Theorem esumsnf 31433

Description: The extended sum of a singleton is the term. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jan-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 2-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumsnf.0	⊢ Ⅎ𝑘𝐵
esumsnf.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐵)
esumsnf.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
esumsnf.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
esumsnf	⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem esumsnf

Dummy variables 𝑥 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-esum 31397	. . 3 ⊢ Σ*𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)))
3		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
4		snfi 8577	. . . . 5 ⊢ {𝑀} ∈ Fin
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑀} ∈ Fin)
6		elsni 4542	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀} → 𝑘 = 𝑀)
7		esumsnf.1	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐵)
8	6, 7	sylan2 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝐴 = 𝐵)
9	8	mpteq2dva 5125	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐵))
10		esumsnf.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
11		esumsnf.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
12		fmptsn 6906	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → {⟨𝑀, 𝐵⟩} = (𝑙 ∈ {𝑀} ↦ 𝐵))
13		nfcv 2955	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑙𝐵
14		esumsnf.0	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘𝐵
15		eqidd 2799	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → 𝐵 = 𝐵)
16	13, 14, 15	cbvmpt 5131	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐵) = (𝑙 ∈ {𝑀} ↦ 𝐵)
17	12, 16	eqtr4di 2851	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → {⟨𝑀, 𝐵⟩} = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐵))
18	10, 11, 17	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑀, 𝐵⟩} = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐵))
19	9, 18	eqtr4d 2836	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) = {⟨𝑀, 𝐵⟩})
20		fsng 6876	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴):{𝑀}⟶{𝐵} ↔ (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) = {⟨𝑀, 𝐵⟩}))
21	10, 11, 20	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴):{𝑀}⟶{𝐵} ↔ (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) = {⟨𝑀, 𝐵⟩}))
22	19, 21	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴):{𝑀}⟶{𝐵})
23	11	snssd 4702	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝐵} ⊆ (0[,]+∞))
24	22, 23	fssd 6502	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴):{𝑀}⟶(0[,]+∞))
25		xrltso 12522	. . . . . . 7 ⊢ < Or ℝ*
26	25	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → < Or ℝ*)
27		0xr 10677	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ*
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
29		elxrge0 12835	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵))
30	11, 29	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵))
31	30	simpld 498	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
32		suppr 8919	. . . . . 6 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → sup({0, 𝐵}, ℝ*, < ) = if(𝐵 < 0, 0, 𝐵))
33	26, 28, 31, 32	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup({0, 𝐵}, ℝ*, < ) = if(𝐵 < 0, 0, 𝐵))
34		0fin 8730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∅ ∈ Fin
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ Fin)
36		reseq2 5813	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥) = ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ ∅))
37		res0 5822	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ ∅) = ∅
38	36, 37	eqtrdi 2849	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥) = ∅)
39	38	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ∅))
40		xrge00 30720	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
41	40	gsum0 17886	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ∅) = 0
42	39, 41	eqtrdi 2849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥)) = 0)
43	42	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ∅) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥)) = 0)
44		reseq2 5813	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = {𝑀} → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥) = ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀}))
45		ssid 3937	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑀} ⊆ {𝑀}
46		resmpt 5872	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝑀} ⊆ {𝑀} → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀}) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴))
47	45, 46	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀}) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)
48	44, 47	eqtrdi 2849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = {𝑀} → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴))
49	48	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = {𝑀} → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)))
