MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscat 17621
Description: The predicate "is a category". (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
iscat.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
iscat.h ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
iscat.o ยท = (compโ€˜๐ถ)
Assertion
Ref Expression
iscat (๐ถ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (๐ถ โˆˆ Cat โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (โˆƒ๐‘” โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฅ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ง)((๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘“) โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ง) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง๐ป๐‘ค)((๐‘˜(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ ยท ๐‘ค)๐‘”)(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ค)๐‘“) = (๐‘˜(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘งโŸฉ ยท ๐‘ค)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘“))))))
Distinct variable groups:   ๐‘“,๐‘”,๐‘˜,๐‘ค,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง, ยท   ๐ต,๐‘“,๐‘”,๐‘˜,๐‘ค,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐ถ,๐‘“,๐‘”,๐‘˜,๐‘ค,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘“,๐ป,๐‘”,๐‘˜,๐‘ค,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง
Allowed substitution hints:   ๐‘‰(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘“,๐‘”,๐‘˜)

Proof of Theorem iscat
Dummy variables ๐‘ ๐‘ โ„Ž ๐‘œ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvexd 6897 . . 3 (๐‘ = ๐ถ โ†’ (Baseโ€˜๐‘) โˆˆ V)
2 fveq2 6882 . . . 4 (๐‘ = ๐ถ โ†’ (Baseโ€˜๐‘) = (Baseโ€˜๐ถ))
3 iscat.b . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
42, 3eqtr4di 2782 . . 3 (๐‘ = ๐ถ โ†’ (Baseโ€˜๐‘) = ๐ต)
5 fvexd 6897 . . . 4 ((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โ†’ (Hom โ€˜๐‘) โˆˆ V)
6 simpl 482 . . . . . 6 ((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โ†’ ๐‘ = ๐ถ)
76fveq2d 6886 . . . . 5 ((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โ†’ (Hom โ€˜๐‘) = (Hom โ€˜๐ถ))
8 iscat.h . . . . 5 ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
97, 8eqtr4di 2782 . . . 4 ((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โ†’ (Hom โ€˜๐‘) = ๐ป)
10 fvexd 6897 . . . . 5 (((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โ†’ (compโ€˜๐‘) โˆˆ V)
11 simpll 764 . . . . . . 7 (((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โ†’ ๐‘ = ๐ถ)
1211fveq2d 6886 . . . . . 6 (((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โ†’ (compโ€˜๐‘) = (compโ€˜๐ถ))
13 iscat.o . . . . . 6 ยท = (compโ€˜๐ถ)
1412, 13eqtr4di 2782 . . . . 5 (((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โ†’ (compโ€˜๐‘) = ยท )
15 simpllr 773 . . . . . 6 ((((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โˆง ๐‘œ = ยท ) โ†’ ๐‘ = ๐ต)
16 simplr 766 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โˆง ๐‘œ = ยท ) โ†’ โ„Ž = ๐ป)
1716oveqd 7419 . . . . . . . 8 ((((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โˆง ๐‘œ = ยท ) โ†’ (๐‘ฅโ„Ž๐‘ฅ) = (๐‘ฅ๐ป๐‘ฅ))
1816oveqd 7419 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โˆง ๐‘œ = ยท ) โ†’ (๐‘ฆโ„Ž๐‘ฅ) = (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ))
19 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โˆง ๐‘œ = ยท ) โ†’ ๐‘œ = ยท )
2019oveqd 7419 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โˆง ๐‘œ = ยท ) โ†’ (โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ๐‘œ๐‘ฅ) = (โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฅ))
2120oveqd 7419 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โˆง ๐‘œ = ยท ) โ†’ (๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ๐‘œ๐‘ฅ)๐‘“) = (๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“))
2221eqeq1d 2726 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โˆง ๐‘œ = ยท ) โ†’ ((๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ๐‘œ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โ†” (๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“))
2318, 22raleqbidv 3334 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โˆง ๐‘œ = ยท ) โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆโ„Ž๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ๐‘œ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โ†” โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“))
2416oveqd 7419 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โˆง ๐‘œ = ยท ) โ†’ (๐‘ฅโ„Ž๐‘ฆ) = (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ))
2519oveqd 7419 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โˆง ๐‘œ = ยท ) โ†’ (โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ๐‘œ๐‘ฆ) = (โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฆ))
2625oveqd 7419 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โˆง ๐‘œ = ยท ) โ†’ (๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ๐‘œ๐‘ฆ)๐‘”) = (๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”))
2726eqeq1d 2726 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โˆง ๐‘œ = ยท ) โ†’ ((๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ๐‘œ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“ โ†” (๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“))
2824, 27raleqbidv 3334 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โˆง ๐‘œ = ยท ) โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅโ„Ž๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ๐‘œ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“ โ†” โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“))
