Theorem elimaint 40349

Description: Element of image of intersection. (Contributed by RP, 13-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
elimaint	⊢ (𝑦 ∈ (∩ 𝐴 “ 𝐵) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐴 ⟨𝑏, 𝑦⟩ ∈ 𝑎)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝐴   𝐵,𝑏   𝑦,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦,𝑎)

Proof of Theorem elimaint

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3444	. . 3 ⊢ 𝑦 ∈ V
2	1	elima 5901	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ (∩ 𝐴 “ 𝐵) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑏∩ 𝐴𝑦)
3		df-br 5031	. . . 4 ⊢ (𝑏∩ 𝐴𝑦 ↔ ⟨𝑏, 𝑦⟩ ∈ ∩ 𝐴)
4		opex 5321	. . . . 5 ⊢ ⟨𝑏, 𝑦⟩ ∈ V
5	4	elint2 4845	. . . 4 ⊢ (⟨𝑏, 𝑦⟩ ∈ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ⟨𝑏, 𝑦⟩ ∈ 𝑎)
6	3, 5	bitri 278	. . 3 ⊢ (𝑏∩ 𝐴𝑦 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ⟨𝑏, 𝑦⟩ ∈ 𝑎)
7	6	rexbii 3210	. 2 ⊢ (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑏∩ 𝐴𝑦 ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐴 ⟨𝑏, 𝑦⟩ ∈ 𝑎)
8	2, 7	bitri 278	1 ⊢ (𝑦 ∈ (∩ 𝐴 “ 𝐵) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐴 ⟨𝑏, 𝑦⟩ ∈ 𝑎)

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  ⟨cop 4531  ∩ cint 4838   class class class wbr 5030   “ cima 5522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-v 3443  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-int 4839  df-br 5031  df-opab 5093  df-xp 5525  df-cnv 5527  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532

This theorem is referenced by:  intimass  40355  intimag  40357