Theorem zlmodzxzscm 45693

Description: The scalar multiplication of the ℤ-module ℤ × ℤ. (Contributed by AV, 20-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxz.z	⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzscm.t	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑍)

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxzscm	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 ∙ {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}) = {⟨0, (𝐴 · 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐴 · 𝐶)⟩})

Proof of Theorem zlmodzxzscm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prex 5355	. . . 4 ⊢ {0, 1} ∈ V
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → {0, 1} ∈ V)
3		fnconstg 6662	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ({0, 1} × {𝐴}) Fn {0, 1})
4	3	3ad2ant1 1132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ({0, 1} × {𝐴}) Fn {0, 1})
5		c0ex 10969	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
6		1ex 10971	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
7	5, 6	pm3.2i 471	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V)
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V))
9		3simpc 1149	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
10		0ne1 12044	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ 1
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 0 ≠ 1)
12		fnprg 6493	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ V ∧ 1 ∈ V) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 0 ≠ 1) → {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩} Fn {0, 1})
13	8, 9, 11, 12	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩} Fn {0, 1})
14	2, 4, 13	offvalfv 45678	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (({0, 1} × {𝐴}) ∘f (.r‘ℤring){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}) = (𝑥 ∈ {0, 1} ↦ ((({0, 1} × {𝐴})‘𝑥)(.r‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘𝑥))))
15		zlmodzxz.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
16		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
17		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Base‘ℤring) = (Base‘ℤring)
18		simp1 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
19		zringbas 20676	. . . 4 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
20	18, 19	eleqtrdi 2849	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ (Base‘ℤring))
21	15	zlmodzxzel 45691	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩} ∈ (Base‘𝑍))
22	21	3adant1 1129	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩} ∈ (Base‘𝑍))
23		zlmodzxzscm.t	. . 3 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑍)
24		eqid 2738	. . 3 ⊢ (.r‘ℤring) = (.r‘ℤring)
25	15, 16, 17, 2, 20, 22, 23, 24	frlmvscafval 20973	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 ∙ {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}) = (({0, 1} × {𝐴}) ∘f (.r‘ℤring){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}))
26	5	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 0 ∈ V)
27	6	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 1 ∈ V)
28		ovexd 7310	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ V)
29		ovexd 7310	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ V)
30		fveq2 6774	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (({0, 1} × {𝐴})‘𝑥) = (({0, 1} × {𝐴})‘0))
31		fveq2 6774	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → ({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘𝑥) = ({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘0))
32	30, 31	oveq12d 7293	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((({0, 1} × {𝐴})‘𝑥)(.r‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘𝑥)) = ((({0, 1} × {𝐴})‘0)(.r‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘0)))
33		zringmulr 20679	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘ℤring)
34	33	eqcomi 2747	. . . . . 6 ⊢ (.r‘ℤring) = ·
35	34	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (.r‘ℤring) = · )
36	5	prid1 4698	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ {0, 1}
37		fvconst2g 7077	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ {0, 1}) → (({0, 1} × {𝐴})‘0) = 𝐴)
38	18, 36, 37	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (({0, 1} × {𝐴})‘0) = 𝐴)
39		simp2 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
40		fvpr1g 7062	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 ≠ 1) → ({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘0) = 𝐵)
41	26, 39, 11, 40	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘0) = 𝐵)
42	35, 38, 41	oveq123d 7296	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((({0, 1} × {𝐴})‘0)(.r‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘0)) = (𝐴 · 𝐵))
43	32, 42	sylan9eqr 2800	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 = 0) → ((({0, 1} × {𝐴})‘𝑥)(.r‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘𝑥)) = (𝐴 · 𝐵))
44		fveq2 6774	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (({0, 1} × {𝐴})‘𝑥) = (({0, 1} × {𝐴})‘1))
45		fveq2 6774	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → ({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘𝑥) = ({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘1))
46	44, 45	oveq12d 7293	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → ((({0, 1} × {𝐴})‘𝑥)(.r‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘𝑥)) = ((({0, 1} × {𝐴})‘1)(.r‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘1)))
47	6	prid2 4699	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ {0, 1}
48		fvconst2g 7077	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ {0, 1}) → (({0, 1} × {𝐴})‘1) = 𝐴)
49	18, 47, 48	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (({0, 1} × {𝐴})‘1) = 𝐴)
50		simp3 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℤ)
51		fvpr2g 7063	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 0 ≠ 1) → ({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘1) = 𝐶)
52	27, 50, 11, 51	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘1) = 𝐶)
53	35, 49, 52	oveq123d 7296	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((({0, 1} × {𝐴})‘1)(.r‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘1)) = (𝐴 · 𝐶))
54	46, 53	sylan9eqr 2800	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 = 1) → ((({0, 1} × {𝐴})‘𝑥)(.r‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘𝑥)) = (𝐴 · 𝐶))
55	26, 27, 28, 29, 43, 54	fmptpr 7044	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → {⟨0, (𝐴 · 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐴 · 𝐶)⟩} = (𝑥 ∈ {0, 1} ↦ ((({0, 1} × {𝐴})‘𝑥)(.r‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘𝑥))))
56	14, 25, 55	3eqtr4d 2788	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 ∙ {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}) = {⟨0, (𝐴 · 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐴 · 𝐶)⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  Vcvv 3432  {csn 4561  {cpr 4563  ⟨cop 4567   ↦ cmpt 5157   × cxp 5587   Fn wfn 6428  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ∘_f cof 7531  0cc0 10871  1c1 10872   · cmul 10876  ℤcz 12319  Basecbs 16912  ._rcmulr 16963   ·_𝑠 cvsca 16966  ℤ_ringczring 20670   freeLMod cfrlm 20953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-0g 17152  df-prds 17158  df-pws 17160  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-subg 18752  df-cmn 19388  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-cring 19786  df-subrg 20022  df-sra 20434  df-rgmod 20435  df-cnfld 20598  df-zring 20671  df-dsmm 20939  df-frlm 20954

This theorem is referenced by:  zlmodzxzequa  45837  zlmodzxznm  45838  zlmodzxzequap  45840