Theorem elsymrelsrel 39716

Description: For sets, being an element of the class of symmetric relations (df-symrels 39698) is equivalent to satisfying the symmetric relation predicate. (Contributed by Peter Mazsa, 17-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
elsymrelsrel	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 ∈ SymRels ↔ SymRel 𝑅))

Proof of Theorem elsymrelsrel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrelsrel 39517	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 ∈ Rels ↔ Rel 𝑅))
2	1	anbi2d 642	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((◡𝑅 ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ Rels ) ↔ (◡𝑅 ⊆ 𝑅 ∧ Rel 𝑅)))
3		elsymrels2 39712	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ SymRels ↔ (◡𝑅 ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ Rels ))
4		dfsymrel2 39708	. 2 ⊢ ( SymRel 𝑅 ↔ (◡𝑅 ⊆ 𝑅 ∧ Rel 𝑅))
5	2, 3, 4	3bitr4g 317	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 ∈ SymRels ↔ SymRel 𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3900  ^◡ccnv 5654  Rel wrel 5660   Rels crels 39260   SymRels csymrels 39269   SymRel wsymrel 39270

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2101  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-br 5107  df-opab 5171  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-rels 39515  df-ssr 39653  df-syms 39697  df-symrels 39698  df-symrel 39699

This theorem is used by:  elrefsymrelsrel  39730