Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumsnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumsnf 31383
Description: The extended sum of a singleton is the term. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jan-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 2-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
esumsnf.0 𝑘𝐵
esumsnf.1 ((𝜑𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐵)
esumsnf.2 (𝜑𝑀𝑉)
esumsnf.3 (𝜑𝐵 ∈ (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
esumsnf (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem esumsnf
Dummy variables 𝑥 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-esum 31347 . . 3 Σ*𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴))
21a1i 11 . 2 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)))
3 eqid 2824 . . . 4 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
4 snfi 8590 . . . . 5 {𝑀} ∈ Fin
54a1i 11 . . . 4 (𝜑 → {𝑀} ∈ Fin)
6 elsni 4567 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ {𝑀} → 𝑘 = 𝑀)
7 esumsnf.1 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐵)
86, 7sylan2 595 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝐴 = 𝐵)
98mpteq2dva 5147 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐵))
10 esumsnf.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀𝑉)
11 esumsnf.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ (0[,]+∞))
12 fmptsn 6920 . . . . . . . . 9 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → {⟨𝑀, 𝐵⟩} = (𝑙 ∈ {𝑀} ↦ 𝐵))
13 nfcv 2982 . . . . . . . . . 10 𝑙𝐵
14 esumsnf.0 . . . . . . . . . 10 𝑘𝐵
15 eqidd 2825 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑙𝐵 = 𝐵)
1613, 14, 15cbvmpt 5153 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐵) = (𝑙 ∈ {𝑀} ↦ 𝐵)
1712, 16syl6eqr 2877 . . . . . . . 8 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → {⟨𝑀, 𝐵⟩} = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐵))
1810, 11, 17syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → {⟨𝑀, 𝐵⟩} = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐵))
199, 18eqtr4d 2862 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) = {⟨𝑀, 𝐵⟩})
20 fsng 6890 . . . . . . 7 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴):{𝑀}⟶{𝐵} ↔ (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) = {⟨𝑀, 𝐵⟩}))
2110, 11, 20syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴):{𝑀}⟶{𝐵} ↔ (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) = {⟨𝑀, 𝐵⟩}))
2219, 21mpbird 260 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴):{𝑀}⟶{𝐵})
2311snssd 4726 . . . . 5 (𝜑 → {𝐵} ⊆ (0[,]+∞))
2422, 23fssd 6518 . . . 4 (𝜑 → (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴):{𝑀}⟶(0[,]+∞))
25 xrltso 12531 . . . . . . 7 < Or ℝ*
2625a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → < Or ℝ*)
27 0xr 10686 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
2827a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
29 elxrge0 12844 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵))
3011, 29sylib 221 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵))
3130simpld 498 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
32 suppr 8932 . . . . . 6 (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → sup({0, 𝐵}, ℝ*, < ) = if(𝐵 < 0, 0, 𝐵))
3326, 28, 31, 32syl3anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → sup({0, 𝐵}, ℝ*, < ) = if(𝐵 < 0, 0, 𝐵))
34 0fin 8743 . . . . . . . . . . 11 ∅ ∈ Fin
3534a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∅ ∈ Fin)
36 reseq2 5835 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = ∅ → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥) = ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ ∅))
37 res0 5844 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ ∅) = ∅
3836, 37syl6eq 2875 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ∅ → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥) = ∅)
3938oveq2d 7165 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ∅ → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ∅))
40 xrge00 30708 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
4140gsum0 17894 . . . . . . . . . . . 12 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ∅) = 0
4239, 41syl6eq 2875 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ∅ → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥)) = 0)
4342adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 = ∅) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥)) = 0)
44 reseq2 5835 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = {𝑀} → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥) = ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀}))
45 ssid 3975 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑀} ⊆ {𝑀}
46 resmpt 5892 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑀} ⊆ {𝑀} → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀}) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴))
4745, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀}) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)
4844, 47syl6eq 2875 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = {𝑀} → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴))
