MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgred2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgred2 18874
Description: Two extension sequences have related endpoints iff they have the same base. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
efgred.s 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
Assertion
Ref Expression
efgred2 ((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) → ((𝑆𝐴) (𝑆𝐵) ↔ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑚,𝑥   𝑚,𝑀   𝑥,𝑛,𝑀,𝑡,𝑣,𝑤   𝑘,𝑚,𝑡,𝑥,𝑇   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐼,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑚,𝑡
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem efgred2
Dummy variables 𝑑 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . . . . . 8 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
2 efgval.r . . . . . . . 8 = ( ~FG𝐼)
3 efgval2.m . . . . . . . 8 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
4 efgval2.t . . . . . . . 8 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
5 efgred.d . . . . . . . 8 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
6 efgred.s . . . . . . . 8 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
71, 2, 3, 4, 5, 6efgsfo 18860 . . . . . . 7 𝑆:dom 𝑆onto𝑊
8 fof 6569 . . . . . . 7 (𝑆:dom 𝑆onto𝑊𝑆:dom 𝑆𝑊)
97, 8ax-mp 5 . . . . . 6 𝑆:dom 𝑆𝑊
109ffvelrni 6831 . . . . 5 (𝐵 ∈ dom 𝑆 → (𝑆𝐵) ∈ 𝑊)
1110ad2antlr 726 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) ∧ (𝑆𝐴) (𝑆𝐵)) → (𝑆𝐵) ∈ 𝑊)
121, 2, 3, 4, 5, 6efgredeu 18873 . . . 4 ((𝑆𝐵) ∈ 𝑊 → ∃!𝑑𝐷 𝑑 (𝑆𝐵))
13 reurmo 3381 . . . 4 (∃!𝑑𝐷 𝑑 (𝑆𝐵) → ∃*𝑑𝐷 𝑑 (𝑆𝐵))
1411, 12, 133syl 18 . . 3 (((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) ∧ (𝑆𝐴) (𝑆𝐵)) → ∃*𝑑𝐷 𝑑 (𝑆𝐵))
151, 2, 3, 4, 5, 6efgsdm 18851 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐴‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐴))(𝐴𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(𝑖 − 1)))))
1615simp2bi 1143 . . . 4 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (𝐴‘0) ∈ 𝐷)
1716ad2antrr 725 . . 3 (((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) ∧ (𝑆𝐴) (𝑆𝐵)) → (𝐴‘0) ∈ 𝐷)
181, 2efger 18839 . . . . 5 Er 𝑊
1918a1i 11 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) ∧ (𝑆𝐴) (𝑆𝐵)) → Er 𝑊)
201, 2, 3, 4, 5, 6efgsrel 18855 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (𝐴‘0) (𝑆𝐴))
2120ad2antrr 725 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) ∧ (𝑆𝐴) (𝑆𝐵)) → (𝐴‘0) (𝑆𝐴))
22 simpr 488 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) ∧ (𝑆𝐴) (𝑆𝐵)) → (𝑆𝐴) (𝑆𝐵))
2319, 21, 22ertrd 8292 . . 3 (((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) ∧ (𝑆𝐴) (𝑆𝐵)) → (𝐴‘0) (𝑆𝐵))
241, 2, 3, 4, 5, 6efgsdm 18851 . . . . 5 (𝐵 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐵‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐵))(𝐵𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(𝑖 − 1)))))
2524simp2bi 1143 . . . 4 (𝐵 ∈ dom 𝑆 → (𝐵‘0) ∈ 𝐷)
2625ad2antlr 726 . . 3 (((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) ∧ (𝑆𝐴) (𝑆𝐵)) → (𝐵‘0) ∈ 𝐷)
271, 2, 3, 4, 5, 6efgsrel 18855 . . . 4 (𝐵 ∈ dom 𝑆 → (𝐵‘0) (𝑆𝐵))
2827ad2antlr 726 . . 3 (((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) ∧ (𝑆𝐴) (𝑆𝐵)) → (𝐵‘0) (𝑆𝐵))
29 breq1 5036 . . . 4 (𝑑 = (𝐴‘0) → (𝑑 (𝑆𝐵) ↔ (𝐴‘0) (𝑆𝐵)))
30 breq1 5036 . . . 4 (𝑑 = (𝐵‘0) → (𝑑 (𝑆𝐵) ↔ (𝐵‘0) (𝑆𝐵)))
3129, 30rmoi 3823 . . 3 ((∃*𝑑𝐷 𝑑 (𝑆𝐵) ∧ ((𝐴‘0) ∈ 𝐷 ∧ (𝐴‘0) (𝑆𝐵)) ∧ ((𝐵‘0) ∈ 𝐷 ∧ (𝐵‘0) (𝑆𝐵))) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
3214, 17, 23, 26, 28, 31syl122anc 1376 . 2 (((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) ∧ (𝑆𝐴) (𝑆𝐵)) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
3318a1i 11 . . 3 (((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → Er 𝑊)
3420ad2antrr 725 . . 3 (((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (𝐴‘0) (𝑆𝐴))
35 simpr 488 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
3627ad2antlr 726 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (𝐵‘0) (𝑆𝐵))
3735, 36eqbrtrd 5055 . . 3 (((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (𝐴‘0) (𝑆𝐵))
3833, 34, 37ertr3d 8294 . 2 (((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (𝑆𝐴) (𝑆𝐵))
3932, 38impbida 800 1 ((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) → ((𝑆𝐴) (𝑆𝐵) ↔ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  wral 3109  ∃!wreu 3111  ∃*wrmo 3112  {crab 3113  cdif 3881  c0 4246  {csn 4528  cop 4534  cotp 4536   ciun 4884   class class class wbr 5033  cmpt 5113   I cid 5427   × cxp 5521  dom cdm 5523  ran crn 5524  wf 6324  ontowfo 6326  cfv 6328  (class class class)co 7139  cmpo 7141  1oc1o 8082  2oc2o 8083   Er wer 8273  0cc0 10530  1c1 10531  cmin 10863  ...cfz 12889  ..^cfzo 13032  chash 13690  Word cword 13861   splice csplice 14106  ⟨“cs2 14198   ~FG cefg 18827
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-ot 4537  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-ec 8278  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-hash 13691  df-word 13862  df-concat 13918  df-s1 13945  df-substr 13998  df-pfx 14028  df-splice 14107  df-s2 14205  df-efg 18830
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator