Theorem dfantisymrel4 38121

Description: Alternate definition of the antisymmetric relation predicate. (Contributed by Peter Mazsa, 24-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
dfantisymrel4	⊢ ( AntisymRel 𝑅 ↔ ((𝑅 ∩ ◡𝑅) ⊆ I ∧ Rel 𝑅))

Proof of Theorem dfantisymrel4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-antisymrel 38120	. 2 ⊢ ( AntisymRel 𝑅 ↔ ( CnvRefRel (𝑅 ∩ ◡𝑅) ∧ Rel 𝑅))
2		relcnv 6093	. . . 4 ⊢ Rel ◡𝑅
3		relin2 5803	. . . 4 ⊢ (Rel ◡𝑅 → Rel (𝑅 ∩ ◡𝑅))
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Rel (𝑅 ∩ ◡𝑅)
5		dfcnvrefrel4 37892	. . 3 ⊢ ( CnvRefRel (𝑅 ∩ ◡𝑅) ↔ ((𝑅 ∩ ◡𝑅) ⊆ I ∧ Rel (𝑅 ∩ ◡𝑅)))
6	4, 5	mpbiran2 707	. 2 ⊢ ( CnvRefRel (𝑅 ∩ ◡𝑅) ↔ (𝑅 ∩ ◡𝑅) ⊆ I )
7	1, 6	bianbi 37585	1 ⊢ ( AntisymRel 𝑅 ↔ ((𝑅 ∩ ◡𝑅) ⊆ I ∧ Rel 𝑅))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∩ cin 3939   ⊆ wss 3940   I cid 5563  ^◡ccnv 5665  Rel wrel 5671   CnvRefRel wcnvrefrel 37542   AntisymRel wantisymrel 37570

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pr 5417

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-br 5139  df-opab 5201  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-cnvrefrel 37887  df-antisymrel 38120

This theorem is referenced by: (None)