Theorem breq 5145

Description: Equality theorem for binary relations. (Contributed by NM, 4-Jun-1995.)

Assertion

Ref	Expression
breq	⊢ (𝑅 = 𝑆 → (𝐴𝑅𝐵 ↔ 𝐴𝑆𝐵))

Proof of Theorem breq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 2830	. 2 ⊢ (𝑅 = 𝑆 → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑆))
2		df-br 5144	. 2 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅)
3		df-br 5144	. 2 ⊢ (𝐴𝑆𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑆)
4	1, 2, 3	3bitr4g 314	1 ⊢ (𝑅 = 𝑆 → (𝐴𝑅𝐵 ↔ 𝐴𝑆𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ⟨cop 4632   class class class wbr 5143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2708

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-ex 1780  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-br 5144

This theorem is referenced by:  breqi  5149  breqd  5154  poeq1  5595  soeq1  5613  freq1  5652  fveq1  6905  foeqcnvco  7320  f1eqcocnv  7321  isoeq2  7338  isoeq3  7339  eqfunresadj  7380  brfvopab  7490  ofreq  7701  supeq3  9489  oieq1  9552  ttrcleq  9749  dcomex  10487  axdc2lem  10488  brdom3  10568  brdom7disj  10571  brdom6disj  10572  dfrtrclrec2  15097  relexpindlem  15102  rtrclind  15104  shftfval  15109  isprs  18342  isdrs  18347  ispos  18360  istos  18463  efglem  19734  frgpuplem  19790  ordtval  23197  utop2nei  24259  utop3cls  24260  isucn2  24288  ucnima  24290  iducn  24292  ex-opab  30451  resspos  32956  acycgr0v  35153  prclisacycgr  35156  satf  35358  cureq  37603  poimirlem31  37658  poimir  37660  cosseq  38427  elrefrels3  38520  elcnvrefrels3  38536  elsymrels3  38555  elsymrels5  38557  eltrrels3  38581  eleqvrels3  38594  brabsb2  38863  rfovfvd  44015  fsovrfovd  44022  relpeq2  44966  relpeq3  44967  sprsymrelf  47482  sprsymrelfo  47484  upwlkbprop  48054