MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  catideu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem catideu 17619
Description: Each object in a category has a unique identity arrow. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
catidex.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
catidex.h ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
catidex.o ยท = (compโ€˜๐ถ)
catidex.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ Cat)
catidex.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
Assertion
Ref Expression
catideu (๐œ‘ โ†’ โˆƒ!๐‘” โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘‹)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“))
Distinct variable groups:   ๐‘“,๐‘”,๐‘ฆ,๐ต   ๐ถ,๐‘“,๐‘”,๐‘ฆ   ๐œ‘,๐‘”   ๐‘“,๐‘‹,๐‘”,๐‘ฆ   ๐‘“,๐ป,๐‘”,๐‘ฆ   ยท ,๐‘“,๐‘”,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฆ,๐‘“)

Proof of Theorem catideu
Dummy variable โ„Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 catidex.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
2 catidex.h . . 3 ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
3 catidex.o . . 3 ยท = (compโ€˜๐ถ)
4 catidex.c . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ Cat)
5 catidex.x . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
61, 2, 3, 4, 5catidex 17618 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘” โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘‹)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“))
7 oveq1 7416 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘ฆ๐ป๐‘‹) = (๐‘‹๐ป๐‘‹))
8 opeq1 4874 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ = ๐‘‹ โ†’ โŸจ๐‘ฆ, ๐‘‹โŸฉ = โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ)
98oveq1d 7424 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = ๐‘‹ โ†’ (โŸจ๐‘ฆ, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹) = (โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹))
109oveqd 7426 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“))
1110eqeq1d 2735 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = ๐‘‹ โ†’ ((๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โ†” (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“))
127, 11raleqbidv 3343 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = ๐‘‹ โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘‹)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โ†” โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)(๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“))
13 oveq2 7417 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘‹๐ป๐‘ฆ) = (๐‘‹๐ป๐‘‹))
14 oveq2 7417 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = ๐‘‹ โ†’ (โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ) = (โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹))
1514oveqd 7426 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = (๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘”))
1615eqeq1d 2735 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = ๐‘‹ โ†’ ((๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“ โ†” (๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘”) = ๐‘“))
1713, 16raleqbidv 3343 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = ๐‘‹ โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“ โ†” โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘”) = ๐‘“))
1812, 17anbi12d 632 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐‘‹ โ†’ ((โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘‹)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“) โ†” (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)(๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘”) = ๐‘“)))
1918rspcv 3609 . . . . 5 (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘‹)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“) โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)(๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘”) = ๐‘“)))
205, 19syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘‹)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“) โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)(๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘”) = ๐‘“)))
2120ralrimivw 3151 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘‹)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“) โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)(๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘”) = ๐‘“)))
22 an3 658 . . . . . . 7 (((โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)(๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘”) = ๐‘“) โˆง (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)(โ„Ž(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)โ„Ž) = ๐‘“)) โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)(๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)โ„Ž) = ๐‘“))
23 oveq2 7417 . . . . . . . . . 10 (๐‘“ = โ„Ž โ†’ (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)โ„Ž))
24 id 22 . . . . . . . . . 10 (๐‘“ = โ„Ž โ†’ ๐‘“ = โ„Ž)
2523, 24eqeq12d 2749 . . . . . . . . 9 (๐‘“ = โ„Ž โ†’ ((๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โ†” (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)โ„Ž) = โ„Ž))
2625rspcv 3609 . . . . . . . 8 (โ„Ž โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹) โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)(๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โ†’ (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)โ„Ž) = โ„Ž))
27 oveq1 7416 . . . . . . . . . 10 (๐‘“ = ๐‘” โ†’ (๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)โ„Ž) = (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)โ„Ž))
28 id 22 . . . . . . . . . 10 (๐‘“ = ๐‘” โ†’ ๐‘“ = ๐‘”)
2927, 28eqeq12d 2749 . . . . . . . . 9 (๐‘“ = ๐‘” โ†’ ((๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)โ„Ž) = ๐‘“ โ†” (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)โ„Ž) = ๐‘”))
3029rspcv 3609 . . . . . . . 8 (๐‘” โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹) โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)โ„Ž) = ๐‘“ โ†’ (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)โ„Ž) = ๐‘”))
