Theorem elsymrelsrel 38084

Description: For sets, being an element of the class of symmetric relations (df-symrels 38070) is equivalent to satisfying the symmetric relation predicate. (Contributed by Peter Mazsa, 17-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
elsymrelsrel	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 ∈ SymRels ↔ SymRel 𝑅))

Proof of Theorem elsymrelsrel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrelsrel 38014	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 ∈ Rels ↔ Rel 𝑅))
2	1	anbi2d 628	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((◡𝑅 ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ Rels ) ↔ (◡𝑅 ⊆ 𝑅 ∧ Rel 𝑅)))
3		elsymrels2 38080	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ SymRels ↔ (◡𝑅 ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ Rels ))
4		dfsymrel2 38076	. 2 ⊢ ( SymRel 𝑅 ↔ (◡𝑅 ⊆ 𝑅 ∧ Rel 𝑅))
5	2, 3, 4	3bitr4g 313	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 ∈ SymRels ↔ SymRel 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3940  ^◡ccnv 5671  Rel wrel 5677   Rels crels 37706   SymRels csymrels 37715   SymRel wsymrel 37716

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pr 5423

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-br 5144  df-opab 5206  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-rels 38012  df-ssr 38025  df-syms 38069  df-symrels 38070  df-symrel 38071

This theorem is referenced by:  elrefsymrelsrel  38098