Theorem esumsnf 32752

Description: The extended sum of a singleton is the term. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jan-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 2-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumsnf.0	⊢ Ⅎ𝑘𝐵
esumsnf.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐵)
esumsnf.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
esumsnf.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
esumsnf	⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem esumsnf

Dummy variables 𝑥 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-esum 32716	. . 3 ⊢ Σ*𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)))
3		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
4		snfi 8995	. . . . 5 ⊢ {𝑀} ∈ Fin
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑀} ∈ Fin)
6		elsni 4608	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀} → 𝑘 = 𝑀)
7		esumsnf.1	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐵)
8	6, 7	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝐴 = 𝐵)
9	8	mpteq2dva 5210	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐵))
10		esumsnf.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
11		esumsnf.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
12		fmptsn 7118	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → {⟨𝑀, 𝐵⟩} = (𝑙 ∈ {𝑀} ↦ 𝐵))
13		nfcv 2902	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑙𝐵
14		esumsnf.0	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘𝐵
15		eqidd 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → 𝐵 = 𝐵)
16	13, 14, 15	cbvmpt 5221	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐵) = (𝑙 ∈ {𝑀} ↦ 𝐵)
17	12, 16	eqtr4di 2789	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → {⟨𝑀, 𝐵⟩} = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐵))
18	10, 11, 17	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑀, 𝐵⟩} = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐵))
19	9, 18	eqtr4d 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) = {⟨𝑀, 𝐵⟩})
20		fsng 7088	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴):{𝑀}⟶{𝐵} ↔ (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) = {⟨𝑀, 𝐵⟩}))
21	10, 11, 20	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴):{𝑀}⟶{𝐵} ↔ (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) = {⟨𝑀, 𝐵⟩}))
22	19, 21	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴):{𝑀}⟶{𝐵})
23	11	snssd 4774	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝐵} ⊆ (0[,]+∞))
24	22, 23	fssd 6691	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴):{𝑀}⟶(0[,]+∞))
25		xrltso 13070	. . . . . . 7 ⊢ < Or ℝ*
26	25	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → < Or ℝ*)
27		0xr 11211	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ*
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
29		elxrge0 13384	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵))
30	11, 29	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵))
31	30	simpld 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
32		suppr 9416	. . . . . 6 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → sup({0, 𝐵}, ℝ*, < ) = if(𝐵 < 0, 0, 𝐵))
33	26, 28, 31, 32	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup({0, 𝐵}, ℝ*, < ) = if(𝐵 < 0, 0, 𝐵))
34		0fin 9122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∅ ∈ Fin
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ Fin)
36		reseq2 5937	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥) = ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ ∅))
37		res0 5946	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ ∅) = ∅
38	36, 37	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥) = ∅)
39	38	oveq2d 7378	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ∅))
40		xrge00 31947	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
41	40	gsum0 18553	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ∅) = 0
42	39, 41	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥)) = 0)
43	42	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ∅) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥)) = 0)
44		reseq2 5937	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = {𝑀} → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥) = ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀}))
45		ssid 3969	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑀} ⊆ {𝑀}
46		resmpt 5996	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝑀} ⊆ {𝑀} → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀}) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴))
47	45, 46	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀}) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)
48	44, 47	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = {𝑀} → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴))
49	48	oveq2d 7378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = {𝑀} → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)))
50		xrge0base 31946	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
51		xrge0cmn 20876	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
52		cmnmnd 19593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
53	51, 52	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
55		nfv 1917	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
56	50, 54, 10, 11, 7, 55, 14	gsumsnfd 19742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = 𝐵)
57	49, 56	sylan9eqr 2793	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = {𝑀}) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥)) = 𝐵)
58	35, 5, 28, 11, 43, 57	fmptpr 7123	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {⟨∅, 0⟩, ⟨{𝑀}, 𝐵⟩} = (𝑥 ∈ {∅, {𝑀}} ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))))
59		pwsn 4862	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝒫 {𝑀} = {∅, {𝑀}}
60		prssi 4786	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∅ ∈ Fin ∧ {𝑀} ∈ Fin) → {∅, {𝑀}} ⊆ Fin)
61	34, 4, 60	mp2an 690	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {∅, {𝑀}} ⊆ Fin
62	59, 61	eqsstri 3981	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝒫 {𝑀} ⊆ Fin
63		df-ss 3930	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝒫 {𝑀} ⊆ Fin ↔ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) = 𝒫 {𝑀})
64	62, 63	mpbi 229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) = 𝒫 {𝑀}
65	64, 59	eqtri 2759	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) = {∅, {𝑀}}
66		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))
67	65, 66	mpteq12i 5216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))) = (𝑥 ∈ {∅, {𝑀}} ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥)))
68	58, 67	eqtr4di 2789	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {⟨∅, 0⟩, ⟨{𝑀}, 𝐵⟩} = (𝑥 ∈ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))))
69	68	rneqd 5898	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran {⟨∅, 0⟩, ⟨{𝑀}, 𝐵⟩} = ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))))
70		rnpropg 6179	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ∈ Fin ∧ {𝑀} ∈ Fin) → ran {⟨∅, 0⟩, ⟨{𝑀}, 𝐵⟩} = {0, 𝐵})
71	35, 5, 70	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran {⟨∅, 0⟩, ⟨{𝑀}, 𝐵⟩} = {0, 𝐵})
72	69, 71	eqtr3d 2773	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))) = {0, 𝐵})
73	72	supeq1d 9391	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))), ℝ*, < ) = sup({0, 𝐵}, ℝ*, < ))
74	30	simprd 496	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
75		xrlenlt 11229	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (0 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 0))
76	28, 31, 75	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 0))
77	74, 76	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 0)
78		eqidd 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐵)
79	77, 78	jca 512	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐵 < 0 ∧ 𝐵 = 𝐵))
80	79	olcd 872	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 < 0 ∧ 𝐵 = 0) ∨ (¬ 𝐵 < 0 ∧ 𝐵 = 𝐵)))
81		eqif 4532	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 < 0, 0, 𝐵) ↔ ((𝐵 < 0 ∧ 𝐵 = 0) ∨ (¬ 𝐵 < 0 ∧ 𝐵 = 𝐵)))
82	80, 81	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = if(𝐵 < 0, 0, 𝐵))
83	33, 73, 82	3eqtr4rd 2782	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))), ℝ*, < ))
84	3, 5, 24, 83	xrge0tsmsd 31969	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = {𝐵})
85	84	unieqd 4884	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = ∪ {𝐵})
86		unisng 4891	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,]+∞) → ∪ {𝐵} = 𝐵)
87	11, 86	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝐵} = 𝐵)
88	2, 85, 87	3eqtrd 2775	1 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Ⅎwnfc 2882   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  ∅c0 4287  ifcif 4491  𝒫 cpw 4565  {csn 4591  {cpr 4593  ⟨cop 4597  ∪ cuni 4870   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193   Or wor 5549  ran crn 5639   ↾ cres 5640  ⟶wf 6497  (class class class)co 7362  Fincfn 8890  supcsup 9385  0cc0 11060  +∞cpnf 11195  ℝ^*cxr 11197   < clt 11198   ≤ cle 11199  [,]cicc 13277   ↾_s cress 17123   Σ_g cgsu 17336  ℝ^*_𝑠cxrs 17396  Mndcmnd 18570  CMndccmn 19576   tsums ctsu 23514  Σ^*cesum 32715

