Theorem elimaint 44789

Description: Element of image of intersection. (Contributed by RP, 13-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
elimaint	⊢ (𝑦 ∈ (∩ 𝐴 “ 𝐵) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐴 ⟨𝑏, 𝑦⟩ ∈ 𝑎)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝐴   𝐵,𝑏   𝑦,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦, 𝑎)

Proof of Theorem elimaint

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3457	. . 3 ⊢ 𝑦 ∈ V
2	1	elima 6066	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ (∩ 𝐴 “ 𝐵) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑏∩ 𝐴𝑦)
3		df-br 5106	. . . 4 ⊢ (𝑏∩ 𝐴𝑦 ↔ ⟨𝑏, 𝑦⟩ ∈ ∩ 𝐴)
4		opex 5435	. . . . 5 ⊢ ⟨𝑏, 𝑦⟩ ∈ V
5	4	elint2 4916	. . . 4 ⊢ (⟨𝑏, 𝑦⟩ ∈ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ⟨𝑏, 𝑦⟩ ∈ 𝑎)
6	3, 5	bitri 278	. . 3 ⊢ (𝑏∩ 𝐴𝑦 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ⟨𝑏, 𝑦⟩ ∈ 𝑎)
7	6	rexbii 3112	. 2 ⊢ (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑏∩ 𝐴𝑦 ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐴 ⟨𝑏, 𝑦⟩ ∈ 𝑎)
8	2, 7	bitri 278	1 ⊢ (𝑦 ∈ (∩ 𝐴 “ 𝐵) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐴 ⟨𝑏, 𝑦⟩ ∈ 𝑎)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2146  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  ⟨cop 4837  ∩ cint 4909   class class class wbr 5105   “ cima 5657

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-pr 5394

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2101  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3416  df-v 3455  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-int 4910  df-br 5106  df-opab 5170  df-xp 5660  df-cnv 5662  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667

This theorem is used by:  intimass  44794  intimag  44796