcalc1  11196  resqrexlemcalc2  11197  resqrexlemcalc3  11198  resqrexlemnmsq  11199  resqrexlemnm  11200  resqrexlemcvg  11201  resqrexlemgt0  11202  resqrexlemoverl  11203  resqrexlemglsq  11204  resqrexlemga  11205  cau3lem  11296  bdtrilem  11421  bdtri  11422  addcn2  11492  mulcn2  11494  reccn2ap  11495  climrecvg1n  11530  climcvg1nlem  11531  isumrpcl  11676  expcnvap0  11684  absgtap  11692  cvgratnnlemsumlt  11710  cvgratnnlemfm  11711  cvgratnnlemrate  11712  mertenslemi1  11717  effsumlt  11874  eirraplem  11959  bitsmod  12138  4sqlem7  12578  ssblex  14751  metss2lem  14817  addcncntoplem  14881  mulcncflem  14927  ivthinclemlopn  14956  ivthinclemuopn  14958  limcimolemlt  14984  limcimo  14985  cnplimclemle  14988  limccnp2lem  14996  dveflem  15046  efltlemlt  15094  pilem3  15103  cxplt  15236  cxple  15237  rpcxple2  15238  rpcxplt2  15239  rpcxpsqrt  15242  rpabscxpbnd  15260  logbgt0b  15286  logbgcd1irr  15287  logbgcd1irraplemexp  15288  qdencn  15758  cvgcmp2nlemabs  15763  iooref1o  15765  trilpolemclim  15767  trilpolemisumle  15769  trilpolemeq1  15771  nconstwlpolemgt0  15795  taupi  15804