Theorem fabexg 7977

Description: Existence of a set of functions. (Contributed by Paul Chapman, 25-Feb-2008.) (Proof shortened by AV, 9-Jun-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
fabexg.1	⊢ 𝐹 = {𝑥 ∣ (𝑥:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝜑)}

Assertion

Ref	Expression
fabexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐹 ∈ V)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fabexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3475	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → 𝐴 ∈ V)
2		elex 3475	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → 𝐵 ∈ V)
3		fabexg.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = {𝑥 ∣ (𝑥:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝜑)}
4		simprl 783	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑥:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝜑)) → 𝑥:𝐴⟶𝐵)
5		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
6		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐵 ∈ V)
7	4, 5, 6	fabexd 7976	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → {𝑥 ∣ (𝑥:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝜑)} ∈ V)
8	3, 7	eqeltrid 2868	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
9	1, 2, 8	syl2an 608	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐹 ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {cab 2741  Vcvv 3454  ⟶wf 6557

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-dm 5666  df-rn 5667  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565

This theorem is used by:  fabex  7978  mapex  7979  elghomlem1OLD  39022