Theorem dfateq12d 43682

Description: Equality deduction for "defined at". (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfateq12d.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)
dfateq12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dfateq12d	⊢ (𝜑 → (𝐹 defAt 𝐴 ↔ 𝐺 defAt 𝐵))

Proof of Theorem dfateq12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfateq12d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		dfateq12d.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)
3	2	dmeqd 5738	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = dom 𝐺)
4	1, 3	eleq12d 2884	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝐵 ∈ dom 𝐺))
5	1	sneqd 4537	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝐴} = {𝐵})
6	2, 5	reseq12d 5819	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ {𝐴}) = (𝐺 ↾ {𝐵}))
7	6	funeqd 6346	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Fun (𝐹 ↾ {𝐴}) ↔ Fun (𝐺 ↾ {𝐵})))
8	4, 7	anbi12d 633	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})) ↔ (𝐵 ∈ dom 𝐺 ∧ Fun (𝐺 ↾ {𝐵}))))
9		df-dfat 43675	. 2 ⊢ (𝐹 defAt 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})))
10		df-dfat 43675	. 2 ⊢ (𝐺 defAt 𝐵 ↔ (𝐵 ∈ dom 𝐺 ∧ Fun (𝐺 ↾ {𝐵})))
11	8, 9, 10	3bitr4g 317	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 defAt 𝐴 ↔ 𝐺 defAt 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {csn 4525  dom cdm 5519   ↾ cres 5521  Fun wfun 6318   defAt wdfat 43672

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-rab 3115  df-v 3443  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-br 5031  df-opab 5093  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-res 5531  df-fun 6326  df-dfat 43675

This theorem is referenced by:  afveq12d  43689  afv2eq12d  43771