MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  catidex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem catidex 17624
Description: Each object in a category has an associated identity arrow. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
catidex.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
catidex.h ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
catidex.o ยท = (compโ€˜๐ถ)
catidex.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ Cat)
catidex.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
Assertion
Ref Expression
catidex (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘” โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘‹)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“))
Distinct variable groups:   ๐‘“,๐‘”,๐‘ฆ,๐ต   ๐ถ,๐‘“,๐‘”,๐‘ฆ   ๐œ‘,๐‘”   ๐‘“,๐‘‹,๐‘”,๐‘ฆ   ๐‘“,๐ป,๐‘”,๐‘ฆ   ยท ,๐‘“,๐‘”,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฆ,๐‘“)

Proof of Theorem catidex
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘ค ๐‘ฅ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘‹)
21, 1oveq12d 7422 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฅ) = (๐‘‹๐ป๐‘‹))
3 oveq2 7412 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ) = (๐‘ฆ๐ป๐‘‹))
4 opeq2 4869 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ = โŸจ๐‘ฆ, ๐‘‹โŸฉ)
54, 1oveq12d 7422 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฅ) = (โŸจ๐‘ฆ, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹))
65oveqd 7421 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = (๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“))
76eqeq1d 2728 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ ((๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โ†” (๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“))
83, 7raleqbidv 3336 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โ†” โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘‹)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“))
9 oveq1 7411 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ) = (๐‘‹๐ป๐‘ฆ))
101, 1opeq12d 4876 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ = โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ)
1110oveq1d 7419 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฆ) = (โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ))
1211oveqd 7421 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = (๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”))
1312eqeq1d 2728 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ ((๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“ โ†” (๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“))
149, 13raleqbidv 3336 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“ โ†” โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“))
158, 14anbi12d 630 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ ((โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“) โ†” (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘‹)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“)))
1615ralbidv 3171 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘‹)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“)))
172, 16rexeqbidv 3337 . 2 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (โˆƒ๐‘” โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฅ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“) โ†” โˆƒ๐‘” โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘‹)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“)))
18 catidex.c . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ Cat)
19 catidex.b . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
20 catidex.h . . . . 5 ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
21 catidex.o . . . . 5 ยท = (compโ€˜๐ถ)
2219, 20, 21iscat 17622 . . . 4 (๐ถ โˆˆ Cat โ†’ (๐ถ โˆˆ Cat โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (โˆƒ๐‘” โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฅ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ง)((๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘“) โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ง) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง๐ป๐‘ค)((๐‘˜(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ ยท ๐‘ค)๐‘”)(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ค)๐‘“) = (๐‘˜(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘งโŸฉ ยท ๐‘ค)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘“))))))
2322ibi 267 . . 3 (๐ถ โˆˆ Cat โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (โˆƒ๐‘” โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฅ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ง)((๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘“) โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ง) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง๐ป๐‘ค)((๐‘˜(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ ยท ๐‘ค)๐‘”)(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ค)๐‘“) = (๐‘˜(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘งโŸฉ ยท ๐‘ค)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘“)))))
24 simpl 482 . . . 4 ((โˆƒ๐‘” โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฅ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ง)((๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘“) โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ง) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง๐ป๐‘ค)((๐‘˜(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ ยท ๐‘ค)๐‘”)(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ค)๐‘“) = (๐‘˜(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘งโŸฉ ยท ๐‘ค)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘“)))) โ†’ โˆƒ๐‘” โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฅ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“))
2524ralimi 3077 . . 3 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (โˆƒ๐‘” โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฅ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ง)((๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘“) โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ง) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง๐ป๐‘ค)((๐‘˜(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ ยท ๐‘ค)๐‘”)(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ค)๐‘“) = (๐‘˜(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘งโŸฉ ยท ๐‘ค)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘“)))) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘” โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฅ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“))
2618, 23, 253syl 18 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘” โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฅ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“))
27 catidex.x . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
2817, 26, 27rspcdva 3607 1 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘” โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘‹)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3055  โˆƒwrex 3064  โŸจcop 4629  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17150  Hom chom 17214  compcco 17215  Catccat 17614
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2697  ax-nul 5299
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-iota 6488  df-fv 6544  df-ov 7407  df-cat 17618
This theorem is referenced by:  catideu  17625
  Copyright terms: Public domain W3C validator