Theorem zlmodzxzadd 48350

Description: The addition of the ℤ-module ℤ × ℤ. (Contributed by AV, 22-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxz.z	⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzadd.p	⊢ + = (+g‘𝑍)

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxzadd	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} + {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, (𝐴 + 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶 + 𝐷)⟩})

Proof of Theorem zlmodzxzadd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmodzxz.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
2		eqid 2730	. . 3 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
3		zringring 21366	. . . 4 ⊢ ℤring ∈ Ring
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ℤring ∈ Ring)
5		prex 5395	. . . 4 ⊢ {0, 1} ∈ V
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → {0, 1} ∈ V)
7		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
8		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℤ)
9	1	zlmodzxzel 48347	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} ∈ (Base‘𝑍))
10	7, 8, 9	syl2an 596	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} ∈ (Base‘𝑍))
11		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
12		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐷 ∈ ℤ)
13	1	zlmodzxzel 48347	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩} ∈ (Base‘𝑍))
14	11, 12, 13	syl2an 596	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩} ∈ (Base‘𝑍))
15		eqid 2730	. . 3 ⊢ (+g‘ℤring) = (+g‘ℤring)
16		zlmodzxzadd.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑍)
17	1, 2, 4, 6, 10, 14, 15, 16	frlmplusgval 21680	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} + {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} ∘f (+g‘ℤring){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}))
18		c0ex 11175	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
19		1ex 11177	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
20	18, 19	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V)
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V))
22	7, 8	anim12i 613	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
23		0ne1 12264	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ 1
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → 0 ≠ 1)
25		fnprg 6578	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ V ∧ 1 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 0 ≠ 1) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} Fn {0, 1})
26	21, 22, 24, 25	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} Fn {0, 1})
27	11, 12	anim12i 613	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ))
28		fnprg 6578	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ V ∧ 1 ∈ V) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ 0 ≠ 1) → {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩} Fn {0, 1})
29	21, 27, 24, 28	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩} Fn {0, 1})
30	6, 26, 29	offvalfv 7678	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} ∘f (+g‘ℤring){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = (𝑥 ∈ {0, 1} ↦ (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘𝑥)(+g‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘𝑥))))
31	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → 0 ∈ V)
32	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → 1 ∈ V)
33		ovexd 7425	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝐴(+g‘ℤring)𝐵) ∈ V)
34		ovexd 7425	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝐶(+g‘ℤring)𝐷) ∈ V)
35		fveq2 6861	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘𝑥) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘0))
36		fveq2 6861	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘𝑥) = ({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘0))
37	35, 36	oveq12d 7408	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘𝑥)(+g‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘𝑥)) = (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘0)(+g‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘0)))
38	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℤ)
39		fvpr1g 7167	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≠ 1) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘0) = 𝐴)
40	31, 38, 24, 39	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘0) = 𝐴)
41	11	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℤ)
42		fvpr1g 7167	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 ≠ 1) → ({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘0) = 𝐵)
43	31, 41, 24, 42	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘0) = 𝐵)
44	40, 43	oveq12d 7408	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘0)(+g‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘0)) = (𝐴(+g‘ℤring)𝐵))
45	37, 44	sylan9eqr 2787	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = 0) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘𝑥)(+g‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘𝑥)) = (𝐴(+g‘ℤring)𝐵))
46		fveq2 6861	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘𝑥) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘1))
47		fveq2 6861	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → ({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘𝑥) = ({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘1))
48	46, 47	oveq12d 7408	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘𝑥)(+g‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘𝑥)) = (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘1)(+g‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘1)))
49	8	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → 𝐶 ∈ ℤ)
50		fvpr2g 7168	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 0 ≠ 1) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘1) = 𝐶)
51	32, 49, 24, 50	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘1) = 𝐶)
52	12	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → 𝐷 ∈ ℤ)
53		fvpr2g 7168	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 0 ≠ 1) → ({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘1) = 𝐷)
54	32, 52, 24, 53	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘1) = 𝐷)
55	51, 54	oveq12d 7408	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘1)(+g‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘1)) = (𝐶(+g‘ℤring)𝐷))
56	48, 55	sylan9eqr 2787	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = 1) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘𝑥)(+g‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘𝑥)) = (𝐶(+g‘ℤring)𝐷))
57	31, 32, 33, 34, 45, 56	fmptpr 7149	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → {⟨0, (𝐴(+g‘ℤring)𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶(+g‘ℤring)𝐷)⟩} = (𝑥 ∈ {0, 1} ↦ (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘𝑥)(+g‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘𝑥))))
58		zringplusg 21371	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘ℤring)
59	58	eqcomi 2739	. . . . . 6 ⊢ (+g‘ℤring) = +
60	59	oveqi 7403	. . . . 5 ⊢ (𝐴(+g‘ℤring)𝐵) = (𝐴 + 𝐵)
61	60	opeq2i 4844	. . . 4 ⊢ ⟨0, (𝐴(+g‘ℤring)𝐵)⟩ = ⟨0, (𝐴 + 𝐵)⟩
62	59	oveqi 7403	. . . . 5 ⊢ (𝐶(+g‘ℤring)𝐷) = (𝐶 + 𝐷)
63	62	opeq2i 4844	. . . 4 ⊢ ⟨1, (𝐶(+g‘ℤring)𝐷)⟩ = ⟨1, (𝐶 + 𝐷)⟩
64	61, 63	preq12i 4705	. . 3 ⊢ {⟨0, (𝐴(+g‘ℤring)𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶(+g‘ℤring)𝐷)⟩} = {⟨0, (𝐴 + 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶 + 𝐷)⟩}
65	57, 64	eqtr3di 2780	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝑥 ∈ {0, 1} ↦ (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘𝑥)(+g‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}‘𝑥))) = {⟨0, (𝐴 + 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶 + 𝐷)⟩})
66	17, 30, 65	3eqtrd 2769	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} + {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, (𝐴 + 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶 + 𝐷)⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  Vcvv 3450  {cpr 4594  ⟨cop 4598   ↦ cmpt 5191   Fn wfn 6509  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ∘_f cof 7654  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078  ℤcz 12536  Basecbs 17186  +_gcplusg 17227  Ringcrg 20149  ℤ_ringczring 21363   freeLMod cfrlm 21662

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-addf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-sup 9400  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-fz 13476  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17411  df-prds 17417  df-pws 17419  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-subg 19062  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-cring 20152  df-subrng 20462  df-subrg 20486  df-sra 21087  df-rgmod 21088  df-cnfld 21272  df-zring 21364  df-dsmm 21648  df-frlm 21663

This theorem is referenced by:  zlmodzxzsub  48352  zlmodzxzequap  48492