2923, 28anbi12d 630 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โˆง ๐‘œ = ยท ) โ†’ ((โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆโ„Ž๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ๐‘œ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅโ„Ž๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ๐‘œ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“) โ†” (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“)))
3015, 29raleqbidv 3334 . . . . . . . 8 ((((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โˆง ๐‘œ = ยท ) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆโ„Ž๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ๐‘œ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅโ„Ž๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ๐‘œ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“)))
3117, 30rexeqbidv 3335 . . . . . . 7 ((((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โˆง ๐‘œ = ยท ) โ†’ (โˆƒ๐‘” โˆˆ (๐‘ฅโ„Ž๐‘ฅ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆโ„Ž๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ๐‘œ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅโ„Ž๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ๐‘œ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“) โ†” โˆƒ๐‘” โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฅ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“)))
3216oveqd 7419 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โˆง ๐‘œ = ยท ) โ†’ (๐‘ฆโ„Ž๐‘ง) = (๐‘ฆ๐ป๐‘ง))
3319oveqd 7419 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โˆง ๐‘œ = ยท ) โ†’ (โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ๐‘œ๐‘ง) = (โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง))
3433oveqd 7419 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โˆง ๐‘œ = ยท ) โ†’ (๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ๐‘œ๐‘ง)๐‘“) = (๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘“))
3516oveqd 7419 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โˆง ๐‘œ = ยท ) โ†’ (๐‘ฅโ„Ž๐‘ง) = (๐‘ฅ๐ป๐‘ง))
3634, 35eleq12d 2819 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โˆง ๐‘œ = ยท ) โ†’ ((๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ๐‘œ๐‘ง)๐‘“) โˆˆ (๐‘ฅโ„Ž๐‘ง) โ†” (๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘“) โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ง)))
3716oveqd 7419 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โˆง ๐‘œ = ยท ) โ†’ (๐‘งโ„Ž๐‘ค) = (๐‘ง๐ป๐‘ค))
3819oveqd 7419 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โˆง ๐‘œ = ยท ) โ†’ (โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ๐‘œ๐‘ค) = (โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ค))
3919oveqd 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โˆง ๐‘œ = ยท ) โ†’ (โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ๐‘œ๐‘ค) = (โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ ยท ๐‘ค))
4039oveqd 7419 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โˆง ๐‘œ = ยท ) โ†’ (๐‘˜(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ๐‘œ๐‘ค)๐‘”) = (๐‘˜(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ ยท ๐‘ค)๐‘”))
41 eqidd 2725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โˆง ๐‘œ = ยท ) โ†’ ๐‘“ = ๐‘“)
4238, 40, 41oveq123d 7423 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โˆง ๐‘œ = ยท ) โ†’ ((๐‘˜(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ๐‘œ๐‘ค)๐‘”)(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ๐‘œ๐‘ค)๐‘“) = ((๐‘˜(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ ยท ๐‘ค)๐‘”)(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ค)๐‘“))
4319oveqd 7419 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โˆง ๐‘œ = ยท ) โ†’ (โŸจ๐‘ฅ, ๐‘งโŸฉ๐‘œ๐‘ค) = (โŸจ๐‘ฅ, ๐‘งโŸฉ ยท ๐‘ค))
44 eqidd 2725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โˆง ๐‘œ = ยท ) โ†’ ๐‘˜ = ๐‘˜)
4543, 44, 34oveq123d 7423 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โˆง ๐‘œ = ยท ) โ†’ (๐‘˜(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘งโŸฉ๐‘œ๐‘ค)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ๐‘œ๐‘ง)๐‘“)) = (๐‘˜(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘งโŸฉ ยท ๐‘ค)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘“)))
4642, 45eqeq12d 2740 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โˆง ๐‘œ = ยท ) โ†’ (((๐‘˜(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ๐‘œ๐‘ค)๐‘”)(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ๐‘œ๐‘ค)๐‘“) = (๐‘˜(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘งโŸฉ๐‘œ๐‘ค)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ๐‘œ๐‘ง)๐‘“)) โ†” ((๐‘˜(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ ยท ๐‘ค)๐‘”)(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ค)๐‘“) = (๐‘˜(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘งโŸฉ ยท ๐‘ค)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘“))))
4737, 46raleqbidv 3334 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โˆง ๐‘œ = ยท ) โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐‘งโ„Ž๐‘ค)((๐‘˜(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ๐‘œ๐‘ค)๐‘”)(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ๐‘œ๐‘ค)๐‘“) = (๐‘˜(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘งโŸฉ๐‘œ๐‘ค)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ๐‘œ๐‘ง)๐‘“)) โ†” โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง๐ป๐‘ค)((๐‘˜(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ ยท ๐‘ค)๐‘”)(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ค)๐‘“) = (๐‘˜(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘งโŸฉ ยท ๐‘ค)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘“))))
