Theorem afveq12d 47727

Description: Equality deduction for function value, analogous to fveq12d 6874. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
afveq12d.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)
afveq12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
afveq12d	⊢ (𝜑 → (𝐹'''𝐴) = (𝐺'''𝐵))

Proof of Theorem afveq12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		afveq12d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)
2		afveq12d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
3	1, 2	dfateq12d 47720	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 defAt 𝐴 ↔ 𝐺 defAt 𝐵))
4	1, 2	fveq12d 6874	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = (𝐺‘𝐵))
5	3, 4	ifbieq1d 4505	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐹 defAt 𝐴, (𝐹‘𝐴), V) = if(𝐺 defAt 𝐵, (𝐺‘𝐵), V))
6		dfafv2 47726	. 2 ⊢ (𝐹'''𝐴) = if(𝐹 defAt 𝐴, (𝐹‘𝐴), V)
7		dfafv2 47726	. 2 ⊢ (𝐺'''𝐵) = if(𝐺 defAt 𝐵, (𝐺‘𝐵), V)
8	5, 6, 7	3eqtr4g 2822	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹'''𝐴) = (𝐺'''𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1560  Vcvv 3454  ifcif 4480  ‘cfv 6521   defAt wdfat 47710  '''cafv 47711

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-br 5101  df-opab 5163  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-res 5659  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fv 6529  df-aiota 47679  df-dfat 47713  df-afv 47714

This theorem is referenced by:  afveq1  47728  afveq2  47729  csbafv12g  47731  afvco2  47770  aoveq123d  47772