MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgred2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem efgred2 19663
Description: Two extension sequences have related endpoints iff they have the same base. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
efgval.r ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣 ∈ π‘Š ↦ (𝑛 ∈ (0...(β™―β€˜π‘£)), 𝑀 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑣 splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œπ‘€(π‘€β€˜π‘€)β€βŸ©βŸ©)))
efgred.d 𝐷 = (π‘Š βˆ– βˆͺ π‘₯ ∈ π‘Š ran (π‘‡β€˜π‘₯))
efgred.s 𝑆 = (π‘š ∈ {𝑑 ∈ (Word π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∣ ((π‘‘β€˜0) ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^(β™―β€˜π‘‘))(π‘‘β€˜π‘˜) ∈ ran (π‘‡β€˜(π‘‘β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))))} ↦ (π‘šβ€˜((β™―β€˜π‘š) βˆ’ 1)))
Assertion
Ref Expression
efgred2 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ dom 𝑆) β†’ ((π‘†β€˜π΄) ∼ (π‘†β€˜π΅) ↔ (π΄β€˜0) = (π΅β€˜0)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑑,𝑛,𝑣,𝑀,𝑦,𝑧,π‘š,π‘₯   π‘š,𝑀   π‘₯,𝑛,𝑀,𝑑,𝑣,𝑀   π‘˜,π‘š,𝑑,π‘₯,𝑇   π‘˜,𝑛,𝑣,𝑀,𝑦,𝑧,π‘Š,π‘š,𝑑,π‘₯   ∼ ,π‘š,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘š,𝐼,𝑛,𝑑,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐷,π‘š,𝑑
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑑,π‘˜,π‘š,𝑛)   𝐡(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑑,π‘˜,π‘š,𝑛)   𝐷(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,π‘˜,𝑛)   ∼ (𝑀,𝑣,π‘˜,𝑛)   𝑆(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑑,π‘˜,π‘š,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑛)   𝐼(π‘˜)   𝑀(𝑦,𝑧,π‘˜)
Proof of Theorem efgred2
Dummy variables 𝑑 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . . . . . 8 π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
2 efgval.r . . . . . . . 8 ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
3 efgval2.m . . . . . . . 8 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)⟩)
4 efgval2.t . . . . . . . 8 𝑇 = (𝑣 ∈ π‘Š ↦ (𝑛 ∈ (0...(β™―β€˜π‘£)), 𝑀 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑣 splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œπ‘€(π‘€β€˜π‘€)β€βŸ©βŸ©)))
5 efgred.d . . . . . . . 8 𝐷 = (π‘Š βˆ– βˆͺ π‘₯ ∈ π‘Š ran (π‘‡β€˜π‘₯))
6 efgred.s . . . . . . . 8 𝑆 = (π‘š ∈ {𝑑 ∈ (Word π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∣ ((π‘‘β€˜0) ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^(β™―β€˜π‘‘))(π‘‘β€˜π‘˜) ∈ ran (π‘‡β€˜(π‘‘β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))))} ↦ (π‘šβ€˜((β™―β€˜π‘š) βˆ’ 1)))
71, 2, 3, 4, 5, 6efgsfo 19649 . . . . . . 7 𝑆:dom 𝑆–ontoβ†’π‘Š
8 fof 6805 . . . . . . 7 (𝑆:dom 𝑆–ontoβ†’π‘Š β†’ 𝑆:dom π‘†βŸΆπ‘Š)
97, 8ax-mp 5 . . . . . 6 𝑆:dom π‘†βŸΆπ‘Š
109ffvelcdmi 7085 . . . . 5 (𝐡 ∈ dom 𝑆 β†’ (π‘†β€˜π΅) ∈ π‘Š)
1110ad2antlr 724 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ dom 𝑆) ∧ (π‘†β€˜π΄) ∼ (π‘†β€˜π΅)) β†’ (π‘†β€˜π΅) ∈ π‘Š)
121, 2, 3, 4, 5, 6efgredeu 19662 . . . 4 ((π‘†β€˜π΅) ∈ π‘Š β†’ βˆƒ!𝑑 ∈ 𝐷 𝑑 ∼ (π‘†β€˜π΅))
13 reurmo 3378 . . . 4 (βˆƒ!𝑑 ∈ 𝐷 𝑑 ∼ (π‘†β€˜π΅) β†’ βˆƒ*𝑑 ∈ 𝐷 𝑑 ∼ (π‘†β€˜π΅))
1411, 12, 133syl 18 . . 3 (((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ dom 𝑆) ∧ (π‘†β€˜π΄) ∼ (π‘†β€˜π΅)) β†’ βˆƒ*𝑑 ∈ 𝐷 𝑑 ∼ (π‘†β€˜π΅))
151, 2, 3, 4, 5, 6efgsdm 19640 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ (Word π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∧ (π΄β€˜0) ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘– ∈ (1..^(β™―β€˜π΄))(π΄β€˜π‘–) ∈ ran (π‘‡β€˜(π΄β€˜(𝑖 βˆ’ 1)))))
1615simp2bi 1145 . . . 4 (𝐴 ∈ dom 𝑆 β†’ (π΄β€˜0) ∈ 𝐷)
1716ad2antrr 723 . . 3 (((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ dom 𝑆) ∧ (π‘†β€˜π΄) ∼ (π‘†β€˜π΅)) β†’ (π΄β€˜0) ∈ 𝐷)
