Theorem fmptpr 7130

Description: Express a pair function in maps-to notation. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmptpr.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
fmptpr.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
fmptpr.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
fmptpr.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)
fmptpr.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝐸 = 𝐶)
fmptpr.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐸 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
fmptpr	⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem fmptpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4585	. . 3 ⊢ {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩})
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
3		fmptpr.5	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝐸 = 𝐶)
4		fmptpr.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		fmptpr.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
6	3, 4, 5	fmptsnd 7127	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐶⟩} = (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐸))
7	6	uneq1d 4121	. 2 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = ((𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐸) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
8		fmptpr.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
9		fmptpr.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)
10		df-pr 4585	. . . . 5 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
11	10	eqcomi 2746	. . . 4 ⊢ ({𝐴} ∪ {𝐵}) = {𝐴, 𝐵}
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴} ∪ {𝐵}) = {𝐴, 𝐵})
13		fmptpr.6	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐸 = 𝐷)
14	8, 9, 12, 13	fmptapd 7129	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐸) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐸))
15	2, 7, 14	3eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3901  {csn 4582  {cpr 4584  ⟨cop 4588   ↦ cmpt 5181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-pr 5381

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-opab 5163  df-mpt 5182

This theorem is referenced by:  pmtrprfvalrn  19434  esumsnf  34248  sge0sn  46766  zlmodzxzscm  48746  zlmodzxzadd  48747