Theorem dfantisymrel4 38805

Description: Alternate definition of the antisymmetric relation predicate. (Contributed by Peter Mazsa, 24-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
dfantisymrel4	⊢ ( AntisymRel 𝑅 ↔ ((𝑅 ∩ ◡𝑅) ⊆ I ∧ Rel 𝑅))

Proof of Theorem dfantisymrel4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-antisymrel 38804	. 2 ⊢ ( AntisymRel 𝑅 ↔ ( CnvRefRel (𝑅 ∩ ◡𝑅) ∧ Rel 𝑅))
2		relcnv 6053	. . . 4 ⊢ Rel ◡𝑅
3		relin2 5753	. . . 4 ⊢ (Rel ◡𝑅 → Rel (𝑅 ∩ ◡𝑅))
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Rel (𝑅 ∩ ◡𝑅)
5		dfcnvrefrel4 38575	. . 3 ⊢ ( CnvRefRel (𝑅 ∩ ◡𝑅) ↔ ((𝑅 ∩ ◡𝑅) ⊆ I ∧ Rel (𝑅 ∩ ◡𝑅)))
6	4, 5	mpbiran2 710	. 2 ⊢ ( CnvRefRel (𝑅 ∩ ◡𝑅) ↔ (𝑅 ∩ ◡𝑅) ⊆ I )
7	1, 6	bianbi 627	1 ⊢ ( AntisymRel 𝑅 ↔ ((𝑅 ∩ ◡𝑅) ⊆ I ∧ Rel 𝑅))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902   I cid 5510  ^◡ccnv 5615  Rel wrel 5621   CnvRefRel wcnvrefrel 38230   AntisymRel wantisymrel 38258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-br 5092  df-opab 5154  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-cnvrefrel 38570  df-antisymrel 38804

This theorem is referenced by: (None)