Theorem fabexg 7939

Description: Existence of a set of functions. (Contributed by Paul Chapman, 25-Feb-2008.) (Proof shortened by AV, 9-Jun-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
fabexg.1	⊢ 𝐹 = {𝑥 ∣ (𝑥:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝜑)}

Assertion

Ref	Expression
fabexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐹 ∈ V)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fabexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3472	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → 𝐴 ∈ V)
2		elex 3472	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → 𝐵 ∈ V)
3		fabexg.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = {𝑥 ∣ (𝑥:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝜑)}
4		simprl 783	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑥:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝜑)) → 𝑥:𝐴⟶𝐵)
5		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
6		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐵 ∈ V)
7	4, 5, 6	fabexd 7938	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → {𝑥 ∣ (𝑥:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝜑)} ∈ V)
8	3, 7	eqeltrid 2865	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
9	1, 2, 8	syl2an 608	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐹 ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cab 2739  Vcvv 3451  ⟶wf 6527

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-dm 5661  df-rn 5662  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535

This theorem is used by:  fabex  7940  mapex  7941  elghomlem1OLD  38787