Theorem dfateq12d 47720

Description: Equality deduction for "defined at". (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfateq12d.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)
dfateq12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dfateq12d	⊢ (𝜑 → (𝐹 defAt 𝐴 ↔ 𝐺 defAt 𝐵))

Proof of Theorem dfateq12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfateq12d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		dfateq12d.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)
3	2	dmeqd 5881	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = dom 𝐺)
4	1, 3	eleq12d 2856	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝐵 ∈ dom 𝐺))
5	1	sneqd 4594	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝐴} = {𝐵})
6	2, 5	reseq12d 5966	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ {𝐴}) = (𝐺 ↾ {𝐵}))
7	6	funeqd 6543	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Fun (𝐹 ↾ {𝐴}) ↔ Fun (𝐺 ↾ {𝐵})))
8	4, 7	anbi12d 641	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})) ↔ (𝐵 ∈ dom 𝐺 ∧ Fun (𝐺 ↾ {𝐵}))))
9		df-dfat 47713	. 2 ⊢ (𝐹 defAt 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})))
10		df-dfat 47713	. 2 ⊢ (𝐺 defAt 𝐵 ↔ (𝐵 ∈ dom 𝐺 ∧ Fun (𝐺 ↾ {𝐵})))
11	8, 9, 10	3bitr4g 316	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 defAt 𝐴 ↔ 𝐺 defAt 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  {csn 4582  dom cdm 5647   ↾ cres 5649  Fun wfun 6515   defAt wdfat 47710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-sb 2091  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-rab 3415  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-br 5101  df-opab 5163  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-res 5659  df-fun 6523  df-dfat 47713

This theorem is referenced by:  afveq12d  47727  afv2eq12d  47809