Theorem esumsnf 34200

Description: The extended sum of a singleton is the term. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jan-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 2-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumsnf.0	⊢ Ⅎ𝑘𝐵
esumsnf.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐵)
esumsnf.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
esumsnf.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
esumsnf	⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem esumsnf

Dummy variables 𝑥 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-esum 34164	. . 3 ⊢ Σ*𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)))
3		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
4		snfi 8982	. . . . 5 ⊢ {𝑀} ∈ Fin
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑀} ∈ Fin)
6		elsni 4596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀} → 𝑘 = 𝑀)
7		esumsnf.1	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐵)
8	6, 7	sylan2 594	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝐴 = 𝐵)
9	8	mpteq2dva 5190	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐵))
10		esumsnf.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
11		esumsnf.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
12		fmptsn 7113	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → {⟨𝑀, 𝐵⟩} = (𝑙 ∈ {𝑀} ↦ 𝐵))
13		nfcv 2897	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑙𝐵
14		esumsnf.0	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘𝐵
15		eqidd 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → 𝐵 = 𝐵)
16	13, 14, 15	cbvmpt 5199	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐵) = (𝑙 ∈ {𝑀} ↦ 𝐵)
17	12, 16	eqtr4di 2788	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → {⟨𝑀, 𝐵⟩} = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐵))
18	10, 11, 17	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑀, 𝐵⟩} = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐵))
19	9, 18	eqtr4d 2773	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) = {⟨𝑀, 𝐵⟩})
20		fsng 7082	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴):{𝑀}⟶{𝐵} ↔ (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) = {⟨𝑀, 𝐵⟩}))
21	10, 11, 20	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴):{𝑀}⟶{𝐵} ↔ (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) = {⟨𝑀, 𝐵⟩}))
22	19, 21	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴):{𝑀}⟶{𝐵})
23	11	snssd 4764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝐵} ⊆ (0[,]+∞))
24	22, 23	fssd 6678	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴):{𝑀}⟶(0[,]+∞))
25		xrltso 13057	. . . . . . 7 ⊢ < Or ℝ*
26	25	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → < Or ℝ*)
27		0xr 11181	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ*
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
29		elxrge0 13375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵))
30	11, 29	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵))
31	30	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
32		suppr 9377	. . . . . 6 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → sup({0, 𝐵}, ℝ*, < ) = if(𝐵 < 0, 0, 𝐵))
33	26, 28, 31, 32	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup({0, 𝐵}, ℝ*, < ) = if(𝐵 < 0, 0, 𝐵))
34		0fi 8981	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∅ ∈ Fin
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ Fin)
36		reseq2 5932	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥) = ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ ∅))
37		res0 5941	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ ∅) = ∅
38	36, 37	eqtrdi 2786	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥) = ∅)
39	38	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ∅))
40		xrge00 33075	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
41	40	gsum0 18611	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ∅) = 0
42	39, 41	eqtrdi 2786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥)) = 0)
43	42	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ∅) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥)) = 0)
44		reseq2 5932	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = {𝑀} → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥) = ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀}))
45		ssid 3955	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑀} ⊆ {𝑀}
46		resmpt 5995	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝑀} ⊆ {𝑀} → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀}) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴))
47	45, 46	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀}) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)
48	44, 47	eqtrdi 2786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = {𝑀} → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴))
49	48	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = {𝑀} → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)))
50		xrge0base 17530	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
51		xrge0cmn 21401	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
52		cmnmnd 19728	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
