Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumsnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumsnf 30724
Description: The extended sum of a singleton is the term. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jan-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 2-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
esumsnf.0 𝑘𝐵
esumsnf.1 ((𝜑𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐵)
esumsnf.2 (𝜑𝑀𝑉)
esumsnf.3 (𝜑𝐵 ∈ (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
esumsnf (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem esumsnf
Dummy variables 𝑥 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-esum 30688 . . 3 Σ*𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴))
21a1i 11 . 2 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)))
3 eqid 2778 . . . 4 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
4 snfi 8326 . . . . 5 {𝑀} ∈ Fin
54a1i 11 . . . 4 (𝜑 → {𝑀} ∈ Fin)
6 elsni 4415 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ {𝑀} → 𝑘 = 𝑀)
7 esumsnf.1 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐵)
86, 7sylan2 586 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝐴 = 𝐵)
98mpteq2dva 4979 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐵))
10 esumsnf.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀𝑉)
11 esumsnf.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ (0[,]+∞))
12 fmptsn 6700 . . . . . . . . 9 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → {⟨𝑀, 𝐵⟩} = (𝑙 ∈ {𝑀} ↦ 𝐵))
13 nfcv 2934 . . . . . . . . . 10 𝑙𝐵
14 esumsnf.0 . . . . . . . . . 10 𝑘𝐵
15 eqidd 2779 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑙𝐵 = 𝐵)
1613, 14, 15cbvmpt 4984 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐵) = (𝑙 ∈ {𝑀} ↦ 𝐵)
1712, 16syl6eqr 2832 . . . . . . . 8 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → {⟨𝑀, 𝐵⟩} = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐵))
1810, 11, 17syl2anc 579 . . . . . . 7 (𝜑 → {⟨𝑀, 𝐵⟩} = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐵))
199, 18eqtr4d 2817 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) = {⟨𝑀, 𝐵⟩})
20 fsng 6669 . . . . . . 7 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴):{𝑀}⟶{𝐵} ↔ (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) = {⟨𝑀, 𝐵⟩}))
2110, 11, 20syl2anc 579 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴):{𝑀}⟶{𝐵} ↔ (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) = {⟨𝑀, 𝐵⟩}))
2219, 21mpbird 249 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴):{𝑀}⟶{𝐵})
2311snssd 4571 . . . . 5 (𝜑 → {𝐵} ⊆ (0[,]+∞))
2422, 23fssd 6305 . . . 4 (𝜑 → (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴):{𝑀}⟶(0[,]+∞))
25 xrltso 12284 . . . . . . 7 < Or ℝ*
2625a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → < Or ℝ*)
27 0xr 10423 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
2827a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
29 elxrge0 12595 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵))
3011, 29sylib 210 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵))
3130simpld 490 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
32 suppr 8665 . . . . . 6 (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → sup({0, 𝐵}, ℝ*, < ) = if(𝐵 < 0, 0, 𝐵))
3326, 28, 31, 32syl3anc 1439 . . . . 5 (𝜑 → sup({0, 𝐵}, ℝ*, < ) = if(𝐵 < 0, 0, 𝐵))
34 0fin 8476 . . . . . . . . . . 11 ∅ ∈ Fin
3534a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∅ ∈ Fin)
36 reseq2 5637 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = ∅ → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥) = ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ ∅))
37 res0 5646 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ ∅) = ∅
3836, 37syl6eq 2830 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ∅ → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥) = ∅)
3938oveq2d 6938 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ∅ → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ∅))
40 xrge00 30248 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
4140gsum0 17664 . . . . . . . . . . . 12 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ∅) = 0
4239, 41syl6eq 2830 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ∅ → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥)) = 0)
4342adantl 475 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 = ∅) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥)) = 0)
44 reseq2 5637 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = {𝑀} → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥) = ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀}))
45 ssid 3842 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑀} ⊆ {𝑀}
46 resmpt 5699 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑀} ⊆ {𝑀} → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀}) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴))
4745, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀}) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)
4844, 47syl6eq 2830 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = {𝑀} → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴))
4948oveq2d 6938 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = {𝑀} → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)))
50 xrge0base 30247 . . . . . . . . . . . 12 (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
51 xrge0cmn 20184 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
52 cmnmnd 18594 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
55 nfv 1957 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝜑
5650, 54, 10, 11, 7, 55, 14gsumsnfd 18737 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = 𝐵)
5749, 56sylan9eqr 2836 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 = {𝑀}) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥)) = 𝐵)
5835, 5, 28, 11, 43, 57fmptpr 6705 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {⟨∅, 0⟩, ⟨{𝑀}, 𝐵⟩} = (𝑥 ∈ {∅, {𝑀}} ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))))
59 pwsn 4663 . . . . . . . . . . . . 13 𝒫 {𝑀} = {∅, {𝑀}}
60 prssi 4583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∅ ∈ Fin ∧ {𝑀} ∈ Fin) → {∅, {𝑀}} ⊆ Fin)
6134, 4, 60mp2an 682 . . . . . . . . . . . . 13 {∅, {𝑀}} ⊆ Fin
6259, 61eqsstri 3854 . . . . . . . . . . . 12 𝒫 {𝑀} ⊆ Fin
63 df-ss 3806 . . . . . . . . . . . 12 (𝒫 {𝑀} ⊆ Fin ↔ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) = 𝒫 {𝑀})
6462, 63mpbi 222 . . . . . . . . . . 11 (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) = 𝒫 {𝑀}
6564, 59eqtri 2802 . . . . . . . . . 10 (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) = {∅, {𝑀}}
66 eqid 2778 . . . . . . . . . 10 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))
6765, 66mpteq12i 4977 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))) = (𝑥 ∈ {∅, {𝑀}} ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥)))
6858, 67syl6eqr 2832 . . . . . . . 8 (𝜑 → {⟨∅, 0⟩, ⟨{𝑀}, 𝐵⟩} = (𝑥 ∈ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))))
6968rneqd 5598 . . . . . . 7 (𝜑 → ran {⟨∅, 0⟩, ⟨{𝑀}, 𝐵⟩} = ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))))
70 rnpropg 5869 . . . . . . . 8 ((∅ ∈ Fin ∧ {𝑀} ∈ Fin) → ran {⟨∅, 0⟩, ⟨{𝑀}, 𝐵⟩} = {0, 𝐵})
7135, 5, 70syl2anc 579 . . . . . . 7 (𝜑 → ran {⟨∅, 0⟩, ⟨{𝑀}, 𝐵⟩} = {0, 𝐵})
7269, 71eqtr3d 2816 . . . . . 6 (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))) = {0, 𝐵})
7372supeq1d 8640 . . . . 5 (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))), ℝ*, < ) = sup({0, 𝐵}, ℝ*, < ))
7430simprd 491 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
75 xrlenlt 10442 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (0 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 0))
7628, 31, 75syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 0))
7774, 76mpbid 224 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 𝐵 < 0)
78 eqidd 2779 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 = 𝐵)
7977, 78jca 507 . . . . . . 7 (𝜑 → (¬ 𝐵 < 0 ∧ 𝐵 = 𝐵))
8079olcd 863 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵 < 0 ∧ 𝐵 = 0) ∨ (¬ 𝐵 < 0 ∧ 𝐵 = 𝐵)))
81 eqif 4347 . . . . . 6 (𝐵 = if(𝐵 < 0, 0, 𝐵) ↔ ((𝐵 < 0 ∧ 𝐵 = 0) ∨ (¬ 𝐵 < 0 ∧ 𝐵 = 𝐵)))
8280, 81sylibr 226 . . . . 5 (𝜑𝐵 = if(𝐵 < 0, 0, 𝐵))
8333, 73, 823eqtr4rd 2825 . . . 4 (𝜑𝐵 = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))), ℝ*, < ))
843, 5, 24, 83xrge0tsmsd 30347 . . 3 (𝜑 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = {𝐵})
8584unieqd 4681 . 2 (𝜑 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = {𝐵})
86 unisng 4686 . . 3 (𝐵 ∈ (0[,]+∞) → {𝐵} = 𝐵)
8711, 86syl 17 . 2 (𝜑 {𝐵} = 𝐵)
882, 85, 873eqtrd 2818 1 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386  wo 836   = wceq 1601  wcel 2107  wnfc 2919  cin 3791  wss 3792  c0 4141  ifcif 4307  𝒫 cpw 4379  {csn 4398  {cpr 4400  cop 4404   cuni 4671   class class class wbr 4886  cmpt 4965   Or wor 5273  ran crn 5356  cres 5357  wf 6131  (class class class)co 6922  Fincfn 8241  supcsup 8634  0cc0 10272  +∞cpnf 10408  *cxr 10410   < clt 10411  cle 10412  [,]cicc 12490  s cress 16256   Σg cgsu 16487  *𝑠cxrs 16546  Mndcmnd 17680  CMndccmn 18579   tsums ctsu 22337  Σ*cesum 30687
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-fi 8605  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-q 12096  df-xadd 12258  df-ioo 12491  df-ioc 12492  df-ico 12493  df-icc 12494  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-seq 13120  df-hash 13436  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-rest 16469  df-topn 16470  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-topgen 16490  df-ordt 16547  df-xrs 16548  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-ps 17586  df-tsr 17587  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-mulg 17928  df-cntz 18133  df-cmn 18581  df-fbas 20139  df-fg 20140  df-top 21106  df-topon 21123  df-topsp 21145  df-bases 21158  df-ntr 21232  df-nei 21310  df-cn 21439  df-haus 21527  df-fil 22058  df-fm 22150  df-flim 22151  df-flf 22152  df-tsms 22338  df-esum 30688
This theorem is referenced by:  esumsn  30725  esum2dlem  30752
  Copyright terms: Public domain W3C validator