4815, 47raleqbidv 3334 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โˆง ๐‘œ = ยท ) โ†’ (โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐‘งโ„Ž๐‘ค)((๐‘˜(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ๐‘œ๐‘ค)๐‘”)(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ๐‘œ๐‘ค)๐‘“) = (๐‘˜(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘งโŸฉ๐‘œ๐‘ค)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ๐‘œ๐‘ง)๐‘“)) โ†” โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง๐ป๐‘ค)((๐‘˜(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ ยท ๐‘ค)๐‘”)(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ค)๐‘“) = (๐‘˜(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘งโŸฉ ยท ๐‘ค)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘“))))
4936, 48anbi12d 630 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โˆง ๐‘œ = ยท ) โ†’ (((๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ๐‘œ๐‘ง)๐‘“) โˆˆ (๐‘ฅโ„Ž๐‘ง) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐‘งโ„Ž๐‘ค)((๐‘˜(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ๐‘œ๐‘ค)๐‘”)(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ๐‘œ๐‘ค)๐‘“) = (๐‘˜(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘งโŸฉ๐‘œ๐‘ค)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ๐‘œ๐‘ง)๐‘“))) โ†” ((๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘“) โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ง) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง๐ป๐‘ค)((๐‘˜(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ ยท ๐‘ค)๐‘”)(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ค)๐‘“) = (๐‘˜(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘งโŸฉ ยท ๐‘ค)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘“)))))
5032, 49raleqbidv 3334 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โˆง ๐‘œ = ยท ) โ†’ (โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘ฆโ„Ž๐‘ง)((๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ๐‘œ๐‘ง)๐‘“) โˆˆ (๐‘ฅโ„Ž๐‘ง) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐‘งโ„Ž๐‘ค)((๐‘˜(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ๐‘œ๐‘ค)๐‘”)(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ๐‘œ๐‘ค)๐‘“) = (๐‘˜(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘งโŸฉ๐‘œ๐‘ค)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ๐‘œ๐‘ง)๐‘“))) โ†” โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ง)((๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘“) โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ง) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง๐ป๐‘ค)((๐‘˜(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ ยท ๐‘ค)๐‘”)(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ค)๐‘“) = (๐‘˜(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘งโŸฉ ยท ๐‘ค)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘“)))))
5124, 50raleqbidv 3334 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โˆง ๐‘œ = ยท ) โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅโ„Ž๐‘ฆ)โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘ฆโ„Ž๐‘ง)((๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ๐‘œ๐‘ง)๐‘“) โˆˆ (๐‘ฅโ„Ž๐‘ง) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐‘งโ„Ž๐‘ค)((๐‘˜(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ๐‘œ๐‘ค)๐‘”)(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ๐‘œ๐‘ค)๐‘“) = (๐‘˜(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘งโŸฉ๐‘œ๐‘ค)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ๐‘œ๐‘ง)๐‘“))) โ†” โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ง)((๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘“) โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ง) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง๐ป๐‘ค)((๐‘˜(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ ยท ๐‘ค)๐‘”)(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ค)๐‘“) = (๐‘˜(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘งโŸฉ ยท ๐‘ค)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘“)))))
5215, 51raleqbidv 3334 . . . . . . . 8 ((((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โˆง ๐‘œ = ยท ) โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅโ„Ž๐‘ฆ)โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘ฆโ„Ž๐‘ง)((๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ๐‘œ๐‘ง)๐‘“) โˆˆ (๐‘ฅโ„Ž๐‘ง) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐‘งโ„Ž๐‘ค)((๐‘˜(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ๐‘œ๐‘ค)๐‘”)(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ๐‘œ๐‘ค)๐‘“) = (๐‘˜(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘งโŸฉ๐‘œ๐‘ค)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ๐‘œ๐‘ง)๐‘“))) โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ง)((๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘“) โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ง) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง๐ป๐‘ค)((๐‘˜(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ ยท ๐‘ค)๐‘”)(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ค)๐‘“) = (๐‘˜(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘งโŸฉ ยท ๐‘ค)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘“)))))
