MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgred2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgred2 19786
Description: Two extension sequences have related endpoints iff they have the same base. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
efgred.s 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
Assertion
Ref Expression
efgred2 ((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) → ((𝑆𝐴) (𝑆𝐵) ↔ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑚,𝑥   𝑚,𝑀   𝑥,𝑛,𝑀,𝑡,𝑣,𝑤   𝑘,𝑚,𝑡,𝑥,𝑇   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐼,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑚,𝑡
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem efgred2
Dummy variables 𝑑 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . . . . . 8 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
2 efgval.r . . . . . . . 8 = ( ~FG𝐼)
3 efgval2.m . . . . . . . 8 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
4 efgval2.t . . . . . . . 8 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
5 efgred.d . . . . . . . 8 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
6 efgred.s . . . . . . . 8 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
71, 2, 3, 4, 5, 6efgsfo 19772 . . . . . . 7 𝑆:dom 𝑆onto𝑊
8 fof 6821 . . . . . . 7 (𝑆:dom 𝑆onto𝑊𝑆:dom 𝑆𝑊)
97, 8ax-mp 5 . . . . . 6 𝑆:dom 𝑆𝑊
109ffvelcdmi 7103 . . . . 5 (𝐵 ∈ dom 𝑆 → (𝑆𝐵) ∈ 𝑊)
1110ad2antlr 727 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) ∧ (𝑆𝐴) (𝑆𝐵)) → (𝑆𝐵) ∈ 𝑊)
121, 2, 3, 4, 5, 6efgredeu 19785 . . . 4 ((𝑆𝐵) ∈ 𝑊 → ∃!𝑑𝐷 𝑑 (𝑆𝐵))
13 reurmo 3381 . . . 4 (∃!𝑑𝐷 𝑑 (𝑆𝐵) → ∃*𝑑𝐷 𝑑 (𝑆𝐵))
1411, 12, 133syl 18 . . 3 (((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) ∧ (𝑆𝐴) (𝑆𝐵)) → ∃*𝑑𝐷 𝑑 (𝑆𝐵))
151, 2, 3, 4, 5, 6efgsdm 19763 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐴‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐴))(𝐴𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(𝑖 − 1)))))
1615simp2bi 1145 . . . 4 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (𝐴‘0) ∈ 𝐷)
1716ad2antrr 726 . . 3 (((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) ∧ (𝑆𝐴) (𝑆𝐵)) → (𝐴‘0) ∈ 𝐷)
181, 2efger 19751 . . . . 5 Er 𝑊
1918a1i 11 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) ∧ (𝑆𝐴) (𝑆𝐵)) → Er 𝑊)
201, 2, 3, 4, 5, 6efgsrel 19767 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (𝐴‘0) (𝑆𝐴))
2120ad2antrr 726 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) ∧ (𝑆𝐴) (𝑆𝐵)) → (𝐴‘0) (𝑆𝐴))
22 simpr 484 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) ∧ (𝑆𝐴) (𝑆𝐵)) → (𝑆𝐴) (𝑆𝐵))
2319, 21, 22ertrd 8760 . . 3 (((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) ∧ (𝑆𝐴) (𝑆𝐵)) → (𝐴‘0) (𝑆𝐵))
241, 2, 3, 4, 5, 6efgsdm 19763 . . . . 5 (𝐵 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐵‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐵))(𝐵𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(𝑖 − 1)))))
2524simp2bi 1145 . . . 4 (𝐵 ∈ dom 𝑆 → (𝐵‘0) ∈ 𝐷)
2625ad2antlr 727 . . 3 (((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) ∧ (𝑆𝐴) (𝑆𝐵)) → (𝐵‘0) ∈ 𝐷)
271, 2, 3, 4, 5, 6efgsrel 19767 . . . 4 (𝐵 ∈ dom 𝑆 → (𝐵‘0) (𝑆𝐵))
2827ad2antlr 727 . . 3 (((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) ∧ (𝑆𝐴) (𝑆𝐵)) → (𝐵‘0) (𝑆𝐵))
29 breq1 5151 . . . 4 (𝑑 = (𝐴‘0) → (𝑑 (𝑆𝐵) ↔ (𝐴‘0) (𝑆𝐵)))
30 breq1 5151 . . . 4 (𝑑 = (𝐵‘0) → (𝑑 (𝑆𝐵) ↔ (𝐵‘0) (𝑆𝐵)))
3129, 30rmoi 3900 . . 3 ((∃*𝑑𝐷 𝑑 (𝑆𝐵) ∧ ((𝐴‘0) ∈ 𝐷 ∧ (𝐴‘0) (𝑆𝐵)) ∧ ((𝐵‘0) ∈ 𝐷 ∧ (𝐵‘0) (𝑆𝐵))) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
3214, 17, 23, 26, 28, 31syl122anc 1378 . 2 (((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) ∧ (𝑆𝐴) (𝑆𝐵)) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
3318a1i 11 . . 3 (((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → Er 𝑊)
3420ad2antrr 726 . . 3 (((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (𝐴‘0) (𝑆𝐴))
35 simpr 484 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
3627ad2antlr 727 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (𝐵‘0) (𝑆𝐵))
3735, 36eqbrtrd 5170 . . 3 (((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (𝐴‘0) (𝑆𝐵))
3833, 34, 37ertr3d 8762 . 2 (((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (𝑆𝐴) (𝑆𝐵))
3932, 38impbida 801 1 ((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) → ((𝑆𝐴) (𝑆𝐵) ↔ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  ∃!wreu 3376  ∃*wrmo 3377  {crab 3433  cdif 3960  c0 4339  {csn 4631  cop 4637  cotp 4639   ciun 4996   class class class wbr 5148  cmpt 5231   I cid 5582   × cxp 5687  dom cdm 5689  ran crn 5690  wf 6559  ontowfo 6561  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  1oc1o 8498  2oc2o 8499   Er wer 8741  0cc0 11153  1c1 11154  cmin 11490  ...cfz 13544  ..^cfzo 13691  chash 14366  Word cword 14549   splice csplice 14784  ⟨“cs2 14877   ~FG cefg 19739
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-ec 8746  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-s1 14631  df-substr 14676  df-pfx 14706  df-splice 14785  df-s2 14884  df-efg 19742
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator