Theorem esumsnf 34048

Description: The extended sum of a singleton is the term. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jan-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 2-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumsnf.0	⊢ Ⅎ𝑘𝐵
esumsnf.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐵)
esumsnf.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
esumsnf.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
esumsnf	⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem esumsnf

Dummy variables 𝑥 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-esum 34012	. . 3 ⊢ Σ*𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)))
3		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
4		snfi 8991	. . . . 5 ⊢ {𝑀} ∈ Fin
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑀} ∈ Fin)
6		elsni 4602	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀} → 𝑘 = 𝑀)
7		esumsnf.1	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐵)
8	6, 7	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝐴 = 𝐵)
9	8	mpteq2dva 5195	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐵))
10		esumsnf.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
11		esumsnf.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
12		fmptsn 7123	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → {⟨𝑀, 𝐵⟩} = (𝑙 ∈ {𝑀} ↦ 𝐵))
13		nfcv 2891	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑙𝐵
14		esumsnf.0	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘𝐵
15		eqidd 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → 𝐵 = 𝐵)
16	13, 14, 15	cbvmpt 5204	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐵) = (𝑙 ∈ {𝑀} ↦ 𝐵)
17	12, 16	eqtr4di 2782	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → {⟨𝑀, 𝐵⟩} = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐵))
18	10, 11, 17	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑀, 𝐵⟩} = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐵))
19	9, 18	eqtr4d 2767	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) = {⟨𝑀, 𝐵⟩})
20		fsng 7091	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴):{𝑀}⟶{𝐵} ↔ (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) = {⟨𝑀, 𝐵⟩}))
21	10, 11, 20	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴):{𝑀}⟶{𝐵} ↔ (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) = {⟨𝑀, 𝐵⟩}))
22	19, 21	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴):{𝑀}⟶{𝐵})
23	11	snssd 4769	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝐵} ⊆ (0[,]+∞))
24	22, 23	fssd 6687	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴):{𝑀}⟶(0[,]+∞))
25		xrltso 13079	. . . . . . 7 ⊢ < Or ℝ*
26	25	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → < Or ℝ*)
27		0xr 11199	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ*
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
29		elxrge0 13396	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵))
30	11, 29	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵))
31	30	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
32		suppr 9399	. . . . . 6 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → sup({0, 𝐵}, ℝ*, < ) = if(𝐵 < 0, 0, 𝐵))
33	26, 28, 31, 32	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup({0, 𝐵}, ℝ*, < ) = if(𝐵 < 0, 0, 𝐵))
34		0fi 8990	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∅ ∈ Fin
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ Fin)
36		reseq2 5934	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥) = ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ ∅))
37		res0 5943	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ ∅) = ∅
38	36, 37	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥) = ∅)
39	38	oveq2d 7385	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ∅))
40		xrge00 32999	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
41	40	gsum0 18594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ∅) = 0
42	39, 41	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥)) = 0)
43	42	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ∅) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥)) = 0)
44		reseq2 5934	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = {𝑀} → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥) = ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀}))
45		ssid 3966	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑀} ⊆ {𝑀}
46		resmpt 5997	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝑀} ⊆ {𝑀} → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀}) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴))
47	45, 46	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀}) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)
48	44, 47	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = {𝑀} → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴))
49	48	oveq2d 7385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = {𝑀} → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)))
50		xrge0base 17547	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
51		xrge0cmn 21387	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
52		cmnmnd 19712	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
53	51, 52	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
55		nfv 1914	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
56	50, 54, 10, 11, 7, 55, 14	gsumsnfd 19866	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = 𝐵)
57	49, 56	sylan9eqr 2786	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = {𝑀}) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥)) = 𝐵)
58	35, 5, 28, 11, 43, 57	fmptpr 7128	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {⟨∅, 0⟩, ⟨{𝑀}, 𝐵⟩} = (𝑥 ∈ {∅, {𝑀}} ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))))
59		pwsn 4860	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝒫 {𝑀} = {∅, {𝑀}}
60		prssi 4781	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∅ ∈ Fin ∧ {𝑀} ∈ Fin) → {∅, {𝑀}} ⊆ Fin)
61	34, 4, 60	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {∅, {𝑀}} ⊆ Fin
62	59, 61	eqsstri 3990	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝒫 {𝑀} ⊆ Fin
63		dfss2 3929	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝒫 {𝑀} ⊆ Fin ↔ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) = 𝒫 {𝑀})
64	62, 63	mpbi 230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) = 𝒫 {𝑀}
65	64, 59	eqtri 2752	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) = {∅, {𝑀}}
66		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))
67	65, 66	mpteq12i 5199	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))) = (𝑥 ∈ {∅, {𝑀}} ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥)))
68	58, 67	eqtr4di 2782	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {⟨∅, 0⟩, ⟨{𝑀}, 𝐵⟩} = (𝑥 ∈ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))))
69	68	rneqd 5891	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran {⟨∅, 0⟩, ⟨{𝑀}, 𝐵⟩} = ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))))
70		rnpropg 6183	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ∈ Fin ∧ {𝑀} ∈ Fin) → ran {⟨∅, 0⟩, ⟨{𝑀}, 𝐵⟩} = {0, 𝐵})
71	35, 5, 70	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran {⟨∅, 0⟩, ⟨{𝑀}, 𝐵⟩} = {0, 𝐵})
72	69, 71	eqtr3d 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))) = {0, 𝐵})
73	72	supeq1d 9373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))), ℝ*, < ) = sup({0, 𝐵}, ℝ*, < ))
74	30	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
75		xrlenlt 11217	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (0 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 0))
76	28, 31, 75	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 0))
77	74, 76	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 0)
78		eqidd 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐵)
79	77, 78	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐵 < 0 ∧ 𝐵 = 𝐵))
80	79	olcd 874	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 < 0 ∧ 𝐵 = 0) ∨ (¬ 𝐵 < 0 ∧ 𝐵 = 𝐵)))
81		eqif 4526	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 < 0, 0, 𝐵) ↔ ((𝐵 < 0 ∧ 𝐵 = 0) ∨ (¬ 𝐵 < 0 ∧ 𝐵 = 𝐵)))
82	80, 81	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = if(𝐵 < 0, 0, 𝐵))
83	33, 73, 82	3eqtr4rd 2775	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))), ℝ*, < ))
84	3, 5, 24, 83	xrge0tsmsd 33046	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = {𝐵})
85	84	unieqd 4880	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = ∪ {𝐵})
86		unisng 4885	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,]+∞) → ∪ {𝐵} = 𝐵)
87	11, 86	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝐵} = 𝐵)
88	2, 85, 87	3eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Ⅎwnfc 2876   ∩ cin 3910   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  ifcif 4484  𝒫 cpw 4559  {csn 4585  {cpr 4587  ⟨cop 4591  ∪ cuni 4867   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183   Or wor 5538  ran crn 5632   ↾ cres 5633  ⟶wf 6495  (class class class)co 7369  Fincfn 8895  supcsup 9367  0cc0 11046  +∞cpnf 11183  ℝ^*cxr 11185   < clt 11186   ≤ cle 11187  [,]cicc 13287   ↾_s cress 17177   Σ_g cgsu 17380  ℝ^*_𝑠cxrs 17440  Mndcmnd 18644  CMndccmn 19695   tsums ctsu 24047  Σ^*cesum 34011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11102  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-icn 11105  ax-addcl 11106  ax-addrcl 11107  ax-mulcl 11108  ax-mulrcl 11109  ax-mulcom 11110  ax-addass 11111  ax-mulass 11112  ax-distr 11113  ax-i2m1 11114  ax-1ne0 11115  ax-1rid 11116  ax-rnegex 11117  ax-rrecex 11118  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121  ax-pre-ltadd 11122  ax-pre-mulgt0 11123  ax-pre-sup 11124

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-fi 9338  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-card 9870  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11385  df-neg 11386  df-div 11814  df-nn 12165  df-2 12227  df-3 12228  df-4 12229  df-5 12230  df-6 12231  df-7 12232  df-8 12233  df-9 12234  df-n0 12421  df-z 12508  df-dec 12628  df-uz 12772  df-q 12886  df-xadd 13051  df-ioo 13288  df-ioc 13289  df-ico 13290  df-icc 13291  df-fz 13447  df-fzo 13594  df-seq 13945  df-hash 14274  df-struct 17094  df-sets 17111  df-slot 17129  df-ndx 17141  df-base 17157  df-ress 17178  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-rest 17362  df-topn 17363  df-0g 17381  df-gsum 17382  df-topgen 17383  df-ordt 17441  df-xrs 17442  df-mre 17524  df-mrc 17525  df-acs 17527  df-ps 18508  df-tsr 18509  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-submnd 18694  df-mulg 18983  df-cntz 19232  df-cmn 19697  df-fbas 21294  df-fg 21295  df-top 22815  df-topon 22832  df-topsp 22854  df-bases 22867  df-ntr 22941  df-nei 23019  df-cn 23148  df-haus 23236  df-fil 23767  df-fm 23859  df-flim 23860  df-flf 23861  df-tsms 24048  df-esum 34012

This theorem is referenced by:  esumsn  34049  esum2dlem  34076