Theorem esumsnf 34559

Description: The extended sum of a singleton is the term. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jan-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 2-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumsnf.0	⊢ Ⅎ𝑘𝐵
esumsnf.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐵)
esumsnf.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
esumsnf.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
esumsnf	⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem esumsnf

Dummy variables 𝑥 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-esum 34523	. . 3 ⊢ Σ*𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)))
3		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
4		snfi 9053	. . . . 5 ⊢ {𝑀} ∈ Fin
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑀} ∈ Fin)
6		elsni 4604	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀} → 𝑘 = 𝑀)
7		esumsnf.1	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐵)
8	6, 7	sylan2 605	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝐴 = 𝐵)
9	8	mpteq2dva 5202	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐵))
10		esumsnf.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
11		esumsnf.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
12		fmptsn 7168	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → {⟨𝑀, 𝐵⟩} = (𝑙 ∈ {𝑀} ↦ 𝐵))
13		nfcv 2924	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑙𝐵
14		esumsnf.0	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘𝐵
15		eqidd 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → 𝐵 = 𝐵)
16	13, 14, 15	cbvmpt 5211	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐵) = (𝑙 ∈ {𝑀} ↦ 𝐵)
17	12, 16	eqtr4di 2815	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → {⟨𝑀, 𝐵⟩} = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐵))
18	10, 11, 17	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑀, 𝐵⟩} = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐵))
19	9, 18	eqtr4d 2800	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) = {⟨𝑀, 𝐵⟩})
20		fsng 7134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴):{𝑀}⟶{𝐵} ↔ (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) = {⟨𝑀, 𝐵⟩}))
21	10, 11, 20	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴):{𝑀}⟶{𝐵} ↔ (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) = {⟨𝑀, 𝐵⟩}))
22	19, 21	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴):{𝑀}⟶{𝐵})
23	11	snssd 4750	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝐵} ⊆ (0[,]+∞))
24	22, 23	fssd 6724	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴):{𝑀}⟶(0[,]+∞))
25		xrltso 13192	. . . . . . 7 ⊢ < Or ℝ*
26	25	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → < Or ℝ*)
27		0xr 11281	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ*
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
29		elxrge0 13510	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵))
30	11, 29	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵))
31	30	simpld 500	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
32		suppr 9445	. . . . . 6 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → sup({0, 𝐵}, ℝ*, < ) = if(𝐵 < 0, 0, 𝐵))
33	26, 28, 31, 32	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup({0, 𝐵}, ℝ*, < ) = if(𝐵 < 0, 0, 𝐵))
34		0fi 9052	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∅ ∈ Fin
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ Fin)
36		reseq2 5971	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥) = ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ ∅))
37		res0 5980	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ ∅) = ∅
38	36, 37	eqtrdi 2813	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥) = ∅)
39	38	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ∅))
40		xrge00 33439	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
41	40	gsum0 18786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ∅) = 0
42	39, 41	eqtrdi 2813	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥)) = 0)
43	42	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ∅) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥)) = 0)
44		reseq2 5971	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = {𝑀} → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥) = ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀}))
45		ssid 3956	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑀} ⊆ {𝑀}
46		resmpt 6037	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝑀} ⊆ {𝑀} → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀}) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴))
47	45, 46	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀}) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)
48	44, 47	eqtrdi 2813	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = {𝑀} → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴))
49	48	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = {𝑀} → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)))
50		xrge0base 17695	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
51		xrge0cmn 21656	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
