Theorem sotri3 4863

Description: A transitivity relation. (Read A < B and ¬ C < B implies A < C .) (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
soi.1	⊢ 𝑅 Or 𝑆
soi.2	⊢ 𝑅 ⊆ (𝑆 × 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
sotri3	⊢ ((𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴𝑅𝐵 ∧ ¬ 𝐶𝑅𝐵) → 𝐴𝑅𝐶)

Proof of Theorem sotri3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 948	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴𝑅𝐵 ∧ ¬ 𝐶𝑅𝐵) → ¬ 𝐶𝑅𝐵)
2		soi.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 ⊆ (𝑆 × 𝑆)
3	2	brel 4519	. . . . 5 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆))
4	3	3ad2ant2 968	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴𝑅𝐵 ∧ ¬ 𝐶𝑅𝐵) → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆))
5		simp1 946	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴𝑅𝐵 ∧ ¬ 𝐶𝑅𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑆)
6		df-3an 929	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆))
7	4, 5, 6	sylanbrc 409	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴𝑅𝐵 ∧ ¬ 𝐶𝑅𝐵) → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆))
8		simp2 947	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴𝑅𝐵 ∧ ¬ 𝐶𝑅𝐵) → 𝐴𝑅𝐵)
9		soi.1	. . . 4 ⊢ 𝑅 Or 𝑆
10		sowlin 4171	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Or 𝑆 ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆)) → (𝐴𝑅𝐵 → (𝐴𝑅𝐶 ∨ 𝐶𝑅𝐵)))
11	9, 10	mpan 416	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) → (𝐴𝑅𝐵 → (𝐴𝑅𝐶 ∨ 𝐶𝑅𝐵)))
12	7, 8, 11	sylc 62	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴𝑅𝐵 ∧ ¬ 𝐶𝑅𝐵) → (𝐴𝑅𝐶 ∨ 𝐶𝑅𝐵))
13	1, 12	ecased 1292	1 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴𝑅𝐵 ∧ ¬ 𝐶𝑅𝐵) → 𝐴𝑅𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 667   ∧ w3a 927   ∈ wcel 1445   ⊆ wss 3013   class class class wbr 3867   Or wor 4146   × cxp 4465

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-nf 1402  df-sb 1700  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ral 2375  df-rex 2376  df-v 2635  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-br 3868  df-opab 3922  df-iso 4148  df-xp 4473

This theorem is referenced by: (None)