Theorem afveq12d 47145

Description: Equality deduction for function value, analogous to fveq12d 6913. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
afveq12d.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)
afveq12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
afveq12d	⊢ (𝜑 → (𝐹'''𝐴) = (𝐺'''𝐵))

Proof of Theorem afveq12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		afveq12d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)
2		afveq12d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
3	1, 2	dfateq12d 47138	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 defAt 𝐴 ↔ 𝐺 defAt 𝐵))
4	1, 2	fveq12d 6913	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = (𝐺‘𝐵))
5	3, 4	ifbieq1d 4550	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐹 defAt 𝐴, (𝐹‘𝐴), V) = if(𝐺 defAt 𝐵, (𝐺‘𝐵), V))
6		dfafv2 47144	. 2 ⊢ (𝐹'''𝐴) = if(𝐹 defAt 𝐴, (𝐹‘𝐴), V)
7		dfafv2 47144	. 2 ⊢ (𝐺'''𝐵) = if(𝐺 defAt 𝐵, (𝐺‘𝐵), V)
8	5, 6, 7	3eqtr4g 2802	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹'''𝐴) = (𝐺'''𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540  Vcvv 3480  ifcif 4525  ‘cfv 6561   defAt wdfat 47128  '''cafv 47129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-res 5697  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fv 6569  df-aiota 47097  df-dfat 47131  df-afv 47132

This theorem is referenced by:  afveq1  47146  afveq2  47147  csbafv12g  47149  afvco2  47188  aoveq123d  47190