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Theorem efgcpbllemb 19544
Description: Lemma for efgrelex 19540. Show that 𝐿 is an equivalence relation containing all direct extensions of a word, so is closed under ∼. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
efgval.r ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣 ∈ π‘Š ↦ (𝑛 ∈ (0...(β™―β€˜π‘£)), 𝑀 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑣 splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œπ‘€(π‘€β€˜π‘€)β€βŸ©βŸ©)))
efgred.d 𝐷 = (π‘Š βˆ– βˆͺ π‘₯ ∈ π‘Š ran (π‘‡β€˜π‘₯))
efgred.s 𝑆 = (π‘š ∈ {𝑑 ∈ (Word π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∣ ((π‘‘β€˜0) ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^(β™―β€˜π‘‘))(π‘‘β€˜π‘˜) ∈ ran (π‘‡β€˜(π‘‘β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))))} ↦ (π‘šβ€˜((β™―β€˜π‘š) βˆ’ 1)))
efgcpbllem.1 𝐿 = {βŸ¨π‘–, π‘—βŸ© ∣ ({𝑖, 𝑗} βŠ† π‘Š ∧ ((𝐴 ++ 𝑖) ++ 𝐡) ∼ ((𝐴 ++ 𝑗) ++ 𝐡))}
Assertion
Ref Expression
efgcpbllemb ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ ∼ βŠ† 𝐿)
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐴   𝑦,𝑧   𝑑,𝑛,𝑣,𝑀,𝑦,𝑧   𝑖,π‘š,𝑛,𝑑,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑀,𝑗   𝑖,π‘˜,𝑇,𝑗,π‘š,𝑑,π‘₯   𝑦,𝑖,𝑧,π‘Š,𝑗   π‘˜,𝑛,𝑣,𝑀,𝑦,𝑧,π‘Š,π‘š,𝑑,π‘₯   ∼ ,𝑖,𝑗,π‘š,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐡,𝑖,𝑗   𝑆,𝑖,𝑗   𝑖,𝐼,𝑗,π‘š,𝑛,𝑑,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐷,𝑖,𝑗,π‘š,𝑑
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑑,π‘˜,π‘š,𝑛)   𝐡(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑑,π‘˜,π‘š,𝑛)   𝐷(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,π‘˜,𝑛)   ∼ (𝑀,𝑣,π‘˜,𝑛)   𝑆(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑑,π‘˜,π‘š,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑛)   𝐼(π‘˜)   𝐿(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑑,𝑖,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑛)   𝑀(𝑦,𝑧,π‘˜)

Proof of Theorem efgcpbllemb
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑓 𝑔 β„Ž π‘Ÿ 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . 3 π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
2 efgval.r . . 3 ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
3 efgval2.m . . 3 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)⟩)
4 efgval2.t . . 3 𝑇 = (𝑣 ∈ π‘Š ↦ (𝑛 ∈ (0...(β™―β€˜π‘£)), 𝑀 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑣 splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œπ‘€(π‘€β€˜π‘€)β€βŸ©βŸ©)))
51, 2, 3, 4efgval2 19513 . 2 ∼ = ∩ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘“ ∈ π‘Š ran (π‘‡β€˜π‘“) βŠ† [𝑓]π‘Ÿ)}
6 efgcpbllem.1 . . . . . . 7 𝐿 = {βŸ¨π‘–, π‘—βŸ© ∣ ({𝑖, 𝑗} βŠ† π‘Š ∧ ((𝐴 ++ 𝑖) ++ 𝐡) ∼ ((𝐴 ++ 𝑗) ++ 𝐡))}
76relopabiv 5781 . . . . . 6 Rel 𝐿
87a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ Rel 𝐿)
9 efgred.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (π‘Š βˆ– βˆͺ π‘₯ ∈ π‘Š ran (π‘‡β€˜π‘₯))
10 efgred.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (π‘š ∈ {𝑑 ∈ (Word π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∣ ((π‘‘β€˜0) ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^(β™―β€˜π‘‘))(π‘‘β€˜π‘˜) ∈ ran (π‘‡β€˜(π‘‘β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))))} ↦ (π‘šβ€˜((β™―β€˜π‘š) βˆ’ 1)))
111, 2, 3, 4, 9, 10, 6efgcpbllema 19543 . . . . . . . 8 (𝑓𝐿𝑔 ↔ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝑔 ∈ π‘Š ∧ ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡) ∼ ((𝐴 ++ 𝑔) ++ 𝐡)))
1211simp2bi 1147 . . . . . . 7 (𝑓𝐿𝑔 β†’ 𝑔 ∈ π‘Š)
1312adantl 483 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓𝐿𝑔) β†’ 𝑔 ∈ π‘Š)
1411simp1bi 1146 . . . . . . 7 (𝑓𝐿𝑔 β†’ 𝑓 ∈ π‘Š)
1514adantl 483 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓𝐿𝑔) β†’ 𝑓 ∈ π‘Š)
161, 2efger 19507 . . . . . . . 8 ∼ Er π‘Š
1716a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓𝐿𝑔) β†’ ∼ Er π‘Š)
1811simp3bi 1148 . . . . . . . 8 (𝑓𝐿𝑔 β†’ ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡) ∼ ((𝐴 ++ 𝑔) ++ 𝐡))
1918adantl 483 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓𝐿𝑔) β†’ ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡) ∼ ((𝐴 ++ 𝑔) ++ 𝐡))
2017, 19ersym 8667 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓𝐿𝑔) β†’ ((𝐴 ++ 𝑔) ++ 𝐡) ∼ ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡))
211, 2, 3, 4, 9, 10, 6efgcpbllema 19543 . . . . . 6 (𝑔𝐿𝑓 ↔ (𝑔 ∈ π‘Š ∧ 𝑓 ∈ π‘Š ∧ ((𝐴 ++ 𝑔) ++ 𝐡) ∼ ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡)))
2213, 15, 20, 21syl3anbrc 1344 . . . . 5 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓𝐿𝑔) β†’ 𝑔𝐿𝑓)
2314ad2antrl 727 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓𝐿𝑔 ∧ π‘”πΏβ„Ž)) β†’ 𝑓 ∈ π‘Š)
241, 2, 3, 4, 9, 10, 6efgcpbllema 19543 . . . . . . . 8 (π‘”πΏβ„Ž ↔ (𝑔 ∈ π‘Š ∧ β„Ž ∈ π‘Š ∧ ((𝐴 ++ 𝑔) ++ 𝐡) ∼ ((𝐴 ++ β„Ž) ++ 𝐡)))
2524simp2bi 1147 . . . . . . 7 (π‘”πΏβ„Ž β†’ β„Ž ∈ π‘Š)
2625ad2antll 728 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓𝐿𝑔 ∧ π‘”πΏβ„Ž)) β†’ β„Ž ∈ π‘Š)
2716a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓𝐿𝑔 ∧ π‘”πΏβ„Ž)) β†’ ∼ Er π‘Š)
2818ad2antrl 727 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓𝐿𝑔 ∧ π‘”πΏβ„Ž)) β†’ ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡) ∼ ((𝐴 ++ 𝑔) ++ 𝐡))
2924simp3bi 1148 . . . . . . . 8 (π‘”πΏβ„Ž β†’ ((𝐴 ++ 𝑔) ++ 𝐡) ∼ ((𝐴 ++ β„Ž) ++ 𝐡))
3029ad2antll 728 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓𝐿𝑔 ∧ π‘”πΏβ„Ž)) β†’ ((𝐴 ++ 𝑔) ++ 𝐡) ∼ ((𝐴 ++ β„Ž) ++ 𝐡))
3127, 28, 30ertrd 8671 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓𝐿𝑔 ∧ π‘”πΏβ„Ž)) β†’ ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡) ∼ ((𝐴 ++ β„Ž) ++ 𝐡))
321, 2, 3, 4, 9, 10, 6efgcpbllema 19543 . . . . . 6 (π‘“πΏβ„Ž ↔ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ β„Ž ∈ π‘Š ∧ ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡) ∼ ((𝐴 ++ β„Ž) ++ 𝐡)))
3323, 26, 31, 32syl3anbrc 1344 . . . . 5 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓𝐿𝑔 ∧ π‘”πΏβ„Ž)) β†’ π‘“πΏβ„Ž)
3416a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) β†’ ∼ Er π‘Š)
35 fviss 6923 . . . . . . . . . . . . . 14 ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) βŠ† Word (𝐼 Γ— 2o)
361, 35eqsstri 3983 . . . . . . . . . . . . 13 π‘Š βŠ† Word (𝐼 Γ— 2o)
37 simpll 766 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) β†’ 𝐴 ∈ π‘Š)
3836, 37sselid 3947 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) β†’ 𝐴 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
39 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) β†’ 𝑓 ∈ π‘Š)
4036, 39sselid 3947 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) β†’ 𝑓 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
41 ccatcl 14469 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ (𝐴 ++ 𝑓) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
4238, 40, 41syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) β†’ (𝐴 ++ 𝑓) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
43 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) β†’ 𝐡 ∈ π‘Š)
4436, 43sselid 3947 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) β†’ 𝐡 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
45 ccatcl 14469 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ++ 𝑓) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝐡 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
4642, 44, 45syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) β†’ ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
471efgrcl 19504 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ π‘Š β†’ (𝐼 ∈ V ∧ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o)))
4847simprd 497 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ π‘Š β†’ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o))
4948ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) β†’ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o))
5046, 49eleqtrrd 2841 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) β†’ ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡) ∈ π‘Š)
5134, 50erref 8675 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) β†’ ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡) ∼ ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡))
5251ex 414 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ (𝑓 ∈ π‘Š β†’ ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡) ∼ ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡)))
5352pm4.71d 563 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ (𝑓 ∈ π‘Š ↔ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡) ∼ ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡))))
541, 2, 3, 4, 9, 10, 6efgcpbllema 19543 . . . . . . 7 (𝑓𝐿𝑓 ↔ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝑓 ∈ π‘Š ∧ ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡) ∼ ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡)))
55 df-3an 1090 . . . . . . 7 ((𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝑓 ∈ π‘Š ∧ ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡) ∼ ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡)) ↔ ((𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡) ∼ ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡)))
56 anidm 566 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ↔ 𝑓 ∈ π‘Š)
5756anbi1i 625 . . . . . . 7 (((𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡) ∼ ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡)) ↔ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡) ∼ ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡)))
5854, 55, 573bitri 297 . . . . . 6 (𝑓𝐿𝑓 ↔ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡) ∼ ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡)))
5953, 58bitr4di 289 . . . . 5 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ (𝑓 ∈ π‘Š ↔ 𝑓𝐿𝑓))
608, 22, 33, 59iserd 8681 . . . 4 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ 𝐿 Er π‘Š)
611, 2, 3, 4efgtf 19511 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ π‘Š β†’ ((π‘‡β€˜π‘“) = (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)), 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑓 splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©)) ∧ (π‘‡β€˜π‘“):((0...(β™―β€˜π‘“)) Γ— (𝐼 Γ— 2o))βŸΆπ‘Š))
6261simprd 497 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ π‘Š β†’ (π‘‡β€˜π‘“):((0...(β™―β€˜π‘“)) Γ— (𝐼 Γ— 2o))βŸΆπ‘Š)
6362adantl 483 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) β†’ (π‘‡β€˜π‘“):((0...(β™―β€˜π‘“)) Γ— (𝐼 Γ— 2o))βŸΆπ‘Š)
64 ffn 6673 . . . . . . . 8 ((π‘‡β€˜π‘“):((0...(β™―β€˜π‘“)) Γ— (𝐼 Γ— 2o))βŸΆπ‘Š β†’ (π‘‡β€˜π‘“) Fn ((0...(β™―β€˜π‘“)) Γ— (𝐼 Γ— 2o)))
65 ovelrn 7535 . . . . . . . 8 ((π‘‡β€˜π‘“) Fn ((0...(β™―β€˜π‘“)) Γ— (𝐼 Γ— 2o)) β†’ (π‘Ž ∈ ran (π‘‡β€˜π‘“) ↔ βˆƒπ‘ ∈ (0...(β™―β€˜π‘“))βˆƒπ‘’ ∈ (𝐼 Γ— 2o)π‘Ž = (𝑐(π‘‡β€˜π‘“)𝑒)))
6663, 64, 653syl 18 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) β†’ (π‘Ž ∈ ran (π‘‡β€˜π‘“) ↔ βˆƒπ‘ ∈ (0...(β™―β€˜π‘“))βˆƒπ‘’ ∈ (𝐼 Γ— 2o)π‘Ž = (𝑐(π‘‡β€˜π‘“)𝑒)))
67 simplr 768 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ 𝑓 ∈ π‘Š)
6862ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (π‘‡β€˜π‘“):((0...(β™―β€˜π‘“)) Γ— (𝐼 Γ— 2o))βŸΆπ‘Š)
69 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ 𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)))
70 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))
7168, 69, 70fovcdmd 7531 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (𝑐(π‘‡β€˜π‘“)𝑒) ∈ π‘Š)
7250adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡) ∈ π‘Š)
7337adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ 𝐴 ∈ π‘Š)
7436, 73sselid 3947 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ 𝐴 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
7540adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ 𝑓 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
76 pfxcl 14572 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) β†’ (𝑓 prefix 𝑐) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (𝑓 prefix 𝑐) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
78 ccatcl 14469 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ (𝑓 prefix 𝑐) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ (𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐)) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
7974, 77, 78syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐)) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
803efgmf 19502 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑀:(𝐼 Γ— 2o)⟢(𝐼 Γ— 2o)
8180ffvelcdmi 7039 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o) β†’ (π‘€β€˜π‘’) ∈ (𝐼 Γ— 2o))
8281ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (π‘€β€˜π‘’) ∈ (𝐼 Γ— 2o))
8370, 82s2cld 14767 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ βŸ¨β€œπ‘’(π‘€β€˜π‘’)β€βŸ© ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
84 ccatcl 14469 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐)) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ βŸ¨β€œπ‘’(π‘€β€˜π‘’)β€βŸ© ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ ((𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐)) ++ βŸ¨β€œπ‘’(π‘€β€˜π‘’)β€βŸ©) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
8579, 83, 84syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ((𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐)) ++ βŸ¨β€œπ‘’(π‘€β€˜π‘’)β€βŸ©) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
86 swrdcl 14540 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) β†’ (𝑓 substr βŸ¨π‘, (β™―β€˜π‘“)⟩) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
8775, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (𝑓 substr βŸ¨π‘, (β™―β€˜π‘“)⟩) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
8844adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ 𝐡 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
89 ccatass 14483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐)) ++ βŸ¨β€œπ‘’(π‘€β€˜π‘’)β€βŸ©) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ (𝑓 substr βŸ¨π‘, (β™―β€˜π‘“)⟩) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝐡 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ ((((𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐)) ++ βŸ¨β€œπ‘’(π‘€β€˜π‘’)β€βŸ©) ++ (𝑓 substr βŸ¨π‘, (β™―β€˜π‘“)⟩)) ++ 𝐡) = (((𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐)) ++ βŸ¨β€œπ‘’(π‘€β€˜π‘’)β€βŸ©) ++ ((𝑓 substr βŸ¨π‘, (β™―β€˜π‘“)⟩) ++ 𝐡)))
9085, 87, 88, 89syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ((((𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐)) ++ βŸ¨β€œπ‘’(π‘€β€˜π‘’)β€βŸ©) ++ (𝑓 substr βŸ¨π‘, (β™―β€˜π‘“)⟩)) ++ 𝐡) = (((𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐)) ++ βŸ¨β€œπ‘’(π‘€β€˜π‘’)β€βŸ©) ++ ((𝑓 substr βŸ¨π‘, (β™―β€˜π‘“)⟩) ++ 𝐡)))
91 ccatcl 14469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑓 prefix 𝑐) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ βŸ¨β€œπ‘’(π‘€β€˜π‘’)β€βŸ© ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ ((𝑓 prefix 𝑐) ++ βŸ¨β€œπ‘’(π‘€β€˜π‘’)β€βŸ©) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
9277, 83, 91syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ((𝑓 prefix 𝑐) ++ βŸ¨β€œπ‘’(π‘€β€˜π‘’)β€βŸ©) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
93 ccatass 14483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ ((𝑓 prefix 𝑐) ++ βŸ¨β€œπ‘’(π‘€β€˜π‘’)β€βŸ©) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ (𝑓 substr βŸ¨π‘, (β™―β€˜π‘“)⟩) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ ((𝐴 ++ ((𝑓 prefix 𝑐) ++ βŸ¨β€œπ‘’(π‘€β€˜π‘’)β€βŸ©)) ++ (𝑓 substr βŸ¨π‘, (β™―β€˜π‘“)⟩)) = (𝐴 ++ (((𝑓 prefix 𝑐) ++ βŸ¨β€œπ‘’(π‘€β€˜π‘’)β€βŸ©) ++ (𝑓 substr βŸ¨π‘, (β™―β€˜π‘“)⟩))))
9474, 92, 87, 93syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ((𝐴 ++ ((𝑓 prefix 𝑐) ++ βŸ¨β€œπ‘’(π‘€β€˜π‘’)β€βŸ©)) ++ (𝑓 substr βŸ¨π‘, (β™―β€˜π‘“)⟩)) = (𝐴 ++ (((𝑓 prefix 𝑐) ++ βŸ¨β€œπ‘’(π‘€β€˜π‘’)β€βŸ©) ++ (𝑓 substr βŸ¨π‘, (β™―β€˜π‘“)⟩))))
95 ccatass 14483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ (𝑓 prefix 𝑐) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ βŸ¨β€œπ‘’(π‘€β€˜π‘’)β€βŸ© ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ ((𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐)) ++ βŸ¨β€œπ‘’(π‘€β€˜π‘’)β€βŸ©) = (𝐴 ++ ((𝑓 prefix 𝑐) ++ βŸ¨β€œπ‘’(π‘€β€˜π‘’)β€βŸ©)))
9674, 77, 83, 95syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ((𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐)) ++ βŸ¨β€œπ‘’(π‘€β€˜π‘’)β€βŸ©) = (𝐴 ++ ((𝑓 prefix 𝑐) ++ βŸ¨β€œπ‘’(π‘€β€˜π‘’)β€βŸ©)))
9796oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (((𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐)) ++ βŸ¨β€œπ‘’(π‘€β€˜π‘’)β€βŸ©) ++ (𝑓 substr βŸ¨π‘, (β™―β€˜π‘“)⟩)) = ((𝐴 ++ ((𝑓 prefix 𝑐) ++ βŸ¨β€œπ‘’(π‘€β€˜π‘’)β€βŸ©)) ++ (𝑓 substr βŸ¨π‘, (β™―β€˜π‘“)⟩)))
981, 2, 3, 4efgtval 19512 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o)) β†’ (𝑐(π‘‡β€˜π‘“)𝑒) = (𝑓 splice βŸ¨π‘, 𝑐, βŸ¨β€œπ‘’(π‘€β€˜π‘’)β€βŸ©βŸ©))
9967, 69, 70, 98syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (𝑐(π‘‡β€˜π‘“)𝑒) = (𝑓 splice βŸ¨π‘, 𝑐, βŸ¨β€œπ‘’(π‘€β€˜π‘’)β€βŸ©βŸ©))
100 splval 14646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓 ∈ π‘Š ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ βŸ¨β€œπ‘’(π‘€β€˜π‘’)β€βŸ© ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (𝑓 splice βŸ¨π‘, 𝑐, βŸ¨β€œπ‘’(π‘€β€˜π‘’)β€βŸ©βŸ©) = (((𝑓 prefix 𝑐) ++ βŸ¨β€œπ‘’(π‘€β€˜π‘’)β€βŸ©) ++ (𝑓 substr βŸ¨π‘, (β™―β€˜π‘“)⟩)))
10167, 69, 69, 83, 100syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (𝑓 splice βŸ¨π‘, 𝑐, βŸ¨β€œπ‘’(π‘€β€˜π‘’)β€βŸ©βŸ©) = (((𝑓 prefix 𝑐) ++ βŸ¨β€œπ‘’(π‘€β€˜π‘’)β€βŸ©) ++ (𝑓 substr βŸ¨π‘, (β™―β€˜π‘“)⟩)))
10299, 101eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (𝑐(π‘‡β€˜π‘“)𝑒) = (((𝑓 prefix 𝑐) ++ βŸ¨β€œπ‘’(π‘€β€˜π‘’)β€βŸ©) ++ (𝑓 substr βŸ¨π‘, (β™―β€˜π‘“)⟩)))
103102oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (𝐴 ++ (𝑐(π‘‡β€˜π‘“)𝑒)) = (𝐴 ++ (((𝑓 prefix 𝑐) ++ βŸ¨β€œπ‘’(π‘€β€˜π‘’)β€βŸ©) ++ (𝑓 substr βŸ¨π‘, (β™―β€˜π‘“)⟩))))
10494, 97, 1033eqtr4rd 2788 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (𝐴 ++ (𝑐(π‘‡β€˜π‘“)𝑒)) = (((𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐)) ++ βŸ¨β€œπ‘’(π‘€β€˜π‘’)β€βŸ©) ++ (𝑓 substr βŸ¨π‘, (β™―β€˜π‘“)⟩)))
105104oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ((𝐴 ++ (𝑐(π‘‡β€˜π‘“)𝑒)) ++ 𝐡) = ((((𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐)) ++ βŸ¨β€œπ‘’(π‘€β€˜π‘’)β€βŸ©) ++ (𝑓 substr βŸ¨π‘, (β™―β€˜π‘“)⟩)) ++ 𝐡))
106 lencl 14428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) β†’ (β™―β€˜π΄) ∈ β„•0)
10774, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (β™―β€˜π΄) ∈ β„•0)
108 nn0uz 12812 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
109107, 108eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (β™―β€˜π΄) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
110 elfznn0 13541 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) β†’ 𝑐 ∈ β„•0)
111110ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ 𝑐 ∈ β„•0)
112 uzaddcl 12836 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((β™―β€˜π΄) ∈ (β„€β‰₯β€˜0) ∧ 𝑐 ∈ β„•0) β†’ ((β™―β€˜π΄) + 𝑐) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
113109, 111, 112syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ((β™―β€˜π΄) + 𝑐) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
11442adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (𝐴 ++ 𝑓) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
115 ccatlen 14470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ++ 𝑓) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝐡 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ (β™―β€˜((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡)) = ((β™―β€˜(𝐴 ++ 𝑓)) + (β™―β€˜π΅)))
116114, 88, 115syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (β™―β€˜((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡)) = ((β™―β€˜(𝐴 ++ 𝑓)) + (β™―β€˜π΅)))
117 ccatlen 14470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ (β™―β€˜(𝐴 ++ 𝑓)) = ((β™―β€˜π΄) + (β™―β€˜π‘“)))
11874, 75, 117syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (β™―β€˜(𝐴 ++ 𝑓)) = ((β™―β€˜π΄) + (β™―β€˜π‘“)))
119 elfzuz3 13445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) β†’ (β™―β€˜π‘“) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
120119ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (β™―β€˜π‘“) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
121107nn0zd 12532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (β™―β€˜π΄) ∈ β„€)
122 eluzadd 12799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((β™―β€˜π‘“) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ∧ (β™―β€˜π΄) ∈ β„€) β†’ ((β™―β€˜π‘“) + (β™―β€˜π΄)) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑐 + (β™―β€˜π΄))))
123120, 121, 122syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ((β™―β€˜π‘“) + (β™―β€˜π΄)) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑐 + (β™―β€˜π΄))))
124 lencl 14428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) β†’ (β™―β€˜π‘“) ∈ β„•0)
12575, 124syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (β™―β€˜π‘“) ∈ β„•0)
126125nn0cnd 12482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (β™―β€˜π‘“) ∈ β„‚)
127107nn0cnd 12482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (β™―β€˜π΄) ∈ β„‚)
128126, 127addcomd 11364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ((β™―β€˜π‘“) + (β™―β€˜π΄)) = ((β™―β€˜π΄) + (β™―β€˜π‘“)))
129111nn0cnd 12482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ 𝑐 ∈ β„‚)
130129, 127addcomd 11364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (𝑐 + (β™―β€˜π΄)) = ((β™―β€˜π΄) + 𝑐))
131130fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (β„€β‰₯β€˜(𝑐 + (β™―β€˜π΄))) = (β„€β‰₯β€˜((β™―β€˜π΄) + 𝑐)))
132123, 128, 1313eltr3d 2852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ((β™―β€˜π΄) + (β™―β€˜π‘“)) ∈ (β„€β‰₯β€˜((β™―β€˜π΄) + 𝑐)))
133118, 132eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (β™―β€˜(𝐴 ++ 𝑓)) ∈ (β„€β‰₯β€˜((β™―β€˜π΄) + 𝑐)))
134 lencl 14428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐡 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) β†’ (β™―β€˜π΅) ∈ β„•0)
13588, 134syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (β™―β€˜π΅) ∈ β„•0)
136 uzaddcl 12836 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((β™―β€˜(𝐴 ++ 𝑓)) ∈ (β„€β‰₯β€˜((β™―β€˜π΄) + 𝑐)) ∧ (β™―β€˜π΅) ∈ β„•0) β†’ ((β™―β€˜(𝐴 ++ 𝑓)) + (β™―β€˜π΅)) ∈ (β„€β‰₯β€˜((β™―β€˜π΄) + 𝑐)))
137133, 135, 136syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ((β™―β€˜(𝐴 ++ 𝑓)) + (β™―β€˜π΅)) ∈ (β„€β‰₯β€˜((β™―β€˜π΄) + 𝑐)))
138116, 137eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (β™―β€˜((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡)) ∈ (β„€β‰₯β€˜((β™―β€˜π΄) + 𝑐)))
139 elfzuzb 13442 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((β™―β€˜π΄) + 𝑐) ∈ (0...(β™―β€˜((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡))) ↔ (((β™―β€˜π΄) + 𝑐) ∈ (β„€β‰₯β€˜0) ∧ (β™―β€˜((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡)) ∈ (β„€β‰₯β€˜((β™―β€˜π΄) + 𝑐))))
140113, 138, 139sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ((β™―β€˜π΄) + 𝑐) ∈ (0...(β™―β€˜((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡))))
1411, 2, 3, 4efgtval 19512 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡) ∈ π‘Š ∧ ((β™―β€˜π΄) + 𝑐) ∈ (0...(β™―β€˜((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡))) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o)) β†’ (((β™―β€˜π΄) + 𝑐)(π‘‡β€˜((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡))𝑒) = (((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡) splice ⟨((β™―β€˜π΄) + 𝑐), ((β™―β€˜π΄) + 𝑐), βŸ¨β€œπ‘’(π‘€β€˜π‘’)β€βŸ©βŸ©))
14272, 140, 70, 141syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (((β™―β€˜π΄) + 𝑐)(π‘‡β€˜((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡))𝑒) = (((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡) splice ⟨((β™―β€˜π΄) + 𝑐), ((β™―β€˜π΄) + 𝑐), βŸ¨β€œπ‘’(π‘€β€˜π‘’)β€βŸ©βŸ©))
143 wrd0 14434 . . . . . . . . . . . . . . . 16 βˆ… ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)
144143a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ βˆ… ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
145 ccatcl 14469 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑓 substr βŸ¨π‘, (β™―β€˜π‘“)⟩) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝐡 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ ((𝑓 substr βŸ¨π‘, (β™―β€˜π‘“)⟩) ++ 𝐡) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
14687, 88, 145syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ((𝑓 substr βŸ¨π‘, (β™―β€˜π‘“)⟩) ++ 𝐡) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
147 ccatrid 14482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐)) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) β†’ ((𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐)) ++ βˆ…) = (𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐)))
14879, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ((𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐)) ++ βˆ…) = (𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐)))
149148oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (((𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐)) ++ βˆ…) ++ ((𝑓 substr βŸ¨π‘, (β™―β€˜π‘“)⟩) ++ 𝐡)) = ((𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐)) ++ ((𝑓 substr βŸ¨π‘, (β™―β€˜π‘“)⟩) ++ 𝐡)))
150 ccatass 14483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐)) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ (𝑓 substr βŸ¨π‘, (β™―β€˜π‘“)⟩) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝐡 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ (((𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐)) ++ (𝑓 substr βŸ¨π‘, (β™―β€˜π‘“)⟩)) ++ 𝐡) = ((𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐)) ++ ((𝑓 substr βŸ¨π‘, (β™―β€˜π‘“)⟩) ++ 𝐡)))
15179, 87, 88, 150syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (((𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐)) ++ (𝑓 substr βŸ¨π‘, (β™―β€˜π‘“)⟩)) ++ 𝐡) = ((𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐)) ++ ((𝑓 substr βŸ¨π‘, (β™―β€˜π‘“)⟩) ++ 𝐡)))
152 ccatass 14483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ (𝑓 prefix 𝑐) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ (𝑓 substr βŸ¨π‘, (β™―β€˜π‘“)⟩) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ ((𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐)) ++ (𝑓 substr βŸ¨π‘, (β™―β€˜π‘“)⟩)) = (𝐴 ++ ((𝑓 prefix 𝑐) ++ (𝑓 substr βŸ¨π‘, (β™―β€˜π‘“)⟩))))
15374, 77, 87, 152syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ((𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐)) ++ (𝑓 substr βŸ¨π‘, (β™―β€˜π‘“)⟩)) = (𝐴 ++ ((𝑓 prefix 𝑐) ++ (𝑓 substr βŸ¨π‘, (β™―β€˜π‘“)⟩))))
154125, 108eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (β™―β€˜π‘“) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
155 eluzfz2 13456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((β™―β€˜π‘“) ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (β™―β€˜π‘“) ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)))
156154, 155syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (β™―β€˜π‘“) ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)))
157 ccatpfx 14596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑓 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ (β™―β€˜π‘“) ∈ (0...(β™―β€˜π‘“))) β†’ ((𝑓 prefix 𝑐) ++ (𝑓 substr βŸ¨π‘, (β™―β€˜π‘“)⟩)) = (𝑓 prefix (β™―β€˜π‘“)))
15875, 69, 156, 157syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ((𝑓 prefix 𝑐) ++ (𝑓 substr βŸ¨π‘, (β™―β€˜π‘“)⟩)) = (𝑓 prefix (β™―β€˜π‘“)))
159 pfxid 14579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) β†’ (𝑓 prefix (β™―β€˜π‘“)) = 𝑓)
16075, 159syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (𝑓 prefix (β™―β€˜π‘“)) = 𝑓)
161158, 160eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ((𝑓 prefix 𝑐) ++ (𝑓 substr βŸ¨π‘, (β™―β€˜π‘“)⟩)) = 𝑓)
162161oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (𝐴 ++ ((𝑓 prefix 𝑐) ++ (𝑓 substr βŸ¨π‘, (β™―β€˜π‘“)⟩))) = (𝐴 ++ 𝑓))
163153, 162eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ((𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐)) ++ (𝑓 substr βŸ¨π‘, (β™―β€˜π‘“)⟩)) = (𝐴 ++ 𝑓))
164163oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (((𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐)) ++ (𝑓 substr βŸ¨π‘, (β™―β€˜π‘“)⟩)) ++ 𝐡) = ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡))
165149, 151, 1643eqtr2rd 2784 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡) = (((𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐)) ++ βˆ…) ++ ((𝑓 substr βŸ¨π‘, (β™―β€˜π‘“)⟩) ++ 𝐡)))
166 ccatlen 14470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ (𝑓 prefix 𝑐) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ (β™―β€˜(𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐))) = ((β™―β€˜π΄) + (β™―β€˜(𝑓 prefix 𝑐))))
16774, 77, 166syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (β™―β€˜(𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐))) = ((β™―β€˜π΄) + (β™―β€˜(𝑓 prefix 𝑐))))
168 pfxlen 14578 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“))) β†’ (β™―β€˜(𝑓 prefix 𝑐)) = 𝑐)
16975, 69, 168syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (β™―β€˜(𝑓 prefix 𝑐)) = 𝑐)
170169oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ((β™―β€˜π΄) + (β™―β€˜(𝑓 prefix 𝑐))) = ((β™―β€˜π΄) + 𝑐))
171167, 170eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ((β™―β€˜π΄) + 𝑐) = (β™―β€˜(𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐))))
172 hash0 14274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (β™―β€˜βˆ…) = 0
173172oveq2i 7373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((β™―β€˜π΄) + 𝑐) + (β™―β€˜βˆ…)) = (((β™―β€˜π΄) + 𝑐) + 0)
174107, 111nn0addcld 12484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ((β™―β€˜π΄) + 𝑐) ∈ β„•0)
175174nn0cnd 12482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ((β™―β€˜π΄) + 𝑐) ∈ β„‚)
176175addid1d 11362 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (((β™―β€˜π΄) + 𝑐) + 0) = ((β™―β€˜π΄) + 𝑐))
177173, 176eqtr2id 2790 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ((β™―β€˜π΄) + 𝑐) = (((β™―β€˜π΄) + 𝑐) + (β™―β€˜βˆ…)))
17879, 144, 146, 83, 165, 171, 177splval2 14652 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡) splice ⟨((β™―β€˜π΄) + 𝑐), ((β™―β€˜π΄) + 𝑐), βŸ¨β€œπ‘’(π‘€β€˜π‘’)β€βŸ©βŸ©) = (((𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐)) ++ βŸ¨β€œπ‘’(π‘€β€˜π‘’)β€βŸ©) ++ ((𝑓 substr βŸ¨π‘, (β™―β€˜π‘“)⟩) ++ 𝐡)))
179142, 178eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (((β™―β€˜π΄) + 𝑐)(π‘‡β€˜((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡))𝑒) = (((𝐴 ++ (𝑓 prefix 𝑐)) ++ βŸ¨β€œπ‘’(π‘€β€˜π‘’)β€βŸ©) ++ ((𝑓 substr βŸ¨π‘, (β™―β€˜π‘“)⟩) ++ 𝐡)))
18090, 105, 1793eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ((𝐴 ++ (𝑐(π‘‡β€˜π‘“)𝑒)) ++ 𝐡) = (((β™―β€˜π΄) + 𝑐)(π‘‡β€˜((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡))𝑒))
1811, 2, 3, 4efgtf 19511 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡) ∈ π‘Š β†’ ((π‘‡β€˜((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡)) = (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡))), 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡) splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©)) ∧ (π‘‡β€˜((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡)):((0...(β™―β€˜((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡))) Γ— (𝐼 Γ— 2o))βŸΆπ‘Š))
182181simprd 497 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡) ∈ π‘Š β†’ (π‘‡β€˜((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡)):((0...(β™―β€˜((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡))) Γ— (𝐼 Γ— 2o))βŸΆπ‘Š)
183 ffn 6673 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘‡β€˜((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡)):((0...(β™―β€˜((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡))) Γ— (𝐼 Γ— 2o))βŸΆπ‘Š β†’ (π‘‡β€˜((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡)) Fn ((0...(β™―β€˜((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡))) Γ— (𝐼 Γ— 2o)))
18472, 182, 1833syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (π‘‡β€˜((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡)) Fn ((0...(β™―β€˜((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡))) Γ— (𝐼 Γ— 2o)))
185 fnovrn 7534 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘‡β€˜((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡)) Fn ((0...(β™―β€˜((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡))) Γ— (𝐼 Γ— 2o)) ∧ ((β™―β€˜π΄) + 𝑐) ∈ (0...(β™―β€˜((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡))) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o)) β†’ (((β™―β€˜π΄) + 𝑐)(π‘‡β€˜((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡))𝑒) ∈ ran (π‘‡β€˜((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡)))
186184, 140, 70, 185syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (((β™―β€˜π΄) + 𝑐)(π‘‡β€˜((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡))𝑒) ∈ ran (π‘‡β€˜((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡)))
187180, 186eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ((𝐴 ++ (𝑐(π‘‡β€˜π‘“)𝑒)) ++ 𝐡) ∈ ran (π‘‡β€˜((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡)))
1881, 2, 3, 4efgi2 19514 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡) ∈ π‘Š ∧ ((𝐴 ++ (𝑐(π‘‡β€˜π‘“)𝑒)) ++ 𝐡) ∈ ran (π‘‡β€˜((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡))) β†’ ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡) ∼ ((𝐴 ++ (𝑐(π‘‡β€˜π‘“)𝑒)) ++ 𝐡))
