Theorem elsymrelsrel 36598

Description: For sets, being an element of the class of symmetric relations (df-symrels 36584) is equivalent to satisfying the symmetric relation predicate. (Contributed by Peter Mazsa, 17-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
elsymrelsrel	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 ∈ SymRels ↔ SymRel 𝑅))

Proof of Theorem elsymrelsrel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrelsrel 36532	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 ∈ Rels ↔ Rel 𝑅))
2	1	anbi2d 628	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((◡𝑅 ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ Rels ) ↔ (◡𝑅 ⊆ 𝑅 ∧ Rel 𝑅)))
3		elsymrels2 36594	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ SymRels ↔ (◡𝑅 ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ Rels ))
4		dfsymrel2 36590	. 2 ⊢ ( SymRel 𝑅 ↔ (◡𝑅 ⊆ 𝑅 ∧ Rel 𝑅))
5	2, 3, 4	3bitr4g 313	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 ∈ SymRels ↔ SymRel 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3883  ^◡ccnv 5579  Rel wrel 5585   Rels crels 36262   SymRels csymrels 36271   SymRel wsymrel 36272

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-br 5071  df-opab 5133  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-rels 36530  df-ssr 36543  df-syms 36583  df-symrels 36584  df-symrel 36585

This theorem is referenced by:  elrefsymrelsrel  36612