Theorem breq 5110

Description: Equality theorem for binary relations. (Contributed by NM, 4-Jun-1995.)

Assertion

Ref	Expression
breq	⊢ (𝑅 = 𝑆 → (𝐴𝑅𝐵 ↔ 𝐴𝑆𝐵))

Proof of Theorem breq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 2851	. 2 ⊢ (𝑅 = 𝑆 → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑆))
2		df-br 5109	. 2 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅)
3		df-br 5109	. 2 ⊢ (𝐴𝑆𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑆)
4	1, 2, 3	3bitr4g 317	1 ⊢ (𝑅 = 𝑆 → (𝐴𝑅𝐵 ↔ 𝐴𝑆𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ⟨cop 4594   class class class wbr 5108

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-ex 1809  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-br 5109

This theorem is used by:  breqi  5114  breqd  5119  poeq1  5571  soeq1  5589  freq1  5627  fveq1  6880  foeqcnvco  7298  f1eqcocnv  7299  isoeq2  7316  isoeq3  7317  eqfunresadj  7360  brfvopab  7469  ofreq  7680  supeq3  9407  oieq1  9472  ttrcleq  9676  dcomex  10437  axdc2lem  10438  brdom3  10518  brdom7disj  10521  brdom6disj  10522  dfrtrclrec2  15102  relexpindlem  15107  rtrclind  15109  shftfval  15114  isprs  18358  isdrs  18363  ispos  18376  istos  18478  resspos  18491  chneq1  18674  efglem  19792  frgpuplem  19848  ordtval  23357  utop2nei  24418  utop3cls  24419  isucn2  24446  ucnima  24448  iducn  24450  ex-opab  30794  acycgr0v  35648  prclisacycgr  35651  satf  35853  cureq  38275  poimirlem31  38330  poimir  38332  cosseq  39193  elrefrels3  39276  elcnvrefrels3  39292  elsymrels3  39315  elsymrels5  39317  eltrrels3  39341  eleqvrels3  39354  brabsb2  39664  rfovfvd  44756  fsovrfovd  44763  relpeq2  45682  relpeq3  45683  sprsymrelf  48272  sprsymrelfo  48274  upwlkbprop  48931