Theorem sotri3 5181

Description: A transitivity relation. (Read A < B and ¬ C < B implies A < C .) (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
soi.1	⊢ 𝑅 Or 𝑆
soi.2	⊢ 𝑅 ⊆ (𝑆 × 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
sotri3	⊢ ((𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴𝑅𝐵 ∧ ¬ 𝐶𝑅𝐵) → 𝐴𝑅𝐶)

Proof of Theorem sotri3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1030	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴𝑅𝐵 ∧ ¬ 𝐶𝑅𝐵) → ¬ 𝐶𝑅𝐵)
2		soi.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 ⊆ (𝑆 × 𝑆)
3	2	brel 4822	. . . . 5 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆))
4	3	3ad2ant2 1050	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴𝑅𝐵 ∧ ¬ 𝐶𝑅𝐵) → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆))
5		simp1 1028	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴𝑅𝐵 ∧ ¬ 𝐶𝑅𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑆)
6		df-3an 1011	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆))
7	4, 5, 6	sylanbrc 421	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴𝑅𝐵 ∧ ¬ 𝐶𝑅𝐵) → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆))
8		simp2 1029	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴𝑅𝐵 ∧ ¬ 𝐶𝑅𝐵) → 𝐴𝑅𝐵)
9		soi.1	. . . 4 ⊢ 𝑅 Or 𝑆
10		sowlin 4460	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Or 𝑆 ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆)) → (𝐴𝑅𝐵 → (𝐴𝑅𝐶 ∨ 𝐶𝑅𝐵)))
11	9, 10	mpan 428	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) → (𝐴𝑅𝐵 → (𝐴𝑅𝐶 ∨ 𝐶𝑅𝐵)))
12	7, 8, 11	sylc 62	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴𝑅𝐵 ∧ ¬ 𝐶𝑅𝐵) → (𝐴𝑅𝐶 ∨ 𝐶𝑅𝐵))
13	1, 12	ecased 1390	1 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴𝑅𝐵 ∧ ¬ 𝐶𝑅𝐵) → 𝐴𝑅𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 720   ∧ w3a 1009   ∈ wcel 2209   ⊆ wss 3220   class class class wbr 4125   Or wor 4435   × cxp 4767

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-br 4126  df-opab 4188  df-iso 4437  df-xp 4775

This theorem is referenced by: (None)