5315, 52raleqbidv 3334 . . . . . . 7 ((((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โˆง ๐‘œ = ยท ) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅโ„Ž๐‘ฆ)โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘ฆโ„Ž๐‘ง)((๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ๐‘œ๐‘ง)๐‘“) โˆˆ (๐‘ฅโ„Ž๐‘ง) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐‘งโ„Ž๐‘ค)((๐‘˜(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ๐‘œ๐‘ค)๐‘”)(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ๐‘œ๐‘ค)๐‘“) = (๐‘˜(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘งโŸฉ๐‘œ๐‘ค)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ๐‘œ๐‘ง)๐‘“))) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ง)((๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘“) โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ง) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง๐ป๐‘ค)((๐‘˜(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ ยท ๐‘ค)๐‘”)(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ค)๐‘“) = (๐‘˜(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘งโŸฉ ยท ๐‘ค)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘“)))))
5431, 53anbi12d 630 . . . . . 6 ((((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โˆง ๐‘œ = ยท ) โ†’ ((โˆƒ๐‘” โˆˆ (๐‘ฅโ„Ž๐‘ฅ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆโ„Ž๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ๐‘œ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅโ„Ž๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ๐‘œ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅโ„Ž๐‘ฆ)โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘ฆโ„Ž๐‘ง)((๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ๐‘œ๐‘ง)๐‘“) โˆˆ (๐‘ฅโ„Ž๐‘ง) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐‘งโ„Ž๐‘ค)((๐‘˜(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ๐‘œ๐‘ค)๐‘”)(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ๐‘œ๐‘ค)๐‘“) = (๐‘˜(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘งโŸฉ๐‘œ๐‘ค)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ๐‘œ๐‘ง)๐‘“)))) โ†” (โˆƒ๐‘” โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฅ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ง)((๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘“) โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ง) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง๐ป๐‘ค)((๐‘˜(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ ยท ๐‘ค)๐‘”)(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ค)๐‘“) = (๐‘˜(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘งโŸฉ ยท ๐‘ค)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘“))))))
5515, 54raleqbidv 3334 . . . . 5 ((((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โˆง ๐‘œ = ยท ) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ (โˆƒ๐‘” โˆˆ (๐‘ฅโ„Ž๐‘ฅ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆโ„Ž๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ๐‘œ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅโ„Ž๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ๐‘œ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅโ„Ž๐‘ฆ)โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘ฆโ„Ž๐‘ง)((๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ๐‘œ๐‘ง)๐‘“) โˆˆ (๐‘ฅโ„Ž๐‘ง) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐‘งโ„Ž๐‘ค)((๐‘˜(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ๐‘œ๐‘ค)๐‘”)(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ๐‘œ๐‘ค)๐‘“) = (๐‘˜(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘งโŸฉ๐‘œ๐‘ค)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ๐‘œ๐‘ง)๐‘“)))) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (โˆƒ๐‘” โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฅ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ง)((๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘“) โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ง) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง๐ป๐‘ค)((๐‘˜(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ ยท ๐‘ค)๐‘”)(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ค)๐‘“) = (๐‘˜(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘งโŸฉ ยท ๐‘ค)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘“))))))
5610, 14, 55sbcied2 3817 . . . 4 (((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โ†’ ([(compโ€˜๐‘) / ๐‘œ]โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ (โˆƒ๐‘” โˆˆ (๐‘ฅโ„Ž๐‘ฅ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆโ„Ž๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ๐‘œ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅโ„Ž๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ๐‘œ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅโ„Ž๐‘ฆ)โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘ฆโ„Ž๐‘ง)((๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ๐‘œ๐‘ง)๐‘“) โˆˆ (๐‘ฅโ„Ž๐‘ง) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐‘งโ„Ž๐‘ค)((๐‘˜(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ๐‘œ๐‘ค)๐‘”)(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ๐‘œ๐‘ค)๐‘“) = (๐‘˜(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘งโŸฉ๐‘œ๐‘ค)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ๐‘œ๐‘ง)๐‘“)))) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (โˆƒ๐‘” โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฅ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ง)((๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘“) โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ง) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง๐ป๐‘ค)((๐‘˜(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ ยท ๐‘ค)๐‘”)(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ค)๐‘“) = (๐‘˜(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘งโŸฉ ยท ๐‘ค)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘“))))))
