Theorem afveq12d 48247

Description: Equality deduction for function value, analogous to fveq12d 6892. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
afveq12d.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)
afveq12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
afveq12d	⊢ (𝜑 → (𝐹'''𝐴) = (𝐺'''𝐵))

Proof of Theorem afveq12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		afveq12d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)
2		afveq12d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
3	1, 2	dfateq12d 48240	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 defAt 𝐴 ↔ 𝐺 defAt 𝐵))
4	1, 2	fveq12d 6892	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = (𝐺‘𝐵))
5	3, 4	ifbieq1d 4506	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐹 defAt 𝐴, (𝐹‘𝐴), V) = if(𝐺 defAt 𝐵, (𝐺‘𝐵), V))
6		dfafv2 48246	. 2 ⊢ (𝐹'''𝐴) = if(𝐹 defAt 𝐴, (𝐹‘𝐴), V)
7		dfafv2 48246	. 2 ⊢ (𝐺'''𝐵) = if(𝐺 defAt 𝐵, (𝐺‘𝐵), V)
8	5, 6, 7	3eqtr4g 2820	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹'''𝐴) = (𝐺'''𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569  Vcvv 3450  ifcif 4481  ‘cfv 6538   defAt wdfat 48230  '''cafv 48231

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-res 5662  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-aiota 48199  df-dfat 48233  df-afv 48234

This theorem is used by:  afveq1  48248  afveq2  48249  csbafv12g  48251  afvco2  48290  aoveq123d  48292