Theorem brel 4663

Description: Two things in a binary relation belong to the relation's domain. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
brel.1	⊢ 𝑅 ⊆ (𝐶 × 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
brel	⊢ (𝐴𝑅𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))

Proof of Theorem brel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brel.1	. . 3 ⊢ 𝑅 ⊆ (𝐶 × 𝐷)
2	1	ssbri 4033	. 2 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 → 𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵)
3		brxp 4642	. 2 ⊢ (𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))
4	2, 3	sylib 121	1 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3121   class class class wbr 3989   × cxp 4609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990  df-opab 4051  df-xp 4617

This theorem is referenced by:  brab2a  4664  brab2ga  4686  soirri  5005  sotri  5006  sotri2  5008  sotri3  5009  swoer  6541  ecopovsym  6609  ecopovtrn  6610  ecopovsymg  6612  ecopovtrng  6613  ltanqi  7364  ltmnqi  7365  ltexnqi  7371  ltbtwnnqq  7377  ltbtwnnq  7378  ltrnqi  7383  prcdnql  7446  prcunqu  7447  prnmaxl  7450  prnminu  7451  prloc  7453  prarloclemcalc  7464  genplt2i  7472  genpcdl  7481  genpcuu  7482  addnqprllem  7489  addnqprulem  7490  addlocprlemlt  7493  addlocprlemeq  7495  addlocprlemgt  7496  addlocprlem  7497  nqprxx  7508  ltnqex  7511  gtnqex  7512  addnqprlemrl  7519  addnqprlemru  7520  addnqprlemfl  7521  addnqprlemfu  7522  appdivnq  7525  prmuloclemcalc  7527  prmuloc  7528  mulnqprlemrl  7535  mulnqprlemru  7536  mulnqprlemfl  7537  mulnqprlemfu  7538  ltprordil  7551  1idprl  7552  1idpru  7553  ltnqpri  7556  ltexprlemm  7562  ltexprlemopl  7563  ltexprlemlol  7564  ltexprlemopu  7565  ltexprlemupu  7566  ltexprlemdisj  7568  ltexprlemloc  7569  ltexprlemfl  7571  ltexprlemrl  7572  ltexprlemfu  7573  ltexprlemru  7574  ltexpri  7575  lteupri  7579  ltaprlem  7580  recexprlemell  7584  recexprlemelu  7585  recexprlemloc  7593  recexprlempr  7594  recexprlem1ssl  7595  recexprlem1ssu  7596  recexprlemss1l  7597  recexprlemss1u  7598  cauappcvgprlemm  7607  cauappcvgprlemlol  7609  cauappcvgprlemupu  7611  cauappcvgprlemladdfu  7616  cauappcvgprlemladdfl  7617  caucvgprlemk  7627  caucvgprlemm  7630  caucvgprlemlol  7632  caucvgprlemupu  7634  caucvgprlemladdfu  7639  caucvgprlem1  7641  caucvgprlem2  7642  caucvgprprlemk  7645  caucvgprprlemloccalc  7646  caucvgprprlemval  7650  caucvgprprlemml  7656  caucvgprprlemlol  7660  caucvgprprlemupu  7662  caucvgprprlemloc  7665  caucvgprprlem1  7671  caucvgprprlem2  7672  suplocexprlemss  7677  suplocexprlemrl  7679  suplocexprlemru  7681  suplocexprlemlub  7686  gt0srpr  7710  recexgt0sr  7735  addgt0sr  7737  mulgt0sr  7740  caucvgsrlemasr  7752  map2psrprg  7767  suplocsrlem  7770  suplocsr  7771  ltresr  7801  ltrenn  7817  dvdszrcl  11754