52		cmnmnd 19923	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
53	51, 52	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
55		nfv 1947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
56	50, 54, 10, 11, 7, 55, 14	gsumsnfd 20077	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = 𝐵)
57	49, 56	sylan9eqr 2819	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = {𝑀}) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥)) = 𝐵)
58	35, 5, 28, 11, 43, 57	fmptpr 7173	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {⟨∅, 0⟩, ⟨{𝑀}, 𝐵⟩} = (𝑥 ∈ {∅, {𝑀}} ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))))
59		pwsn 4863	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝒫 {𝑀} = {∅, {𝑀}}
60		prssi 4785	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∅ ∈ Fin ∧ {𝑀} ∈ Fin) → {∅, {𝑀}} ⊆ Fin)
61	34, 4, 60	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {∅, {𝑀}} ⊆ Fin
62	59, 61	eqsstri 3980	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝒫 {𝑀} ⊆ Fin
63		dfss2 3920	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝒫 {𝑀} ⊆ Fin ↔ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) = 𝒫 {𝑀})
64	62, 63	mpbi 233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) = 𝒫 {𝑀}
65	64, 59	eqtri 2785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) = {∅, {𝑀}}
66		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))
67	65, 66	mpteq12i 5206	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))) = (𝑥 ∈ {∅, {𝑀}} ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥)))
68	58, 67	eqtr4di 2815	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {⟨∅, 0⟩, ⟨{𝑀}, 𝐵⟩} = (𝑥 ∈ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))))
69	68	rneqd 5926	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran {⟨∅, 0⟩, ⟨{𝑀}, 𝐵⟩} = ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))))
70		rnpropg 6222	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ∈ Fin ∧ {𝑀} ∈ Fin) → ran {⟨∅, 0⟩, ⟨{𝑀}, 𝐵⟩} = {0, 𝐵})
71	35, 5, 70	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran {⟨∅, 0⟩, ⟨{𝑀}, 𝐵⟩} = {0, 𝐵})
72	69, 71	eqtr3d 2799	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))) = {0, 𝐵})
73	72	supeq1d 9419	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))), ℝ*, < ) = sup({0, 𝐵}, ℝ*, < ))
74	30	simprd 501	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
75		xrlenlt 11299	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (0 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 0))
76	28, 31, 75	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 0))
77	74, 76	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 0)
78		eqidd 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐵)
79	77, 78	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐵 < 0 ∧ 𝐵 = 𝐵))
80	79	olcd 888	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 < 0 ∧ 𝐵 = 0) ∨ (¬ 𝐵 < 0 ∧ 𝐵 = 𝐵)))
81		eqif 4527	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 < 0, 0, 𝐵) ↔ ((𝐵 < 0 ∧ 𝐵 = 0) ∨ (¬ 𝐵 < 0 ∧ 𝐵 = 𝐵)))
82	80, 81	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = if(𝐵 < 0, 0, 𝐵))
83	33, 73, 82	3eqtr4rd 2808	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))), ℝ*, < ))
84	3, 5, 24, 83	xrge0tsmsd 33498	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = {𝐵})
85	84	unieqd 4883	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = ∪ {𝐵})
86		unisng 4888	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,]+∞) → ∪ {𝐵} = 𝐵)
87	11, 86	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝐵} = 𝐵)
88	2, 85, 87	3eqtrd 2801	1 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Ⅎwnfc 2909   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  ifcif 4485  𝒫 cpw 4560  {csn 4587  {cpr 4589  ⟨cop 4593  ∪ cuni 4870   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190   Or wor 5566  ran crn 5660   ↾ cres 5661  ⟶wf 6533  (class class class)co 7416  Fincfn 8955  supcsup 9413  0cc0 11125  +∞cpnf 11265  ℝ^*cxr 11267   < clt 11268   ≤ cle 11269  [,]cicc 13401   ↾_s cress 17324   Σ_g cgsu 17527  ℝ^*_𝑠cxrs 17588  Mndcmnd 18836  CMndccmn 19906   tsums ctsu 24351  Σ^*cesum 34522

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-fi 9384  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-q 12999  df-xadd 13164  df-ioo 13402  df-ioc 13403  df-ico 13404  df-icc 13405  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-seq 14066  df-hash 14395  df-struct 17241  df-sets 17258  df-slot 17276  df-ndx 17288  df-base 17304  df-ress 17325  df-plusg 17357  df-mulr 17358  df-tset 17363  df-ple 17364  df-ds 17366  df-rest 17509  df-topn 17510  df-0g 17528  df-gsum 17529  df-topgen 17530  df-ordt 17589  df-xrs 17590  df-mre 17672  df-mrc 17673  df-acs 17675  df-ps 18656  df-tsr 18657  df-mgm 18732  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-submnd 18891  df-mulg 19190  df-cntz 19443  df-cmn 19908  df-fbas 21581  df-fg 21582  df-top 23118  df-topon 23135  df-topsp 23157  df-bases 23170  df-ntr 23244  df-nei 23322  df-cn 23451  df-haus 23539  df-fil 24071  df-fm 24163  df-flim 24164  df-flf 24165  df-tsms 24352  df-esum 34523

This theorem is used by:  esumsn  34560  esum2dlem  34587