Theorem efgrelex 19671

Description: If two words 𝐴, 𝐵 are related under the free group equivalence, then there exist two extension sequences 𝑎, 𝑏 such that 𝑎 ends at 𝐴, 𝑏 ends at 𝐵, and 𝑎 and 𝐵 have the same starting point. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
efgval2.m	⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
efgval2.t	⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d	⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
efgred.s	⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))

Assertion

Ref	Expression
efgrelex	⊢ (𝐴 ∼ 𝐵 → ∃𝑎 ∈ (◡𝑆 “ {𝐴})∃𝑏 ∈ (◡𝑆 “ {𝐵})(𝑎‘0) = (𝑏‘0))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝐴   𝑦,𝑎,𝑧,𝑏   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑚,𝑎,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑀,𝑏   𝑘,𝑎,𝑇,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥   𝑊,𝑎,𝑏   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ∼ ,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑎,𝑏   𝑆,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏,𝑚,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   ∼ (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem efgrelex

Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efgval.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
2		efgval.r	. . . 4 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
3		efgval2.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
4		efgval2.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
5		efgred.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
6		efgred.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
7		eqid 2726	. . . 4 ⊢ {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ∃𝑐 ∈ (◡𝑆 “ {𝑖})∃𝑑 ∈ (◡𝑆 “ {𝑗})(𝑐‘0) = (𝑑‘0)} = {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ∃𝑐 ∈ (◡𝑆 “ {𝑖})∃𝑑 ∈ (◡𝑆 “ {𝑗})(𝑐‘0) = (𝑑‘0)}
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	efgrelexlemb 19670	. . 3 ⊢ ∼ ⊆ {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ∃𝑐 ∈ (◡𝑆 “ {𝑖})∃𝑑 ∈ (◡𝑆 “ {𝑗})(𝑐‘0) = (𝑑‘0)}
9	8	ssbri 5186	. 2 ⊢ (𝐴 ∼ 𝐵 → 𝐴{⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ∃𝑐 ∈ (◡𝑆 “ {𝑖})∃𝑑 ∈ (◡𝑆 “ {𝑗})(𝑐‘0) = (𝑑‘0)}𝐵)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	efgrelexlema 19669	. 2 ⊢ (𝐴{⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ∃𝑐 ∈ (◡𝑆 “ {𝑖})∃𝑑 ∈ (◡𝑆 “ {𝑗})(𝑐‘0) = (𝑑‘0)}𝐵 ↔ ∃𝑎 ∈ (◡𝑆 “ {𝐴})∃𝑏 ∈ (◡𝑆 “ {𝐵})(𝑎‘0) = (𝑏‘0))
11	9, 10	sylib 217	1 ⊢ (𝐴 ∼ 𝐵 → ∃𝑎 ∈ (◡𝑆 “ {𝐴})∃𝑏 ∈ (◡𝑆 “ {𝐵})(𝑎‘0) = (𝑏‘0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3055  ∃wrex 3064  {crab 3426   ∖ cdif 3940  ∅c0 4317  {csn 4623  ⟨cop 4629  ⟨cotp 4631  ∪ ciun 4990   class class class wbr 5141  {copab 5203   ↦ cmpt 5224   I cid 5566   × cxp 5667  ^◡ccnv 5668  ran crn 5670   “ cima 5672  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  1_oc1o 8460  2_oc2o 8461  0cc0 11112  1c1 11113   − cmin 11448  ...cfz 13490  ..^cfzo 13633  ♯chash 14295  Word cword 14470   splice csplice 14705  ⟨“cs2 14798   ~_FG cefg 19626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-ec 8707  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-hash 14296  df-word 14471  df-concat 14527  df-s1 14552  df-substr 14597  df-pfx 14627  df-splice 14706  df-s2 14805  df-efg 19629

This theorem is referenced by:  efgredeu  19672