50		xrge0base 30719	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
51		xrge0cmn 20133	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
52		cmnmnd 18914	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
53	51, 52	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
55		nfv 1915	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
56	50, 54, 10, 11, 7, 55, 14	gsumsnfd 19064	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = 𝐵)
57	49, 56	sylan9eqr 2855	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = {𝑀}) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥)) = 𝐵)
58	35, 5, 28, 11, 43, 57	fmptpr 6911	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {⟨∅, 0⟩, ⟨{𝑀}, 𝐵⟩} = (𝑥 ∈ {∅, {𝑀}} ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))))
59		pwsn 4792	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝒫 {𝑀} = {∅, {𝑀}}
60		prssi 4714	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∅ ∈ Fin ∧ {𝑀} ∈ Fin) → {∅, {𝑀}} ⊆ Fin)
61	34, 4, 60	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {∅, {𝑀}} ⊆ Fin
62	59, 61	eqsstri 3949	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝒫 {𝑀} ⊆ Fin
63		df-ss 3898	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝒫 {𝑀} ⊆ Fin ↔ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) = 𝒫 {𝑀})
64	62, 63	mpbi 233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) = 𝒫 {𝑀}
65	64, 59	eqtri 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) = {∅, {𝑀}}
66		eqid 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))
67	65, 66	mpteq12i 5123	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))) = (𝑥 ∈ {∅, {𝑀}} ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥)))
68	58, 67	eqtr4di 2851	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {⟨∅, 0⟩, ⟨{𝑀}, 𝐵⟩} = (𝑥 ∈ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))))
69	68	rneqd 5772	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran {⟨∅, 0⟩, ⟨{𝑀}, 𝐵⟩} = ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))))
70		rnpropg 6046	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ∈ Fin ∧ {𝑀} ∈ Fin) → ran {⟨∅, 0⟩, ⟨{𝑀}, 𝐵⟩} = {0, 𝐵})
71	35, 5, 70	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran {⟨∅, 0⟩, ⟨{𝑀}, 𝐵⟩} = {0, 𝐵})
72	69, 71	eqtr3d 2835	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))) = {0, 𝐵})
73	72	supeq1d 8894	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))), ℝ*, < ) = sup({0, 𝐵}, ℝ*, < ))
74	30	simprd 499	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
75		xrlenlt 10695	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (0 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 0))
76	28, 31, 75	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 0))
77	74, 76	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 0)
78		eqidd 2799	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐵)
79	77, 78	jca 515	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐵 < 0 ∧ 𝐵 = 𝐵))
80	79	olcd 871	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 < 0 ∧ 𝐵 = 0) ∨ (¬ 𝐵 < 0 ∧ 𝐵 = 𝐵)))
81		eqif 4465	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 < 0, 0, 𝐵) ↔ ((𝐵 < 0 ∧ 𝐵 = 0) ∨ (¬ 𝐵 < 0 ∧ 𝐵 = 𝐵)))
82	80, 81	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = if(𝐵 < 0, 0, 𝐵))
83	33, 73, 82	3eqtr4rd 2844	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))), ℝ*, < ))
84	3, 5, 24, 83	xrge0tsmsd 30742	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = {𝐵})
85	84	unieqd 4814	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = ∪ {𝐵})
86		unisng 4819	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,]+∞) → ∪ {𝐵} = 𝐵)
87	11, 86	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝐵} = 𝐵)
88	2, 85, 87	3eqtrd 2837	1 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Ⅎwnfc 2936   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243  ifcif 4425  𝒫 cpw 4497  {csn 4525  {cpr 4527  ⟨cop 4531  ∪ cuni 4800   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110   Or wor 5437  ran crn 5520   ↾ cres 5521  ⟶wf 6320  (class class class)co 7135  Fincfn 8492  supcsup 8888  0cc0 10526  +∞cpnf 10661  ℝ^*cxr 10663   < clt 10664   ≤ cle 10665  [,]cicc 12729   ↾_s cress 16476   Σ_g cgsu 16706  ℝ^*_𝑠cxrs 16765  Mndcmnd 17903  CMndccmn 18898   tsums ctsu 22731  Σ^*cesum 31396

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-xadd 12496  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-hash 13687  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-ordt 16766  df-xrs 16767  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-ps 17802  df-tsr 17803  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-mulg 18217  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-fbas 20088  df-fg 20089  df-top 21499  df-topon 21516  df-topsp 21538  df-bases 21551  df-ntr 21625  df-nei 21703  df-cn 21832  df-haus 21920  df-fil 22451  df-fm 22543  df-flim 22544  df-flf 22545  df-tsms 22732  df-esum 31397

This theorem is referenced by:  esumsn  31434  esum2dlem  31461