Theorem afveq12d 48202

Description: Equality deduction for function value, analogous to fveq12d 6892. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
afveq12d.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)
afveq12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
afveq12d	⊢ (𝜑 → (𝐹'''𝐴) = (𝐺'''𝐵))

Proof of Theorem afveq12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		afveq12d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)
2		afveq12d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
3	1, 2	dfateq12d 48195	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 defAt 𝐴 ↔ 𝐺 defAt 𝐵))
4	1, 2	fveq12d 6892	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = (𝐺‘𝐵))
5	3, 4	ifbieq1d 4507	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐹 defAt 𝐴, (𝐹‘𝐴), V) = if(𝐺 defAt 𝐵, (𝐺‘𝐵), V))
6		dfafv2 48201	. 2 ⊢ (𝐹'''𝐴) = if(𝐹 defAt 𝐴, (𝐹‘𝐴), V)
7		dfafv2 48201	. 2 ⊢ (𝐺'''𝐵) = if(𝐺 defAt 𝐵, (𝐺‘𝐵), V)
8	5, 6, 7	3eqtr4g 2821	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹'''𝐴) = (𝐺'''𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570  Vcvv 3451  ifcif 4482  ‘cfv 6538   defAt wdfat 48185  '''cafv 48186

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-res 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-aiota 48154  df-dfat 48188  df-afv 48189

This theorem is used by:  afveq1  48203  afveq2  48204  csbafv12g  48206  afvco2  48245  aoveq123d  48247