MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgcpbllema Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgcpbllema 19624
Description: Lemma for efgrelex 19621. Define an auxiliary equivalence relation 𝐿 such that 𝐴𝐿𝐡 if there are sequences from 𝐴 to 𝐡 passing through the same reduced word. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
efgval.r ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣 ∈ π‘Š ↦ (𝑛 ∈ (0...(β™―β€˜π‘£)), 𝑀 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑣 splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œπ‘€(π‘€β€˜π‘€)β€βŸ©βŸ©)))
efgred.d 𝐷 = (π‘Š βˆ– βˆͺ π‘₯ ∈ π‘Š ran (π‘‡β€˜π‘₯))
efgred.s 𝑆 = (π‘š ∈ {𝑑 ∈ (Word π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∣ ((π‘‘β€˜0) ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^(β™―β€˜π‘‘))(π‘‘β€˜π‘˜) ∈ ran (π‘‡β€˜(π‘‘β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))))} ↦ (π‘šβ€˜((β™―β€˜π‘š) βˆ’ 1)))
efgcpbllem.1 𝐿 = {βŸ¨π‘–, π‘—βŸ© ∣ ({𝑖, 𝑗} βŠ† π‘Š ∧ ((𝐴 ++ 𝑖) ++ 𝐡) ∼ ((𝐴 ++ 𝑗) ++ 𝐡))}
Assertion
Ref Expression
efgcpbllema (π‘‹πΏπ‘Œ ↔ (𝑋 ∈ π‘Š ∧ π‘Œ ∈ π‘Š ∧ ((𝐴 ++ 𝑋) ++ 𝐡) ∼ ((𝐴 ++ π‘Œ) ++ 𝐡)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐴   𝑦,𝑧   𝑑,𝑛,𝑣,𝑀,𝑦,𝑧   𝑖,π‘š,𝑛,𝑑,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑀,𝑗   𝑖,π‘˜,𝑇,𝑗,π‘š,𝑑,π‘₯   𝑖,𝑋,𝑗   𝑦,𝑖,𝑧,π‘Š,𝑗   π‘˜,𝑛,𝑣,𝑀,𝑦,𝑧,π‘Š,π‘š,𝑑,π‘₯   ∼ ,𝑖,𝑗,π‘š,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐡,𝑖,𝑗   𝑆,𝑖,𝑗   𝑖,π‘Œ,𝑗   𝑖,𝐼,𝑗,π‘š,𝑛,𝑑,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐷,𝑖,𝑗,π‘š,𝑑
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑑,π‘˜,π‘š,𝑛)   𝐡(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑑,π‘˜,π‘š,𝑛)   𝐷(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,π‘˜,𝑛)   ∼ (𝑀,𝑣,π‘˜,𝑛)   𝑆(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑑,π‘˜,π‘š,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑛)   𝐼(π‘˜)   𝐿(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑑,𝑖,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑛)   𝑀(𝑦,𝑧,π‘˜)   𝑋(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑑,π‘˜,π‘š,𝑛)   π‘Œ(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑑,π‘˜,π‘š,𝑛)

Proof of Theorem efgcpbllema
StepHypRef Expression
1 oveq2 7419 . . . . 5 (𝑖 = 𝑋 β†’ (𝐴 ++ 𝑖) = (𝐴 ++ 𝑋))
