Theorem zlmodzxzadd 48861

Description: The addition of the ℤ-module ℤ × ℤ. (Contributed by AV, 22-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxz.z	⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzadd.p	⊢ + = (+g‘𝑍)

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxzadd	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} + {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, (𝐴 + 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶 + 𝐷)⟩})

Proof of Theorem zlmodzxzadd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmodzxz.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
2		eqid 2741	. . 3 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
3		zringring 21427	. . . 4 ⊢ ℤring ∈ Ring
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ℤring ∈ Ring)
5		prex 5369	. . . 4 ⊢ {0, 1} ∈ V
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → {0, 1} ∈ V)
7		simpl 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
8		simpl 484	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℤ)
9	1	zlmodzxzel 48858	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} ∈ (Base‘𝑍))
10	7, 8, 9	syl2an 603	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} ∈ (Base‘𝑍))
11		simpr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
12		simpr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐷 ∈ ℤ)
13	1	zlmodzxzel 48858	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩} ∈ (Base‘𝑍))
14	11, 12, 13	syl2an 603	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩} ∈ (Base‘𝑍))
15		eqid 2741	. . 3 ⊢ (+g‘ℤring) = (+g‘ℤring)
16		zlmodzxzadd.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑍)
17	1, 2, 4, 6, 10, 14, 15, 16	frlmplusgval 21742	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} + {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} ∘f (+g‘ℤring){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}))
18		c0ex 11134	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
19		1ex 11136	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
20	18, 19	pm3.2i 472	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V)
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V))
22	7, 8	anim12i 620	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
23		0ne1 12247	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ 1
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → 0 ≠ 1)
25		fnprg 6547	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ V ∧ 1 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 0 ≠ 1) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} Fn {0, 1})
26	21, 22, 24, 25	syl3anc 1380	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} Fn {0, 1})
27	11, 12	anim12i 620	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ))
28		fnprg 6547	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ V ∧ 1 ∈ V) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ 0 ≠ 1) → {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩} Fn {0, 1})
29	21, 27, 24, 28	syl3anc 1380	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩} Fn {0, 1})
30	6, 26, 29	offvalfv 7645	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} ∘f (+g‘ℤring){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = (𝑥 ∈ {0, 1} ↦ (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘𝑥)(+g‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘𝑥))))
31	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → 0 ∈ V)
32	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → 1 ∈ V)
33		ovexd 7394	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝐴(+g‘ℤring)𝐵) ∈ V)
34		ovexd 7394	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝐶(+g‘ℤring)𝐷) ∈ V)
35		fveq2 6830	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘𝑥) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘0))
36		fveq2 6830	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘𝑥) = ({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘0))
37	35, 36	oveq12d 7377	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘𝑥)(+g‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘𝑥)) = (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘0)(+g‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘0)))
38	7	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℤ)
39		fvpr1g 7137	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≠ 1) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘0) = 𝐴)
40	31, 38, 24, 39	syl3anc 1380	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘0) = 𝐴)
41	11	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℤ)
42		fvpr1g 7137	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 ≠ 1) → ({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘0) = 𝐵)
43	31, 41, 24, 42	syl3anc 1380	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘0) = 𝐵)
44	40, 43	oveq12d 7377	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘0)(+g‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘0)) = (𝐴(+g‘ℤring)𝐵))
45	37, 44	sylan9eqr 2798	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = 0) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘𝑥)(+g‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘𝑥)) = (𝐴(+g‘ℤring)𝐵))
46		fveq2 6830	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘𝑥) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘1))
47		fveq2 6830	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → ({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘𝑥) = ({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘1))
48	46, 47	oveq12d 7377	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘𝑥)(+g‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘𝑥)) = (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘1)(+g‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘1)))
49	8	adantl 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → 𝐶 ∈ ℤ)
50		fvpr2g 7138	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 0 ≠ 1) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘1) = 𝐶)
51	32, 49, 24, 50	syl3anc 1380	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘1) = 𝐶)
52	12	adantl 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → 𝐷 ∈ ℤ)
53		fvpr2g 7138	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 0 ≠ 1) → ({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘1) = 𝐷)
54	32, 52, 24, 53	syl3anc 1380	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘1) = 𝐷)
55	51, 54	oveq12d 7377	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘1)(+g‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘1)) = (𝐶(+g‘ℤring)𝐷))
56	48, 55	sylan9eqr 2798	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = 1) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘𝑥)(+g‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘𝑥)) = (𝐶(+g‘ℤring)𝐷))
57	31, 32, 33, 34, 45, 56	fmptpr 7119	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → {⟨0, (𝐴(+g‘ℤring)𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶(+g‘ℤring)𝐷)⟩} = (𝑥 ∈ {0, 1} ↦ (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘𝑥)(+g‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘𝑥))))
58		zringplusg 21432	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘ℤring)
59	58	eqcomi 2750	. . . . . 6 ⊢ (+g‘ℤring) = +
60	59	oveqi 7372	. . . . 5 ⊢ (𝐴(+g‘ℤring)𝐵) = (𝐴 + 𝐵)
61	60	opeq2i 4810	. . . 4 ⊢ ⟨0, (𝐴(+g‘ℤring)𝐵)⟩ = ⟨0, (𝐴 + 𝐵)⟩
62	59	oveqi 7372	. . . . 5 ⊢ (𝐶(+g‘ℤring)𝐷) = (𝐶 + 𝐷)
63	62	opeq2i 4810	. . . 4 ⊢ ⟨1, (𝐶(+g‘ℤring)𝐷)⟩ = ⟨1, (𝐶 + 𝐷)⟩
64	61, 63	preq12i 4672	. . 3 ⊢ {⟨0, (𝐴(+g‘ℤring)𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶(+g‘ℤring)𝐷)⟩} = {⟨0, (𝐴 + 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶 + 𝐷)⟩}
65	57, 64	eqtr3di 2791	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝑥 ∈ {0, 1} ↦ (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘𝑥)(+g‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘𝑥))) = {⟨0, (𝐴 + 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶 + 𝐷)⟩})
66	17, 30, 65	3eqtrd 2780	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} + {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, (𝐴 + 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶 + 𝐷)⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  Vcvv 3433  {cpr 4559  ⟨cop 4563   ↦ cmpt 5155   Fn wfn 6483  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359   ∘_f cof 7621  0cc0 11034  1c1 11035   + caddc 11037  ℤcz 12519  Basecbs 17174  +_gcplusg 17215  Ringcrg 20208  ℤ_ringczring 21424   freeLMod cfrlm 21724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111  ax-addf 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-of 7623  df-om 7810  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-sup 9349  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-hom 17239  df-cco 17240  df-0g 17399  df-prds 17405  df-pws 17407  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-subg 19094  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-ring 20210  df-cring 20211  df-subrng 20521  df-subrg 20545  df-sra 21166  df-rgmod 21167  df-cnfld 21351  df-zring 21425  df-dsmm 21710  df-frlm 21725

This theorem is referenced by:  zlmodzxzsub  48863  zlmodzxzequap  49002