Theorem brel 4716

Description: Two things in a binary relation belong to the relation's domain. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
brel.1	⊢ 𝑅 ⊆ (𝐶 × 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
brel	⊢ (𝐴𝑅𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))

Proof of Theorem brel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brel.1	. . 3 ⊢ 𝑅 ⊆ (𝐶 × 𝐷)
2	1	ssbri 4078	. 2 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 → 𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵)
3		brxp 4695	. 2 ⊢ (𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))
4	2, 3	sylib 122	1 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2167   ⊆ wss 3157   class class class wbr 4034   × cxp 4662

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670

This theorem is referenced by:  brab2a  4717  brab2ga  4739  soirri  5065  sotri  5066  sotri2  5068  sotri3  5069  swoer  6629  ecopovsym  6699  ecopovtrn  6700  ecopovsymg  6702  ecopovtrng  6703  ltanqi  7486  ltmnqi  7487  ltexnqi  7493  ltbtwnnqq  7499  ltbtwnnq  7500  ltrnqi  7505  prcdnql  7568  prcunqu  7569  prnmaxl  7572  prnminu  7573  prloc  7575  prarloclemcalc  7586  genplt2i  7594  genpcdl  7603  genpcuu  7604  addnqprllem  7611  addnqprulem  7612  addlocprlemlt  7615  addlocprlemeq  7617  addlocprlemgt  7618  addlocprlem  7619  nqprxx  7630  ltnqex  7633  gtnqex  7634  addnqprlemrl  7641  addnqprlemru  7642  addnqprlemfl  7643  addnqprlemfu  7644  appdivnq  7647  prmuloclemcalc  7649  prmuloc  7650  mulnqprlemrl  7657  mulnqprlemru  7658  mulnqprlemfl  7659  mulnqprlemfu  7660  ltprordil  7673  1idprl  7674  1idpru  7675  ltnqpri  7678  ltexprlemm  7684  ltexprlemopl  7685  ltexprlemlol  7686  ltexprlemopu  7687  ltexprlemupu  7688  ltexprlemdisj  7690  ltexprlemloc  7691  ltexprlemfl  7693  ltexprlemrl  7694  ltexprlemfu  7695  ltexprlemru  7696  ltexpri  7697  lteupri  7701  ltaprlem  7702  recexprlemell  7706  recexprlemelu  7707  recexprlemloc  7715  recexprlempr  7716  recexprlem1ssl  7717  recexprlem1ssu  7718  recexprlemss1l  7719  recexprlemss1u  7720  cauappcvgprlemm  7729  cauappcvgprlemlol  7731  cauappcvgprlemupu  7733  cauappcvgprlemladdfu  7738  cauappcvgprlemladdfl  7739  caucvgprlemk  7749  caucvgprlemm  7752  caucvgprlemlol  7754  caucvgprlemupu  7756  caucvgprlemladdfu  7761  caucvgprlem1  7763  caucvgprlem2  7764  caucvgprprlemk  7767  caucvgprprlemloccalc  7768  caucvgprprlemval  7772  caucvgprprlemml  7778  caucvgprprlemlol  7782  caucvgprprlemupu  7784  caucvgprprlemloc  7787  caucvgprprlem1  7793  caucvgprprlem2  7794  suplocexprlemss  7799  suplocexprlemrl  7801  suplocexprlemru  7803  suplocexprlemlub  7808  gt0srpr  7832  recexgt0sr  7857  addgt0sr  7859  mulgt0sr  7862  caucvgsrlemasr  7874  map2psrprg  7889  suplocsrlem  7892  suplocsr  7893  ltresr  7923  ltrenn  7939  dvdszrcl  11974