Theorem breqan12d 5122

Description: Equality deduction for a binary relation. (Contributed by NM, 8-Feb-1996.)

Hypotheses

Ref	Expression
breq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
breqan12i.2	⊢ (𝜓 → 𝐶 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
breqan12d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐴𝑅𝐶 ↔ 𝐵𝑅𝐷))

Proof of Theorem breqan12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		breqan12i.2	. 2 ⊢ (𝜓 → 𝐶 = 𝐷)
3		breq12 5111	. 2 ⊢ ((𝐴 = 𝐵 ∧ 𝐶 = 𝐷) → (𝐴𝑅𝐶 ↔ 𝐵𝑅𝐷))
4	1, 2, 3	syl2an 608	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐴𝑅𝐶 ↔ 𝐵𝑅𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   class class class wbr 5106

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-br 5107

This theorem is used by:  breqan12rd  5123  soisores  7355  isoid  7357  isores3  7363  isoini2  7367  ofrfvalg  7722  fnwelem  8167  fnwe2lem1  8169  fnse  8174  infsupprpr  9522  wemaplem1  9564  r0weon  10115  sornom  10379  enqbreq2  11029  nqereu  11038  ordpinq  11052  lterpq  11079  ltresr2  11250  axpre-ltadd  11276  leltadd  11824  lemul1a  12195  negiso  12321  xltneg  13371  lt2sq  14300  le2sq  14301  expmordi  14334  sqrtle  15453  prdsleval  17674  efgcpbllema  19995  matunitlindf  23023  iducn  24628  icopnfhmeo  25291  iccpnfhmeo  25293  xrhmeo  25294  reefiso  26802  sinord  26889  logltb  26955  logccv  27018  atanord  27282  birthdaylem3  27308  lgsquadlem3  27736  ltnegs  28458  oniso  28684  mddmd  32930  xrge0iifiso  34634  j00smo  36004  revwlkb  36064  erdszelem4  36125  erdszelem8  36129  satfv0  36289  cgrextend  36950  idlaut  41344  monotuz  44139  monotoddzzfi  44140  wepwsolem  44240  aomclem8  44254  hashomiso  46208  isgrlim  49283  rrx2plord  50036  rrx2plordisom  50039