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137  ax-pre-sup 11138

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9356  df-sup 9387  df-inf 9388  df-oi 9455  df-card 9884  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-div 11822  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12423  df-z 12509  df-dec 12628  df-uz 12773  df-q 12883  df-xadd 13043  df-ioo 13278  df-ioc 13279  df-ico 13280  df-icc 13281  df-fz 13435  df-fzo 13578  df-seq 13917  df-hash 14241  df-struct 17030  df-sets 17047  df-slot 17065  df-ndx 17077  df-base 17095  df-ress 17124  df-plusg 17160  df-mulr 17161  df-tset 17166  df-ple 17167  df-ds 17169  df-rest 17318  df-topn 17319  df-0g 17337  df-gsum 17338  df-topgen 17339  df-ordt 17397  df-xrs 17398  df-mre 17480  df-mrc 17481  df-acs 17483  df-ps 18469  df-tsr 18470  df-mgm 18511  df-sgrp 18560  df-mnd 18571  df-submnd 18616  df-mulg 18887  df-cntz 19111  df-cmn 19578  df-fbas 20830  df-fg 20831  df-top 22280  df-topon 22297  df-topsp 22319  df-bases 22333  df-ntr 22408  df-nei 22486  df-cn 22615  df-haus 22703  df-fil 23234  df-fm 23326  df-flim 23327  df-flf 23328  df-tsms 23515  df-esum 32716

This theorem is referenced by:  esumsn  32753  esum2dlem  32780