Theorem efgred2 19795

Description: Two extension sequences have related endpoints iff they have the same base. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
efgval2.m	⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
efgval2.t	⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d	⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
efgred.s	⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))

Assertion

Ref	Expression
efgred2	⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑆) → ((𝑆‘𝐴) ∼ (𝑆‘𝐵) ↔ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑚,𝑥   𝑚,𝑀   𝑥,𝑛,𝑀,𝑡,𝑣,𝑤   𝑘,𝑚,𝑡,𝑥,𝑇   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ∼ ,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐼,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑚,𝑡

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   ∼ (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem efgred2

Dummy variables 𝑑 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efgval.w	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
2		efgval.r	. . . . . . . 8 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
3		efgval2.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
4		efgval2.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
5		efgred.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
6		efgred.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	efgsfo 19781	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆:dom 𝑆–onto→𝑊
8		fof 6780	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆:dom 𝑆–onto→𝑊 → 𝑆:dom 𝑆⟶𝑊)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝑆:dom 𝑆⟶𝑊
10	9	ffvelcdmi 7066	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑆 → (𝑆‘𝐵) ∈ 𝑊)
11	10	ad2antlr 737	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑆) ∧ (𝑆‘𝐴) ∼ (𝑆‘𝐵)) → (𝑆‘𝐵) ∈ 𝑊)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6	efgredeu 19794	. . . 4 ⊢ ((𝑆‘𝐵) ∈ 𝑊 → ∃!𝑑 ∈ 𝐷 𝑑 ∼ (𝑆‘𝐵))
13		reurmo 3372	. . . 4 ⊢ (∃!𝑑 ∈ 𝐷 𝑑 ∼ (𝑆‘𝐵) → ∃*𝑑 ∈ 𝐷 𝑑 ∼ (𝑆‘𝐵))
14	11, 12, 13	3syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑆) ∧ (𝑆‘𝐴) ∼ (𝑆‘𝐵)) → ∃*𝑑 ∈ 𝐷 𝑑 ∼ (𝑆‘𝐵))
15	1, 2, 3, 4, 5, 6	efgsdm 19772	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐴‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐴))(𝐴‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(𝑖 − 1)))))
16	15	simp2bi 1160	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (𝐴‘0) ∈ 𝐷)
17	16	ad2antrr 736	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑆) ∧ (𝑆‘𝐴) ∼ (𝑆‘𝐵)) → (𝐴‘0) ∈ 𝐷)
18	1, 2	efger 19760	. . . . 5 ⊢ ∼ Er 𝑊
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑆) ∧ (𝑆‘𝐴) ∼ (𝑆‘𝐵)) → ∼ Er 𝑊)
20	1, 2, 3, 4, 5, 6	efgsrel 19776	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (𝐴‘0) ∼ (𝑆‘𝐴))
21	20	ad2antrr 736	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑆) ∧ (𝑆‘𝐴) ∼ (𝑆‘𝐵)) → (𝐴‘0) ∼ (𝑆‘𝐴))
22		simpr 488	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑆) ∧ (𝑆‘𝐴) ∼ (𝑆‘𝐵)) → (𝑆‘𝐴) ∼ (𝑆‘𝐵))
23	19, 21, 22	ertrd 8697	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑆) ∧ (𝑆‘𝐴) ∼ (𝑆‘𝐵)) → (𝐴‘0) ∼ (𝑆‘𝐵))
24	1, 2, 3, 4, 5, 6	efgsdm 19772	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐵‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐵))(𝐵‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(𝑖 − 1)))))
25	24	simp2bi 1160	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑆 → (𝐵‘0) ∈ 𝐷)
26	25	ad2antlr 737	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑆) ∧ (𝑆‘𝐴) ∼ (𝑆‘𝐵)) → (𝐵‘0) ∈ 𝐷)
27	1, 2, 3, 4, 5, 6	efgsrel 19776	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑆 → (𝐵‘0) ∼ (𝑆‘𝐵))
28	27	ad2antlr 737	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑆) ∧ (𝑆‘𝐴) ∼ (𝑆‘𝐵)) → (𝐵‘0) ∼ (𝑆‘𝐵))
29		breq1 5105	. . . 4 ⊢ (𝑑 = (𝐴‘0) → (𝑑 ∼ (𝑆‘𝐵) ↔ (𝐴‘0) ∼ (𝑆‘𝐵)))
30		breq1 5105	. . . 4 ⊢ (𝑑 = (𝐵‘0) → (𝑑 ∼ (𝑆‘𝐵) ↔ (𝐵‘0) ∼ (𝑆‘𝐵)))
31	29, 30	rmoi 3846	. . 3 ⊢ ((∃*𝑑 ∈ 𝐷 𝑑 ∼ (𝑆‘𝐵) ∧ ((𝐴‘0) ∈ 𝐷 ∧ (𝐴‘0) ∼ (𝑆‘𝐵)) ∧ ((𝐵‘0) ∈ 𝐷 ∧ (𝐵‘0) ∼ (𝑆‘𝐵))) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
32	14, 17, 23, 26, 28, 31	syl122anc 1400	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑆) ∧ (𝑆‘𝐴) ∼ (𝑆‘𝐵)) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
33	18	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑆) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → ∼ Er 𝑊)
34	20	ad2antrr 736	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑆) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (𝐴‘0) ∼ (𝑆‘𝐴))
35		simpr 488	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑆) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
36	27	ad2antlr 737	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑆) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (𝐵‘0) ∼ (𝑆‘𝐵))
37	35, 36	eqbrtrd 5124	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑆) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (𝐴‘0) ∼ (𝑆‘𝐵))
38	33, 34, 37	ertr3d 8699	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑆) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (𝑆‘𝐴) ∼ (𝑆‘𝐵))
39	32, 38	impbida 810	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑆) → ((𝑆‘𝐴) ∼ (𝑆‘𝐵) ↔ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  ∀wral 3078  ∃!wreu 3367  ∃*wrmo 3368  {crab 3416   ∖ cdif 3903  ∅c0 4287  {csn 4584  ⟨cop 4590  ⟨cotp 4592  ∪ ciun 4951   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183   I cid 5543   × cxp 5647  dom cdm 5649  ran crn 5650  ⟶wf 6519  –onto→wfo 6521  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398   ∈ cmpo 7400  1_oc1o 8432  2_oc2o 8433   Er wer 8677  0cc0 11075  1c1 11076   − cmin 11416  ...cfz 13514  ..^cfzo 13661  ♯chash 14345  Word cword 14528   splice csplice 14764  ⟨“cs2 14856   ~_FG cefg 19748

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-2o 8440  df-er 8680  df-ec 8682  df-map 8812  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-card 9899  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-2 12282  df-n0 12484  df-xnn0 12557  df-z 12571  df-uz 12842  df-rp 12996  df-fz 13515  df-fzo 13662  df-hash 14346  df-word 14529  df-concat 14586  df-s1 14612  df-substr 14657  df-pfx 14687  df-splice 14765  df-s2 14863  df-efg 19751

This theorem is referenced by: (None)