Theorem zlmodzxzscm 49059

Description: The scalar multiplication of the ℤ-module ℤ × ℤ. (Contributed by AV, 20-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxz.z	⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzscm.t	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑍)

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxzscm	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 ∙ {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}) = {⟨0, (𝐴 · 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐴 · 𝐶)⟩})

Proof of Theorem zlmodzxzscm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prex 5412	. . . 4 ⊢ {0, 1} ∈ V
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → {0, 1} ∈ V)
3		fnconstg 6769	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ({0, 1} × {𝐴}) Fn {0, 1})
4	3	3ad2ant1 1149	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ({0, 1} × {𝐴}) Fn {0, 1})
5		c0ex 11202	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
6		1ex 11205	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
7	5, 6	pm3.2i 475	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V)
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V))
9		3simpc 1166	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
10		0ne1 12314	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ 1
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 0 ≠ 1)
12		fnprg 6598	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ V ∧ 1 ∈ V) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 0 ≠ 1) → {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩} Fn {0, 1})
13	8, 9, 11, 12	syl3anc 1396	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩} Fn {0, 1})
14	2, 4, 13	offvalfv 7699	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (({0, 1} × {𝐴}) ∘f (.r‘ℤring){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}) = (𝑥 ∈ {0, 1} ↦ ((({0, 1} × {𝐴})‘𝑥)(.r‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘𝑥))))
15		zlmodzxz.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
16		eqid 2769	. . 3 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
17		eqid 2769	. . 3 ⊢ (Base‘ℤring) = (Base‘ℤring)
18		simp1 1152	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
19		zringbas 21574	. . . 4 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
20	18, 19	eleqtrdi 2879	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ (Base‘ℤring))
21	15	zlmodzxzel 49057	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩} ∈ (Base‘𝑍))
22	21	3adant1 1146	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩} ∈ (Base‘𝑍))
23		zlmodzxzscm.t	. . 3 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑍)
24		eqid 2769	. . 3 ⊢ (.r‘ℤring) = (.r‘ℤring)
25	15, 16, 17, 2, 20, 22, 23, 24	frlmvscafval 21887	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 ∙ {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}) = (({0, 1} × {𝐴}) ∘f (.r‘ℤring){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}))
26	5	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 0 ∈ V)
27	6	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 1 ∈ V)
28		ovexd 7448	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ V)
29		ovexd 7448	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ V)
30		fveq2 6884	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (({0, 1} × {𝐴})‘𝑥) = (({0, 1} × {𝐴})‘0))
31		fveq2 6884	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → ({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘𝑥) = ({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘0))
32	30, 31	oveq12d 7431	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((({0, 1} × {𝐴})‘𝑥)(.r‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘𝑥)) = ((({0, 1} × {𝐴})‘0)(.r‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘0)))
33		zringmulr 21578	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘ℤring)
34	33	eqcomi 2778	. . . . . 6 ⊢ (.r‘ℤring) = ·
35	34	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (.r‘ℤring) = · )
36	5	prid1 4733	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ {0, 1}
37		fvconst2g 7203	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ {0, 1}) → (({0, 1} × {𝐴})‘0) = 𝐴)
38	18, 36, 37	sylancl 597	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (({0, 1} × {𝐴})‘0) = 𝐴)
39		simp2 1153	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
40		fvpr1g 7191	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 ≠ 1) → ({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘0) = 𝐵)
41	26, 39, 11, 40	syl3anc 1396	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘0) = 𝐵)
42	35, 38, 41	oveq123d 7434	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((({0, 1} × {𝐴})‘0)(.r‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘0)) = (𝐴 · 𝐵))
43	32, 42	sylan9eqr 2826	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 = 0) → ((({0, 1} × {𝐴})‘𝑥)(.r‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘𝑥)) = (𝐴 · 𝐵))
44		fveq2 6884	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (({0, 1} × {𝐴})‘𝑥) = (({0, 1} × {𝐴})‘1))
45		fveq2 6884	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → ({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘𝑥) = ({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘1))
46	44, 45	oveq12d 7431	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → ((({0, 1} × {𝐴})‘𝑥)(.r‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘𝑥)) = ((({0, 1} × {𝐴})‘1)(.r‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘1)))
47	6	prid2 4734	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ {0, 1}
48		fvconst2g 7203	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ {0, 1}) → (({0, 1} × {𝐴})‘1) = 𝐴)
49	18, 47, 48	sylancl 597	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (({0, 1} × {𝐴})‘1) = 𝐴)
50		simp3 1154	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℤ)
51		fvpr2g 7192	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 0 ≠ 1) → ({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘1) = 𝐶)
52	27, 50, 11, 51	syl3anc 1396	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘1) = 𝐶)
53	35, 49, 52	oveq123d 7434	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((({0, 1} × {𝐴})‘1)(.r‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘1)) = (𝐴 · 𝐶))
54	46, 53	sylan9eqr 2826	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 = 1) → ((({0, 1} × {𝐴})‘𝑥)(.r‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘𝑥)) = (𝐴 · 𝐶))
55	26, 27, 28, 29, 43, 54	fmptpr 7173	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → {⟨0, (𝐴 · 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐴 · 𝐶)⟩} = (𝑥 ∈ {0, 1} ↦ ((({0, 1} × {𝐴})‘𝑥)(.r‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘𝑥))))
56	14, 25, 55	3eqtr4d 2814	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 ∙ {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}) = {⟨0, (𝐴 · 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐴 · 𝐶)⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  Vcvv 3463  {csn 4594  {cpr 4596  ⟨cop 4600   ↦ cmpt 5196   × cxp 5662   Fn wfn 6534  ‘cfv 6539  (class class class)co 7413   ∘_f cof 7675  0cc0 11102  1c1 11103   · cmul 11107  ℤcz 12593  Basecbs 17271  ._rcmulr 17313   ·_𝑠 cvsca 17316  ℤ_ringczring 21567   freeLMod cfrlm 21867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179  ax-addf 11181  ax-mulf 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7677  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9324  df-sup 9404  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12236  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12865  df-fz 13538  df-struct 17209  df-sets 17226  df-slot 17244  df-ndx 17256  df-base 17272  df-ress 17293  df-plusg 17325  df-mulr 17326  df-starv 17327  df-sca 17328  df-vsca 17329  df-ip 17330  df-tset 17331  df-ple 17332  df-ds 17334  df-unif 17335  df-hom 17336  df-cco 17337  df-0g 17496  df-prds 17502  df-pws 17504  df-mgm 18700  df-sgrp 18779  df-mnd 18795  df-grp 19005  df-minusg 19006  df-subg 19191  df-cmn 19854  df-abl 19855  df-mgp 20219  df-rng 20233  df-ur 20266  df-ring 20319  df-cring 20320  df-subrng 20633  df-subrg 20657  df-sra 21274  df-rgmod 21275  df-cnfld 21494  df-zring 21568  df-dsmm 21853  df-frlm 21868

This theorem is referenced by:  zlmodzxzequa  49198  zlmodzxznm  49199  zlmodzxzequap  49201