Theorem breqan12d 5115

Description: Equality deduction for a binary relation. (Contributed by NM, 8-Feb-1996.)

Hypotheses

Ref	Expression
breq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
breqan12i.2	⊢ (𝜓 → 𝐶 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
breqan12d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐴𝑅𝐶 ↔ 𝐵𝑅𝐷))

Proof of Theorem breqan12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		breqan12i.2	. 2 ⊢ (𝜓 → 𝐶 = 𝐷)
3		breq12 5104	. 2 ⊢ ((𝐴 = 𝐵 ∧ 𝐶 = 𝐷) → (𝐴𝑅𝐶 ↔ 𝐵𝑅𝐷))
4	1, 2, 3	syl2an 597	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐴𝑅𝐶 ↔ 𝐵𝑅𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   class class class wbr 5099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-rab 3401  df-v 3443  df-dif 3905  df-un 3907  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-br 5100

This theorem is referenced by:  breqan12rd  5116  soisores  7275  isoid  7277  isores3  7283  isoini2  7287  ofrfvalg  7632  fnwelem  8075  fnse  8077  infsupprpr  9413  wemaplem1  9455  r0weon  9926  sornom  10191  enqbreq2  10835  nqereu  10844  ordpinq  10858  lterpq  10885  ltresr2  11056  axpre-ltadd  11082  leltadd  11625  lemul1a  11999  negiso  12126  xltneg  13136  lt2sq  14060  le2sq  14061  expmordi  14094  sqrtle  15187  prdsleval  17401  efgcpbllema  19687  iducn  24230  icopnfhmeo  24901  iccpnfhmeo  24903  xrhmeo  24904  reefiso  26418  sinord  26503  logltb  26569  logccv  26632  atanord  26897  birthdaylem3  26923  lgsquadlem3  27353  ltnegs  28045  oniso  28271  mddmd  32380  xrge0iifiso  34094  revwlkb  35322  erdszelem4  35390  erdszelem8  35394  satfv0  35554  cgrextend  36204  matunitlindf  37821  idlaut  40424  monotuz  43250  monotoddzzfi  43251  wepwsolem  43351  fnwe2val  43358  aomclem8  43370  isgrlim  48295  rrx2plord  49033  rrx2plordisom  49036