181, 2efger 19628 . . . . 5 ∼ Er π‘Š
1918a1i 11 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ dom 𝑆) ∧ (π‘†β€˜π΄) ∼ (π‘†β€˜π΅)) β†’ ∼ Er π‘Š)
201, 2, 3, 4, 5, 6efgsrel 19644 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom 𝑆 β†’ (π΄β€˜0) ∼ (π‘†β€˜π΄))
2120ad2antrr 723 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ dom 𝑆) ∧ (π‘†β€˜π΄) ∼ (π‘†β€˜π΅)) β†’ (π΄β€˜0) ∼ (π‘†β€˜π΄))
22 simpr 484 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ dom 𝑆) ∧ (π‘†β€˜π΄) ∼ (π‘†β€˜π΅)) β†’ (π‘†β€˜π΄) ∼ (π‘†β€˜π΅))
2319, 21, 22ertrd 8722 . . 3 (((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ dom 𝑆) ∧ (π‘†β€˜π΄) ∼ (π‘†β€˜π΅)) β†’ (π΄β€˜0) ∼ (π‘†β€˜π΅))
241, 2, 3, 4, 5, 6efgsdm 19640 . . . . 5 (𝐡 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐡 ∈ (Word π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∧ (π΅β€˜0) ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘– ∈ (1..^(β™―β€˜π΅))(π΅β€˜π‘–) ∈ ran (π‘‡β€˜(π΅β€˜(𝑖 βˆ’ 1)))))
2524simp2bi 1145 . . . 4 (𝐡 ∈ dom 𝑆 β†’ (π΅β€˜0) ∈ 𝐷)
2625ad2antlr 724 . . 3 (((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ dom 𝑆) ∧ (π‘†β€˜π΄) ∼ (π‘†β€˜π΅)) β†’ (π΅β€˜0) ∈ 𝐷)
271, 2, 3, 4, 5, 6efgsrel 19644 . . . 4 (𝐡 ∈ dom 𝑆 β†’ (π΅β€˜0) ∼ (π‘†β€˜π΅))
2827ad2antlr 724 . . 3 (((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ dom 𝑆) ∧ (π‘†β€˜π΄) ∼ (π‘†β€˜π΅)) β†’ (π΅β€˜0) ∼ (π‘†β€˜π΅))
29 breq1 5151 . . . 4 (𝑑 = (π΄β€˜0) β†’ (𝑑 ∼ (π‘†β€˜π΅) ↔ (π΄β€˜0) ∼ (π‘†β€˜π΅)))
30 breq1 5151 . . . 4 (𝑑 = (π΅β€˜0) β†’ (𝑑 ∼ (π‘†β€˜π΅) ↔ (π΅β€˜0) ∼ (π‘†β€˜π΅)))
3129, 30rmoi 3885 . . 3 ((βˆƒ*𝑑 ∈ 𝐷 𝑑 ∼ (π‘†β€˜π΅) ∧ ((π΄β€˜0) ∈ 𝐷 ∧ (π΄β€˜0) ∼ (π‘†β€˜π΅)) ∧ ((π΅β€˜0) ∈ 𝐷 ∧ (π΅β€˜0) ∼ (π‘†β€˜π΅))) β†’ (π΄β€˜0) = (π΅β€˜0))
3214, 17, 23, 26, 28, 31syl122anc 1378 . 2 (((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ dom 𝑆) ∧ (π‘†β€˜π΄) ∼ (π‘†β€˜π΅)) β†’ (π΄β€˜0) = (π΅β€˜0))
3318a1i 11 . . 3 (((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ dom 𝑆) ∧ (π΄β€˜0) = (π΅β€˜0)) β†’ ∼ Er π‘Š)
3420ad2antrr 723 . . 3 (((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ dom 𝑆) ∧ (π΄β€˜0) = (π΅β€˜0)) β†’ (π΄β€˜0) ∼ (π‘†β€˜π΄))
35 simpr 484 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ dom 𝑆) ∧ (π΄β€˜0) = (π΅β€˜0)) β†’ (π΄β€˜0) = (π΅β€˜0))
3627ad2antlr 724 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ dom 𝑆) ∧ (π΄β€˜0) = (π΅β€˜0)) β†’ (π΅β€˜0) ∼ (π‘†β€˜π΅))
3735, 36eqbrtrd 5170 . . 3 (((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ dom 𝑆) ∧ (π΄β€˜0) = (π΅β€˜0)) β†’ (π΄β€˜0) ∼ (π‘†β€˜π΅))
3833, 34, 37ertr3d 8724 . 2 (((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ dom 𝑆) ∧ (π΄β€˜0) = (π΅β€˜0)) β†’ (π‘†β€˜π΄) ∼ (π‘†β€˜π΅))
3932, 38impbida 798 1 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ dom 𝑆) β†’ ((π‘†β€˜π΄) ∼ (π‘†β€˜π΅) ↔ (π΄β€˜0) = (π΅β€˜0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  βˆƒ!wreu 3373  βˆƒ*wrmo 3374  {crab 3431   βˆ– cdif 3945  βˆ…c0 4322  {csn 4628  βŸ¨cop 4634  βŸ¨cotp 4636  βˆͺ ciun 4997   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   I cid 5573   Γ— cxp 5674  dom cdm 5676  ran crn 5677  βŸΆwf 6539  β€“ontoβ†’wfo 6541  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  1oc1o 8462  2oc2o 8463   Er wer 8703  0cc0 11113  1c1 11114   βˆ’ cmin 11449  ...cfz 13489  ..^cfzo 13632  β™―chash 14295  Word cword 14469   splice csplice 14704  βŸ¨β€œcs2 14797   ~FG cefg 19616
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8706  df-ec 8708  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-hash 14296  df-word 14470  df-concat 14526  df-s1 14551  df-substr 14596  df-pfx 14626  df-splice 14705  df-s2 14804  df-efg 19619
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator