Theorem prss 4752

Description: A pair of elements of a class is a subset of the class. Theorem 7.5 of [Quine] p. 49. (Contributed by NM, 30-May-1994.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 29-Jun-2011.) (Proof shortened by JJ, 23-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
prss.1	⊢ 𝐴 ∈ V
prss.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
prss	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem prss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prss.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		prss.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		prssg 4751	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶))
4	1, 2, 3	mp2an 690	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶)

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∈ wcel 2110  Vcvv 3494   ⊆ wss 3935  {cpr 4568

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-v 3496  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-sn 4567  df-pr 4569

This theorem is referenced by:  tpss  4767  uniintsn  4912  pwssun  5455  xpsspw  5681  dffv2  6755  fiint  8794  wunex2  10159  hashfun  13797  fun2dmnop0  13851  prdsle  16734  prdsless  16735  prdsleval  16749  pwsle  16764  acsfn2  16933  joinfval  17610  joindmss  17616  meetfval  17624  meetdmss  17630  clatl  17725  ipoval  17763  ipolerval  17765  eqgfval  18327  eqgval  18328  gaorb  18436  pmtrrn2  18587  efgcpbllema  18879  frgpuplem  18897  isnzr2hash  20036  ltbval  20251  ltbwe  20252  opsrle  20255  opsrtoslem1  20263  thlle  20840  isphtpc  23597  axlowdimlem4  26730  structgrssvtx  26808  structgrssiedg  26809  umgredg  26922  wlk1walk  27419  wlkonl1iedg  27446  wlkdlem2  27464  3wlkdlem6  27943  frcond2  28045  frcond3  28047  nfrgr2v  28050  frgr3vlem1  28051  frgr3vlem2  28052  2pthfrgrrn  28060  frgrncvvdeqlem2  28078  shincli  29138  chincli  29236  lsmsnorb  30945  coinfliprv  31740  altxpsspw  33438  mnurndlem1  40615  fourierdlem103  42493  fourierdlem104  42494  nnsum3primes4  43952