Theorem dfateq12d 48015

Description: Equality deduction for "defined at". (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfateq12d.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)
dfateq12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dfateq12d	⊢ (𝜑 → (𝐹 defAt 𝐴 ↔ 𝐺 defAt 𝐵))

Proof of Theorem dfateq12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfateq12d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		dfateq12d.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)
3	2	dmeqd 5889	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = dom 𝐺)
4	1, 3	eleq12d 2854	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝐵 ∈ dom 𝐺))
5	1	sneqd 4596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝐴} = {𝐵})
6	2, 5	reseq12d 5973	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ {𝐴}) = (𝐺 ↾ {𝐵}))
7	6	funeqd 6555	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Fun (𝐹 ↾ {𝐴}) ↔ Fun (𝐺 ↾ {𝐵})))
8	4, 7	anbi12d 644	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})) ↔ (𝐵 ∈ dom 𝐺 ∧ Fun (𝐺 ↾ {𝐵}))))
9		df-dfat 48008	. 2 ⊢ (𝐹 defAt 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})))
10		df-dfat 48008	. 2 ⊢ (𝐺 defAt 𝐵 ↔ (𝐵 ∈ dom 𝐺 ∧ Fun (𝐺 ↾ {𝐵})))
11	8, 9, 10	3bitr4g 317	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 defAt 𝐴 ↔ 𝐺 defAt 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {csn 4584  dom cdm 5655   ↾ cres 5657  Fun wfun 6527   defAt wdfat 48005

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-res 5667  df-fun 6535  df-dfat 48008

This theorem is used by:  afveq12d  48022  afv2eq12d  48104