Theorem poleloe 4946

Description: Express "less than or equals" for general strict orders. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
poleloe	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴(𝑅 ∪ I )𝐵 ↔ (𝐴𝑅𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))

Proof of Theorem poleloe

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brun 3987	. 2 ⊢ (𝐴(𝑅 ∪ I )𝐵 ↔ (𝐴𝑅𝐵 ∨ 𝐴 I 𝐵))
2		ideqg 4698	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 I 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))
3	2	orbi2d 780	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ((𝐴𝑅𝐵 ∨ 𝐴 I 𝐵) ↔ (𝐴𝑅𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
4	1, 3	syl5bb 191	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴(𝑅 ∪ I )𝐵 ↔ (𝐴𝑅𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   ∨ wo 698   = wceq 1332   ∈ wcel 1481   ∪ cun 3074   class class class wbr 3937   I cid 4218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554

This theorem is referenced by:  poltletr  4947