Theorem zlmodzxzadd 48985

Description: The addition of the ℤ-module ℤ × ℤ. (Contributed by AV, 22-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxz.z	⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzadd.p	⊢ + = (+g‘𝑍)

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxzadd	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} + {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, (𝐴 + 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶 + 𝐷)⟩})

Proof of Theorem zlmodzxzadd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmodzxz.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
2		eqid 2764	. . 3 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
3		zringring 21503	. . . 4 ⊢ ℤring ∈ Ring
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ℤring ∈ Ring)
5		prex 5397	. . . 4 ⊢ {0, 1} ∈ V
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → {0, 1} ∈ V)
7		simpl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
8		simpl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℤ)
9	1	zlmodzxzel 48982	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} ∈ (Base‘𝑍))
10	7, 8, 9	syl2an 605	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} ∈ (Base‘𝑍))
11		simpr 488	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
12		simpr 488	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐷 ∈ ℤ)
13	1	zlmodzxzel 48982	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩} ∈ (Base‘𝑍))
14	11, 12, 13	syl2an 605	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩} ∈ (Base‘𝑍))
15		eqid 2764	. . 3 ⊢ (+g‘ℤring) = (+g‘ℤring)
16		zlmodzxzadd.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑍)
17	1, 2, 4, 6, 10, 14, 15, 16	frlmplusgval 21818	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} + {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} ∘f (+g‘ℤring){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}))
18		c0ex 11175	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
19		1ex 11178	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
20	18, 19	pm3.2i 474	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V)
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V))
22	7, 8	anim12i 622	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
23		0ne1 12291	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ 1
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → 0 ≠ 1)
25		fnprg 6582	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ V ∧ 1 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 0 ≠ 1) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} Fn {0, 1})
26	21, 22, 24, 25	syl3anc 1392	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} Fn {0, 1})
27	11, 12	anim12i 622	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ))
28		fnprg 6582	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ V ∧ 1 ∈ V) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ 0 ≠ 1) → {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩} Fn {0, 1})
29	21, 27, 24, 28	syl3anc 1392	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩} Fn {0, 1})
30	6, 26, 29	offvalfv 7684	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} ∘f (+g‘ℤring){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = (𝑥 ∈ {0, 1} ↦ (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘𝑥)(+g‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘𝑥))))
31	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → 0 ∈ V)
32	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → 1 ∈ V)
33		ovexd 7433	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝐴(+g‘ℤring)𝐵) ∈ V)
34		ovexd 7433	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝐶(+g‘ℤring)𝐷) ∈ V)
35		fveq2 6869	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘𝑥) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘0))
36		fveq2 6869	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘𝑥) = ({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘0))
37	35, 36	oveq12d 7416	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘𝑥)(+g‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘𝑥)) = (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘0)(+g‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘0)))
38	7	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℤ)
39		fvpr1g 7176	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≠ 1) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘0) = 𝐴)
40	31, 38, 24, 39	syl3anc 1392	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘0) = 𝐴)
41	11	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℤ)
42		fvpr1g 7176	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 ≠ 1) → ({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘0) = 𝐵)
43	31, 41, 24, 42	syl3anc 1392	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘0) = 𝐵)
44	40, 43	oveq12d 7416	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘0)(+g‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘0)) = (𝐴(+g‘ℤring)𝐵))
45	37, 44	sylan9eqr 2821	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = 0) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘𝑥)(+g‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘𝑥)) = (𝐴(+g‘ℤring)𝐵))
46		fveq2 6869	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘𝑥) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘1))
47		fveq2 6869	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → ({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘𝑥) = ({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘1))
48	46, 47	oveq12d 7416	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘𝑥)(+g‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘𝑥)) = (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘1)(+g‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘1)))
49	8	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → 𝐶 ∈ ℤ)
50		fvpr2g 7177	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 0 ≠ 1) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘1) = 𝐶)
51	32, 49, 24, 50	syl3anc 1392	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘1) = 𝐶)
52	12	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → 𝐷 ∈ ℤ)
53		fvpr2g 7177	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 0 ≠ 1) → ({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘1) = 𝐷)
54	32, 52, 24, 53	syl3anc 1392	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘1) = 𝐷)
55	51, 54	oveq12d 7416	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘1)(+g‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘1)) = (𝐶(+g‘ℤring)𝐷))
56	48, 55	sylan9eqr 2821	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = 1) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘𝑥)(+g‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘𝑥)) = (𝐶(+g‘ℤring)𝐷))
57	31, 32, 33, 34, 45, 56	fmptpr 7158	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → {⟨0, (𝐴(+g‘ℤring)𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶(+g‘ℤring)𝐷)⟩} = (𝑥 ∈ {0, 1} ↦ (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘𝑥)(+g‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘𝑥))))
58		zringplusg 21508	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘ℤring)
59	58	eqcomi 2773	. . . . . 6 ⊢ (+g‘ℤring) = +
60	59	oveqi 7411	. . . . 5 ⊢ (𝐴(+g‘ℤring)𝐵) = (𝐴 + 𝐵)
61	60	opeq2i 4837	. . . 4 ⊢ ⟨0, (𝐴(+g‘ℤring)𝐵)⟩ = ⟨0, (𝐴 + 𝐵)⟩
62	59	oveqi 7411	. . . . 5 ⊢ (𝐶(+g‘ℤring)𝐷) = (𝐶 + 𝐷)
63	62	opeq2i 4837	. . . 4 ⊢ ⟨1, (𝐶(+g‘ℤring)𝐷)⟩ = ⟨1, (𝐶 + 𝐷)⟩
64	61, 63	preq12i 4699	. . 3 ⊢ {⟨0, (𝐴(+g‘ℤring)𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶(+g‘ℤring)𝐷)⟩} = {⟨0, (𝐴 + 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶 + 𝐷)⟩}
65	57, 64	eqtr3di 2814	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝑥 ∈ {0, 1} ↦ (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘𝑥)(+g‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘𝑥))) = {⟨0, (𝐴 + 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶 + 𝐷)⟩})
66	17, 30, 65	3eqtrd 2803	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} + {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, (𝐴 + 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶 + 𝐷)⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2959  Vcvv 3456  {cpr 4586  ⟨cop 4590   ↦ cmpt 5183   Fn wfn 6518  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398   ∘_f cof 7660  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078  ℤcz 12570  Basecbs 17247  +_gcplusg 17288  Ringcrg 20285  ℤ_ringczring 21500   freeLMod cfrlm 21800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-addf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-of 7662  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8143  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-2o 8440  df-er 8680  df-map 8812  df-ixp 8882  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-fsupp 9310  df-sup 9390  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12484  df-z 12571  df-dec 12691  df-uz 12842  df-fz 13515  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-ress 17269  df-plusg 17301  df-mulr 17302  df-starv 17303  df-sca 17304  df-vsca 17305  df-ip 17306  df-tset 17307  df-ple 17308  df-ds 17310  df-unif 17311  df-hom 17312  df-cco 17313  df-0g 17472  df-prds 17478  df-pws 17480  df-mgm 18676  df-sgrp 18755  df-mnd 18771  df-grp 18980  df-minusg 18981  df-subg 19167  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20189  df-rng 20201  df-ur 20234  df-ring 20287  df-cring 20288  df-subrng 20598  df-subrg 20622  df-sra 21242  df-rgmod 21243  df-cnfld 21427  df-zring 21501  df-dsmm 21786  df-frlm 21801

This theorem is referenced by:  zlmodzxzsub  48987  zlmodzxzequap  49126