Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumsnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumsnf 32424
Description: The extended sum of a singleton is the term. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jan-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 2-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
esumsnf.0 𝑘𝐵
esumsnf.1 ((𝜑𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐵)
esumsnf.2 (𝜑𝑀𝑉)
esumsnf.3 (𝜑𝐵 ∈ (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
esumsnf (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem esumsnf
Dummy variables 𝑥 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-esum 32388 . . 3 Σ*𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴))
21a1i 11 . 2 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)))
3 eqid 2738 . . . 4 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
4 snfi 8922 . . . . 5 {𝑀} ∈ Fin
54a1i 11 . . . 4 (𝜑 → {𝑀} ∈ Fin)
6 elsni 4602 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ {𝑀} → 𝑘 = 𝑀)
7 esumsnf.1 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐵)
86, 7sylan2 594 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝐴 = 𝐵)
98mpteq2dva 5204 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐵))
10 esumsnf.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀𝑉)
11 esumsnf.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ (0[,]+∞))
12 fmptsn 7108 . . . . . . . . 9 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → {⟨𝑀, 𝐵⟩} = (𝑙 ∈ {𝑀} ↦ 𝐵))
13 nfcv 2906 . . . . . . . . . 10 𝑙𝐵
14 esumsnf.0 . . . . . . . . . 10 𝑘𝐵
15 eqidd 2739 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑙𝐵 = 𝐵)
1613, 14, 15cbvmpt 5215 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐵) = (𝑙 ∈ {𝑀} ↦ 𝐵)
1712, 16eqtr4di 2796 . . . . . . . 8 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → {⟨𝑀, 𝐵⟩} = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐵))
1810, 11, 17syl2anc 585 . . . . . . 7 (𝜑 → {⟨𝑀, 𝐵⟩} = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐵))
199, 18eqtr4d 2781 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) = {⟨𝑀, 𝐵⟩})
20 fsng 7078 . . . . . . 7 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴):{𝑀}⟶{𝐵} ↔ (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) = {⟨𝑀, 𝐵⟩}))
2110, 11, 20syl2anc 585 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴):{𝑀}⟶{𝐵} ↔ (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) = {⟨𝑀, 𝐵⟩}))
2219, 21mpbird 257 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴):{𝑀}⟶{𝐵})
2311snssd 4768 . . . . 5 (𝜑 → {𝐵} ⊆ (0[,]+∞))
2422, 23fssd 6682 . . . 4 (𝜑 → (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴):{𝑀}⟶(0[,]+∞))
25 xrltso 12989 . . . . . . 7 < Or ℝ*
2625a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → < Or ℝ*)
27 0xr 11136 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
2827a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
29 elxrge0 13303 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵))
3011, 29sylib 217 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵))
3130simpld 496 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
32 suppr 9341 . . . . . 6 (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → sup({0, 𝐵}, ℝ*, < ) = if(𝐵 < 0, 0, 𝐵))
3326, 28, 31, 32syl3anc 1372 . . . . 5 (𝜑 → sup({0, 𝐵}, ℝ*, < ) = if(𝐵 < 0, 0, 𝐵))
34 0fin 9049 . . . . . . . . . . 11 ∅ ∈ Fin
3534a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∅ ∈ Fin)
36 reseq2 5929 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = ∅ → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥) = ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ ∅))
37 res0 5938 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ ∅) = ∅
3836, 37eqtrdi 2794 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ∅ → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥) = ∅)
3938oveq2d 7366 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ∅ → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ∅))
40 xrge00 31659 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
4140gsum0 18474 . . . . . . . . . . . 12 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ∅) = 0
4239, 41eqtrdi 2794 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ∅ → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥)) = 0)
4342adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 = ∅) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥)) = 0)
44 reseq2 5929 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = {𝑀} → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥) = ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀}))
45 ssid 3965 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑀} ⊆ {𝑀}
46 resmpt 5988 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑀} ⊆ {𝑀} → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀}) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴))
4745, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀}) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)
4844, 47eqtrdi 2794 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = {𝑀} → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴))
4948oveq2d 7366 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = {𝑀} → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)))
50 xrge0base 31658 . . . . . . . . . . . 12 (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
51 xrge0cmn 20762 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
52 cmnmnd 19508 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
55 nfv 1918 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝜑
5650, 54, 10, 11, 7, 55, 14gsumsnfd 19657 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = 𝐵)
5749, 56sylan9eqr 2800 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 = {𝑀}) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥)) = 𝐵)
5835, 5, 28, 11, 43, 57fmptpr 7113 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {⟨∅, 0⟩, ⟨{𝑀}, 𝐵⟩} = (𝑥 ∈ {∅, {𝑀}} ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))))
59 pwsn 4856 . . . . . . . . . . . . 13 𝒫 {𝑀} = {∅, {𝑀}}
60 prssi 4780 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∅ ∈ Fin ∧ {𝑀} ∈ Fin) → {∅, {𝑀}} ⊆ Fin)
6134, 4, 60mp2an 691 . . . . . . . . . . . . 13 {∅, {𝑀}} ⊆ Fin
6259, 61eqsstri 3977 . . . . . . . . . . . 12 𝒫 {𝑀} ⊆ Fin
63 df-ss 3926 . . . . . . . . . . . 12 (𝒫 {𝑀} ⊆ Fin ↔ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) = 𝒫 {𝑀})
6462, 63mpbi 229 . . . . . . . . . . 11 (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) = 𝒫 {𝑀}
6564, 59eqtri 2766 . . . . . . . . . 10 (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) = {∅, {𝑀}}
66 eqid 2738 . . . . . . . . . 10 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))
6765, 66mpteq12i 5210 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))) = (𝑥 ∈ {∅, {𝑀}} ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥)))
6858, 67eqtr4di 2796 . . . . . . . 8 (𝜑 → {⟨∅, 0⟩, ⟨{𝑀}, 𝐵⟩} = (𝑥 ∈ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))))
6968rneqd 5890 . . . . . . 7 (𝜑 → ran {⟨∅, 0⟩, ⟨{𝑀}, 𝐵⟩} = ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))))
70 rnpropg 6171 . . . . . . . 8 ((∅ ∈ Fin ∧ {𝑀} ∈ Fin) → ran {⟨∅, 0⟩, ⟨{𝑀}, 𝐵⟩} = {0, 𝐵})
7135, 5, 70syl2anc 585 . . . . . . 7 (𝜑 → ran {⟨∅, 0⟩, ⟨{𝑀}, 𝐵⟩} = {0, 𝐵})
7269, 71eqtr3d 2780 . . . . . 6 (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))) = {0, 𝐵})
7372supeq1d 9316 . . . . 5 (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))), ℝ*, < ) = sup({0, 𝐵}, ℝ*, < ))
7430simprd 497 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
75 xrlenlt 11154 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (0 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 0))
7628, 31, 75syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 0))
7774, 76mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 𝐵 < 0)
78 eqidd 2739 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 = 𝐵)
7977, 78jca 513 . . . . . . 7 (𝜑 → (¬ 𝐵 < 0 ∧ 𝐵 = 𝐵))
8079olcd 873 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵 < 0 ∧ 𝐵 = 0) ∨ (¬ 𝐵 < 0 ∧ 𝐵 = 𝐵)))
81 eqif 4526 . . . . . 6 (𝐵 = if(𝐵 < 0, 0, 𝐵) ↔ ((𝐵 < 0 ∧ 𝐵 = 0) ∨ (¬ 𝐵 < 0 ∧ 𝐵 = 𝐵)))
8280, 81sylibr 233 . . . . 5 (𝜑𝐵 = if(𝐵 < 0, 0, 𝐵))
8333, 73, 823eqtr4rd 2789 . . . 4 (𝜑𝐵 = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))), ℝ*, < ))
843, 5, 24, 83xrge0tsmsd 31681 . . 3 (𝜑 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = {𝐵})
8584unieqd 4878 . 2 (𝜑 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = {𝐵})
86 unisng 4885 . . 3 (𝐵 ∈ (0[,]+∞) → {𝐵} = 𝐵)
8711, 86syl 17 . 2 (𝜑 {𝐵} = 𝐵)
882, 85, 873eqtrd 2782 1 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107  wnfc 2886  cin 3908  wss 3909  c0 4281  ifcif 4485  𝒫 cpw 4559  {csn 4585  {cpr 4587  cop 4591   cuni 4864   class class class wbr 5104  cmpt 5187   Or wor 5542  ran crn 5632  cres 5633  wf 6488  (class class class)co 7350  Fincfn 8817  supcsup 9310  0cc0 10985  +∞cpnf 11120  *cxr 11122   < clt 11123  cle 11124  [,]cicc 13196  s cress 17047   Σg cgsu 17257  *𝑠cxrs 17317  Mndcmnd 18491  CMndccmn 19491   tsums ctsu 23399  Σ*cesum 32387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-pre-sup 11063
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-of 7608  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-supp 8061  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8582  df-map 8701  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-fin 8821  df-fsupp 9240  df-fi 9281  df-sup 9312  df-inf 9313  df-oi 9380  df-card 9809  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-4 12152  df-5 12153  df-6 12154  df-7 12155  df-8 12156  df-9 12157  df-n0 12348  df-z 12434  df-dec 12552  df-uz 12697  df-q 12803  df-xadd 12963  df-ioo 13197  df-ioc 13198  df-ico 13199  df-icc 13200  df-fz 13354  df-fzo 13497  df-seq 13836  df-hash 14159  df-struct 16954  df-sets 16971  df-slot 16989  df-ndx 17001  df-base 17019  df-ress 17048  df-plusg 17081  df-mulr 17082  df-tset 17087  df-ple 17088  df-ds 17090  df-rest 17239  df-topn 17240  df-0g 17258  df-gsum 17259  df-topgen 17260  df-ordt 17318  df-xrs 17319  df-mre 17401  df-mrc 17402  df-acs 17404  df-ps 18390  df-tsr 18391  df-mgm 18432  df-sgrp 18481  df-mnd 18492  df-submnd 18537  df-mulg 18807  df-cntz 19029  df-cmn 19493  df-fbas 20716  df-fg 20717  df-top 22165  df-topon 22182  df-topsp 22204  df-bases 22218  df-ntr 22293  df-nei 22371  df-cn 22500  df-haus 22588  df-fil 23119  df-fm 23211  df-flim 23212  df-flf 23213  df-tsms 23400  df-esum 32388
This theorem is referenced by:  esumsn  32425  esum2dlem  32452
  Copyright terms: Public domain W3C validator