MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgcpbllemb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgcpbllemb 18433
Description: Lemma for efgrelex 18429. Show that 𝐿 is an equivalence relation containing all direct extensions of a word, so is closed under . (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
efgred.s 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
efgcpbllem.1 𝐿 = {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝑊 ∧ ((𝐴 ++ 𝑖) ++ 𝐵) ((𝐴 ++ 𝑗) ++ 𝐵))}
Assertion
Ref Expression
efgcpbllemb ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → 𝐿)
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐴   𝑦,𝑧   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑖,𝑚,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑀,𝑗   𝑖,𝑘,𝑇,𝑗,𝑚,𝑡,𝑥   𝑦,𝑖,𝑧,𝑊,𝑗   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ,𝑖,𝑗,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑖,𝑗   𝑆,𝑖,𝑗   𝑖,𝐼,𝑗,𝑚,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑖,𝑗,𝑚,𝑡
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem efgcpbllemb
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑓 𝑔 𝑟 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . 3 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
2 efgval.r . . 3 = ( ~FG𝐼)
3 efgval2.m . . 3 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
4 efgval2.t . . 3 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
51, 2, 3, 4efgval2 18402 . 2 = {𝑟 ∣ (𝑟 Er 𝑊 ∧ ∀𝑓𝑊 ran (𝑇𝑓) ⊆ [𝑓]𝑟)}
6 efgcpbllem.1 . . . . . . 7 𝐿 = {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝑊 ∧ ((𝐴 ++ 𝑖) ++ 𝐵) ((𝐴 ++ 𝑗) ++ 𝐵))}
76relopabi 5413 . . . . . 6 Rel 𝐿
87a1i 11 . . . . 5 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → Rel 𝐿)
9 efgred.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
10 efgred.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
111, 2, 3, 4, 9, 10, 6efgcpbllema 18432 . . . . . . . 8 (𝑓𝐿𝑔 ↔ (𝑓𝑊𝑔𝑊 ∧ ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵) ((𝐴 ++ 𝑔) ++ 𝐵)))
1211simp2bi 1176 . . . . . . 7 (𝑓𝐿𝑔𝑔𝑊)
1312adantl 473 . . . . . 6 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝐿𝑔) → 𝑔𝑊)
1411simp1bi 1175 . . . . . . 7 (𝑓𝐿𝑔𝑓𝑊)
1514adantl 473 . . . . . 6 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝐿𝑔) → 𝑓𝑊)
161, 2efger 18396 . . . . . . . 8 Er 𝑊
1716a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝐿𝑔) → Er 𝑊)
1811simp3bi 1177 . . . . . . . 8 (𝑓𝐿𝑔 → ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵) ((𝐴 ++ 𝑔) ++ 𝐵))
1918adantl 473 . . . . . . 7 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝐿𝑔) → ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵) ((𝐴 ++ 𝑔) ++ 𝐵))
2017, 19ersym 7958 . . . . . 6 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝐿𝑔) → ((𝐴 ++ 𝑔) ++ 𝐵) ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵))
211, 2, 3, 4, 9, 10, 6efgcpbllema 18432 . . . . . 6 (𝑔𝐿𝑓 ↔ (𝑔𝑊𝑓𝑊 ∧ ((𝐴 ++ 𝑔) ++ 𝐵) ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵)))
2213, 15, 20, 21syl3anbrc 1443 . . . . 5 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝐿𝑔) → 𝑔𝐿𝑓)
2314ad2antrl 719 . . . . . 6 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ (𝑓𝐿𝑔𝑔𝐿)) → 𝑓𝑊)
241, 2, 3, 4, 9, 10, 6efgcpbllema 18432 . . . . . . . 8 (𝑔𝐿 ↔ (𝑔𝑊𝑊 ∧ ((𝐴 ++ 𝑔) ++ 𝐵) ((𝐴 ++ ) ++ 𝐵)))
2524simp2bi 1176 . . . . . . 7 (𝑔𝐿𝑊)
2625ad2antll 720 . . . . . 6 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ (𝑓𝐿𝑔𝑔𝐿)) → 𝑊)
2716a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ (𝑓𝐿𝑔𝑔𝐿)) → Er 𝑊)
2818ad2antrl 719 . . . . . . 7 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ (𝑓𝐿𝑔𝑔𝐿)) → ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵) ((𝐴 ++ 𝑔) ++ 𝐵))
2924simp3bi 1177 . . . . . . . 8 (𝑔𝐿 → ((𝐴 ++ 𝑔) ++ 𝐵) ((𝐴 ++ ) ++ 𝐵))
3029ad2antll 720 . . . . . . 7 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ (𝑓𝐿𝑔𝑔𝐿)) → ((𝐴 ++ 𝑔) ++ 𝐵) ((𝐴 ++ ) ++ 𝐵))
3127, 28, 30ertrd 7962 . . . . . 6 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ (𝑓𝐿𝑔𝑔𝐿)) → ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵) ((𝐴 ++ ) ++ 𝐵))
321, 2, 3, 4, 9, 10, 6efgcpbllema 18432 . . . . . 6 (𝑓𝐿 ↔ (𝑓𝑊𝑊 ∧ ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵) ((𝐴 ++ ) ++ 𝐵)))
3323, 26, 31, 32syl3anbrc 1443 . . . . 5 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ (𝑓𝐿𝑔𝑔𝐿)) → 𝑓𝐿)
3416a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) → Er 𝑊)
35 fviss 6444 . . . . . . . . . . . . . 14 ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) ⊆ Word (𝐼 × 2𝑜)
361, 35eqsstri 3794 . . . . . . . . . . . . 13 𝑊 ⊆ Word (𝐼 × 2𝑜)
37 simpll 783 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) → 𝐴𝑊)
3836, 37sseldi 3758 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) → 𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
39 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) → 𝑓𝑊)
4036, 39sseldi 3758 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) → 𝑓 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
41 ccatcl 13544 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) → (𝐴 ++ 𝑓) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
4238, 40, 41syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) → (𝐴 ++ 𝑓) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
43 simplr 785 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) → 𝐵𝑊)
4436, 43sseldi 3758 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) → 𝐵 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
45 ccatcl 13544 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ++ 𝑓) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝐵 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) → ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
4642, 44, 45syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) → ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
471efgrcl 18393 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝑊 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2𝑜)))
4847simprd 489 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑊𝑊 = Word (𝐼 × 2𝑜))
4948ad2antrr 717 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) → 𝑊 = Word (𝐼 × 2𝑜))
5046, 49eleqtrrd 2846 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) → ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵) ∈ 𝑊)
5134, 50erref 7966 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) → ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵) ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵))
5251ex 401 . . . . . . 7 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → (𝑓𝑊 → ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵) ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵)))
5352pm4.71d 557 . . . . . 6 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → (𝑓𝑊 ↔ (𝑓𝑊 ∧ ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵) ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵))))
541, 2, 3, 4, 9, 10, 6efgcpbllema 18432 . . . . . . 7 (𝑓𝐿𝑓 ↔ (𝑓𝑊𝑓𝑊 ∧ ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵) ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵)))
55 df-3an 1109 . . . . . . 7 ((𝑓𝑊𝑓𝑊 ∧ ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵) ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵)) ↔ ((𝑓𝑊𝑓𝑊) ∧ ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵) ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵)))
56 anidm 560 . . . . . . . 8 ((𝑓𝑊𝑓𝑊) ↔ 𝑓𝑊)
5756anbi1i 617 . . . . . . 7 (((𝑓𝑊𝑓𝑊) ∧ ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵) ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵)) ↔ (𝑓𝑊 ∧ ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵) ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵)))
5854, 55, 573bitri 288 . . . . . 6 (𝑓𝐿𝑓 ↔ (𝑓𝑊 ∧ ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵) ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵)))
5953, 58syl6bbr 280 . . . . 5 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → (𝑓𝑊𝑓𝐿𝑓))
608, 22, 33, 59iserd 7972 . . . 4 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → 𝐿 Er 𝑊)
611, 2, 3, 4efgtf 18400 . . . . . . . . . 10 (𝑓𝑊 → ((𝑇𝑓) = (𝑎 ∈ (0...(♯‘𝑓)), 𝑏 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑓 splice ⟨𝑎, 𝑎, ⟨“𝑏(𝑀𝑏)”⟩⟩)) ∧ (𝑇𝑓):((0...(♯‘𝑓)) × (𝐼 × 2𝑜))⟶𝑊))
6261simprd 489 . . . . . . . . 9 (𝑓𝑊 → (𝑇𝑓):((0...(♯‘𝑓)) × (𝐼 × 2𝑜))⟶𝑊)
6362adantl 473 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) → (𝑇𝑓):((0...(♯‘𝑓)) × (𝐼 × 2𝑜))⟶𝑊)
64 ffn 6222 . . . . . . . 8 ((𝑇𝑓):((0...(♯‘𝑓)) × (𝐼 × 2𝑜))⟶𝑊 → (𝑇𝑓) Fn ((0...(♯‘𝑓)) × (𝐼 × 2𝑜)))
65 ovelrn 7007 . . . . . . . 8 ((𝑇𝑓) Fn ((0...(♯‘𝑓)) × (𝐼 × 2𝑜)) → (𝑎 ∈ ran (𝑇𝑓) ↔ ∃𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓))∃𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜)𝑎 = (𝑐(𝑇𝑓)𝑢)))
6663, 64, 653syl 18 . . . . . . 7 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) → (𝑎 ∈ ran (𝑇𝑓) ↔ ∃𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓))∃𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜)𝑎 = (𝑐(𝑇𝑓)𝑢)))
67 simplr 785 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → 𝑓𝑊)
6862ad2antlr 718 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (𝑇𝑓):((0...(♯‘𝑓)) × (𝐼 × 2𝑜))⟶𝑊)
69 simprl 787 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → 𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)))
70 simprr 789 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))
7168, 69, 70fovrnd 7003 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (𝑐(𝑇𝑓)𝑢) ∈ 𝑊)
7250adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵) ∈ 𝑊)
7337adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → 𝐴𝑊)
7436, 73sseldi 3758 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → 𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
7540adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → 𝑓 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
76 pfxcl 13665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) → (𝑓 prefix 𝑐) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (𝑓 prefix 𝑐) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
78 ccatcl 13544 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ (𝑓 prefix 𝑐) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) → (𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐)) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
7974, 77, 78syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐)) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
803efgmf 18391 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑀:(𝐼 × 2𝑜)⟶(𝐼 × 2𝑜)
8180ffvelrni 6547 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜) → (𝑀𝑢) ∈ (𝐼 × 2𝑜))
8281ad2antll 720 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (𝑀𝑢) ∈ (𝐼 × 2𝑜))
8370, 82s2cld 13901 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
84 ccatcl 13544 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐)) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) → ((𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐)) ++ ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
8579, 83, 84syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → ((𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐)) ++ ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
86 swrdcl 13619 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) → (𝑓 substr ⟨𝑐, (♯‘𝑓)⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
8775, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (𝑓 substr ⟨𝑐, (♯‘𝑓)⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
8844adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → 𝐵 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
89 ccatass 13558 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐)) ++ ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ (𝑓 substr ⟨𝑐, (♯‘𝑓)⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝐵 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) → ((((𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐)) ++ ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩) ++ (𝑓 substr ⟨𝑐, (♯‘𝑓)⟩)) ++ 𝐵) = (((𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐)) ++ ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩) ++ ((𝑓 substr ⟨𝑐, (♯‘𝑓)⟩) ++ 𝐵)))
9085, 87, 88, 89syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → ((((𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐)) ++ ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩) ++ (𝑓 substr ⟨𝑐, (♯‘𝑓)⟩)) ++ 𝐵) = (((𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐)) ++ ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩) ++ ((𝑓 substr ⟨𝑐, (♯‘𝑓)⟩) ++ 𝐵)))
91 ccatcl 13544 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑓 prefix 𝑐) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) → ((𝑓 prefix 𝑐) ++ ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
9277, 83, 91syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → ((𝑓 prefix 𝑐) ++ ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
93 ccatass 13558 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ ((𝑓 prefix 𝑐) ++ ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ (𝑓 substr ⟨𝑐, (♯‘𝑓)⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) → ((𝐴 ++ ((𝑓 prefix 𝑐) ++ ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩)) ++ (𝑓 substr ⟨𝑐, (♯‘𝑓)⟩)) = (𝐴 ++ (((𝑓 prefix 𝑐) ++ ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩) ++ (𝑓 substr ⟨𝑐, (♯‘𝑓)⟩))))
9474, 92, 87, 93syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → ((𝐴 ++ ((𝑓 prefix 𝑐) ++ ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩)) ++ (𝑓 substr ⟨𝑐, (♯‘𝑓)⟩)) = (𝐴 ++ (((𝑓 prefix 𝑐) ++ ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩) ++ (𝑓 substr ⟨𝑐, (♯‘𝑓)⟩))))
95 ccatass 13558 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ (𝑓 prefix 𝑐) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) → ((𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐)) ++ ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩) = (𝐴 ++ ((𝑓 prefix 𝑐) ++ ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩)))
9674, 77, 83, 95syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → ((𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐)) ++ ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩) = (𝐴 ++ ((𝑓 prefix 𝑐) ++ ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩)))
9796oveq1d 6856 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (((𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐)) ++ ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩) ++ (𝑓 substr ⟨𝑐, (♯‘𝑓)⟩)) = ((𝐴 ++ ((𝑓 prefix 𝑐) ++ ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩)) ++ (𝑓 substr ⟨𝑐, (♯‘𝑓)⟩)))
981, 2, 3, 4efgtval 18401 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓𝑊𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) → (𝑐(𝑇𝑓)𝑢) = (𝑓 splice ⟨𝑐, 𝑐, ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩⟩))
9967, 69, 70, 98syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (𝑐(𝑇𝑓)𝑢) = (𝑓 splice ⟨𝑐, 𝑐, ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩⟩))
100 splval 13767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓𝑊 ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))) → (𝑓 splice ⟨𝑐, 𝑐, ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩⟩) = (((𝑓 prefix 𝑐) ++ ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩) ++ (𝑓 substr ⟨𝑐, (♯‘𝑓)⟩)))
10167, 69, 69, 83, 100syl13anc 1491 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (𝑓 splice ⟨𝑐, 𝑐, ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩⟩) = (((𝑓 prefix 𝑐) ++ ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩) ++ (𝑓 substr ⟨𝑐, (♯‘𝑓)⟩)))
10299, 101eqtrd 2798 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (𝑐(𝑇𝑓)𝑢) = (((𝑓 prefix 𝑐) ++ ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩) ++ (𝑓 substr ⟨𝑐, (♯‘𝑓)⟩)))
103102oveq2d 6857 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (𝐴 ++ (𝑐(𝑇𝑓)𝑢)) = (𝐴 ++ (((𝑓 prefix 𝑐) ++ ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩) ++ (𝑓 substr ⟨𝑐, (♯‘𝑓)⟩))))
10494, 97, 1033eqtr4rd 2809 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (𝐴 ++ (𝑐(𝑇𝑓)𝑢)) = (((𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐)) ++ ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩) ++ (𝑓 substr ⟨𝑐, (♯‘𝑓)⟩)))
105104oveq1d 6856 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → ((𝐴 ++ (𝑐(𝑇𝑓)𝑢)) ++ 𝐵) = ((((𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐)) ++ ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩) ++ (𝑓 substr ⟨𝑐, (♯‘𝑓)⟩)) ++ 𝐵))
106 lencl 13504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
10774, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
108 nn0uz 11921 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 = (ℤ‘0)
109107, 108syl6eleq 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘0))
110 elfznn0 12639 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) → 𝑐 ∈ ℕ0)
111110ad2antrl 719 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → 𝑐 ∈ ℕ0)
112 uzaddcl 11943 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝐴) + 𝑐) ∈ (ℤ‘0))
113109, 111, 112syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → ((♯‘𝐴) + 𝑐) ∈ (ℤ‘0))
11442adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (𝐴 ++ 𝑓) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
115 ccatlen 13545 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ++ 𝑓) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝐵 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) → (♯‘((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵)) = ((♯‘(𝐴 ++ 𝑓)) + (♯‘𝐵)))
116114, 88, 115syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (♯‘((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵)) = ((♯‘(𝐴 ++ 𝑓)) + (♯‘𝐵)))
117 ccatlen 13545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) → (♯‘(𝐴 ++ 𝑓)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝑓)))
11874, 75, 117syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (♯‘(𝐴 ++ 𝑓)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝑓)))
119 elfzuz3 12545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) → (♯‘𝑓) ∈ (ℤ𝑐))
120119ad2antrl 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (♯‘𝑓) ∈ (ℤ𝑐))
121107nn0zd 11726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
122 eluzadd 11914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((♯‘𝑓) ∈ (ℤ𝑐) ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℤ) → ((♯‘𝑓) + (♯‘𝐴)) ∈ (ℤ‘(𝑐 + (♯‘𝐴))))
123120, 121, 122syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → ((♯‘𝑓) + (♯‘𝐴)) ∈ (ℤ‘(𝑐 + (♯‘𝐴))))
124 lencl 13504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) → (♯‘𝑓) ∈ ℕ0)
12575, 124syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (♯‘𝑓) ∈ ℕ0)
126125nn0cnd 11599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (♯‘𝑓) ∈ ℂ)
127107nn0cnd 11599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
128126, 127addcomd 10491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → ((♯‘𝑓) + (♯‘𝐴)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝑓)))
129111nn0cnd 11599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → 𝑐 ∈ ℂ)
130129, 127addcomd 10491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (𝑐 + (♯‘𝐴)) = ((♯‘𝐴) + 𝑐))
131130fveq2d 6378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (ℤ‘(𝑐 + (♯‘𝐴))) = (ℤ‘((♯‘𝐴) + 𝑐)))
132123, 128, 1313eltr3d 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝑓)) ∈ (ℤ‘((♯‘𝐴) + 𝑐)))
133118, 132eqeltrd 2843 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (♯‘(𝐴 ++ 𝑓)) ∈ (ℤ‘((♯‘𝐴) + 𝑐)))
134 lencl 13504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐵 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
13588, 134syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
136 uzaddcl 11943 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((♯‘(𝐴 ++ 𝑓)) ∈ (ℤ‘((♯‘𝐴) + 𝑐)) ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) → ((♯‘(𝐴 ++ 𝑓)) + (♯‘𝐵)) ∈ (ℤ‘((♯‘𝐴) + 𝑐)))
137133, 135, 136syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → ((♯‘(𝐴 ++ 𝑓)) + (♯‘𝐵)) ∈ (ℤ‘((♯‘𝐴) + 𝑐)))
138116, 137eqeltrd 2843 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (♯‘((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵)) ∈ (ℤ‘((♯‘𝐴) + 𝑐)))
139 elfzuzb 12542 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((♯‘𝐴) + 𝑐) ∈ (0...(♯‘((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵))) ↔ (((♯‘𝐴) + 𝑐) ∈ (ℤ‘0) ∧ (♯‘((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵)) ∈ (ℤ‘((♯‘𝐴) + 𝑐))))
140113, 138, 139sylanbrc 578 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → ((♯‘𝐴) + 𝑐) ∈ (0...(♯‘((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵))))
1411, 2, 3, 4efgtval 18401 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵) ∈ 𝑊 ∧ ((♯‘𝐴) + 𝑐) ∈ (0...(♯‘((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵))) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) → (((♯‘𝐴) + 𝑐)(𝑇‘((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵))𝑢) = (((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵) splice ⟨((♯‘𝐴) + 𝑐), ((♯‘𝐴) + 𝑐), ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩⟩))
14272, 140, 70, 141syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (((♯‘𝐴) + 𝑐)(𝑇‘((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵))𝑢) = (((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵) splice ⟨((♯‘𝐴) + 𝑐), ((♯‘𝐴) + 𝑐), ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩⟩))
143 wrd0 13510 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ∅ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)
144143a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → ∅ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
145 ccatcl 13544 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑓 substr ⟨𝑐, (♯‘𝑓)⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝐵 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) → ((𝑓 substr ⟨𝑐, (♯‘𝑓)⟩) ++ 𝐵) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
14687, 88, 145syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → ((𝑓 substr ⟨𝑐, (♯‘𝑓)⟩) ++ 𝐵) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
147 ccatrid 13557 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐)) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) → ((𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐)) ++ ∅) = (𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐)))
14879, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → ((𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐)) ++ ∅) = (𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐)))
149148oveq1d 6856 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (((𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐)) ++ ∅) ++ ((𝑓 substr ⟨𝑐, (♯‘𝑓)⟩) ++ 𝐵)) = ((𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐)) ++ ((𝑓 substr ⟨𝑐, (♯‘𝑓)⟩) ++ 𝐵)))
150 ccatass 13558 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐)) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ (𝑓 substr ⟨𝑐, (♯‘𝑓)⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝐵 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) → (((𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐)) ++ (𝑓 substr ⟨𝑐, (♯‘𝑓)⟩)) ++ 𝐵) = ((𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐)) ++ ((𝑓 substr ⟨𝑐, (♯‘𝑓)⟩) ++ 𝐵)))
15179, 87, 88, 150syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (((𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐)) ++ (𝑓 substr ⟨𝑐, (♯‘𝑓)⟩)) ++ 𝐵) = ((𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐)) ++ ((𝑓 substr ⟨𝑐, (♯‘𝑓)⟩) ++ 𝐵)))
152 ccatass 13558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ (𝑓 prefix 𝑐) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ (𝑓 substr ⟨𝑐, (♯‘𝑓)⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) → ((𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐)) ++ (𝑓 substr ⟨𝑐, (♯‘𝑓)⟩)) = (𝐴 ++ ((𝑓 prefix 𝑐) ++ (𝑓 substr ⟨𝑐, (♯‘𝑓)⟩))))
15374, 77, 87, 152syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → ((𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐)) ++ (𝑓 substr ⟨𝑐, (♯‘𝑓)⟩)) = (𝐴 ++ ((𝑓 prefix 𝑐) ++ (𝑓 substr ⟨𝑐, (♯‘𝑓)⟩))))
154125, 108syl6eleq 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (♯‘𝑓) ∈ (ℤ‘0))
155 eluzfz2 12555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((♯‘𝑓) ∈ (ℤ‘0) → (♯‘𝑓) ∈ (0...(♯‘𝑓)))
156154, 155syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (♯‘𝑓) ∈ (0...(♯‘𝑓)))
157 ccatpfx 13687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑓 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ (♯‘𝑓) ∈ (0...(♯‘𝑓))) → ((𝑓 prefix 𝑐) ++ (𝑓 substr ⟨𝑐, (♯‘𝑓)⟩)) = (𝑓 prefix (♯‘𝑓)))
15875, 69, 156, 157syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → ((𝑓 prefix 𝑐) ++ (𝑓 substr ⟨𝑐, (♯‘𝑓)⟩)) = (𝑓 prefix (♯‘𝑓)))
159 pfxid 13672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) → (𝑓 prefix (♯‘𝑓)) = 𝑓)
16075, 159syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (𝑓 prefix (♯‘𝑓)) = 𝑓)
161158, 160eqtrd 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → ((𝑓 prefix 𝑐) ++ (𝑓 substr ⟨𝑐, (♯‘𝑓)⟩)) = 𝑓)
162161oveq2d 6857 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (𝐴 ++ ((𝑓 prefix 𝑐) ++ (𝑓 substr ⟨𝑐, (♯‘𝑓)⟩))) = (𝐴 ++ 𝑓))
163153, 162eqtrd 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → ((𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐)) ++ (𝑓 substr ⟨𝑐, (♯‘𝑓)⟩)) = (𝐴 ++ 𝑓))
164163oveq1d 6856 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (((𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐)) ++ (𝑓 substr ⟨𝑐, (♯‘𝑓)⟩)) ++ 𝐵) = ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵))
165149, 151, 1643eqtr2rd 2805 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵) = (((𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐)) ++ ∅) ++ ((𝑓 substr ⟨𝑐, (♯‘𝑓)⟩) ++ 𝐵)))
166 ccatlen 13545 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ (𝑓 prefix 𝑐) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) → (♯‘(𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐))) = ((♯‘𝐴) + (♯‘(𝑓 prefix 𝑐))))
16774, 77, 166syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (♯‘(𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐))) = ((♯‘𝐴) + (♯‘(𝑓 prefix 𝑐))))
168 pfxlen 13671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓))) → (♯‘(𝑓 prefix 𝑐)) = 𝑐)
16975, 69, 168syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (♯‘(𝑓 prefix 𝑐)) = 𝑐)
170169oveq2d 6857 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → ((♯‘𝐴) + (♯‘(𝑓 prefix 𝑐))) = ((♯‘𝐴) + 𝑐))
171167, 170eqtr2d 2799 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → ((♯‘𝐴) + 𝑐) = (♯‘(𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐))))
172 hash0 13359 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (♯‘∅) = 0
173172oveq2i 6852 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((♯‘𝐴) + 𝑐) + (♯‘∅)) = (((♯‘𝐴) + 𝑐) + 0)
174107, 111nn0addcld 11601 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → ((♯‘𝐴) + 𝑐) ∈ ℕ0)
175174nn0cnd 11599 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → ((♯‘𝐴) + 𝑐) ∈ ℂ)
176175addid1d 10489 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (((♯‘𝐴) + 𝑐) + 0) = ((♯‘𝐴) + 𝑐))
177173, 176syl5req 2811 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → ((♯‘𝐴) + 𝑐) = (((♯‘𝐴) + 𝑐) + (♯‘∅)))
17879, 144, 146, 83, 165, 171, 177splval2 13779 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵) splice ⟨((♯‘𝐴) + 𝑐), ((♯‘𝐴) + 𝑐), ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩⟩) = (((𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐)) ++ ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩) ++ ((𝑓 substr ⟨𝑐, (♯‘𝑓)⟩) ++ 𝐵)))
179142, 178eqtrd 2798 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (((♯‘𝐴) + 𝑐)(𝑇‘((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵))𝑢) = (((𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐)) ++ ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩) ++ ((𝑓 substr ⟨𝑐, (♯‘𝑓)⟩) ++ 𝐵)))
18090, 105, 1793eqtr4d 2808 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → ((𝐴 ++ (𝑐(𝑇𝑓)𝑢)) ++ 𝐵) = (((♯‘𝐴) + 𝑐)(𝑇‘((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵))𝑢))
1811, 2, 3, 4efgtf 18400 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵) ∈ 𝑊 → ((𝑇‘((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵)) = (𝑎 ∈ (0...(♯‘((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵))), 𝑏 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵) splice ⟨𝑎, 𝑎, ⟨“𝑏(𝑀𝑏)”⟩⟩)) ∧ (𝑇‘((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵)):((0...(♯‘((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵))) × (𝐼 × 2𝑜))⟶𝑊))
182181simprd 489 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵) ∈ 𝑊 → (𝑇‘((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵)):((0...(♯‘((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵))) × (𝐼 × 2𝑜))⟶𝑊)
183 ffn 6222 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑇‘((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵)):((0...(♯‘((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵))) × (𝐼 × 2𝑜))⟶𝑊 → (𝑇‘((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵)) Fn ((0...(♯‘((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵))) × (𝐼 × 2𝑜)))
18472, 182, 1833syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (𝑇‘((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵)) Fn ((0...(♯‘((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵))) × (𝐼 × 2𝑜)))
185 fnovrn 7006 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑇‘((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵)) Fn ((0...(♯‘((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵))) × (𝐼 × 2𝑜)) ∧ ((♯‘𝐴) + 𝑐) ∈ (0...(♯‘((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵))) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) → (((♯‘𝐴) + 𝑐)(𝑇‘((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵))𝑢) ∈ ran (𝑇‘((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵)))
186184, 140, 70, 185syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (((♯‘𝐴) + 𝑐)(𝑇‘((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵))𝑢) ∈ ran (𝑇‘((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵)))
187180, 186eqeltrd 2843 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → ((𝐴 ++ (𝑐(𝑇𝑓)𝑢)) ++ 𝐵) ∈ ran (𝑇‘((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵)))
1881, 2, 3, 4efgi2 18403 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵) ∈ 𝑊 ∧ ((𝐴 ++ (𝑐(𝑇𝑓)𝑢)) ++ 𝐵) ∈ ran (𝑇‘((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵))) → ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵) ((𝐴 ++ (𝑐(𝑇𝑓)𝑢)) ++ 𝐵))
18972, 187, 188syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵) ((𝐴 ++ (𝑐(𝑇𝑓)𝑢)) ++ 𝐵))
1901, 2, 3, 4, 9, 10, 6efgcpbllema 18432 . . . . . . . . . 10 (𝑓𝐿(𝑐(𝑇𝑓)𝑢) ↔ (𝑓𝑊 ∧ (𝑐(𝑇𝑓)𝑢) ∈ 𝑊 ∧ ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵) ((𝐴 ++ (𝑐(𝑇𝑓)𝑢)) ++ 𝐵)))
19167, 71, 189, 190syl3anbrc 1443 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → 𝑓𝐿(𝑐(𝑇𝑓)𝑢))
192 vex 3352 . . . . . . . . . . 11 𝑎 ∈ V
193 vex 3352 . . . . . . . . . . 11 𝑓 ∈ V
194192, 193elec 7988 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ [𝑓]𝐿𝑓𝐿𝑎)
195 breq2 4812 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝑐(𝑇𝑓)𝑢) → (𝑓𝐿𝑎𝑓𝐿(𝑐(𝑇𝑓)𝑢)))
196194, 195syl5bb 274 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝑐(𝑇𝑓)𝑢) → (𝑎 ∈ [𝑓]𝐿𝑓𝐿(𝑐(𝑇𝑓)𝑢)))
197191, 196syl5ibrcom 238 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (𝑎 = (𝑐(𝑇𝑓)𝑢) → 𝑎 ∈ [𝑓]𝐿))
198197rexlimdvva 3184 . . . . . . 7 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) → (∃𝑐 ∈ (0...(♯‘𝑓))∃𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜)𝑎 = (𝑐(𝑇𝑓)𝑢) → 𝑎 ∈ [𝑓]𝐿))
19966, 198sylbid 231 . . . . . 6 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) → (𝑎 ∈ ran (𝑇𝑓) → 𝑎 ∈ [𝑓]𝐿))
200199ssrdv 3766 . . . . 5 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) → ran (𝑇𝑓) ⊆ [𝑓]𝐿)
201200ralrimiva 3112 . . . 4 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → ∀𝑓𝑊 ran (𝑇𝑓) ⊆ [𝑓]𝐿)
2021fvexi 6388 . . . . . 6 𝑊 ∈ V
203 erex 7970 . . . . . 6 (𝐿 Er 𝑊 → (𝑊 ∈ V → 𝐿 ∈ V))
20460, 202, 203mpisyl 21 . . . . 5 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → 𝐿 ∈ V)
205 ereq1 7953 . . . . . . 7 (𝑟 = 𝐿 → (𝑟 Er 𝑊𝐿 Er 𝑊))
206 eceq2 7986 . . . . . . . . 9 (𝑟 = 𝐿 → [𝑓]𝑟 = [𝑓]𝐿)
207206sseq2d 3792 . . . . . . . 8 (𝑟 = 𝐿 → (ran (𝑇𝑓) ⊆ [𝑓]𝑟 ↔ ran (𝑇𝑓) ⊆ [𝑓]𝐿))
208207ralbidv 3132 . . . . . . 7 (𝑟 = 𝐿 → (∀𝑓𝑊 ran (𝑇𝑓) ⊆ [𝑓]𝑟 ↔ ∀𝑓𝑊 ran (𝑇𝑓) ⊆ [𝑓]𝐿))
209205, 208anbi12d 624 . . . . . 6 (𝑟 = 𝐿 → ((𝑟 Er 𝑊 ∧ ∀𝑓𝑊 ran (𝑇𝑓) ⊆ [𝑓]𝑟) ↔ (𝐿 Er 𝑊 ∧ ∀𝑓𝑊 ran (𝑇𝑓) ⊆ [𝑓]𝐿)))
210209elabg 3504 . . . . 5 (𝐿 ∈ V → (𝐿 ∈ {𝑟 ∣ (𝑟 Er 𝑊 ∧ ∀𝑓𝑊 ran (𝑇𝑓) ⊆ [𝑓]𝑟)} ↔ (𝐿 Er 𝑊 ∧ ∀𝑓𝑊 ran (𝑇𝑓) ⊆ [𝑓]𝐿)))
211204, 210syl 17 . . . 4 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → (𝐿 ∈ {𝑟 ∣ (𝑟 Er 𝑊 ∧ ∀𝑓𝑊 ran (𝑇𝑓) ⊆ [𝑓]𝑟)} ↔ (𝐿 Er 𝑊 ∧ ∀𝑓𝑊 ran (𝑇𝑓) ⊆ [𝑓]𝐿)))
21260, 201, 211mpbir2and 704 . . 3 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → 𝐿 ∈ {𝑟 ∣ (𝑟 Er 𝑊 ∧ ∀𝑓𝑊 ran (𝑇𝑓) ⊆ [𝑓]𝑟)})
213 intss1 4647 . . 3 (𝐿 ∈ {𝑟 ∣ (𝑟 Er 𝑊 ∧ ∀𝑓𝑊 ran (𝑇𝑓) ⊆ [𝑓]𝑟)} → {𝑟 ∣ (𝑟 Er 𝑊 ∧ ∀𝑓𝑊 ran (𝑇𝑓) ⊆ [𝑓]𝑟)} ⊆ 𝐿)
214212, 213syl 17 . 2 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → {𝑟 ∣ (𝑟 Er 𝑊 ∧ ∀𝑓𝑊 ran (𝑇𝑓) ⊆ [𝑓]𝑟)} ⊆ 𝐿)
2155, 214syl5eqss 3808 1 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → 𝐿)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  {cab 2750  wral 3054  wrex 3055  {crab 3058  Vcvv 3349  cdif 3728  wss 3731  c0 4078  {csn 4333  {cpr 4335  cop 4339  cotp 4341   cint 4632   ciun 4675   class class class wbr 4808  {copab 4870  cmpt 4887   I cid 5183   × cxp 5274  ran crn 5277  Rel wrel 5281   Fn wfn 6062  wf 6063  cfv 6067  (class class class)co 6841  cmpt2 6843  1𝑜c1o 7756  2𝑜c2o 7757   Er wer 7943  [cec 7944  0cc0 10188  1c1 10189   + caddc 10191  cmin 10519  0cn0 11537  cz 11623  cuz 11885  ...cfz 12532  ..^cfzo 12672  chash 13320  Word cword 13485   ++ cconcat 13540   substr csubstr 13615   prefix cpfx 13660   splice csplice 13762  ⟨“cs2 13871   ~FG cefg 18384
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-rep 4929  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146  ax-cnex 10244  ax-resscn 10245  ax-1cn 10246  ax-icn 10247  ax-addcl 10248  ax-addrcl 10249  ax-mulcl 10250  ax-mulrcl 10251  ax-mulcom 10252  ax-addass 10253  ax-mulass 10254  ax-distr 10255  ax-i2m1 10256  ax-1ne0 10257  ax-1rid 10258  ax-rnegex 10259  ax-rrecex 10260  ax-cnre 10261  ax-pre-lttri 10262  ax-pre-lttrn 10263  ax-pre-ltadd 10264  ax-pre-mulgt0 10265
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-pss 3747  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-tp 4338  df-op 4340  df-ot 4342  df-uni 4594  df-int 4633  df-iun 4677  df-iin 4678  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-tr 4911  df-id 5184  df-eprel 5189  df-po 5197  df-so 5198  df-fr 5235  df-we 5237  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-pred 5864  df-ord 5910  df-on 5911  df-lim 5912  df-suc 5913  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-riota 6802  df-ov 6844  df-oprab 6845  df-mpt2 6846  df-om 7263  df-1st 7365  df-2nd 7366  df-wrecs 7609  df-recs 7671  df-rdg 7709  df-1o 7763  df-2o 7764  df-oadd 7767  df-er 7946  df-ec 7948  df-map 8061  df-pm 8062  df-en 8160  df-dom 8161  df-sdom 8162  df-fin 8163  df-card 9015  df-pnf 10329  df-mnf 10330  df-xr 10331  df-ltxr 10332  df-le 10333  df-sub 10521  df-neg 10522  df-nn 11274  df-n0 11538  df-z 11624  df-uz 11886  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-hash 13321  df-word 13486  df-concat 13541  df-s1 13566  df-substr 13616  df-pfx 13661  df-splice 13764  df-s2 13878  df-efg 18387
This theorem is referenced by:  efgcpbl  18434
  Copyright terms: Public domain W3C validator