4948oveq2d 7165 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = {𝑀} → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)))
50 xrge0base 30707 . . . . . . . . . . . 12 (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
51 xrge0cmn 20140 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
52 cmnmnd 18922 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
55 nfv 1916 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝜑
5650, 54, 10, 11, 7, 55, 14gsumsnfd 19071 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = 𝐵)
5749, 56sylan9eqr 2881 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 = {𝑀}) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥)) = 𝐵)
5835, 5, 28, 11, 43, 57fmptpr 6925 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {⟨∅, 0⟩, ⟨{𝑀}, 𝐵⟩} = (𝑥 ∈ {∅, {𝑀}} ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))))
59 pwsn 4816 . . . . . . . . . . . . 13 𝒫 {𝑀} = {∅, {𝑀}}
60 prssi 4738 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∅ ∈ Fin ∧ {𝑀} ∈ Fin) → {∅, {𝑀}} ⊆ Fin)
6134, 4, 60mp2an 691 . . . . . . . . . . . . 13 {∅, {𝑀}} ⊆ Fin
6259, 61eqsstri 3987 . . . . . . . . . . . 12 𝒫 {𝑀} ⊆ Fin
63 df-ss 3936 . . . . . . . . . . . 12 (𝒫 {𝑀} ⊆ Fin ↔ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) = 𝒫 {𝑀})
6462, 63mpbi 233 . . . . . . . . . . 11 (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) = 𝒫 {𝑀}
6564, 59eqtri 2847 . . . . . . . . . 10 (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) = {∅, {𝑀}}
66 eqid 2824 . . . . . . . . . 10 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))
6765, 66mpteq12i 5145 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))) = (𝑥 ∈ {∅, {𝑀}} ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥)))
6858, 67syl6eqr 2877 . . . . . . . 8 (𝜑 → {⟨∅, 0⟩, ⟨{𝑀}, 𝐵⟩} = (𝑥 ∈ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))))
6968rneqd 5795 . . . . . . 7 (𝜑 → ran {⟨∅, 0⟩, ⟨{𝑀}, 𝐵⟩} = ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))))
70 rnpropg 6066 . . . . . . . 8 ((∅ ∈ Fin ∧ {𝑀} ∈ Fin) → ran {⟨∅, 0⟩, ⟨{𝑀}, 𝐵⟩} = {0, 𝐵})
7135, 5, 70syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → ran {⟨∅, 0⟩, ⟨{𝑀}, 𝐵⟩} = {0, 𝐵})
7269, 71eqtr3d 2861 . . . . . 6 (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))) = {0, 𝐵})
7372supeq1d 8907 . . . . 5 (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))), ℝ*, < ) = sup({0, 𝐵}, ℝ*, < ))
7430simprd 499 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
75 xrlenlt 10704 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (0 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 0))
7628, 31, 75syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 0))
7774, 76mpbid 235 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 𝐵 < 0)
78 eqidd 2825 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 = 𝐵)
7977, 78jca 515 . . . . . . 7 (𝜑 → (¬ 𝐵 < 0 ∧ 𝐵 = 𝐵))
8079olcd 871 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵 < 0 ∧ 𝐵 = 0) ∨ (¬ 𝐵 < 0 ∧ 𝐵 = 𝐵)))
81 eqif 4490 . . . . . 6 (𝐵 = if(𝐵 < 0, 0, 𝐵) ↔ ((𝐵 < 0 ∧ 𝐵 = 0) ∨ (¬ 𝐵 < 0 ∧ 𝐵 = 𝐵)))
8280, 81sylibr 237 . . . . 5 (𝜑𝐵 = if(𝐵 < 0, 0, 𝐵))
8333, 73, 823eqtr4rd 2870 . . . 4 (𝜑𝐵 = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))), ℝ*, < ))
843, 5, 24, 83xrge0tsmsd 30727 . . 3 (𝜑 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = {𝐵})
8584unieqd 4838 . 2 (𝜑 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = {𝐵})
86 unisng 4843 . . 3 (𝐵 ∈ (0[,]+∞) → {𝐵} = 𝐵)
8711, 86syl 17 . 2 (𝜑 {𝐵} = 𝐵)
882, 85, 873eqtrd 2863 1 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844   = wceq 1538  wcel 2115  wnfc 2962  cin 3918  wss 3919  c0 4276  ifcif 4450  𝒫 cpw 4522  {csn 4550  {cpr 4552  cop 4556   cuni 4824   class class class wbr 5052  cmpt 5132   Or wor 5460  ran crn 5543  cres 5544  wf 6339  (class class class)co 7149  Fincfn 8505  supcsup 8901  0cc0 10535  +∞cpnf 10670  *cxr 10672   < clt 10673  cle 10674  [,]cicc 12738  s cress 16484   Σg cgsu 16714  *𝑠cxrs 16773  Mndcmnd 17911  CMndccmn 18906   tsums ctsu 22737  Σ*cesum 31346
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-fsupp 8831  df-fi 8872  df-sup 8903  df-inf 8904  df-oi 8971  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-q 12346  df-xadd 12505  df-ioo 12739  df-ioc 12740  df-ico 12741  df-icc 12742  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-seq 13374  df-hash 13696  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-rest 16696  df-topn 16697  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-topgen 16717  df-ordt 16774  df-xrs 16775  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-ps 17810  df-tsr 17811  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-mulg 18225  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-fbas 20095  df-fg 20096  df-top 21505  df-topon 21522  df-topsp 21544  df-bases 21557  df-ntr 21631  df-nei 21709  df-cn 21838  df-haus 21926  df-fil 22457  df-fm 22549  df-flim 22550  df-flf 22551  df-tsms 22738  df-esum 31347
This theorem is referenced by:  esumsn  31384  esum2dlem  31411
  Copyright terms: Public domain W3C validator