53	51, 52	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
55		nfv 1916	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
56	50, 54, 10, 11, 7, 55, 14	gsumsnfd 19882	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = 𝐵)
57	49, 56	sylan9eqr 2792	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = {𝑀}) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥)) = 𝐵)
58	35, 5, 28, 11, 43, 57	fmptpr 7118	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {⟨∅, 0⟩, ⟨{𝑀}, 𝐵⟩} = (𝑥 ∈ {∅, {𝑀}} ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))))
59		pwsn 4855	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝒫 {𝑀} = {∅, {𝑀}}
60		prssi 4776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∅ ∈ Fin ∧ {𝑀} ∈ Fin) → {∅, {𝑀}} ⊆ Fin)
61	34, 4, 60	mp2an 693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {∅, {𝑀}} ⊆ Fin
62	59, 61	eqsstri 3979	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝒫 {𝑀} ⊆ Fin
63		dfss2 3918	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝒫 {𝑀} ⊆ Fin ↔ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) = 𝒫 {𝑀})
64	62, 63	mpbi 230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) = 𝒫 {𝑀}
65	64, 59	eqtri 2758	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) = {∅, {𝑀}}
66		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))
67	65, 66	mpteq12i 5194	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))) = (𝑥 ∈ {∅, {𝑀}} ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥)))
68	58, 67	eqtr4di 2788	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {⟨∅, 0⟩, ⟨{𝑀}, 𝐵⟩} = (𝑥 ∈ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))))
69	68	rneqd 5886	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran {⟨∅, 0⟩, ⟨{𝑀}, 𝐵⟩} = ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))))
70		rnpropg 6179	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ∈ Fin ∧ {𝑀} ∈ Fin) → ran {⟨∅, 0⟩, ⟨{𝑀}, 𝐵⟩} = {0, 𝐵})
71	35, 5, 70	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran {⟨∅, 0⟩, ⟨{𝑀}, 𝐵⟩} = {0, 𝐵})
72	69, 71	eqtr3d 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))) = {0, 𝐵})
73	72	supeq1d 9351	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))), ℝ*, < ) = sup({0, 𝐵}, ℝ*, < ))
74	30	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
75		xrlenlt 11199	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (0 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 0))
76	28, 31, 75	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 0))
77	74, 76	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 0)
78		eqidd 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐵)
79	77, 78	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐵 < 0 ∧ 𝐵 = 𝐵))
80	79	olcd 875	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 < 0 ∧ 𝐵 = 0) ∨ (¬ 𝐵 < 0 ∧ 𝐵 = 𝐵)))
81		eqif 4520	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 < 0, 0, 𝐵) ↔ ((𝐵 < 0 ∧ 𝐵 = 0) ∨ (¬ 𝐵 < 0 ∧ 𝐵 = 𝐵)))
82	80, 81	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = if(𝐵 < 0, 0, 𝐵))
83	33, 73, 82	3eqtr4rd 2781	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))), ℝ*, < ))
84	3, 5, 24, 83	xrge0tsmsd 33134	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = {𝐵})
85	84	unieqd 4875	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = ∪ {𝐵})
86		unisng 4880	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,]+∞) → ∪ {𝐵} = 𝐵)
87	11, 86	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝐵} = 𝐵)
88	2, 85, 87	3eqtrd 2774	1 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Ⅎwnfc 2882   ∩ cin 3899   ⊆ wss 3900  ∅c0 4284  ifcif 4478  𝒫 cpw 4553  {csn 4579  {cpr 4581  ⟨cop 4585  ∪ cuni 4862   class class class wbr 5097   ↦ cmpt 5178   Or wor 5530  ran crn 5624   ↾ cres 5625  ⟶wf 6487  (class class class)co 7358  Fincfn 8885  supcsup 9345  0cc0 11028  +∞cpnf 11165  ℝ^*cxr 11167   < clt 11168   ≤ cle 11169  [,]cicc 13266   ↾_s cress 17159   Σ_g cgsu 17362  ℝ^*_𝑠cxrs 17423  Mndcmnd 18661  CMndccmn 19711   tsums ctsu 24072  Σ^*cesum 34163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4902  df-iun 4947  df-iin 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-isom 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8767  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-fsupp 9267  df-fi 9316  df-sup 9347  df-inf 9348  df-oi 9417  df-card 9853  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12610  df-uz 12754  df-q 12864  df-xadd 13029  df-ioo 13267  df-ioc 13268  df-ico 13269  df-icc 13270  df-fz 13426  df-fzo 13573  df-seq 13927  df-hash 14256  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-rest 17344  df-topn 17345  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-topgen 17365  df-ordt 17424  df-xrs 17425  df-mre 17507  df-mrc 17508  df-acs 17510  df-ps 18491  df-tsr 18492  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-mulg 19000  df-cntz 19248  df-cmn 19713  df-fbas 21308  df-fg 21309  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22892  df-ntr 22966  df-nei 23044  df-cn 23173  df-haus 23261  df-fil 23792  df-fm 23884  df-flim 23885  df-flf 23886  df-tsms 24073  df-esum 34164

This theorem is referenced by:  esumsn  34201  esum2dlem  34228