3126, 30im2anan9r 622 . . . . . . 7 ((๐‘” โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹) โˆง โ„Ž โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)) โ†’ ((โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)(๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)โ„Ž) = ๐‘“) โ†’ ((๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)โ„Ž) = โ„Ž โˆง (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)โ„Ž) = ๐‘”)))
32 eqtr2 2757 . . . . . . . 8 (((๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)โ„Ž) = โ„Ž โˆง (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)โ„Ž) = ๐‘”) โ†’ โ„Ž = ๐‘”)
3332equcomd 2023 . . . . . . 7 (((๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)โ„Ž) = โ„Ž โˆง (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)โ„Ž) = ๐‘”) โ†’ ๐‘” = โ„Ž)
3422, 31, 33syl56 36 . . . . . 6 ((๐‘” โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹) โˆง โ„Ž โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)) โ†’ (((โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)(๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘”) = ๐‘“) โˆง (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)(โ„Ž(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)โ„Ž) = ๐‘“)) โ†’ ๐‘” = โ„Ž))
3534rgen2 3198 . . . . 5 โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)(((โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)(๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘”) = ๐‘“) โˆง (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)(โ„Ž(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)โ„Ž) = ๐‘“)) โ†’ ๐‘” = โ„Ž)
3635a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)(((โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)(๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘”) = ๐‘“) โˆง (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)(โ„Ž(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)โ„Ž) = ๐‘“)) โ†’ ๐‘” = โ„Ž))
37 oveq1 7416 . . . . . . . 8 (๐‘” = โ„Ž โ†’ (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = (โ„Ž(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“))
3837eqeq1d 2735 . . . . . . 7 (๐‘” = โ„Ž โ†’ ((๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โ†” (โ„Ž(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“))
3938ralbidv 3178 . . . . . 6 (๐‘” = โ„Ž โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)(๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โ†” โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)(โ„Ž(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“))
40 oveq2 7417 . . . . . . . 8 (๐‘” = โ„Ž โ†’ (๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘”) = (๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)โ„Ž))
4140eqeq1d 2735 . . . . . . 7 (๐‘” = โ„Ž โ†’ ((๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘”) = ๐‘“ โ†” (๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)โ„Ž) = ๐‘“))
4241ralbidv 3178 . . . . . 6 (๐‘” = โ„Ž โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘”) = ๐‘“ โ†” โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)โ„Ž) = ๐‘“))
4339, 42anbi12d 632 . . . . 5 (๐‘” = โ„Ž โ†’ ((โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)(๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘”) = ๐‘“) โ†” (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)(โ„Ž(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)โ„Ž) = ๐‘“)))
4443rmo4 3727 . . . 4 (โˆƒ*๐‘” โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)(โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)(๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘”) = ๐‘“) โ†” โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)(((โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)(๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘”) = ๐‘“) โˆง (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)(โ„Ž(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)โ„Ž) = ๐‘“)) โ†’ ๐‘” = โ„Ž))
4536, 44sylibr 233 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ*๐‘” โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)(โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)(๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘”) = ๐‘“))
46 rmoim 3737 . . 3 (โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘‹)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“) โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)(๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘”) = ๐‘“)) โ†’ (โˆƒ*๐‘” โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)(โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)(๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘”) = ๐‘“) โ†’ โˆƒ*๐‘” โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘‹)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“)))
4721, 45, 46sylc 65 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ*๐‘” โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘‹)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“))
48 reu5 3379 . 2 (โˆƒ!๐‘” โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘‹)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“) โ†” (โˆƒ๐‘” โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘‹)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“) โˆง โˆƒ*๐‘” โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘‹)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“)))
496, 47, 48sylanbrc 584 1 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ!๐‘” โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘‹)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3062  โˆƒwrex 3071  โˆƒ!wreu 3375  โˆƒ*wrmo 3376  โŸจcop 4635  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  Hom chom 17208  compcco 17209  Catccat 17608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-nul 5307
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-iota 6496  df-fv 6552  df-ov 7412  df-cat 17612
This theorem is referenced by:  catidd  17624  catidcl  17626  catlid  17627  catrid  17628
  Copyright terms: Public domain W3C validator