Theorem dfateq12d 44618

Description: Equality deduction for "defined at". (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfateq12d.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)
dfateq12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dfateq12d	⊢ (𝜑 → (𝐹 defAt 𝐴 ↔ 𝐺 defAt 𝐵))

Proof of Theorem dfateq12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfateq12d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		dfateq12d.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)
3	2	dmeqd 5814	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = dom 𝐺)
4	1, 3	eleq12d 2833	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝐵 ∈ dom 𝐺))
5	1	sneqd 4573	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝐴} = {𝐵})
6	2, 5	reseq12d 5892	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ {𝐴}) = (𝐺 ↾ {𝐵}))
7	6	funeqd 6456	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Fun (𝐹 ↾ {𝐴}) ↔ Fun (𝐺 ↾ {𝐵})))
8	4, 7	anbi12d 631	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})) ↔ (𝐵 ∈ dom 𝐺 ∧ Fun (𝐺 ↾ {𝐵}))))
9		df-dfat 44611	. 2 ⊢ (𝐹 defAt 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})))
10		df-dfat 44611	. 2 ⊢ (𝐺 defAt 𝐵 ↔ (𝐵 ∈ dom 𝐺 ∧ Fun (𝐺 ↾ {𝐵})))
11	8, 9, 10	3bitr4g 314	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 defAt 𝐴 ↔ 𝐺 defAt 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {csn 4561  dom cdm 5589   ↾ cres 5591  Fun wfun 6427   defAt wdfat 44608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-sb 2068  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-br 5075  df-opab 5137  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-res 5601  df-fun 6435  df-dfat 44611

This theorem is referenced by:  afveq12d  44625  afv2eq12d  44707