21oveq1d 7426 . . . 4 (𝑖 = 𝑋 β†’ ((𝐴 ++ 𝑖) ++ 𝐡) = ((𝐴 ++ 𝑋) ++ 𝐡))
3 oveq2 7419 . . . . 5 (𝑗 = π‘Œ β†’ (𝐴 ++ 𝑗) = (𝐴 ++ π‘Œ))
43oveq1d 7426 . . . 4 (𝑗 = π‘Œ β†’ ((𝐴 ++ 𝑗) ++ 𝐡) = ((𝐴 ++ π‘Œ) ++ 𝐡))
52, 4breqan12d 5164 . . 3 ((𝑖 = 𝑋 ∧ 𝑗 = π‘Œ) β†’ (((𝐴 ++ 𝑖) ++ 𝐡) ∼ ((𝐴 ++ 𝑗) ++ 𝐡) ↔ ((𝐴 ++ 𝑋) ++ 𝐡) ∼ ((𝐴 ++ π‘Œ) ++ 𝐡)))
6 efgcpbllem.1 . . . 4 𝐿 = {βŸ¨π‘–, π‘—βŸ© ∣ ({𝑖, 𝑗} βŠ† π‘Š ∧ ((𝐴 ++ 𝑖) ++ 𝐡) ∼ ((𝐴 ++ 𝑗) ++ 𝐡))}
7 vex 3478 . . . . . . 7 𝑖 ∈ V
8 vex 3478 . . . . . . 7 𝑗 ∈ V
97, 8prss 4823 . . . . . 6 ((𝑖 ∈ π‘Š ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ↔ {𝑖, 𝑗} βŠ† π‘Š)
109anbi1i 624 . . . . 5 (((𝑖 ∈ π‘Š ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ ((𝐴 ++ 𝑖) ++ 𝐡) ∼ ((𝐴 ++ 𝑗) ++ 𝐡)) ↔ ({𝑖, 𝑗} βŠ† π‘Š ∧ ((𝐴 ++ 𝑖) ++ 𝐡) ∼ ((𝐴 ++ 𝑗) ++ 𝐡)))
1110opabbii 5215 . . . 4 {βŸ¨π‘–, π‘—βŸ© ∣ ((𝑖 ∈ π‘Š ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ ((𝐴 ++ 𝑖) ++ 𝐡) ∼ ((𝐴 ++ 𝑗) ++ 𝐡))} = {βŸ¨π‘–, π‘—βŸ© ∣ ({𝑖, 𝑗} βŠ† π‘Š ∧ ((𝐴 ++ 𝑖) ++ 𝐡) ∼ ((𝐴 ++ 𝑗) ++ 𝐡))}
126, 11eqtr4i 2763 . . 3 𝐿 = {βŸ¨π‘–, π‘—βŸ© ∣ ((𝑖 ∈ π‘Š ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ ((𝐴 ++ 𝑖) ++ 𝐡) ∼ ((𝐴 ++ 𝑗) ++ 𝐡))}
135, 12brab2a 5769 . 2 (π‘‹πΏπ‘Œ ↔ ((𝑋 ∈ π‘Š ∧ π‘Œ ∈ π‘Š) ∧ ((𝐴 ++ 𝑋) ++ 𝐡) ∼ ((𝐴 ++ π‘Œ) ++ 𝐡)))
14 df-3an 1089 . 2 ((𝑋 ∈ π‘Š ∧ π‘Œ ∈ π‘Š ∧ ((𝐴 ++ 𝑋) ++ 𝐡) ∼ ((𝐴 ++ π‘Œ) ++ 𝐡)) ↔ ((𝑋 ∈ π‘Š ∧ π‘Œ ∈ π‘Š) ∧ ((𝐴 ++ 𝑋) ++ 𝐡) ∼ ((𝐴 ++ π‘Œ) ++ 𝐡)))
1513, 14bitr4i 277 1 (π‘‹πΏπ‘Œ ↔ (𝑋 ∈ π‘Š ∧ π‘Œ ∈ π‘Š ∧ ((𝐴 ++ 𝑋) ++ 𝐡) ∼ ((𝐴 ++ π‘Œ) ++ 𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  {crab 3432   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  {csn 4628  {cpr 4630  βŸ¨cop 4634  βŸ¨cotp 4636  βˆͺ ciun 4997   class class class wbr 5148  {copab 5210   ↦ cmpt 5231   I cid 5573   Γ— cxp 5674  ran crn 5677  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  1oc1o 8461  2oc2o 8462  0cc0 11112  1c1 11113   βˆ’ cmin 11446  ...cfz 13486  ..^cfzo 13629  β™―chash 14292  Word cword 14466   ++ cconcat 14522   splice csplice 14701  βŸ¨β€œcs2 14794   ~FG cefg 19576
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-xp 5682  df-iota 6495  df-fv 6551  df-ov 7414
This theorem is referenced by:  efgcpbllemb  19625  efgcpbl  19626
  Copyright terms: Public domain W3C validator