Theorem brel 4656

Description: Two things in a binary relation belong to the relation's domain. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
brel.1	⊢ 𝑅 ⊆ (𝐶 × 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
brel	⊢ (𝐴𝑅𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))

Proof of Theorem brel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brel.1	. . 3 ⊢ 𝑅 ⊆ (𝐶 × 𝐷)
2	1	ssbri 4026	. 2 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 → 𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵)
3		brxp 4635	. 2 ⊢ (𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))
4	2, 3	sylib 121	1 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 2136   ⊆ wss 3116   class class class wbr 3982   × cxp 4602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-opab 4044  df-xp 4610

This theorem is referenced by:  brab2a  4657  brab2ga  4679  soirri  4998  sotri  4999  sotri2  5001  sotri3  5002  swoer  6529  ecopovsym  6597  ecopovtrn  6598  ecopovsymg  6600  ecopovtrng  6601  ltanqi  7343  ltmnqi  7344  ltexnqi  7350  ltbtwnnqq  7356  ltbtwnnq  7357  ltrnqi  7362  prcdnql  7425  prcunqu  7426  prnmaxl  7429  prnminu  7430  prloc  7432  prarloclemcalc  7443  genplt2i  7451  genpcdl  7460  genpcuu  7461  addnqprllem  7468  addnqprulem  7469  addlocprlemlt  7472  addlocprlemeq  7474  addlocprlemgt  7475  addlocprlem  7476  nqprxx  7487  ltnqex  7490  gtnqex  7491  addnqprlemrl  7498  addnqprlemru  7499  addnqprlemfl  7500  addnqprlemfu  7501  appdivnq  7504  prmuloclemcalc  7506  prmuloc  7507  mulnqprlemrl  7514  mulnqprlemru  7515  mulnqprlemfl  7516  mulnqprlemfu  7517  ltprordil  7530  1idprl  7531  1idpru  7532  ltnqpri  7535  ltexprlemm  7541  ltexprlemopl  7542  ltexprlemlol  7543  ltexprlemopu  7544  ltexprlemupu  7545  ltexprlemdisj  7547  ltexprlemloc  7548  ltexprlemfl  7550  ltexprlemrl  7551  ltexprlemfu  7552  ltexprlemru  7553  ltexpri  7554  lteupri  7558  ltaprlem  7559  recexprlemell  7563  recexprlemelu  7564  recexprlemloc  7572  recexprlempr  7573  recexprlem1ssl  7574  recexprlem1ssu  7575  recexprlemss1l  7576  recexprlemss1u  7577  cauappcvgprlemm  7586  cauappcvgprlemlol  7588  cauappcvgprlemupu  7590  cauappcvgprlemladdfu  7595  cauappcvgprlemladdfl  7596  caucvgprlemk  7606  caucvgprlemm  7609  caucvgprlemlol  7611  caucvgprlemupu  7613  caucvgprlemladdfu  7618  caucvgprlem1  7620  caucvgprlem2  7621  caucvgprprlemk  7624  caucvgprprlemloccalc  7625  caucvgprprlemval  7629  caucvgprprlemml  7635  caucvgprprlemlol  7639  caucvgprprlemupu  7641  caucvgprprlemloc  7644  caucvgprprlem1  7650  caucvgprprlem2  7651  suplocexprlemss  7656  suplocexprlemrl  7658  suplocexprlemru  7660  suplocexprlemlub  7665  gt0srpr  7689  recexgt0sr  7714  addgt0sr  7716  mulgt0sr  7719  caucvgsrlemasr  7731  map2psrprg  7746  suplocsrlem  7749  suplocsr  7750  ltresr  7780  ltrenn  7796  dvdszrcl  11732