Theorem zlmodzxzscm 48338

Description: The scalar multiplication of the ℤ-module ℤ × ℤ. (Contributed by AV, 20-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxz.z	⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzscm.t	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑍)

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxzscm	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 ∙ {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}) = {⟨0, (𝐴 · 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐴 · 𝐶)⟩})

Proof of Theorem zlmodzxzscm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prex 5387	. . . 4 ⊢ {0, 1} ∈ V
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → {0, 1} ∈ V)
3		fnconstg 6730	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ({0, 1} × {𝐴}) Fn {0, 1})
4	3	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ({0, 1} × {𝐴}) Fn {0, 1})
5		c0ex 11144	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
6		1ex 11146	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
7	5, 6	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V)
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V))
9		3simpc 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
10		0ne1 12233	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ 1
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 0 ≠ 1)
12		fnprg 6559	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ V ∧ 1 ∈ V) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 0 ≠ 1) → {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩} Fn {0, 1})
13	8, 9, 11, 12	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩} Fn {0, 1})
14	2, 4, 13	offvalfv 7655	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (({0, 1} × {𝐴}) ∘f (.r‘ℤring){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}) = (𝑥 ∈ {0, 1} ↦ ((({0, 1} × {𝐴})‘𝑥)(.r‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘𝑥))))
15		zlmodzxz.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
16		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
17		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘ℤring) = (Base‘ℤring)
18		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
19		zringbas 21395	. . . 4 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
20	18, 19	eleqtrdi 2838	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ (Base‘ℤring))
21	15	zlmodzxzel 48336	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩} ∈ (Base‘𝑍))
22	21	3adant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩} ∈ (Base‘𝑍))
23		zlmodzxzscm.t	. . 3 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑍)
24		eqid 2729	. . 3 ⊢ (.r‘ℤring) = (.r‘ℤring)
25	15, 16, 17, 2, 20, 22, 23, 24	frlmvscafval 21708	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 ∙ {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}) = (({0, 1} × {𝐴}) ∘f (.r‘ℤring){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}))
26	5	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 0 ∈ V)
27	6	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 1 ∈ V)
28		ovexd 7404	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ V)
29		ovexd 7404	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ V)
30		fveq2 6840	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (({0, 1} × {𝐴})‘𝑥) = (({0, 1} × {𝐴})‘0))
31		fveq2 6840	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → ({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘𝑥) = ({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘0))
32	30, 31	oveq12d 7387	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((({0, 1} × {𝐴})‘𝑥)(.r‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘𝑥)) = ((({0, 1} × {𝐴})‘0)(.r‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘0)))
33		zringmulr 21399	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘ℤring)
34	33	eqcomi 2738	. . . . . 6 ⊢ (.r‘ℤring) = ·
35	34	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (.r‘ℤring) = · )
36	5	prid1 4722	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ {0, 1}
37		fvconst2g 7158	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ {0, 1}) → (({0, 1} × {𝐴})‘0) = 𝐴)
38	18, 36, 37	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (({0, 1} × {𝐴})‘0) = 𝐴)
39		simp2 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
40		fvpr1g 7146	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 ≠ 1) → ({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘0) = 𝐵)
41	26, 39, 11, 40	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘0) = 𝐵)
42	35, 38, 41	oveq123d 7390	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((({0, 1} × {𝐴})‘0)(.r‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘0)) = (𝐴 · 𝐵))
43	32, 42	sylan9eqr 2786	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 = 0) → ((({0, 1} × {𝐴})‘𝑥)(.r‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘𝑥)) = (𝐴 · 𝐵))
44		fveq2 6840	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (({0, 1} × {𝐴})‘𝑥) = (({0, 1} × {𝐴})‘1))
45		fveq2 6840	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → ({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘𝑥) = ({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘1))
46	44, 45	oveq12d 7387	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → ((({0, 1} × {𝐴})‘𝑥)(.r‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘𝑥)) = ((({0, 1} × {𝐴})‘1)(.r‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘1)))
47	6	prid2 4723	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ {0, 1}
48		fvconst2g 7158	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ {0, 1}) → (({0, 1} × {𝐴})‘1) = 𝐴)
49	18, 47, 48	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (({0, 1} × {𝐴})‘1) = 𝐴)
50		simp3 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℤ)
51		fvpr2g 7147	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 0 ≠ 1) → ({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘1) = 𝐶)
52	27, 50, 11, 51	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘1) = 𝐶)
53	35, 49, 52	oveq123d 7390	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((({0, 1} × {𝐴})‘1)(.r‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘1)) = (𝐴 · 𝐶))
54	46, 53	sylan9eqr 2786	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 = 1) → ((({0, 1} × {𝐴})‘𝑥)(.r‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘𝑥)) = (𝐴 · 𝐶))
55	26, 27, 28, 29, 43, 54	fmptpr 7128	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → {⟨0, (𝐴 · 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐴 · 𝐶)⟩} = (𝑥 ∈ {0, 1} ↦ ((({0, 1} × {𝐴})‘𝑥)(.r‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘𝑥))))
56	14, 25, 55	3eqtr4d 2774	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 ∙ {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}) = {⟨0, (𝐴 · 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐴 · 𝐶)⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  Vcvv 3444  {csn 4585  {cpr 4587  ⟨cop 4591   ↦ cmpt 5183   × cxp 5629   Fn wfn 6494  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ∘_f cof 7631  0cc0 11044  1c1 11045   · cmul 11049  ℤcz 12505  Basecbs 17155  ._rcmulr 17197   ·_𝑠 cvsca 17200  ℤ_ringczring 21388   freeLMod cfrlm 21688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-addf 11123  ax-mulf 11124

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-sup 9369  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17380  df-prds 17386  df-pws 17388  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-grp 18850  df-minusg 18851  df-subg 19037  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-cring 20156  df-subrng 20466  df-subrg 20490  df-sra 21112  df-rgmod 21113  df-cnfld 21297  df-zring 21389  df-dsmm 21674  df-frlm 21689

This theorem is referenced by:  zlmodzxzequa  48478  zlmodzxznm  48479  zlmodzxzequap  48481