MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgred2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgred2 18651
Description: Two extension sequences have related endpoints iff they have the same base. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
efgred.s 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
Assertion
Ref Expression
efgred2 ((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) → ((𝑆𝐴) (𝑆𝐵) ↔ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑚,𝑥   𝑚,𝑀   𝑥,𝑛,𝑀,𝑡,𝑣,𝑤   𝑘,𝑚,𝑡,𝑥,𝑇   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐼,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑚,𝑡
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem efgred2
Dummy variables 𝑑 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . . . . . 8 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
2 efgval.r . . . . . . . 8 = ( ~FG𝐼)
3 efgval2.m . . . . . . . 8 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
4 efgval2.t . . . . . . . 8 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
5 efgred.d . . . . . . . 8 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
6 efgred.s . . . . . . . 8 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
71, 2, 3, 4, 5, 6efgsfo 18636 . . . . . . 7 𝑆:dom 𝑆onto𝑊
8 fof 6416 . . . . . . 7 (𝑆:dom 𝑆onto𝑊𝑆:dom 𝑆𝑊)
97, 8ax-mp 5 . . . . . 6 𝑆:dom 𝑆𝑊
109ffvelrni 6673 . . . . 5 (𝐵 ∈ dom 𝑆 → (𝑆𝐵) ∈ 𝑊)
1110ad2antlr 715 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) ∧ (𝑆𝐴) (𝑆𝐵)) → (𝑆𝐵) ∈ 𝑊)
121, 2, 3, 4, 5, 6efgredeu 18650 . . . 4 ((𝑆𝐵) ∈ 𝑊 → ∃!𝑑𝐷 𝑑 (𝑆𝐵))
13 reurmo 3366 . . . 4 (∃!𝑑𝐷 𝑑 (𝑆𝐵) → ∃*𝑑𝐷 𝑑 (𝑆𝐵))
1411, 12, 133syl 18 . . 3 (((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) ∧ (𝑆𝐴) (𝑆𝐵)) → ∃*𝑑𝐷 𝑑 (𝑆𝐵))
151, 2, 3, 4, 5, 6efgsdm 18626 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐴‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐴))(𝐴𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(𝑖 − 1)))))
1615simp2bi 1127 . . . 4 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (𝐴‘0) ∈ 𝐷)
1716ad2antrr 714 . . 3 (((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) ∧ (𝑆𝐴) (𝑆𝐵)) → (𝐴‘0) ∈ 𝐷)
181, 2efger 18614 . . . . 5 Er 𝑊
1918a1i 11 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) ∧ (𝑆𝐴) (𝑆𝐵)) → Er 𝑊)
201, 2, 3, 4, 5, 6efgsrel 18630 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (𝐴‘0) (𝑆𝐴))
2120ad2antrr 714 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) ∧ (𝑆𝐴) (𝑆𝐵)) → (𝐴‘0) (𝑆𝐴))
22 simpr 477 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) ∧ (𝑆𝐴) (𝑆𝐵)) → (𝑆𝐴) (𝑆𝐵))
2319, 21, 22ertrd 8103 . . 3 (((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) ∧ (𝑆𝐴) (𝑆𝐵)) → (𝐴‘0) (𝑆𝐵))
241, 2, 3, 4, 5, 6efgsdm 18626 . . . . 5 (𝐵 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐵‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐵))(𝐵𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(𝑖 − 1)))))
2524simp2bi 1127 . . . 4 (𝐵 ∈ dom 𝑆 → (𝐵‘0) ∈ 𝐷)
2625ad2antlr 715 . . 3 (((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) ∧ (𝑆𝐴) (𝑆𝐵)) → (𝐵‘0) ∈ 𝐷)
271, 2, 3, 4, 5, 6efgsrel 18630 . . . 4 (𝐵 ∈ dom 𝑆 → (𝐵‘0) (𝑆𝐵))
2827ad2antlr 715 . . 3 (((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) ∧ (𝑆𝐴) (𝑆𝐵)) → (𝐵‘0) (𝑆𝐵))
29 breq1 4928 . . . 4 (𝑑 = (𝐴‘0) → (𝑑 (𝑆𝐵) ↔ (𝐴‘0) (𝑆𝐵)))
30 breq1 4928 . . . 4 (𝑑 = (𝐵‘0) → (𝑑 (𝑆𝐵) ↔ (𝐵‘0) (𝑆𝐵)))
3129, 30rmoi 3771 . . 3 ((∃*𝑑𝐷 𝑑 (𝑆𝐵) ∧ ((𝐴‘0) ∈ 𝐷 ∧ (𝐴‘0) (𝑆𝐵)) ∧ ((𝐵‘0) ∈ 𝐷 ∧ (𝐵‘0) (𝑆𝐵))) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
3214, 17, 23, 26, 28, 31syl122anc 1360 . 2 (((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) ∧ (𝑆𝐴) (𝑆𝐵)) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
3318a1i 11 . . 3 (((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → Er 𝑊)
3420ad2antrr 714 . . 3 (((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (𝐴‘0) (𝑆𝐴))
35 simpr 477 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
3627ad2antlr 715 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (𝐵‘0) (𝑆𝐵))
3735, 36eqbrtrd 4947 . . 3 (((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (𝐴‘0) (𝑆𝐵))
3833, 34, 37ertr3d 8105 . 2 (((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (𝑆𝐴) (𝑆𝐵))
3932, 38impbida 789 1 ((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) → ((𝑆𝐴) (𝑆𝐵) ↔ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1508  wcel 2051  wral 3081  ∃!wreu 3083  ∃*wrmo 3084  {crab 3085  cdif 3819  c0 4172  {csn 4435  cop 4441  cotp 4443   ciun 4788   class class class wbr 4925  cmpt 5004   I cid 5307   × cxp 5401  dom cdm 5403  ran crn 5404  wf 6181  ontowfo 6183  cfv 6185  (class class class)co 6974  cmpo 6976  1oc1o 7896  2oc2o 7897   Er wer 8084  0cc0 10333  1c1 10334  cmin 10668  ...cfz 12706  ..^cfzo 12847  chash 13503  Word cword 13670   splice csplice 13956  ⟨“cs2 14063   ~FG cefg 18602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-ot 4444  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-iin 4791  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-2o 7904  df-oadd 7907  df-er 8087  df-ec 8089  df-map 8206  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-card 9160  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-nn 11438  df-2 11501  df-n0 11706  df-z 11792  df-uz 12057  df-rp 12203  df-fz 12707  df-fzo 12848  df-hash 13504  df-word 13671  df-concat 13732  df-s1 13757  df-substr 13802  df-pfx 13851  df-splice 13958  df-s2 14070  df-efg 18605
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator