Theorem brel 4771

Description: Two things in a binary relation belong to the relation's domain. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
brel.1	⊢ 𝑅 ⊆ (𝐶 × 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
brel	⊢ (𝐴𝑅𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))

Proof of Theorem brel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brel.1	. . 3 ⊢ 𝑅 ⊆ (𝐶 × 𝐷)
2	1	ssbri 4128	. 2 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 → 𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵)
3		brxp 4750	. 2 ⊢ (𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))
4	2, 3	sylib 122	1 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2200   ⊆ wss 3197   class class class wbr 4083   × cxp 4717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4725

This theorem is referenced by:  brab2a  4772  brab2ga  4794  soirri  5123  sotri  5124  sotri2  5126  sotri3  5127  swoer  6716  ecopovsym  6786  ecopovtrn  6787  ecopovsymg  6789  ecopovtrng  6790  ltanqi  7597  ltmnqi  7598  ltexnqi  7604  ltbtwnnqq  7610  ltbtwnnq  7611  ltrnqi  7616  prcdnql  7679  prcunqu  7680  prnmaxl  7683  prnminu  7684  prloc  7686  prarloclemcalc  7697  genplt2i  7705  genpcdl  7714  genpcuu  7715  addnqprllem  7722  addnqprulem  7723  addlocprlemlt  7726  addlocprlemeq  7728  addlocprlemgt  7729  addlocprlem  7730  nqprxx  7741  ltnqex  7744  gtnqex  7745  addnqprlemrl  7752  addnqprlemru  7753  addnqprlemfl  7754  addnqprlemfu  7755  appdivnq  7758  prmuloclemcalc  7760  prmuloc  7761  mulnqprlemrl  7768  mulnqprlemru  7769  mulnqprlemfl  7770  mulnqprlemfu  7771  ltprordil  7784  1idprl  7785  1idpru  7786  ltnqpri  7789  ltexprlemm  7795  ltexprlemopl  7796  ltexprlemlol  7797  ltexprlemopu  7798  ltexprlemupu  7799  ltexprlemdisj  7801  ltexprlemloc  7802  ltexprlemfl  7804  ltexprlemrl  7805  ltexprlemfu  7806  ltexprlemru  7807  ltexpri  7808  lteupri  7812  ltaprlem  7813  recexprlemell  7817  recexprlemelu  7818  recexprlemloc  7826  recexprlempr  7827  recexprlem1ssl  7828  recexprlem1ssu  7829  recexprlemss1l  7830  recexprlemss1u  7831  cauappcvgprlemm  7840  cauappcvgprlemlol  7842  cauappcvgprlemupu  7844  cauappcvgprlemladdfu  7849  cauappcvgprlemladdfl  7850  caucvgprlemk  7860  caucvgprlemm  7863  caucvgprlemlol  7865  caucvgprlemupu  7867  caucvgprlemladdfu  7872  caucvgprlem1  7874  caucvgprlem2  7875  caucvgprprlemk  7878  caucvgprprlemloccalc  7879  caucvgprprlemval  7883  caucvgprprlemml  7889  caucvgprprlemlol  7893  caucvgprprlemupu  7895  caucvgprprlemloc  7898  caucvgprprlem1  7904  caucvgprprlem2  7905  suplocexprlemss  7910  suplocexprlemrl  7912  suplocexprlemru  7914  suplocexprlemlub  7919  gt0srpr  7943  recexgt0sr  7968  addgt0sr  7970  mulgt0sr  7973  caucvgsrlemasr  7985  map2psrprg  8000  suplocsrlem  8003  suplocsr  8004  ltresr  8034  ltrenn  8050  dvdszrcl  12311