Theorem fabex 7916

Description: Existence of a set of functions. (Contributed by NM, 3-Dec-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
fabex.1	⊢ 𝐴 ∈ V
fabex.2	⊢ 𝐵 ∈ V
fabex.3	⊢ 𝐹 = {𝑥 ∣ (𝑥:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝜑)}

Assertion

Ref	Expression
fabex	⊢ 𝐹 ∈ V

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fabex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fabex.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		fabex.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		fabex.3	. . 3 ⊢ 𝐹 = {𝑥 ∣ (𝑥:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝜑)}
4	3	fabexg 7914	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
5	1, 2, 4	mp2an 692	1 ⊢ 𝐹 ∈ V

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cab 2707  Vcvv 3447  ⟶wf 6507

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-dm 5648  df-rn 5649  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515

This theorem is referenced by: (None)