18972, 187, 188syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡) ∼ ((𝐴 ++ (𝑐(π‘‡β€˜π‘“)𝑒)) ++ 𝐡))
1901, 2, 3, 4, 9, 10, 6efgcpbllema 19543 . . . . . . . . . 10 (𝑓𝐿(𝑐(π‘‡β€˜π‘“)𝑒) ↔ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ (𝑐(π‘‡β€˜π‘“)𝑒) ∈ π‘Š ∧ ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐡) ∼ ((𝐴 ++ (𝑐(π‘‡β€˜π‘“)𝑒)) ++ 𝐡)))
19167, 71, 189, 190syl3anbrc 1344 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ 𝑓𝐿(𝑐(π‘‡β€˜π‘“)𝑒))
192 vex 3452 . . . . . . . . . . 11 π‘Ž ∈ V
193 vex 3452 . . . . . . . . . . 11 𝑓 ∈ V
194192, 193elec 8699 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž ∈ [𝑓]𝐿 ↔ π‘“πΏπ‘Ž)
195 breq2 5114 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = (𝑐(π‘‡β€˜π‘“)𝑒) β†’ (π‘“πΏπ‘Ž ↔ 𝑓𝐿(𝑐(π‘‡β€˜π‘“)𝑒)))
196194, 195bitrid 283 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = (𝑐(π‘‡β€˜π‘“)𝑒) β†’ (π‘Ž ∈ [𝑓]𝐿 ↔ 𝑓𝐿(𝑐(π‘‡β€˜π‘“)𝑒)))
197191, 196syl5ibrcom 247 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) ∧ (𝑐 ∈ (0...(β™―β€˜π‘“)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (π‘Ž = (𝑐(π‘‡β€˜π‘“)𝑒) β†’ π‘Ž ∈ [𝑓]𝐿))
198197rexlimdvva 3206 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (0...(β™―β€˜π‘“))βˆƒπ‘’ ∈ (𝐼 Γ— 2o)π‘Ž = (𝑐(π‘‡β€˜π‘“)𝑒) β†’ π‘Ž ∈ [𝑓]𝐿))
19966, 198sylbid 239 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) β†’ (π‘Ž ∈ ran (π‘‡β€˜π‘“) β†’ π‘Ž ∈ [𝑓]𝐿))
200199ssrdv 3955 . . . . 5 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) β†’ ran (π‘‡β€˜π‘“) βŠ† [𝑓]𝐿)
201200ralrimiva 3144 . . . 4 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ βˆ€π‘“ ∈ π‘Š ran (π‘‡β€˜π‘“) βŠ† [𝑓]𝐿)
2021fvexi 6861 . . . . . 6 π‘Š ∈ V
203 erex 8679 . . . . . 6 (𝐿 Er π‘Š β†’ (π‘Š ∈ V β†’ 𝐿 ∈ V))
20460, 202, 203mpisyl 21 . . . . 5 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ 𝐿 ∈ V)
205 ereq1 8662 . . . . . . 7 (π‘Ÿ = 𝐿 β†’ (π‘Ÿ Er π‘Š ↔ 𝐿 Er π‘Š))
206 eceq2 8695 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ = 𝐿 β†’ [𝑓]π‘Ÿ = [𝑓]𝐿)
207206sseq2d 3981 . . . . . . . 8 (π‘Ÿ = 𝐿 β†’ (ran (π‘‡β€˜π‘“) βŠ† [𝑓]π‘Ÿ ↔ ran (π‘‡β€˜π‘“) βŠ† [𝑓]𝐿))
208207ralbidv 3175 . . . . . . 7 (π‘Ÿ = 𝐿 β†’ (βˆ€π‘“ ∈ π‘Š ran (π‘‡β€˜π‘“) βŠ† [𝑓]π‘Ÿ ↔ βˆ€π‘“ ∈ π‘Š ran (π‘‡β€˜π‘“) βŠ† [𝑓]𝐿))
209205, 208anbi12d 632 . . . . . 6 (π‘Ÿ = 𝐿 β†’ ((π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘“ ∈ π‘Š ran (π‘‡β€˜π‘“) βŠ† [𝑓]π‘Ÿ) ↔ (𝐿 Er π‘Š ∧ βˆ€π‘“ ∈ π‘Š ran (π‘‡β€˜π‘“) βŠ† [𝑓]𝐿)))
210209elabg 3633 . . . . 5 (𝐿 ∈ V β†’ (𝐿 ∈ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘“ ∈ π‘Š ran (π‘‡β€˜π‘“) βŠ† [𝑓]π‘Ÿ)} ↔ (𝐿 Er π‘Š ∧ βˆ€π‘“ ∈ π‘Š ran (π‘‡β€˜π‘“) βŠ† [𝑓]𝐿)))
211204, 210syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ (𝐿 ∈ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘“ ∈ π‘Š ran (π‘‡β€˜π‘“) βŠ† [𝑓]π‘Ÿ)} ↔ (𝐿 Er π‘Š ∧ βˆ€π‘“ ∈ π‘Š ran (π‘‡β€˜π‘“) βŠ† [𝑓]𝐿)))
21260, 201, 211mpbir2and 712 . . 3 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ 𝐿 ∈ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘“ ∈ π‘Š ran (π‘‡β€˜π‘“) βŠ† [𝑓]π‘Ÿ)})
213 intss1 4929 . . 3 (𝐿 ∈ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘“ ∈ π‘Š ran (π‘‡β€˜π‘“) βŠ† [𝑓]π‘Ÿ)} β†’ ∩ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘“ ∈ π‘Š ran (π‘‡β€˜π‘“) βŠ† [𝑓]π‘Ÿ)} βŠ† 𝐿)
214212, 213syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ ∩ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘“ ∈ π‘Š ran (π‘‡β€˜π‘“) βŠ† [𝑓]π‘Ÿ)} βŠ† 𝐿)
2155, 214eqsstrid 3997 1 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ ∼ βŠ† 𝐿)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2714  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  {crab 3410  Vcvv 3448   βˆ– cdif 3912   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  {csn 4591  {cpr 4593  βŸ¨cop 4597  βŸ¨cotp 4599  βˆ© cint 4912  βˆͺ ciun 4959   class class class wbr 5110  {copab 5172   ↦ cmpt 5193   I cid 5535   Γ— cxp 5636  ran crn 5639  Rel wrel 5643   Fn wfn 6496  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ∈ cmpo 7364  1oc1o 8410  2oc2o 8411   Er wer 8652  [cec 8653  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   βˆ’ cmin 11392  β„•0cn0 12420  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770  ...cfz 13431  ..^cfzo 13574  β™―chash 14237  Word cword 14409   ++ cconcat 14465   substr csubstr 14535   prefix cpfx 14565   splice csplice 14644  βŸ¨β€œcs2 14737   ~FG cefg 19495
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-ec 8657  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-hash 14238  df-word 14410  df-concat 14466  df-s1 14491  df-substr 14536  df-pfx 14566  df-splice 14645  df-s2 14744  df-efg 19498
This theorem is referenced by:  efgcpbl  19545
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