Theorem afveq12d 44869

Description: Equality deduction for function value, analogous to fveq12d 6811. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
afveq12d.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)
afveq12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
afveq12d	⊢ (𝜑 → (𝐹'''𝐴) = (𝐺'''𝐵))

Proof of Theorem afveq12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		afveq12d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)
2		afveq12d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
3	1, 2	dfateq12d 44862	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 defAt 𝐴 ↔ 𝐺 defAt 𝐵))
4	1, 2	fveq12d 6811	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = (𝐺‘𝐵))
5	3, 4	ifbieq1d 4489	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐹 defAt 𝐴, (𝐹‘𝐴), V) = if(𝐺 defAt 𝐵, (𝐺‘𝐵), V))
6		dfafv2 44868	. 2 ⊢ (𝐹'''𝐴) = if(𝐹 defAt 𝐴, (𝐹‘𝐴), V)
7		dfafv2 44868	. 2 ⊢ (𝐺'''𝐵) = if(𝐺 defAt 𝐵, (𝐺‘𝐵), V)
8	5, 6, 7	3eqtr4g 2801	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹'''𝐴) = (𝐺'''𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539  Vcvv 3437  ifcif 4465  ‘cfv 6458   defAt wdfat 44852  '''cafv 44853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pr 5361

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-br 5082  df-opab 5144  df-id 5500  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-res 5612  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fv 6466  df-aiota 44821  df-dfat 44855  df-afv 44856

This theorem is referenced by:  afveq1  44870  afveq2  44871  csbafv12g  44873  afvco2  44912  aoveq123d  44914