Theorem brel 4825

Description: Two things in a binary relation belong to the relation's domain. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
brel.1	⊢ 𝑅 ⊆ (𝐶 × 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
brel	⊢ (𝐴𝑅𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))

Proof of Theorem brel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brel.1	. . 3 ⊢ 𝑅 ⊆ (𝐶 × 𝐷)
2	1	ssbri 4173	. 2 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 → 𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵)
3		brxp 4803	. 2 ⊢ (𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))
4	2, 3	sylib 122	1 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209   ⊆ wss 3220   class class class wbr 4128   × cxp 4770

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-br 4129  df-opab 4191  df-xp 4778

This theorem is referenced by:  brab2a  4826  brab2ga  4848  soirri  5180  sotri  5181  sotri2  5183  sotri3  5184  swoer  6829  ecopovsym  6899  ecopovtrn  6900  ecopovsymg  6902  ecopovtrng  6903  ltanqi  7763  ltmnqi  7764  ltexnqi  7770  ltbtwnnqq  7776  ltbtwnnq  7777  ltrnqi  7782  prcdnql  7845  prcunqu  7846  prnmaxl  7849  prnminu  7850  prloc  7852  prarloclemcalc  7863  genplt2i  7871  genpcdl  7880  genpcuu  7881  addnqprllem  7888  addnqprulem  7889  addlocprlemlt  7892  addlocprlemeq  7894  addlocprlemgt  7895  addlocprlem  7896  nqprxx  7907  ltnqex  7910  gtnqex  7911  addnqprlemrl  7918  addnqprlemru  7919  addnqprlemfl  7920  addnqprlemfu  7921  appdivnq  7924  prmuloclemcalc  7926  prmuloc  7927  mulnqprlemrl  7934  mulnqprlemru  7935  mulnqprlemfl  7936  mulnqprlemfu  7937  ltprordil  7950  1idprl  7951  1idpru  7952  ltnqpri  7955  ltexprlemm  7961  ltexprlemopl  7962  ltexprlemlol  7963  ltexprlemopu  7964  ltexprlemupu  7965  ltexprlemdisj  7967  ltexprlemloc  7968  ltexprlemfl  7970  ltexprlemrl  7971  ltexprlemfu  7972  ltexprlemru  7973  ltexpri  7974  lteupri  7978  ltaprlem  7979  recexprlemell  7983  recexprlemelu  7984  recexprlemloc  7992  recexprlempr  7993  recexprlem1ssl  7994  recexprlem1ssu  7995  recexprlemss1l  7996  recexprlemss1u  7997  cauappcvgprlemm  8006  cauappcvgprlemlol  8008  cauappcvgprlemupu  8010  cauappcvgprlemladdfu  8015  cauappcvgprlemladdfl  8016  caucvgprlemk  8026  caucvgprlemm  8029  caucvgprlemlol  8031  caucvgprlemupu  8033  caucvgprlemladdfu  8038  caucvgprlem1  8040  caucvgprlem2  8041  caucvgprprlemk  8044  caucvgprprlemloccalc  8045  caucvgprprlemval  8049  caucvgprprlemml  8055  caucvgprprlemlol  8059  caucvgprprlemupu  8061  caucvgprprlemloc  8064  caucvgprprlem1  8070  caucvgprprlem2  8071  suplocexprlemss  8076  suplocexprlemrl  8078  suplocexprlemru  8080  suplocexprlemlub  8085  gt0srpr  8109  recexgt0sr  8134  addgt0sr  8136  mulgt0sr  8139  caucvgsrlemasr  8151  map2psrprg  8166  suplocsrlem  8169  suplocsr  8170  ltresr  8200  ltrenn  8216  dvdszrcl  12542