Theorem fvresi 6966

Description: The value of a restricted identity function. (Contributed by NM, 19-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
fvresi	⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → (( I ↾ 𝐴)‘𝐵) = 𝐵)

Proof of Theorem fvresi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvres 6714	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → (( I ↾ 𝐴)‘𝐵) = ( I ‘𝐵))
2		fvi 6765	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → ( I ‘𝐵) = 𝐵)
3	1, 2	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → (( I ↾ 𝐴)‘𝐵) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   I cid 5439   ↾ cres 5538  ‘cfv 6358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pr 5307

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-br 5040  df-opab 5102  df-id 5440  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-res 5548  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fv 6366

This theorem is referenced by:  fninfp  6967  fndifnfp  6969  fnnfpeq0  6971  f1ocnvfv1  7065  f1ocnvfv2  7066  fcof1  7075  fcofo  7076  isoid  7116  weniso  7141  iordsmo  8072  fipreima  8960  infxpenc  9597  dfac9  9715  fproddvdsd  15859  ndxarg  16690  idfu2  17338  idfu1  17340  idfucl  17341  cofurid  17351  funcestrcsetclem6  17606  funcestrcsetclem7  17607  funcestrcsetclem9  17609  funcsetcestrclem6  17621  funcsetcestrclem7  17622  funcsetcestrclem9  17624  yonedainv  17743  idmhm  18181  smndex1n0mnd  18293  idghm  18591  lactghmga  18751  symgga  18753  cayleylem2  18759  gsmsymgrfix  18774  gsmsymgreq  18778  pmtrfinv  18807  idlmhm  20032  islinds2  20729  lindsind2  20735  evl1vard  21207  madetsumid  21312  mdetunilem7  21469  txkgen  22503  ustuqtop3  23095  iducn  23134  nmoid  23594  dvid  24769  mvth  24843  fta1blem  25020  qaa  25170  idmot  26582  dfiop2  29788  idunop  30013  idcnop  30016  elunop2  30048  lnophm  30054  pmtridfv1  31035  pmtridfv2  31036  cycpmfv3  31055  islinds5  31231  ellspds  31232  qqhre  31636  subfacp1lem4  32812  subfacp1lem5  32813  cvmliftlem5  32918  bj-evalid  34931  idlaut  37796  idldil  37814  ltrnid  37835  idltrn  37850  ltrnideq  37875  tendoidcl  38469  tendo1ne0  38528  cdleml7  38682  dvalveclem  38725  dvhlveclem  38808  cdlemn8  38904  cdlemn11a  38907  rngunsnply  40642  fundcmpsurbijinjpreimafv  44475  fundcmpsurinjimaid  44479  isomgreqve  44893  isomushgr  44894  ushrisomgr  44909  idmgmhm  44958  funcrngcsetcALT  45173  funcringcsetcALTV2lem6  45215  funcringcsetcALTV2lem7  45216  funcringcsetcALTV2lem9  45218  funcringcsetclem6ALTV  45238  funcringcsetclem7ALTV  45239  funcringcsetclem9ALTV  45241  dflinc2  45367