Theorem breqan12d 5124

Description: Equality deduction for a binary relation. (Contributed by NM, 8-Feb-1996.)

Hypotheses

Ref	Expression
breq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
breqan12i.2	⊢ (𝜓 → 𝐶 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
breqan12d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐴𝑅𝐶 ↔ 𝐵𝑅𝐷))

Proof of Theorem breqan12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		breqan12i.2	. 2 ⊢ (𝜓 → 𝐶 = 𝐷)
3		breq12 5113	. 2 ⊢ ((𝐴 = 𝐵 ∧ 𝐶 = 𝐷) → (𝐴𝑅𝐶 ↔ 𝐵𝑅𝐷))
4	1, 2, 3	syl2an 607	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐴𝑅𝐶 ↔ 𝐵𝑅𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1569   class class class wbr 5108

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-sb 2096  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-br 5109

This theorem is used by:  breqan12rd  5125  soisores  7325  isoid  7327  isores3  7333  isoini2  7337  ofrfvalg  7684  fnwelem  8125  fnse  8127  infsupprpr  9464  wemaplem1  9506  r0weon  10003  sornom  10267  enqbreq2  10911  nqereu  10920  ordpinq  10934  lterpq  10961  ltresr2  11132  axpre-ltadd  11158  leltadd  11704  lemul1a  12075  negiso  12201  xltneg  13249  lt2sq  14176  le2sq  14177  expmordi  14210  sqrtle  15318  prdsleval  17536  efgcpbllema  19830  iducn  24450  icopnfhmeo  25113  iccpnfhmeo  25115  xrhmeo  25116  reefiso  26622  sinord  26710  logltb  26776  logccv  26839  atanord  27103  birthdaylem3  27129  lgsquadlem3  27557  ltnegs  28249  oniso  28475  mddmd  32664  xrge0iifiso  34334  revwlkb  35626  erdszelem4  35694  erdszelem8  35698  satfv0  35858  cgrextend  36508  matunitlindf  38297  idlaut  40898  monotuz  43696  monotoddzzfi  43697  wepwsolem  43797  fnwe2val  43804  aomclem8  43816  hashomiso  45762  isgrlim  48775  rrx2plord  49528  rrx2plordisom  49531