Theorem rpred 9632

Description: A positive real is a real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpred	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem rpred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpssre 9600	. 2 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
2		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
3	1, 2	sselid 3140	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2136  ℝcr 7752  ℝ⁺crp 9589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-rab 2453  df-in 3122  df-ss 3129  df-rp 9590

This theorem is referenced by:  rpxrd  9633  rpcnd  9634  rpregt0d  9639  rprege0d  9640  rprene0d  9641  rprecred  9644  ltmulgt11d  9668  ltmulgt12d  9669  gt0divd  9670  ge0divd  9671  lediv12ad  9692  ltexp2a  10507  leexp2a  10508  expnlbnd2  10580  cvg1nlemcxze  10924  cvg1nlemcau  10926  cvg1nlemres  10927  cvg1n  10928  resqrexlemp1rp  10948  resqrexlemfp1  10951  resqrexlemover  10952  resqrexlemdec  10953  resqrexlemdecn  10954  resqrexlemlo  10955  resqrexlemcalc1  10956  resqrexlemcalc2  10957  resqrexlemcalc3  10958  resqrexlemnmsq  10959  resqrexlemnm  10960  resqrexlemcvg  10961  resqrexlemgt0  10962  resqrexlemoverl  10963  resqrexlemglsq  10964  resqrexlemga  10965  cau3lem  11056  bdtrilem  11180  bdtri  11181  addcn2  11251  mulcn2  11253  reccn2ap  11254  climrecvg1n  11289  climcvg1nlem  11290  isumrpcl  11435  expcnvap0  11443  absgtap  11451  cvgratnnlemsumlt  11469  cvgratnnlemfm  11470  cvgratnnlemrate  11471  mertenslemi1  11476  effsumlt  11633  eirraplem  11717  4sqlem7  12314  ssblex  13071  metss2lem  13137  addcncntoplem  13191  mulcncflem  13230  ivthinclemlopn  13254  ivthinclemuopn  13256  limcimolemlt  13273  limcimo  13274  cnplimclemle  13277  limccnp2lem  13285  dveflem  13327  efltlemlt  13335  pilem3  13344  cxplt  13476  cxple  13477  rpcxple2  13478  rpcxplt2  13479  rpcxpsqrt  13482  rpabscxpbnd  13499  logbgt0b  13524  logbgcd1irr  13525  logbgcd1irraplemexp  13526  qdencn  13906  cvgcmp2nlemabs  13911  iooref1o  13913  trilpolemclim  13915  trilpolemisumle  13917  trilpolemeq1  13919  nconstwlpolemgt0  13942  taupi  13949