Theorem fmptpr 7170

Description: Express a pair function in maps-to notation. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmptpr.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
fmptpr.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
fmptpr.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
fmptpr.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)
fmptpr.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝐸 = 𝐶)
fmptpr.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐸 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
fmptpr	⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem fmptpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4591	. . 3 ⊢ {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩})
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
3		fmptpr.5	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝐸 = 𝐶)
4		fmptpr.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		fmptpr.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
6	3, 4, 5	fmptsnd 7167	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐶⟩} = (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐸))
7	6	uneq1d 4120	. 2 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = ((𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐸) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
8		fmptpr.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
9		fmptpr.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)
10		df-pr 4591	. . . . 5 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
11	10	eqcomi 2771	. . . 4 ⊢ ({𝐴} ∪ {𝐵}) = {𝐴, 𝐵}
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴} ∪ {𝐵}) = {𝐴, 𝐵})
13		fmptpr.6	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐸 = 𝐷)
14	8, 9, 12, 13	fmptapd 7169	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐸) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐸))
15	2, 7, 14	3eqtrd 2801	1 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐸))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ∪ cun 3902  {csn 4588  {cpr 4590  ⟨cop 4594   ↦ cmpt 5191

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-pr 5403

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-opab 5173  df-mpt 5192

This theorem is used by:  pmtrprfvalrn  19564  esumsnf  34463  sge0sn  47121  zlmodzxzscm  49165  zlmodzxzadd  49166