575, 9, 56sbcied2 3817 . . 3 ((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โ†’ ([(Hom โ€˜๐‘) / โ„Ž][(compโ€˜๐‘) / ๐‘œ]โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ (โˆƒ๐‘” โˆˆ (๐‘ฅโ„Ž๐‘ฅ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆโ„Ž๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ๐‘œ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅโ„Ž๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ๐‘œ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅโ„Ž๐‘ฆ)โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘ฆโ„Ž๐‘ง)((๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ๐‘œ๐‘ง)๐‘“) โˆˆ (๐‘ฅโ„Ž๐‘ง) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐‘งโ„Ž๐‘ค)((๐‘˜(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ๐‘œ๐‘ค)๐‘”)(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ๐‘œ๐‘ค)๐‘“) = (๐‘˜(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘งโŸฉ๐‘œ๐‘ค)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ๐‘œ๐‘ง)๐‘“)))) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (โˆƒ๐‘” โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฅ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ง)((๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘“) โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ง) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง๐ป๐‘ค)((๐‘˜(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ ยท ๐‘ค)๐‘”)(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ค)๐‘“) = (๐‘˜(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘งโŸฉ ยท ๐‘ค)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘“))))))
581, 4, 57sbcied2 3817 . 2 (๐‘ = ๐ถ โ†’ ([(Baseโ€˜๐‘) / ๐‘][(Hom โ€˜๐‘) / โ„Ž][(compโ€˜๐‘) / ๐‘œ]โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ (โˆƒ๐‘” โˆˆ (๐‘ฅโ„Ž๐‘ฅ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆโ„Ž๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ๐‘œ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅโ„Ž๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ๐‘œ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅโ„Ž๐‘ฆ)โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘ฆโ„Ž๐‘ง)((๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ๐‘œ๐‘ง)๐‘“) โˆˆ (๐‘ฅโ„Ž๐‘ง) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐‘งโ„Ž๐‘ค)((๐‘˜(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ๐‘œ๐‘ค)๐‘”)(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ๐‘œ๐‘ค)๐‘“) = (๐‘˜(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘งโŸฉ๐‘œ๐‘ค)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ๐‘œ๐‘ง)๐‘“)))) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (โˆƒ๐‘” โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฅ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ง)((๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘“) โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ง) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง๐ป๐‘ค)((๐‘˜(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ ยท ๐‘ค)๐‘”)(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ค)๐‘“) = (๐‘˜(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘งโŸฉ ยท ๐‘ค)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘“))))))
59 df-cat 17617 . 2 Cat = {๐‘ โˆฃ [(Baseโ€˜๐‘) / ๐‘][(Hom โ€˜๐‘) / โ„Ž][(compโ€˜๐‘) / ๐‘œ]โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ (โˆƒ๐‘” โˆˆ (๐‘ฅโ„Ž๐‘ฅ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆโ„Ž๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ๐‘œ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅโ„Ž๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ๐‘œ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅโ„Ž๐‘ฆ)โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘ฆโ„Ž๐‘ง)((๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ๐‘œ๐‘ง)๐‘“) โˆˆ (๐‘ฅโ„Ž๐‘ง) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐‘งโ„Ž๐‘ค)((๐‘˜(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ๐‘œ๐‘ค)๐‘”)(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ๐‘œ๐‘ค)๐‘“) = (๐‘˜(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘งโŸฉ๐‘œ๐‘ค)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ๐‘œ๐‘ง)๐‘“))))}
6058, 59elab2g 3663 1 (๐ถ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (๐ถ โˆˆ Cat โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (โˆƒ๐‘” โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฅ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ง)((๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘“) โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ง) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง๐ป๐‘ค)((๐‘˜(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ ยท ๐‘ค)๐‘”)(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ค)๐‘“) = (๐‘˜(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘งโŸฉ ยท ๐‘ค)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘“))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3053  โˆƒwrex 3062  Vcvv 3466  [wsbc 3770  โŸจcop 4627  โ€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17149  Hom chom 17213  compcco 17214  Catccat 17613
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2695  ax-nul 5297
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-iota 6486  df-fv 6542  df-ov 7405  df-cat 17617
This theorem is referenced by:  iscatd  17622  catidex  17623  catcocl  17634  catass  17635  catpropd  17658
  Copyright terms: Public domain W3C validator